Giả sử ta biết X~N(,2), nhưng 2 tham sốvà2
chưa biết. Do đó ta không biết chính xác luật
phân phối của X.Thường ký hiệu hàm phân phối
xác suất có thêm tham số chưa xác định, chẳng hạn:
F(x). Bài toán tìm cách xácđịnh giá trị của tham số
chưa biết này dựa trên mẫu gọi là bài toán ước
lượng. Có hai loại bài toán ước lượng là:
- Ước lượng điểm
- Ước lượng khoảng
7 trang |
Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 2024 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Lý thuyết ước lượng, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG
Chương 5
1
NỘI DUNG CHƯƠNG
5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng
5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai
5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ
2
ThS Lê Văn Minh
5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng
Giả sử ta biết X~N(,2), nhưng 2 tham số và
2 chưa biết. Do đó ta không biết chính xác luật
phân phối của X. Thường ký hiệu hàm phân phối
xác suất có thêm tham số chưa xác định, chẳng hạn:
F(x). Bài toán tìm cách xác định giá trị của tham số
chưa biết này dựa trên mẫu gọi là bài toán ước
lượng. Có hai loại bài toán ước lượng là:
- Ước lượng điểm
- Ước lượng khoảng
3
5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng
5.1.1 Ước lượng điểm
Cho bnn X, có hàm ppxs F(x), là tham số và
mẫu ngẫu nhiên từ X là . Người ta gọi
ước lượng điểm của tham số là hàm nhiều biến
theo Xi, k/h:
Ước lượng không chệch: được gọi là ước lượng
không chệch của nếu
4
1( ,..., )X nW X X
1
ˆ ˆ( ,.., ) (5.1.1)nX X
ˆ
ˆ( ) E
25.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng
5.1.1 Ước lượng điểm
Ví dụ 5.1.1 Cho bnn X có EX=, là tham số.
Cho WX=(X1,…,Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ X và đặt
. CMR là ước lượng không chệch của .
Giải
Ta có:
5
ˆ X X
1 1
1
1 1ˆ( )
1 1 ( ) (dpcm)
n n
i i
i i
n
i
i
E EX E X E X
n n
EX n
n n
ThS Lê Văn Minh
5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng
5.1.2 Ước lượng khoảng
Cho bnn X, có hàm ppxs F(x), là tham số và
WX=(X1,…,Xn). Người ta gọi khoảng tin cậy của
tham số với độ tin cậy 1- là một khoảng có 2 đầu
mút là 2 bnn 1= 1(X1,..,Xn) và 2= 2(X1,..,Xn) sao
cho:
Bài toán tìm khoảng tin cậy của tham số gọi là
bài toán ước lượng khoảng. Số gọi là mức ý nghĩa.
6
1 2{ } 1 (5.1.2)P
5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
Giả sử X~N(, 2), và 2 chưa biết. Dựa vào
mẫu WX=(X1,…,Xn) lấy từ X, cần tìm hai đại lượng1(X1,…,Xn) và 2(X1,…,Xn) sao cho:
i) Trường hợp n30, 2 chưa biết
Xét thông kê:
Dựa vào luật pp đã biết của Z ta tìm được z sao
cho:
Do Z có pp chuẩn tắc, nên
7
1 2( ) 1 (5.2.1)P
( ) ~ (0,1)
ˆ
X nZ N
s
(| | ) 1P Z z
(| | ) 1P Z z
ThS Lê Văn Minh
5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
Đặt là phân vị mức của luật pp chuẩn tắc,
tức là
thay vào (5.2.1) ta có khoảng tin cậy cho kỳ vọng :
8
( ) ( ) 1 2 ( ) 1 1z z z
( ) 1 (5.2.2)
2
z
1
2
z 1 2
1
2
( ) 1
2
z
1 1
2 2
ˆ ˆ
(5.2.3)s sX z X z
n n
ThS Lê Văn Minh
35.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
ii) Trường hợp n30, 2 đã biết
Thay trong (5.2.3) bởi :
iii) Trường hợp n<30, 2 chưa biết
Xét thống kê
Tương tự như trên ta có khoảng tin cậy cho :
9
sˆ
1 1
2 2
(5.2.3)X z X z
n n
( ) ~ ( 1)
ˆ
X nY t n
s
1 , 1 1 , 1
2 2
ˆ ˆ
(5.2.4)
n n
s sX c X c
n n
ThS Lê Văn Minh
5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
iv) Trường hợp n<30, 2 đã biết
Thay trong (5.2.4) bởi :
Trong đó: là phân vị mức của luật phân
phối Student với n-1 bậc tự do.
