Bài tập chương 1 Phân tích mô hình toán kinh tế

Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC 1 Năm 2006-NEU 1. Cho Y là thu nhập, S là tiết kiệm. Biết rằng mức tiết kiệm sẽ là S = -7,42 khi Y = 5 a. Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu khuynh hướng tiết kiệm cận biên: MPS = Y – 0,4 b. Kể từ mức thu nhập dương nào trở lên sẽ có tiết kiệm dương? 2. Cho mô hình thu nhập quốc dân: )1;0,,,( 111010 0210 10 0          babbaa RaYaaI YbbC GICY Trong đó: G0 là chi tiêu chính phủ; R0 là lãi suất; I là đầu tư; C là tiêu dùng; Y là thu nhập a. Hãy xác định Y, C ở trạng thái cân bằng b. Với b0 = 200; b1 = 0,7; a0 = 100; a1 = 0,2, a2 = 10; R0 = 7; G0 = 500, khi tăng chi tiêu của chính phủ 1% thì thu nhập cân bằng thay đổi bao nhiêu %? 3. Một công ty độc quyền tiến hành sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với các hàm chi phí tương ứng là: C1 = 128 + 0,2Q1 2 và C2 = 156 + 0,1Q2 2 (Q1, Q2 là lượng sản phẩm sản xuất ở cơ sở 1 và 2). Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng: P = 600 – 0,1Q. Trong đó: Q1 + Q2 = Q và Q < 6000. a. Hãy xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở để tối đa hoá lợi nhuận? b. Tại mức sản lượng làm tối đa hoá lợi nhuận, hãy tính độ co giãn của cầu theo giá? Năm 2007-NEU 4. Cho hàm sản xuất Y = 0,3K0,5L0,5. Trong đó: Y – sản lượng; L – lao động; K – vốn. a. Hãy tính sản phẩm biên của vốn và lao động tại K = 4; L = 9. b. Quá trình công nghệ thể hiện bằng hàm số trên có năng suất cận biên giảm dần hay không? Hãy giải thích. c. Nếu K tăng 8%, L không đổi thì Y tăng bao nhiêu %? d. Chứng minh rằng hàm năng suất cận biên của vốn là hàm thuần nhất bậc 0. 5. Cho hàm cung S, hàm cầu D về một loại hàng hóa: S = 0,1P2 + 5P – 10; D = 50/(P-2) với P là giá hang hóa a. Với điều kiện nào của P thì cung và cầu đều dương? Với điều kiện trên hãy viết phương trình cân bằng thị trường. b. Xác định hàm dư cầu và khảo sát tính đơn điệu của hàm này. Chứng tỏ rằng luôn luôn tồn tại duy nhất giá trị cân bằng trong khoảng (3; 5). Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC 2 6. Một doanh nghiệp độc quyền bán hàng ở hai thị trường với giá khác nhau. Hàm cầu của các thị trường về hàng hóa này: Q1 = 20 – 0,5P1; Q2 = 31,2 – 0,4P2. Hàm chi phí cận biên của doanh nghiệp: MC = 15 + Q trong đó Q = Q1 + Q2. Doanh nghiệp nên chọn giá bán và sản lượng ở mỗi thị trường bao nhiêu để lợi nhuận cực đại, biết chi phí cố định bằng 100. 7. Doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = 5KL – 2K2 – 3L2 với Q là mức sản lượng; K,L là mức sử dụng vốn, lao động (K, L >0). Gọi MPK, MPL, QPK, QPL là các hàm sản phẩm (năng suất) cận biên, sản phẩm (năng suất) trung bình của K, L. a. Các hàm Q, MPK, QPL có phải là hàm thuần nhất? Chứng minh rằng: 2Q = K*MPK + L*MPL b. Hảm sản xuất trên thể hiện quy luật hiệu quả cận biên giảm dần? Cố định K, xác định mức sử dụng lao động để APL cực đại? 8. Cho mô hình thị trường 2 loại hàng hóa với a là tham số 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 4 40 3 4 20 2 2 20 2 6 D D S S Q a P P Q P P Q P P Q P P                   a. Tìm trạng thái cân bằng 2 hàng hóa theo a và xác định véc tơ giá cân bằng khi a = 10. b. Tìm hệ số co giãn của giá hàng hóa 1 tại trạng thái cân bằng theo a khi a = 15. Năm 2008 - NEU 9. Một công ty độc quyền kinh doanh mặt hàng A có hàm doanh thu cận biên: MR = 120 – 2Q với Q là sản lượng mặt hàng A. Tìm điều kiện đối với Q để doanh thu dương, với điều kiện này giá hàng A có dương hay không? 10. Cho mô hình:              LM nmnrmYLL bbrII aaYCC ICY S )0,( )0( )10( 0 0 0 Trong đó: Y – thu nhập quốc dân, I – Đầu tư, C = Tiêu dung, L – Mức cầu tiền, Ms – Mức cung tiền, r – lãi suất. a. Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng b. Với a = 0,7; b = 1800, C0 = 500; I0 = 400; L0 = 800; m = 0,6; n = 1200; Ms = 2000, tính hệ số co giãn của thu nhập, lãi suất theo mức cung tiền tại điểm cân bằng và giải thích ý nghĩa của chúng. Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC 3 11. Một trung tâm thương mại nhận thấy rằng doanh thu của trung tâm phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh ( x – phút) và trên truyền hình (y – phút) với hàm doanh thu như sau: TR = 320x – 2x2 – 3xy – 5y2 + 540y + 2000 Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu đồng. a. Hãy xác định x, y để cực đại doanh thu. b. Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì doanh thu cực đại sẽ tăng bao nhiêu? 12. Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên MC(Q) = 3Q2 – 4Q + 6 với Q là sản lượng. a. Hãy tìm hàm tổng chi phí của doanh nghiệp, biết chi phí cố định bằng 15 b. Hãy xác định hàm chi phí biến đổi bình quân AVC(Q) và mức sản lượng cực tiểu hóa hàm này. 13. Một công ty độc quyền B sản xuất và cung ứng cho thị trường một loại sản phẩm trong điều kiện thực hiện chiến lược phân biệt giá, với các hàm cầu sau: Q1 = 16 – 0,4P1; Q2 = 12 – 0,5P2. Trong đó Pi, Qi là giá và sản lượng tại thị trường i (i = 1, 2). Hãy xác định mức cung và bán tại mỗi thị trường để tổng doanh thu của công ty đạt cực đại. 14. Doanh nghiệp độc quyền A sản xuất và cung ứng hai loại sản phẩm 1, 2 với các hàm cầu sau: Q1 = 50 – 2p1+2P2; Q2 = 30 + P1-P2 ở đây Pi, Qi ký hiệu là giá và sản lượng của sản phẩm i, (i = 1, 2). Cho C(Q) = 2Q1 2 + Q1Q2 + Q2 2 + C0 là hàm chi phí của doanh nghiệp với chi phí cố định là C0. a. Hãy xác định các hàm cầu ngược của doanh nghiệp (sử dụng quy tắc Cramer đã học trong phần Toán cao cấp 1 – Đại số tuyến tính). b. Với C0 = 350, hãy xác định lượng cung và giá bán của mỗi loại sản phẩm để tổng lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại. Nếu chi phí cố định tăng 1% sẽ tác động thế nào đến mức lợi nhuận tối đa và giá bán tương ứng? Năm 2009 - NEU 15. Cho hàm sản xuất Y = 0,3K0,5L0,5, Y-sản lượng, K-vốn, L-lao động. a. Tính lượng sản phẩm cận biên của vốn và của lao động tại K = 4 và L = 9 b. Chứng minh rằng hàm năng suất cận biên của vốn là hàm thuần nhất bậc 0. 16. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với hai loại hàng hóa như sau: U(x1, x2) = 5x1 0,4 x2 0,4 Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC 4 Ngân sách tiêu dung là 300USD, giá một đơn vị hàng háo thứ nhất là 3USD và giá một đơn vị hàng háo thứ hai là 5USD. a. Tìm gói hàng mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng đạt giá trị lớn nhất, với x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. b. Nếu ngân sách tiêu dung của hộ gia đình giảm 1 USD thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu? 17. Cho hàm sản xuất 2 6,05,0 3 2 3 1        LKQ với Q - sản lượng; K – vốn; L - lao động. a. Tìm năng suất cận biên của vốn và lao động. b. Với hàm sản xuất trên thì hiệu quả có tăng theo quy mô không? c. Hãy xác định hệ số thay thế kỹ thuật biên của Vốn cho lao động tại mức K=27, L = 64. d. Nếu Pk = 40$ và PL = 5$ thì về mặt kinh tế có nên thay thế vốn cho lao động hay không? 18. Doanh nghiệp độc quyền C có hàm cầu ngược P = 0,1Q2 + 30. Hãy xác định mức cung và giá bán của doanh nghiệp để tối đa hóa doanh thu. 19. Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên MC(Q) = 0,9Q2 – 6Q + 19 với Q là sản lượng. a. Hãy tìm hàm tổng chi phí của doanh nghiệp, biết chi phí cố định bằng 30 b. Hãy xác định hàm chi phí biến đổi bình quân AVC(Q) và mức sản lượng cực tiểu hóa hàm này. 20. Một công ty độc quyền A sản xuất và cung ứng cho thị trường một loại sản phẩm trong điều kiện thực hiện chiến lược phân biệt giá với các hàm cầu ngược: P1: 920 – 4Q1; P2 = 440 – 3Q2 Trong đó: Pi, Qi ký hiệu là giá và sản lượng của sản phẩm i, (i = 1, 2). Cho C(Q) = 4Q1 2 + Q1Q2 + 5Q2 2 + C0 là hàm chi phí của doanh nghiệp với chi phí cố định là C0. a. Với C0 = 500 hãy xác định mức sản lượng và giá bán tại mỗi thị trường để tổng lợi nhuận đạt cực đại. Tìm hệ số co dãn của tổng lợi nhuận đạt cực đại theo C0 và giải thích ý nghĩa. b. Tại mức sản lượng xác định ở câu a, tổng doanh thu của công ty có đạt cực đại không? Tại sao? Năm 2010-NEU 21. Cho hàm chi phí trung bình của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo: AC(Q) = 12/Q – 0,5Q + 0,25Q2 + 10 (Q là số đơn vị sản phẩm) a. Tìm hàm chi phí cận biên b. Với giá bán p = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi nhuận. 