Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Lý thuyết ước lượng

1LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG Chương 5 1 NỘI DUNG CHƯƠNG 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 2 ThS Lê Văn Minh 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng Giả sử ta biết X~N(,2), nhưng 2 tham số  và 2 chưa biết. Do đó ta không biết chính xác luật phân phối của X. Thường ký hiệu hàm phân phối xác suất có thêm tham số chưa xác định, chẳng hạn: F(x). Bài toán tìm cách xác định giá trị của tham số chưa biết này dựa trên mẫu gọi là bài toán ước lượng. Có hai loại bài toán ước lượng là: - Ước lượng điểm - Ước lượng khoảng 3 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.1.1 Ước lượng điểm Cho bnn X, có hàm ppxs F(x),  là tham số và mẫu ngẫu nhiên từ X là . Người ta gọi ước lượng điểm của tham số  là hàm nhiều biến theo Xi, k/h: Ước lượng không chệch: được gọi là ước lượng không chệch của  nếu 4 1( ,..., )X nW X X 1 ˆ ˆ( ,.., ) (5.1.1)nX X  ˆ ˆ( ) E   25.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.1.1 Ước lượng điểm Ví dụ 5.1.1 Cho bnn X có EX=,  là tham số. Cho WX=(X1,…,Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ X và đặt . CMR là ước lượng không chệch của . Giải Ta có: 5 ˆ X  X 1 1 1 1 1ˆ( ) 1 1 ( ) (dpcm) n n i i i i n i i E EX E X E X n n EX n n n                          ThS Lê Văn Minh 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.1.2 Ước lượng khoảng Cho bnn X, có hàm ppxs F(x),  là tham số và WX=(X1,…,Xn). Người ta gọi khoảng tin cậy của tham số  với độ tin cậy 1- là một khoảng có 2 đầu mút là 2 bnn 1= 1(X1,..,Xn) và 2= 2(X1,..,Xn) sao cho: Bài toán tìm khoảng tin cậy của tham số  gọi là bài toán ước lượng khoảng. Số  gọi là mức ý nghĩa. 6 1 2{ } 1 (5.1.2)P        5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Giả sử X~N(, 2),  và 2 chưa biết. Dựa vào mẫu WX=(X1,…,Xn) lấy từ X, cần tìm hai đại lượng1(X1,…,Xn) và 2(X1,…,Xn) sao cho: i) Trường hợp n30, 2 chưa biết Xét thông kê: Dựa vào luật pp đã biết của Z ta tìm được z sao cho: Do Z có pp chuẩn tắc, nên 7 1 2( ) 1 (5.2.1)P        ( ) ~ (0,1) ˆ X nZ N s  (| | ) 1P Z z    (| | ) 1P Z z    ThS Lê Văn Minh 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Đặt là phân vị mức của luật pp chuẩn tắc, tức là thay vào (5.2.1) ta có khoảng tin cậy cho kỳ vọng : 8 ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 1z z z           ( ) 1 (5.2.2) 2 z    1 2 z  1 2  1 2 ( ) 1 2 z       1 1 2 2 ˆ ˆ (5.2.3)s sX z X z n n           ThS Lê Văn Minh 35.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng ii) Trường hợp n30, 2 đã biết Thay trong (5.2.3) bởi : iii) Trường hợp n<30, 2 chưa biết Xét thống kê Tương tự như trên ta có khoảng tin cậy cho : 9 sˆ 1 1 2 2 (5.2.3)X z X z n n            ( ) ~ ( 1) ˆ X nY t n s   1 , 1 1 , 1 2 2 ˆ ˆ (5.2.4) n n s sX c X c n n             ThS Lê Văn Minh 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng iv) Trường hợp n<30, 2 đã biết Thay trong (5.2.4) bởi : Trong đó: là phân vị mức của luật phân phối Student với n-1 bậc tự do. 10 sˆ 1 , 1 1 , 1 2 2 (5.2.4) n n X c X c n n              1 , 1 2 n c   1 2  ThS Lê Văn Minh 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Ví dụ 5.2.1. Gọi X(m) là chiều cao của những nam sinh viên tại một trường đại học. Biết rằng Chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên của trường đo chiều cao được: Hãy ước lượng chiều cao trung bình của nam sinh viên trường nay với độ tin cậy 95%. Giải 11 2~ ( , )X N   5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Ta có là chiều cao trung bình. Do đó bài toán ước lượng chiều cao trung bình là bài toán tìm khoảng tin cậy cho . + n =10<30 nên khoảng tin cậy có dạng: Theo đề: 12 2~ ( , )X N EX    1 , 1 1 , 1 2 2 ˆ ˆ n n s sX c X c n n             0,975;91 , 1 2 1 0,95 0,05 và 2,262 n c c         45.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Từ bảng số liệu, ta có Thay số liệu: Vậy chiều cao trung bình của nam sinh viên trường này từ 1,48 m đến 1,772 m ( độ tin cậy 95%) 13 10 1 10 2 2 2 2 1 2 2 1 1,71 (m) 10 1 29,3078( ) 1,71 0,00668 10 10 10ˆ ˆ0,007422 0,007422 0,0862 9 i i i i X X s X X s s s                 2, 262.0,0862 2, 262.0,08621,71 1,71 10 10 1,648 (m) 1,772(m) hay         ThS Lê Văn Minh 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Ví dụ 5.2.2 Điều tra năng suất lúa X trên 144 ha trồng lúa, tính được: (tấn/ha), (tấn/ha). Biết rằng . Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho năng suất lúa trung bình? Giải Khoảng tin cậy cho nằng suất lúa tb dạng: Đề cho 14 4X  ˆ 0,02s  2~ ( , )X N   EX  1 1 2 2 ˆ ˆ , ( 144 30) s sX z X z n n n             1 / 2 0,9751 0,95 0,05. 1,96z z        5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Thay số ta được: Vậy năng suất trung bình của đia phương này đạt từ 3,96 (tấn/ha) đến 4,039 (tấn/ha) với độ tin cậy 95%. Độ chính xác của ước lượng khi ước lượng kỳ vọng Độ chính xác của ước lượng cho tham số với độ tin cậy 1- là số >0 sao cho: 15 3,96 4,039  X EX  (| | ) 1 (5.2.5)P X       ThS Lê Văn Minh 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Độ chính xác của ước lượng khi ước lượng kỳ vọng + Trường hợp 2 chưa biết: + Trường hợp 2 đã biết 16 1 2 ˆ (5.2.6)sz n    1 2 (5.2.6)z n    55.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Trường hợp bài toán cho độ chính xác  và độ tin cậy 1- tìm cỡ mẫu: Từ (5.2.6) và (5.2.6)’ ta tính được: + Khi 2 chưa biết thì cỡ mẫu n được xác định: + Khi 2 đã biết thì cỡ mẫu n được xác định: 17 2 1 2 ˆ (5.2.7)sn z        2 1 2 (5.2.7)n z          ThS Lê Văn Minh 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai Định lý: Cho chưa biết) và mẫu ngẫu nhiên . Khi đó khoảng tin cậy cho phương sai có dạng: Trường hợp  đã biết, thì khoảng tin cậy của 2: 18 2 2~ ( , ), ( ,X N     1( ,.., )X nW X X 2 2 2 1 , 1 , 1 2 2 ˆ ˆ( 1) ( 1) (5.3.1) n n n s n s c c         2 2 21 1 1 , , 2 2 ( ) ( ) (5.3.2) n n i i i i n n X X c c             ThS Lê Văn Minh 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai Ví dụ 5.3.1 Gọi X(mm) là đường kính một loại chi tiết máy. Biết rằng X~N(,2). Đo 25 chi tiết máy ta có bảng số liệu sau: Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho phương sai của X. Giải Ta có X~N(,2)var(X)=2. Khoảng tin cậy của 2 có dạng (5.3.1). 19 X 5 6 7 8 9 10 ni 2 5 10 3 4 1 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai Từ bảng số liệu, tính được: (n=25) Đề cho 20 7 1 7 2 2 2 2 1 2 2 1 1 180 7,2 (mm) 25 1 1s ( ) 1336 (7,2) 1,6 25 25ˆ 1,6 1,667 1 24 i i i i i i X n x n n x X n ns s n                   1 0,95 0,05     0,975;24 0,025;241 , 1 , 1 2 2 39,4 ; 12,4 n n c c c c        ThS Lê Văn Minh 65.3 Khoảng tin cậy cho phương sai Thay số ta được: Vậy phương sai của X đạt từ 1,02 đến 3,23 (với độ tin cậy 95%). 21 2 2 (25 1).1,667 (25 1).1,667 39,4 12,4 1,02 3,23         5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Ví dụ 5.4.1 Trong một lớp học XSTK có 100 sinh viên. Sau buổi bầu bí thư đoàn, số phiếu bầu cho sinh viên A là 40 phiếu. Tỷ lệ bầu cho sinh viên A là: Người ta chọn ngẫu nhiên 80 phiếu và đặt X =“số phiếu bầu cho sinh viên A” thì X~b(100; 0,4). Nhận xét: Ở ví dụ trên thì tỷ lệ p trên tổng thể đã biết, nên sẽ xác định luật pp của bnn X. Nhưng trong thực tế thì tỷ lệ p trên tổng thể thường không biết mà chỉ biết tỷ lệ trên mẫu. 22 40 0,4 100 mp N    ˆ p ThS Lê Văn Minh 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Tại sao như vậy, có rất nhiều lý do như: tính kịp thời, kinh phí và nhất là phá vở tính tổng thể,.. Như vậy ta sẽ ước lượng tỷ lệ p như thế nào? Định lý: Cho X~b(n;p), p là tỷ lệ chưa biết. Khi đó khoảng tin cậy cho p với độ tin cậy có dạng: trong đó: là ước lượng điểm của p (tỷ lệ mẫu). phân vị mức 1-/2 của luật pp chuẩn 23 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ (5.4.1)p p p pp z p p z n n        1  pˆ 1 2 z  5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Ví dụ 5.4.2 Tiến hành điều tra về việc sử dụng sữa bột của 100 gia đình được chọn ngẫu nhiên từ một địa phương thì có 50 gia đình sử dụng. Hãy ước lượng tỷ lệ sử dụng sữa bột của đại phương này với độ tin cậy 95%. Giải Gọi p là tỷ lệ sử dụng sữa bột của đia phương nay. Khi đó khoảng tin cậy cho p có dạng (5.4.1). + Tỷ lệ mẫu: 24 50ˆ 0,5 100 Xp n    ThS Lê Văn Minh 75.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Đề cho Thay giá trị vào (5.4.1), ta được: hay Vậy tỷ lệ sử dụng sữa bột của đại phương này là từ 40,2% đến 59,8% ( độ tin cậy 95%). 25 1 0,95 0,5     0,9751 2 1,96z z   0,5(1 0,5) 0,5(1 0,5)0,5 1,96. 0,5 1,96. 100 100 p     0,402 0,598p  5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Độ chính xác  và cỡ mẫu n khi ước lượng tỷ lệ: 26 1 2 ˆ ˆ(1 ) (5.4.2)p pz n    2 1 2 ˆ ˆ(1 ) (5.4.3) p p n z         ThS Lê Văn Minh