10
sˆ
1 , 1 1 , 1
2 2
(5.2.4)
n n
X c X c
n n
1 , 1
2
n
c 1 2
ThS Lê Văn Minh
5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
Ví dụ 5.2.1. Gọi X(m) là chiều cao của những nam
sinh viên tại một trường đại học. Biết rằng
Chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên của trường đo chiều
cao được:
Hãy ước lượng chiều cao trung bình của nam sinh
viên trường nay với độ tin cậy 95%.
Giải
11
2~ ( , )X N
5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
Ta có là chiều cao trung bình.
Do đó bài toán ước lượng chiều cao trung bình là
bài toán tìm khoảng tin cậy cho .
+ n =10<30 nên khoảng tin cậy có dạng:
Theo đề:
12
2~ ( , )X N EX
1 , 1 1 , 1
2 2
ˆ ˆ
n n
s sX c X c
n n
0,975;91 , 1
2
1 0,95 0,05 và 2,262
n
c c
45.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
Từ bảng số liệu, ta có
Thay số liệu:
Vậy chiều cao trung bình của nam sinh viên trường
này từ 1,48 m đến 1,772 m ( độ tin cậy 95%)
13
10
1
10
2 2 2 2
1
2 2
1 1,71 (m)
10
1 29,3078( ) 1,71 0,00668
10 10
10ˆ ˆ0,007422 0,007422 0,0862
9
i
i
i
i
X X
s X X
s s s
2, 262.0,0862 2, 262.0,08621,71 1,71
10 10
1,648 (m) 1,772(m) hay
ThS Lê Văn Minh
5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
Ví dụ 5.2.2 Điều tra năng suất lúa X trên 144 ha
trồng lúa, tính được: (tấn/ha), (tấn/ha).
Biết rằng . Hãy tìm khoảng tin cậy 95%
cho năng suất lúa trung bình?
Giải
Khoảng tin cậy cho nằng suất lúa tb dạng:
Đề cho
14
4X ˆ 0,02s
2~ ( , )X N
EX
1 1
2 2
ˆ ˆ
, ( 144 30) s sX z X z n
n n
1 / 2 0,9751 0,95 0,05. 1,96z z
5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
Thay số ta được:
Vậy năng suất trung bình của đia phương này đạt
từ 3,96 (tấn/ha) đến 4,039 (tấn/ha) với độ tin cậy
95%.
Độ chính xác của ước lượng khi ước lượng kỳ vọng
Độ chính xác của ước lượng cho tham số
với độ tin cậy 1- là số >0 sao cho:
15
3,96 4,039
X EX
(| | ) 1 (5.2.5)P X
ThS Lê Văn Minh
5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
Độ chính xác của ước lượng khi ước lượng kỳ vọng
+ Trường hợp 2 chưa biết:
+ Trường hợp 2 đã biết
16
1
2
ˆ
(5.2.6)sz
n
1
2
(5.2.6)z
n
55.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng
Trường hợp bài toán cho độ chính xác và độ tin
cậy 1- tìm cỡ mẫu:
Từ (5.2.6) và (5.2.6)’ ta tính được:
+ Khi 2 chưa biết thì cỡ mẫu n được xác định:
+ Khi 2 đã biết thì cỡ mẫu n được xác định:
17
2
1
2
ˆ
(5.2.7)sn z
2
1
2
(5.2.7)n z
ThS Lê Văn Minh
5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai
Định lý: Cho chưa biết) và mẫu
ngẫu nhiên . Khi đó khoảng tin cậy cho
phương sai có dạng:
Trường hợp đã biết, thì khoảng tin cậy của 2:
18
2 2~ ( , ), ( ,X N
1( ,.., )X nW X X
2 2
2
1 , 1 , 1
2 2
ˆ ˆ( 1) ( 1) (5.3.1)
n n
n s n s
c c
2 2
21 1
1 , ,
2 2
( ) ( )
(5.3.2)
n n
i i
i i
n n
X X
c c
ThS Lê Văn Minh
5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai
Ví dụ 5.3.1 Gọi X(mm) là đường kính một loại chi
tiết máy. Biết rằng X~N(,2). Đo 25 chi tiết máy ta
có bảng số liệu sau:
Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho phương sai của X.