22. Cho mô hình kinh tế: Y = C + I + G0 (G0 > 0) Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC 5 C = a + b(Y – T0) (a > 0; 0 < b < 1; bT0 < a) I = d + iY ( d > 0; 0 < I < 1; b + I < 1) Trong đó: Y, C, I lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng dân cư và đầu tư; G0, T0 là chi tiêu chính phủ và thuế. Tìm thu nhập quốc dân cân bằng. Khi I tăng thì thu nhập quốc dân cân bằng tăng hay giảm, vì sao? 23. Hàm lợi ích của hộ gia đình có dạng: U(x, y) = 10xy – 3x2 – 2y2 với (x, y) là gói hàng hóa (x >0, y > 0) a. Hàm lợi ích biên có thể hiện quy luật lợi ích cận biên giảm dần không? b. Hãy viết phương trình đường bàng quan tại (x = 2, y = 2); tìm độ dốc của đường này tại (x = 2, y = 2) và giải thích ý nghĩa của giá trị tìm được. 24. Cho S và D tương ứng là hàm cung và hàm cầu về một loại hàng hóa: S = 50P2 – 20 D = 0,5P-2M2 Với P là giá một đơn vị hàng hóa, M là thu nhập của người tiêu dùng (M > 0) a. Tìm điều kiện với P sao cho hàm cung và hàm cầu đều nhận giá trị dương. Với điều kiện này hãy viết mô hình cân bằng thị trường, viết hàm dư cung và xét tính đơn điệu của hàm này theo P. b. Cho P*, Q* là giá cân bằng và lượng cân bằng. Nếu thu nhập M giảm thì tác động thế nào đến P*, Q*. Năm 2011-NEU 25. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu Q = Q(p) với p > 0. Q’(p) < 0. Trong đó Q – số sản phẩm và p là đơn vị sản phẩm. Chứng tỏ rằng nếu hệ số co giãn của cầu theo giá 1QP (tức là hàm cầu ít co giãn theo giá) thì doanh thu của doanh nghiệp tăng theo giá. 26. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với hai loại hàng hóa như sau: U(x1, x2) = 20x1 0,45x2 0,45 (x1 > 0, x2 > 0) Trong đó x1, x2 tương ứng là số đơn vị của 2 loại hàng hóa, với p1 = 6, p2 = 11. Ngân sách tiêu dung là B = 600. a. Lập hàm Lagrange để tìm cực trị hàm lợi ích với ràng buộc ngân sách tiêu dùng. b. Tìm gói hàng cực đại hàm lợi ích. c. Khi ngân sách tiêu dùng của hộ gia đình tăng 1 đơn vị thì giá trị cực đại lợi ích tăng bao nhiêu đơn vị? 27. Cho mô hình cân bằng kinh tế: Y = C + I0 + G0 Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC 6 C = C0 + b(Y-T) T = T0 + tY Cho C0 = 80; I0 = 90; G0 = 81; T0 = 20; b = 0,9; t = 0,1 a. Xác định mức cân bằng của Y b. Khi C0 tăng 1% thì mức cân bằng của Y tăng bao nhiêu %? 28. Cho hàm sản xuất Q = 15K0,4L0,4, Y-sản lượng, K-vốn, L-lao động. a. Phải chăng quá trình sản xuất của DN có hiệu quả giảm theo qui mô? Giải thích. b. Viết hàm lợi nhuận. Tìm giá trị của K và L thỏa mãn điều kiện cần để cực đại hàm lợi nhuận biết giá vốn, giá lao động thứ tự là Pk = 2, PL = 4 và giá bán sản phẩm p = 1. Năm 2012-NEU 29. Một hãng sản xuất có đường cầu là Q = 1200 – 2P với P là giá bán. a. Hãy xác định giá bán P để doanh thu của hãng là cực đại b. Nếu hãng đặt giá P1 = 280 thì doanh thu thay đổi bao nhiêu so với doanh thu cực đại 30. Cho hàm lợi ích hộ gia đình có dạng U(x1, x2) = x1x2 trong đó x1, x2 lần lượt là số lượng sản phẩm thứ nhất và thứ hai được tiêu dùng. Cho giá một đơn vị sản phẩm tương ứng với hai sản phẩm là P1, P2, lợi ích của hộ gia đình là u0; P1, P2, u0 > 0. a. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm lượng sản phẩm tiêu dùng mỗi loại sao cho lợi ích bằng u0 với ngân sách dành cho chi tiêu là cực tiểu. b. Với P1 – 8, P2 = 4, u0 = 8 hãy tìm lời giải cụ thể cho câu a. c. Với dữ kiện câu b) để lợi ích u0 tăng 1 đơn vị thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu? d. Để lợi ích u0 tăng 1% thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu %?