Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên - Phan Trung Hiếu

9/30/2019 1 LOG O Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN Giảng viên: Phan Trung Hiếu 2 Biến ngẫu nhiên là một đại lượng thay đổi với xác suất lấy các giá trị thay đổi tùy theo kết quả của phép thử. I. Định nghĩa: Ký hiệu:  X, Y, Z, ...: Biến ngẫu nhiên.  x, y, z, ...: Giá trị của biến ngẫu nhiên. Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc. X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3 II. Biến ngẫu nhiên rời rạc: Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (có thể liệt kê được các giá trị của nó). Ví dụ 2:  Gieo 10 hạt đậu. Gọi X là số hạt nảy mầm X =  Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm có trong 3 sản phẩm X = {0, 1, 2, ..., 10}. {0, 1, 2, 3}. 4  Tung 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt sấp thì ngưng. Gọi X là số lần tung X = 2.1. Bảng phân phối xác suất: Ký hiệu: X :ix BNN X nhận giá trị .ix P(X ) :i ip x  Xác suất để X nhận giá trị .ix Giả sử  1 2 1 2X , ,..., ( ... ).n nx x x x x x    Bảng phân phối xác suất của X: {1, 2, 3, 4, ...} X P 5 Tính chất:   0 1, 1,2,..., .ip i n   1 2 ... 1.np p p      1 2 1 2 P(X ) P (X ) (X ) ... (X ) P(X ) P(X ) ... P(X ). i i i x x x x x x x                 P( ) P( ). i i a x b a X b X x       P( ) P( ). i i a x b a X b X x       P( ) P( ). i i a x b a X b X x       P( ) P( ). i i a x b a X b X x      6 Ví dụ 3: Số lượng ôtô nhãn hiệu A được bán ra trong một ngày có bảng phân phối xác suất Số lượng (chiếc) 1 2 3 4 5 6 P 0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01 Tính xác suất: a) Bán được 2 chiếc. b) Xe bán được không quá 4 chiếc. c) Xe bán được nhiều hơn 4 chiếc. 9/30/2019 2 7 Ví dụ 4: Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Gọi X là số bi xanh trong 2 bi lấy ra. a) Lập bảng phân phối xác suất của X. b) Tính c) Tính Giải X: số bi xanh trong 2 bi lấy ra X = P(0 X 2), P(0 X 2), P(0 X 2).      P(X 1), P(X 1).  a) {0, 1, 2}. 8 P(X 0)  Bảng phân phối xác suất của X: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 2 0 2 4 1 2 . 15 C C  2 10 1 6 1 4 8 . 15 C C C  2 10 2 6 1 . 3 C C  P(X 1)  P(X 2)  9 Ví dụ 5: Trong ngày hội thi, mỗi công nhân dự thi sẽ sản xuất lần lượt 2 sản phẩm. Mỗi sản phẩm loại A sẽ được thưởng 10 ngàn đồng, mỗi sản phẩm không là loại A sẽ bị phạt 2 ngàn đồng. Giả sử một công nhân tham gia dự thi có khả năng sản xuất được sản phẩm loại A mỗi lần là 30%. Lập bảng phân phối xác suất số tiền mà công nhân này thu được. 10 2.2. Hàm mật độ (xác suất): Cho bảng phân phối xác suất của X: Khi đó, hàm mật độ của X: khi ( ) 0 khi , i i i p x x f x x x i      X P 11 Tính chất:   ( ) 0, .f x x   1 2( ) ( ) ... ( ) 1.nf x f x f x     P(X ) ( ).i ix f x  Ví dụ 6: Cho bảng phân phối xác suất X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Tìm hàm mật độ của X. 12 Giải ( )f x  X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 2 khi 0 15 8 khi 1 15 1 khi 2 3 0 khi 0,1,2. x x x x              2 khi 0 15 x  8 i 15 x 1 khi 2 3 x   0 khi 0,1,2 .x 9/30/2019 3 13 III. Biến ngẫu nhiên liên tục: Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của nó có thể lấp kín cả một khoảng trên trục số (không thể liệt kê các giá trị của nó). Ví dụ 7:  Nhiệt độ trong ngày ở TP.HCM.  Thời gian chờ xe buýt tại trạm.  Lượng mưa trong 1 năm ở TP.HCM. 14 Nhận xét:  Khi X là BNN liên tục thì X có thể lấy vô số giá trị nên ta không thể lập bảng phân phối xác suất cho nó.  Thay cho việc liệt kê các giá trị của X, ta chỉ ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó.  Thay cho các xác suất, ta đưa ra khái niệm sau: 15 Hàm mật độ (xác suất): f(x) là hàm mật độ của BNN liên tục X nếu nó thỏa 2 điều kiện sau: ( ) 0, ( ) 1 f x x f x dx            16 Định lý: P( X ) ( ) b a a b f x dx    Hệ quả: Nếu X là BNN liên tục thì ta có P(X ) P( X ) ( ) 0. a a a a a f x dx       P( X ) P( X )a b a b      P( X )a b   P( X ).a b   17 Ví dụ 8: Cho X là BNN có hàm mật độ là 2 , [1,2]( ) 0, [1, 2] k x f x x x     a) Tìm k. b) Tính c) Tính 3P 0 X . 2       3P X . 2      d) Tính 3P X . 2      18 Giải a) Ta có: ( )f x dx    1 ( )f x dx   2 1 ( )f x dx  2 ( )f x dx   1  2 k x 2 0 0 2 2 1 0 0k dx x    2 1 1k x        1 1 . 2 2 kk         9/30/2019 4 19 Vì f(x) là hàm mật độ nên ( ) 0, ( ) 1 f x x f x dx             2 0, 1,2 1 2 k x x k            0 2 k k      2.k  20 IV. Hàm phân phối (tích lũy): 4.1. Định nghĩa: Hàm phân phối của BNN X, ký hiệu là F(x), là hàm được xác định như sau ( ) P(X ) .F x x x    21 X rời rạc X liên tục 1 1 1 2 1 2 2 3 1 2 1 0 , , , ( ) .... ... , .... 1 , k k k n x x p x x x p p x x x F x p p p x x x x x                       có hàm mật độ f(x) thì ( ) ( ) x F x f t dt    22 4.2. Tính chất:  0 ( ) 1, .F x x     lim ( ) 0; lim ( ) 1. x x F x F x      F là hàm tăng, tức là 1 2 1 2( ) ( ).x x F x F x   4.3. Ứng dụng của hàm phân phối:  Dùng để tính:  P X P( X ) b a b    ( ) ( ) - ( )   F b F b F a F(x) liên tục bên trái, nghĩa là lim ( ) ( ). o o x x F x F x   23  Dùng để tìm hàm mật độ f(x) khi X liên tục: ( )f x ( ) F x Ví dụ 9: Cho X là BNN có bảng PPXS sau X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Tìm hàm phân phối. 24 Giải 0 khi 0 2 khi 0 1 15 2 8 10 khi 1 2 15 15 15 1 khi ( ) 2. F x x x x x                   X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 x 0 khi 0x  2 15 khi 0 1x  2 8 10 15 15 15   khi 1 2x  i . x x x 9/30/2019 5 25 Ví dụ 10: Tuổi thọ X (giờ) của một thiết bị có hàm mật độ xác suất a) Tìm hàm phân phối. b) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo dài ít nhất 400 giờ. Tính tỉ lệ thiết bị loại A. c) Tính tỉ lệ thiết bị có tuổi thọ từ 90 giờ đến 200 giờ. 2 0 khi 100 ( ) 100 khi 100 x f x x x     26 Giải a) Ta có ( ) ( ) x F x f t dt    Khi 100 : x ( )F x  Khi 100 : x ( )F x  100  0 x x 0 0. x dt   100 0dt   2 100 100x dt t   2 100 t 100 100 100 1001 1 . t x tt x x                   Vậy 0 khi 100 ( ) 1001 khi 100       x F x x x 27 b) P(X 400)  1 P(X 400)  1 (400)F  1001 1 0, 25 25%. 400          c) P(90 X 200)   (200) (90)F F 1001 0 0,5 50%. 200      V. Các tham số đặc trưng: 28 5.1. Mode (Giá trị tin chắc nhất): Mod(X) là giá trị của X mà tại đó xác suất lớn nhất. X rời rạc X liên tục có hàm mật độ f(x) thì Mod(X) P(X ) maxi ix x   Chú ý: Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau. Mod(X) ( ) maxi ix f x  29 Ví dụ 11: Ba xạ thủ độc lập bắn vào một mục tiêu. Mỗi xạ thủ bắn 1 viên đạn. Gọi X là số viên trúng. Ta có bảng phân phối xác suất của X như sau X 0 1 2 3 P 0,024 0,188 0,452 0,336 Tìm số viên trúng tin chắc nhất. Giải Mod(X)  Vì  max 0,024; 0,188, 0,452, 0,336  tại 2x  nên 0,452 2 30 Ví dụ 12: Cho X là BNN có hàm mật độ Tìm Mod(X). Giải 3 (2 ) khi [0, 2] ( ) .4 0 khi [0, 2] x x x f x x        Với thì [0,2]x 3( ) (2 ) 4 f x x x  3( ) (1 ) 2 f x x   9/30/2019 6 31 3( ) 0 (1 ) 0 1 2 f x x x       [0,2] 3 3(1) , (0) (2) 0 max ( ) (1) 4 4x f f f f x f        Mà ( ) 0, [0,2].f x x   Vậy: Mod(X) 1. 32 5.2. Median (Trung vị): là điểm chia đôi phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Chú ý: Med(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau. X rời rạc X liên tục 1 1Med(X) ( ) ( ) 2i i i x F x F x     Med(X) ( ) 0,5 ix ix f x dx     33 Ví dụ 13: Cho X là BNN có bảng PPXS sau X -1 0 1 2 P 0,25 0,15 0,3 0,3 Tìm Med(X). Giải 0 khi 0 2 khi 0 1 15 2 8 10 khi 1 2 15 15 15 1 khi ( ) 2. F x x x x x                   0 khi 1x   0,25 khi 1 0x   khi 1 2x  1 khi 2.x  0,4 khi 0 1x  0,7 34 Ta có: (1) 0, 4 0,5 (1) 0,5 (2) (2) 0,7 0,5 F F F F          Med(X) 1.  35 5.3. Kì vọng (Expectation): X rời rạc X liên tục có hàm mật độ f(x) thì 1 1 2 2 1 E(X) ... n n n i i i x p x p x p x p       E(X) ( )xf x dx     E(X) X 36 Tính chất:    E( ) , : .k k k const E( X Y ) E(X) E(Y) ; , , : .a b c a b c a b c const     E(XY) E(X).E(Y) nếu X và Y độc lập.  Nếu thì 1 ( ) E(Y) ( ) ( ) n i i i x p x f x dx               Y (X) nếu X rời rạc. nếu X liên tục. 9/30/2019 7 37 Ý nghĩa của kì vọng: - E(X) là giá trị trung bình (theo xác suất) mà X nhận được, nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của X. -Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần chọn phương án cho năng suất hay lợi nhuận cao, người ta chọn phương án sao cho năng suất kì vọng hay lợi nhuận kì vọng cao. 38 Ví dụ 14: Một hộp đựng 10 quả cầu giống nhau nhưng khác nhau về trọng lượng: 5 quả nặng 1kg, 2 quả nặng 2kg, 3 quả nặng 3kg. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 quả. Tìm trọng lượng trung bình của một quả cầu. Giải Gọi X(kg) là trọng lượng của quả cầu lấy ra.  X 1,2,3 .  5P(X 1) 0,5. 10    2P(X 2) 0, 2. 10    3P(X 3) 0,3. 10    X 1 2 3 P 0,5 0,2 0,3 E(X) 1.0,5 2.0, 2 3.0,3 1,8( ).kg      39 Ví dụ 15: (Trò chơi đề) Trong 100 số đề sẽ chỉ có 1 số thắng, 99 số thua. Thắng thì được 70 lần tiền đặt cọc. Thua thì mất tiền đặt cọc. Người chơi chọn 1 số đề. Có nên chơi trò này nhiều lần không ? 40 Ví dụ 16: Gọi X(năm) là tuổi thọ của một thiết bị với hàm mật độ 2 2 khi [1, 2] ( ) 0 khi [1, 2] x f x x x      a) Tính tuổi thọ trung bình của mỗi thiết bị. b) Tìm kì vọng của 5 2Y X . X   41 Giải a) 2 2 1 1 2E(X) ( ) 2 ln | | 2 ln 2.xf x dx dx x x        b) 2 5 5 2 1 2 2 2E(Y) ( ) 6.x f x dx x dx x x x                   1,3863 (năm) 42 5.4. Phương sai (Variance): X rời rạc X liên tục có hàm mật độ f(x) thì 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 E(X ) ... n n n i i i x p x p x p x p       2 2E(X ) ( )x f x dx     2Var(X) X  22Var(X) E(X ) E(X)  9/30/2019 8 43 Tính chất:    Var( ) 0, : .k k const 2Var( X) Var(X), : .k k k const Var(X ) Var(X), : .k k const  nếu X và Y độc lập.Var(X Y) Var(X) Var(Y)   44 Ý nghĩa của phương sai: -Do  2Var(X) E X E(X)    nên phương sai là trung bình của bình phương độ lệch giữa giá trị X so với E(X). -Dùng để đo mức độ phân tán quanh kỳ vọng. Nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ nên độ tập trung lớn và ngược lại. -Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị. -Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định. -Trong trồng trọt, phương sai đặc trưng cho độ ổn định của năng suất. 45 5.5. Độ lệch chuẩn: ( ) XX  2 X XVar(X)   Ví dụ 17: Năng suất của 2 máy tương ứng là các biến ngẫu nhiên X, Y (sản phẩm/phút) có phân phối xác suất Nếu phải chọn mua một trong hai máy này, ta nên chọn mua máy nào? X 1 2 3 4 P 0,3 0,1 0,5 0,1 Y 1 3 4 5 P 0,55 0,05 0,3 0,1 Giải -Xét năng suất trung bình của mỗi máy: E(X) 1 0,3 2 0,1 3 0,5 4 0,1 2,4         E(Y) 1 0,55 3 0,05 4 0,3 5 0,1 2,4         E(X) E(Y).  -Xét độ ổn định của mỗi máy: 2 2 2 2 2E(X ) 1 0,3 2 0,1 3 0,5 4 0,1 6,8         2 2 2 2 2E(Y ) 1 0,55 3 0,05 4 0,3 5 0,1 8,3          22Var(X) E(X ) E(X) 1,04.     22Var(Y) E(Y ) E(Y) 2,54.    Var(Y) Var(X)  , nghĩa là năng suất của X ổn định hơn của Y. Vậy, chọn máy X. 47 Ví dụ 16: Trọng lượng X(kg) của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ: Tính trọng lượng trung bình và độ lệch tiêu chuẩn của X. 23 ( 1) khi [2,3] ( ) 16 0 khi [2,3] x x f x x        48 Giải 3 2 2 3E(X) ( ) ( 1) 2,5781( ). 16 xf x dx x x dx kg        3 2 2 2 2 2 3E(X ) ( ) ( 1) 6,725. 16 x f x dx x x dx         22 2Var(X) E(X ) E(X) 0,0784 ( ).kg   (X) Var(X) 0, 28 ( ).kg   9/30/2019 9 49 VI. Định nghĩa BNN n chiều: Biến ngẫu nhiên n chiều là một bộ gồm n biến ngẫu nhiên. Ký hiệu: 1 2 3V (X ,X ,X ,...,X )n trong đó là các BNN. 1 2 3X ,X ,X ,...,Xn Ví dụ 17: V = (X,Y): biến ngẫu nhiên 2 chiều. V = (X, Y, Z): biến ngẫu nhiên 3 chiều. 50 Ví dụ 18: Một máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu kích thước của sản phẩm được đo bằng chiều dài X và chiều rộng Y, thì ta có biến ngẫu nhiên 2 chiều: V = (X, Y). Nếu tính thêm cả chiều cao Z nữa thì ta có biến ngẫu nhiên 3 chiều: W = (X, Y, Z). Ví dụ 19: Xét một công ty tư nhân với hai chỉ tiêu là doanh thu và chi phí quảng cáo. Gọi X là doanh thu và Y là chi phí quảng cáo thì V = (X, Y) tạo nên một biến ngẫu nhiên 2 chiều. 51 Chú ý: 1 2 3X ,X ,X ,...,Xn-Nếu tất cả đều là BNN rời rạc thì là BNN rời rạc. 1 2 3V (X ,X ,X ,...,X )n 1 2 3X ,X ,X ,...,Xn-Nếu tất cả đều là BNN liên tục thì là BNN liên tục. 1 2 3V (X ,X ,X ,...,X )n -Ta không xét trường hợp vừa có thành phần rời rạc vừa có thành phần liên tục. 52 VII. BNN 2 chiều rời rạc: 7.1. Bảng phân phối xác suất của V = (X,Y) (Bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y): Giả sử  1 2 1 2X , ,..., ( ... )n nx x x x x x     1 2 1 2Y , ,..., ( ... )n ny y y y y y    Bảng phân phối xác suất của đồng thời của X và Y: 53 Y X y1 y2 y3 yn x1 p11 p12 p13 p1n x2 p21 p22 p23 ... p2n x3 p31 p32 p33 ... p3n ... xm pm1 pm2 pm3 ... pmn      trong đó  P X ,Y :ij i jp x y   Xác suất để X=xi và Y=yj 54 Chú ý:  X và Y độc lập khi và chỉ khi P(X , Y ) P(X ) P(Y )i j i jx y x y    . ,i j  1 1 1. m n ij i j p    9/30/2019 10 55 7.2. Hàm mật độ đồng thời của V=(X,Y): Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của V=(X,Y). Khi đó, hàm mật độ đồng thời là: khi ( , ) ( , ) ( , ) 0 khi ( , ) ( , ), , ij i j i j p x y x y f x y x y x y i j      56 Ví dụ 20: Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất như sau X 1 2 3 P 1/4 1/3 5/12 Y -2 -1 P 1/3 2/3 a) Hãy lập bảng phân phối đồng thời của X và Y. b) Tính xác suất P(X > Y+3). 57 Giải Do X và Y độc lập nên P(X 1, Y 2)    P(X 1, Y 1)    P(X 2,Y 2)    X Y 1 2 3 -2 -1 p11 p12 p21 X P 1/4 1/3 5/12 Y P 1/3 2/3 1 2 3 -2 -1 1 1 1P(X 1).P(Y 2) 4 3 12       1 2 1P(X 1).P(Y 1) 4 3 6       1 1 1P(X 2).P(Y 2) 3 3 9       a) 58 P(X 2,Y 1)    P(X 3,Y 2)    P(X 3, Y 1)    X Y 1 2 3 -2 -1 p11 p12 p21 p22 p31 p32 X P 1/4 1/3 5/12 Y P 1/3 2/3 1 2 3 -2 -1 1 2 2P(X 2).P(Y 1) 3 3 9       5 1 5P(X 3).P(Y 2) 12 3 36       5 2 5P(X 3).P(Y 1) 12 3 18       59 Y X -2 -1 1 1/12 1/6 2 1/9 2/9 3 5/36 5/18 b) P(X > Y+3)= =1/9 + 5/36 + 5/18 =19/36. P(X=2,Y=-2) + P(X=3,Y=-2) + P(X=3,Y=-1) 60 7.3. Bảng phân phối lề (phân phối biên) của X, của Y: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của V=(X,Y). Khi đó, để lâp bảng phân phối của X, của Y như sau: Bước 1: Nhìn vào bảng phân phối của V, ta sẽ biết được các giá trị mà X, Y nhận được. Bước 2: Tính các xác suất tương ứng. 9/30/2019 11 61 Y X y1 y2 y3 yn x1 p11 p12 p13 p1n x2 p21 p22 p23 ... p2n x3 p31 p32 p33 ... p3n ... xm pm1 pm2 pm3 ... pmn PX p1 p2 p3 pm      + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = =  PY p1 p2 p3 pn + + + + + + +++ | | + + | | | | | || | + 62 Ví dụ 21: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của V=(X,Y) như sau Y X 0 1 -1 0,1 0,06 0 0,3 0,18 1 0,2 0,16 a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, của Y? b) Tính P(X 0,Y 0).  63 Giải Y X 0 1 -1 0,1 0,06 0 0,3 0,18 1 0,2 0,16 X -1 0 1 PX Y 0 1 PY a) Bảng phân phối xác suất của X, của Y: PX PY 0,16 0,16 0,48 0,48 0,36 0,36 0,6 0,6 0,4 0,4 64 Y X 0 1 -1 0,1 0,06 0 0,3 0,18 1 0,2 0,16 b) Tính P(X 0,Y 0)  P(X 0,Y 0)   P (X 0,Y 1) (X 1,Y 1)      P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 1)      0,18 0,16 0,34.   