Giải
Ta có X~N(,2)var(X)=2. Khoảng tin cậy của
2 có dạng (5.3.1).
19
X 5 6 7 8 9 10
ni 2 5 10 3 4 1
5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai
Từ bảng số liệu, tính được: (n=25)
Đề cho
20
7
1
7
2 2 2 2
1
2 2
1 1 180 7,2 (mm)
25
1 1s ( ) 1336 (7,2) 1,6
25
25ˆ 1,6 1,667
1 24
i i
i
i i
i
X n x
n
n x X
n
ns s
n
1 0,95 0,05
0,975;24 0,025;241 , 1 , 1
2 2
39,4 ; 12,4
n n
c c c c
ThS Lê Văn Minh
65.3 Khoảng tin cậy cho phương sai
Thay số ta được:
Vậy phương sai của X đạt từ 1,02 đến 3,23 (với độ
tin cậy 95%).
21
2
2
(25 1).1,667 (25 1).1,667
39,4 12,4
1,02 3,23
5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ
Ví dụ 5.4.1 Trong một lớp học XSTK có 100 sinh
viên. Sau buổi bầu bí thư đoàn, số phiếu bầu cho
sinh viên A là 40 phiếu.
Tỷ lệ bầu cho sinh viên A là:
Người ta chọn ngẫu nhiên 80 phiếu và đặt X =“số
phiếu bầu cho sinh viên A” thì X~b(100; 0,4).
Nhận xét: Ở ví dụ trên thì tỷ lệ p trên tổng thể đã
biết, nên sẽ xác định luật pp của bnn X. Nhưng
trong thực tế thì tỷ lệ p trên tổng thể thường không
biết mà chỉ biết tỷ lệ trên mẫu.
22
40 0,4
100
mp
N
ˆ p
ThS Lê Văn Minh
5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ
Tại sao như vậy, có rất nhiều lý do như: tính kịp
thời, kinh phí và nhất là phá vở tính tổng thể,..
Như vậy ta sẽ ước lượng tỷ lệ p như thế nào?
Định lý: Cho X~b(n;p), p là tỷ lệ chưa biết. Khi đó
khoảng tin cậy cho p với độ tin cậy có dạng:
trong đó: là ước lượng điểm của p (tỷ lệ mẫu).
phân vị mức 1-/2 của luật pp chuẩn
23
1 1
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ (5.4.1)p p p pp z p p z
n n
1
pˆ
1
2
z
5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ
Ví dụ 5.4.2 Tiến hành điều tra về việc sử dụng sữa
bột của 100 gia đình được chọn ngẫu nhiên từ một
địa phương thì có 50 gia đình sử dụng. Hãy ước
lượng tỷ lệ sử dụng sữa bột của đại phương này với
độ tin cậy 95%.
Giải
Gọi p là tỷ lệ sử dụng sữa bột của đia phương nay.
Khi đó khoảng tin cậy cho p có dạng (5.4.1).
+ Tỷ lệ mẫu:
24
50ˆ 0,5
100
Xp
n
ThS Lê Văn Minh
75.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ
Đề cho
Thay giá trị vào (5.4.1), ta được:
hay
Vậy tỷ lệ sử dụng sữa bột của đại phương này là
từ 40,2% đến 59,8% ( độ tin cậy 95%).
25
1 0,95 0,5
0,9751
2
1,96z z
0,5(1 0,5) 0,5(1 0,5)0,5 1,96. 0,5 1,96.
100 100
p
0,402 0,598p
5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ
Độ chính xác và cỡ mẫu n khi ước lượng tỷ lệ:
26
1
2
ˆ ˆ(1 ) (5.4.2)p pz
n
2
1
2
ˆ ˆ(1 )
(5.4.3)
p p
n z
ThS Lê Văn Minh