Bài giảng Vật lý 2 - Chương 6: Cơ sở cơ học lượng tử - Lê Quang Nguyên

Cơ sở Cơ Học Lượng Tử Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com Nội dung 1. Lưỡng tính sóng-hạt của vật chất 2. Phương trình Schrödinger 3. Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều 4. Hệ thức bất định Heisenberg 5. Kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm (STM) 1. Lưỡng tính sóng hạt của vật chất a. Giả thuyết De Broglie b. Ví dụ c. Kiểm chứng d. Ứng dụng e. Bản chất của sóng vật chất f. Bài tập Louis De Broglie 1892-1987 1a. Giả thuyết De Broglie • Ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt. • Các hạt vật chất phải chăng cũng có lưỡng tính sóng-hạt? • De Broglie, 1923 − các hạt vật chất cũng là sóng, bước sóng vật chất (hay sóng De Broglie) của một hạt có động lượng p là: h p λ = 1b. Ví dụ 1 • Voi Dumbo khối lượng 1000 kg, bay với vận tốc 10 m/s sẽ có bước sóng De Broglie là bao nhiêu? • Bước sóng này quá nhỏ để có thể quan sát được. 34 38 3 6,626 10 6,626 10 10 10 h J s m p kg m s λ − − × ⋅ = = = × × 1b. Ví dụ 2 • Bước sóng De Broglie của một hạt bụi khối lượng 10−9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s. • Bước sóng này cũng quá nhỏ để có thể quan sát được. • Các hạt vĩ mô không thể hiện rõ tính sóng. 34 23 9 6,626 10 3,313 10 10 0,020 h J s m p kg m s λ − − − × ⋅ = = = × × 1b. Ví dụ 3 • Một electron trong mạch điện hay trong nguyên tử có động năng trung bình vào khoảng 1 eV, có bước sóng De Broglie bằng: • Bước sóng này vào cỡ kích thước của nguyên tử nên có thể quan sát được. • Các hạt vi mô thể hiện rõ tính sóng. ( ) ( ) 34 31 19 9 6,626 10 2 2 9,11 10 1,6 10 10 10Å h J s mK kg J m λ − − − − × ⋅ = = × ⋅ × ⋅ = = 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 1 • Davisson và Germer, 1927: electron có thể nhiễu xạ trên tinh thể Nickel giống như tia X vậy. • Nhiễu xạ của electron trên tinh thể cũng tuân theo định luật Bragg. • Bước sóng electron đo được phù hợp với giả thuyết De Broglie. 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 2 • G. P. Thomson, 1927: electron có thể nhiễu xạ trên màng mỏng kim loại, tạo ra vân tròn tương tự như tia X nhiễu xạ trên bột đa tinh thể. Electron Tia X 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 3 • Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron trên hai khe. 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 4 • Sóng dừng của electron trên bề mặt đồng, ảnh chụp bằng Scanning Tunneling Microscope (IBM Almaden Research Center). 1d. Ứng dụng của sóng De Broglie • Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thay cho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến 2 triệu lần. • Nhiễu xạ electron, nhiễu xạ neutron được dùng để tìm hiểu cấu trúc vật chất, tương tự như nhiễu xạ tia X. 1e. Bản chất của sóng De Broglie − 1 • Giao thoa của sóng electron trên hệ hai khe: 100 electrons 3000 electrons 70 000 electrons Nơi hạt đến nhiều cũng là nơi có cường độ sóng lớn. Càng nhiều hạt, quy luật sóng càng rõ. 1e. Bản chất của sóng De Broglie − 2 • Max Born, 1928: sóng vật chất là sóng xác suất. • Bình phương biên độ hàm sóng ở một vị trí thì tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại đó. • Gọi Ψ(x,y,z) là hàm sóng vật chất tại vị trí (x,y,z) của một