65 7.4. Phân phối có điều kiện: P(X | Y):Xác suất để X xảy ra khi biết Y đã xảy ra. P(X , Y ) P(X | ) P( ) P(X , Y ) P(Y | ) P( ) i j i i j j x y x x y y         Y Y X X j j i i y y x x     66 Bảng phân phối có điều kiện của X khi Y=yj: X x1 xm P(X |Y=yj) P(X=x1|Y=yj) P(X=xm|Y=yj) Bảng phân phối có điều kiện của Y khi X=xi: Y y1 yn P(Y | X=xi) P(Y=y1|X=xi) P(Y=yn|X=xi) 9/30/2019 12 67 Ví dụ 22: Một hộp có 3 bi đỏ, 4 bi trắng và 5 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả từ hộp. Gọi X, Y lần lượt là số bi đỏ, số bi vàng có trong 3 bi được chọn. a) Lập bảng phân phối đồng thời của X và Y. b) Tìm các phân phối biên của X và của Y. c) Tìm phân phối của số bi đỏ biết số bi vàng đã chọn được là 1. VIII. BNN 2 chiều liên tục: Sinh viên tự nghiên cứu.  68 IX. Hàm của các BNN: 69 9.1. Trường hợp 1 chiều Y = f(X): 2Y X - 3X 2 Ví dụ: là một hàm theo BNN X. Bảng phân phối xác suất của Y = f(X): Cho bảng phân phối xác suất của X X x1 x2 xn P p1 p2 pn Cần tìm bảng phân phối xác suất của Y = f(X)? 70 Bước 1: Tìm các giá trị cho Y: X x1 x2 xn Y=f(X) y1=f(x1) y2=f(x2) yn=f(xn) Bước 2: Tính xác suất tương ứng cho Y: ( ) P(Y ) P(X ) i i i i f x y y x     71 Ví dụ 23: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau X -1 0 1 2 P 0,1 0,2 0,3 0,4 Hãy lập bảng phân phối xác suất của 2Y X - 2X 3.  72 Giải X -1 0 1 2 2Y X - 2X 3  P(Y 2)  P(X 0) P(X 2)   P(X 1)   P(X 1)  P(Y 3)  P(Y 6)  X -1 0 1 2 P 0,1 0,2 0,3 0,4 0,2 0, 4 0,6   6 3 2 3 0,3 0,1 Y {2,3,6}.  Vậy, bảng PPXS của Y là Y 2 3 6P 0,3 0,6 0,1 9/30/2019 13 73 Ví dụ 24: Theo tài liệu thống kê về tai nạn giao thông ở một thành phố, người ta thấy xác suất một xe máy bị tai nạn trong 1 năm là 0,0045. Một công ty bảo hiểm đề nghị tất cả các chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số tiền là 50.000 đồng/xe/năm và số tiền bảo hiểm trung bình cho 1 vụ tai nạn xe máy là 5 triệu đồng. Biết chi phí quản lý bảo hiểm chiếm 25% số tiền bán bảo hiểm. Hãy tính lợi nhuận mà công ty bảo hiểm kỳ vọng thu được đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm. 74 9.2. Trường hợp 2 chiều Z = f(X,Y): 2Z X - 3XY 2Y Ví dụ: là một hàm theo hai biến ngẫu nhiên X và Y. Bảng phân phối xác suất của Z = f(X,Y): Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y. Cần tìm bảng phân phối xác suất của Z= f(X,Y)? 75 Bước 1: Tìm các giá trị cho Z: Bước 2: Tính xác suất tương ứng cho Z: ( , ) P(Z ) P(X , Y ) i j k k i j f x y z z x y      76 Ví dụ 25: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y Y X -1 0 1 0 0,1 0,2 0,3 1 0,2 0,1 0,1 Tìm bảng phân phối xác suất của Z X - Y 1.  77 Giải Z X - Y 1  Z Y X -1 0 1 0 1 2 1 0 3 2 1 P(Z 0)  P(Z 1)  P(Z 2)  P(X 0,Y 1)   Y X -1 0 1 0 0,1 0,2 0,3 1 0,2 0,1 0,1 0,3 P(X 0,Y 0) P(X 1, Y 1)     0,2 0,1 0,3   P(X 0,Y 1) P(X 1, Y 0)      0,1 0,1 0,2   Z {0,1, 2,3}.  P(Z 3)  P(X 1, Y 1)    0,2 78 Giải Z 0 1 2 3 P 0,3 0,3 0,2 0,2 Vậy, bảng PPXS của Z là 9/30/2019 14 X. Các tham số đặc trưng: 79 10.1. Kì vọng của biến ngẫu nhiên 2 chiều: Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y). Kì vọng của V là   2E(V) E(X),E(Y)  10.2. Kì vọng của hàm 1 biến ngẫu nhiên Y=f(X) với X rời rạc : E(Y) E( (X)) ( )i i i f f x p  V. Các tham số đặc trưng: 80 10.3. Kì vọng của hàm 2 biến ngẫu nhiên Z=f(X,Y) với (X,Y) rời rạc: 1 1 E(Z) E( (X,Y)) ( , ) m n i j ij i j f f x y p     10.4. Kì vọng có điều kiện: 1 P(X ,Y ) E(X | Y ) P(Y