hạt, dV là một thể tích nhỏ bao quanh vị trí này, xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV là: • |Ψ(x,y,z)|2 là mật độ xác suất của hạt tại (x,y,z). ( ) 2, ,dP x y z dV= Ψ 1e. Bản chất của sóng De Broglie − 3 • Ψ(x,y,z) là một số phức, nên ta còn có: • Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian V, trong đó hạt tồn tại, phải bằng đơn vị, do đó: • Đó là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng vật chất. ( ) 2 *, ,x y zΨ =Ψ⋅Ψ ( ) 2, , 1 V x y z dVΨ =∫ 1f. Bài tập 1 • Hình bên cho thấy sóng dừng trong một lò vi ba, màu xám là nơi sóng điện từ bằng không, còn màu trắng và đen là nơi sóng cực đại. • Hãy so sánh mật độ photon ở các vị trí A, B và C trên củ cà-rốt. 1f. Bài tập 1 • Mật độ hạt (hay xác suất) tỷ lệ với bình phương biên độ sóng vật chất (sóng điện từ đối với photon). • Biên độ sóng cực đại ở A và C, • do đó mật độ photon cũng cực đại ở A và C. 1f. Bài tập 2 Hàm sóng của một hạt bị “giam” trong khoảng từ 0 đến L là Asin(πx/L), A là một hằng số. Xác suất tìm thấy hạt ở vị trí nào sau đây là lớn nhất? (a) L/4 (b) L/2 (c) 3L/4 (d) L 1f. Trả lời bài tập 2 • Mật độ xác suất: • w = A2sin2(πx/L) • Cực trị của w được cho bởi: • sin(πx/L)cos(πx/L) = 0 • πx/L = 0, π/2, π • x = 0, L/2, L • w cực đại ứng với x = L/2. • Câu trả lời đúng là (b). L/2 Hàm sóng Mật độ xác suất 1f. Bài tập 3 Bước sóng De Broglie của một electron được tăng tốc không vận tốc đầu bởi hiệu điện thế U bằng: (a) (b) (c) (d) 2 e h m eU e h m eU 2 2 e h m eU 2 e h m eU 1f. Trả lời bài tập 3 • Động năng của electron sau khi tăng tốc: • Suy ra động lượng: • Vậy bước sóng De Broglie là: • Câu trả lời đúng là (a). 2 2 e p K eU m = = 2 ep m eU= 2 e h m eU λ = 2. Phương trình Schrödinger a. Phương trình Schrödinger tổng quát b. Phương trình Schrödinger dừng c. Hàm sóng của hạt tự do Erwin Schrödinger 1887-1961 2a. Phương trình Schrödinger tổng quát • Hàm sóng Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m, chuyển động trong trường có thế năng U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrödinger tổng quát: • trong đó ħ = h/2π, và Δ là Laplacian: 2 2 i U t m  ∂Ψ = − ∆+ Ψ ∂   ℏ ℏ 1i = − 2 2 2 2 2 2x y z ∂ ∂ ∂∆ = + + ∂ ∂ ∂ 2b. Phương trình Schrödinger dừng • Khi thế năng U không phụ thuộc vào thời gian thì nghiệm của phương trình Schrödinger có thể viết dưới dạng: • với E là năng lượng của hạt, Φ(x,y,z) là hàm sóng dừng, thỏa phương trình Schrödinger dừng: ( ) ( ), , , , , E i t x y z t e x y z − Ψ = Φℏ 2 2 U E m   − ∆+ Φ = Φ    ℏ ( )22 0m E U∆Φ+ − Φ = ℏ 2c. Hàm sóng của hạt tự do − 1 • Phương trình Schrödinger dừng của một hạt tự do chuyển động theo dọc trục x: • với E bây giờ là động năng của hạt. Phương trình này có nghiệm tổng quát là: 2 2 2 2 0 m E x ∂ Φ + Φ = ∂ ℏ ikx ikxAe Be−Φ = + 2 2mE p k = = ℏ ℏ 2c. Hàm sóng của hạt tự do − 2 • Hàm sóng ứng với số hạng thứ nhất: • là một sóng phẳng truyền theo trục x > 0, có tần số góc ω, vectơ sóng k, và bước sóng phù hợp với giả thuyết De Broglie: ( )E p ii t i x Et px e Ae Ae − − − Ψ = ⋅ =ℏ ℏ ℏ ( )i t kxAe ω− −Ψ = E p kω = = ℏ ℏ 2 h k p piλ = = 3. Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều a. Giếng thế vô hạn một chiều b. Năng lượng bị lượng tử hóa c. Hàm sóng d. Bài tập 3a. Giếng thế vô hạn một chiều • Hạt chuyển động trong giếng thế vô hạn một chiều có thế năng xác định bởi : • trong đó a là độ rộng của giếng thế. 0 0 0, x a U x x a < < =  ∞ ≤ ≥ 0 a U → ∞ x 3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 1 • Sóng vật chất chuyển động lui tới giữa hai vách giếng thế, tạo nên sóng dừng. • Khi đó bề rộng của giếng thế phải là một bội số của một nửa bước sóng: • Suy ra động lượng hạt: 1,2 2 a n n λ = = 2 2 h h h p n a n aλ= = = n = 1 n = 2 n = 3 a 3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 2 • Do đó năng lượng của hạt là: • Năng lượng hạt đã bị lượng tử hóa. • Số n được gọi là số lượng tử năng lượng. • Mức năng lượng thấp nhất, ứng với n = 1, là khác không, trái với quan niệm cổ điển. 2 2 2 22 8n p h E n m ma = = 3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 3 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 0 a x a = λ/2 a = 2(λ/2) a = 3(λ/2) U → ∞ 3c. Hàm sóng − 1 • Phương trình Schrodinger dừng của hạt trong giếng thế: • Phương trình này có nghiệm tổng quát: 2 2 2 2 0 m E x ∂ Φ + Φ = ∂ ℏ ( ) ( ) ( )sin cosx A kx B kxΦ = + 2k mE p= =ℏ ℏ 3c. Hàm sóng − 2 • Hàm sóng ở ngoài giếng là bằng không, vì hạt bị giam trong giếng thế vô hạn. • Ngoài ra, để hàm sóng biến thiên liên tục thì ở hai vách giếng nó cũng phải bằng không: ( ) ( )0 0, 0aΦ = Φ = ( ) ( ) ( )0 sin 0 cos 0 0 0A B BΦ = + = ⇒ = ( ) ( ) ( )sin 0 sin 0a A ka kaΦ = = ⇒ = 1,2k n a npi= = 3c. Hàm sóng − 3 • Hàm sóng dừng phụ thuộc vào n: • Vì k bị lượng tử hóa nên năng lượng cũng vậy: • Từ điều kiện chuẩn hóa ta tìm được hằng số A: ( ) sinn x A n x a pi Φ =     ( )2 2 2 22 2 2 22 2 8n k h E n n m ma ma pi = = = ℏ ℏ ( ) 2 sinn x n x a a pi Φ =     3c. Hàm sóng − 4 • Hàm sóng (phụ thuộc thời gian) sẽ là: • Mật độ xác suất của hạt (độc lập với thời gian): ( ) 2, exp sinnn Ex t i t n x a a pi   Ψ = −      ℏ ( ) 2 * 22, sinn n nx t n x a a pi Ψ =Ψ ⋅Ψ =     3c. Hàm sóng − 5 Mật độ xác suất Hàm sóng dừng n = 1 n = 2 n = 3 3d. Bài tập 1 Một vi hạt khối lượng m, chuyển động trên trục x trong trường thế có dạng hố thế cao vô hạn, bề rộng a. Khi hạt có năng lượng: thì khả năng tìm thấy hạt là lớn nhất ở tọa độ x bằng: (a) a/4 và 3a/4 (b) a/2 (c) a/4 (d) 3a/4 2 2 22E mapi= ℏ 3d. Trả lời bài tập 1 • Năng lượng của vi hạt trong hố thế vô hạn: • En = n2π2ħ2/2ma2 • Trong trường hợp đang xét: • E = 2π2ħ2/ma2 • n = 2, câu trả lời đúng là (a). Mật độ xác suất Hàm sóng dừng n = 1 n = 2 n = 3 3d. Bài tập 2 Xét một vi hạt trong giếng thế cao vô hạn, bề rộng a. Ở vị trí nào sau đây thì xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau (trừ tại hai vách giếng thế): (a) a/3 (b) 2a/3 (c) (a) và (b) đúng. (d) (a) và (b) sai. 3d. Trả lời bài tập 2 • Ở vị trí cần tìm mật độ xác suất của hai trạng thái là như nhau: • w1 = w2 • sin2(πx/a) = sin2(2πx/a) • cos(πx/a) = ±1/2 • πx/a = π/3, 2π/3 • x = a/3, 2a/3 • Câu trả lời đúng là (c). a/3 2a/3 w2 w1 3d. Bài tập 3 Một electron trong một giếng thế vô hạn có bề rộng 2 nm chuyển từ mức có n = 5 xuống mức có n = 3. Bước sóng của photon phát ra là: (a) 97,8 nm (b) 824 nm (c) 2 nm (d) 8971 nm 3d. Trả lời bài tập 3 • Khi electron chuyển từ mức n2 về mức n1 thì nó phát ra một photon có năng lượng: • Suy ra bước sóng của photon: ( ) 2 1 2 2 2 2 1 28n n c h h E E n n maλ = − = − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 8 1 8 hc cma h ma n n h n n λ = ⋅ = ⋅ − − 3d. Trả lời bài tập 3 (tt) • λ = 824 nm, câu trả lời đúng là (b). ( )( )( )28 31 9 34 2 2 8 3 10 / 9,1 10 2 10 1 6,626 10 5 3 m s kg m J s λ − − − × ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − 4. Hệ thức bất định Heisenberg a. Hệ thức bất định của vị trí và động lượng b. Ví dụ c. Hệ thức bất định của thời gian và năng lượng d. Hiệu ứng đường ngầm Werner Heisenberg 1901-1976 4a. Bất định của vị trí và động lượng • Giữa độ bất định (độ chính xác) của tọa độ và động lượng có hệ thức: • Không thể xác định được chính xác đồng thời tọa độ và động lượng của các vi hạt. • Không thể xác định quỹ đạo vi hạt. x y z x p h y p h z p h ∆ ⋅∆ > ∆ ⋅∆ > ∆ ⋅∆ > ɶ ɶ ɶ 4b. Ví dụ 1 • Một electron có vận tốc bằng 2,05 × 106 m/s, được đo với độ chính xác là 1,5 %. Tìm Δx. • Động lượng của electron: • Độ bất định động lượng: • Δx ~ 200 lần kích thước nguyên tử ! 82,4 10 24 x h x m nm p −∆ > = × = ∆ ɶ 31 6 24 (9,11 10 ) (2,05 10 ) 1,87 10 . p mv kg m s kgm s − − = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 261,5% 2,80 10 .p p kgm s−∆ = = ⋅ 4b. Ví dụ 2 • Electron trong nguyên tử có Δx ~ kích thước của nguyên tử, tức là 0,1 nm. Tìm Δp. • Electron trong nguyên tử có động năng vào khoảng 1 eV, do đó có động lượng : • Δp ~ 10 p ! 34 24 9 6,626 10 6,626 10 . 0,1 10x h J s p kg m s x m − − − ⋅ ⋅∆ > = = ⋅ ∆ ⋅ ɶ ( ) ( )31 19 25 2 2 9,11 10 1,6 10 5,4 10 . xp mK kg J kg m s − − − = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = × 4b. Ví dụ 3 • Một quả banh golf có khối lượng 45 g đang bay với vận tốc 35 m/s. Vận tốc được đo với độ chính xác là 1,5 %. Tìm Δx. • Làm tương tự như trong Ví dụ 1, ta suy ra độ bất định về vị trí của quả banh: • Độ bất định này rất nhỏ: với các vật vĩ mô vẫn xác định được chính xác đồng thời vị trí và động lượng. 323 10x m−∆ > ×ɶ 4b. Ví dụ 4 • Bó sóng là tổ hợp tuyến tính của nhiều sóng hình sin có động lượng rất gần nhau. • Phân bố của động lượng càng rộng (Δp lớn), • thì bó sóng càng hẹp (Δx nhỏ). 4c. Bất định của thời gian và năng lượng • Gọi Δt là thời gian hạt tồn tại ở một trạng thái; • ΔE là độ bất định của năng lượng hạt ở trạng thái đó. • Giữa chúng có hệ thức: • Độ bất định năng lượng của một trạng thái càng lớn thì thời gian tồn tại của trạng thái đó càng ngắn. • Do đó một bó sóng không thể tồn tại lâu. t E h∆ ⋅∆ >ɶ 4d. Hiệu ứng đường ngầm – 1 • Xét một hạt bị giam trong giếng thế có độ sâu U. • Giả sử trạng thái hạt là không bền, chỉ tồn tại trong thời gian rất ngắn Δt ≈ h/U . • Trong khoảng thời gian đó độ bất định năng lượng của hạt là : • Hạt có độ bất định năng lượng lớn hơn độ sâu giếng thế, do đó có thể thoát ra khỏi giếng thế! h h E U t h U ∆ > = = ∆ ɶ 4d. Hiệu ứng đường ngầm – 2 U ΔE E 4d. Hiệu ứng đường ngầm – 3 • Hiệu ứng cũng xảy ra đối với một rào thế (hay tường thế). Hạt có thể chui qua rào dù có năng lượng nhỏ hơn chiều cao của rào thế. • Xác suất vượt rào (hệ số truyền qua) là: • Minh họa. ( )02exp 2aD m U E ≈ − −   ℏ 0 a U0 x E 5. Scanning Tunneling Microscope Minh họa Khi quét trên bề mặt mẫu đầu kim được kéo lên hay hạ xuống thấp để giữ cho dòng e- chui ngầm không đổi. Độ cao của đầu kim được hiển thị trên màn hình, đó chính là hình ảnh bề mặt mẫu.