Bài tập đại số sơ cấp

BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Bài 1/369 Chứng minh các bất đẳng thức: a, b, Giải: a, Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm , ta có: ( đpcm) b, ( đpcm) Bài 2/369 Chứng minh các BĐT a, trong đó b, Với thì Giải: a, trong đó (1) Vì ( đpcm) b, Với thì (2) (2) Vì nên ab 1 Bài 3/369 Chứng minh bất đẳng thức Giải: Ta có: Do nên bình phương hai vế ta được đpcm. Bài 4/369 Chứng minh các BĐT a, với a > b > 0 ; n > m; m, n N b, với |x| 1 Giải: a, với a > b > 0 ; n > m; m, n N b, (1) với |x| 1 Đặt (1) Ta có: Mà nên (đpcm) Bài 5/369 Chứng minh BĐT sau với mọi a, b, c. a, Nhân hai vế với 2 ta được: (luôn đúng a, b, c) b, (luôn đúng a, b, c) c, (luôn đúng a, b, c) Bài 6/369 Chứng minh rằng với mọi ta có Giải: Ta có: đpcm. Bài 7 a) Nếu hai số x, y thỏa mãn x + y = 1, chứng minh rằng b) Nếu a + b = 1, chứng minh rằng . Giải a) Nếu hai số x, y thỏa mãn x + y = 1, chứng minh rằng Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số: (1, 1) và (x, y) Ta có: Cách 2: Đặt Ta có : mà Nên hay đpcm. b) Nếu a + b = 1, chứng minh rằng . Cách 1: (1) Vì a + b = 1, nên Thay ab = vào (1) ta được: Cách 2: a + b = 1 (1) mặt khác (2) cộng vế (1) và (2) ta được Dấu “=” xảy ra khi a = b = Bài 8. Chứng minh rằng a) b) c) Giải a) Áp dụng Cosi cho hai số và 1, ta có b) Áp dụng Cosi cho hai số x - 1 và 9, ta có c) Áp dụng Cosi cho hai số a và b, ta có (1) Áp dụng Cosi cho hai số ab và 1, ta có (2) Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được Bài 9. Chứng minh rằng a) b) Giải a) Áp dụng Cosi cho hai số a và b, ta có (1) Áp dụng Cosi cho hai số b và c, ta có (2) Áp dụng Cosi cho hai số a và c, ta có (3) Nhân vế với vế của (1), (2) và (3) ta được b) Áp dụng Cosi cho 6 số , , ta có Bài 10. a) Cho x + y = 1. Chứng minh rằng b) Cho 2x + 3y = 5. Chứng minh rằng Giải a) Áp dụng bunhiacopki cho 2 cặp số (1, 2), (x, y) ta có: b) Áp dụng bunhiacopki cho 2 cặp số , ta có: Bài 11/370 Chứng minh rằng Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho và ta có: Bài 12/370 Cho . Chứng minh rằng Giải: Áp dung bất đẳng thức Bunhiacopski cho và ta có: Áp dung bất đẳng thức Bunhiacopski cho và ta có: Cộng (1) và (2) ta được: đpcm Bài 13:Chứng minh rằng: a) b) Lời giải: a) Ta có: Cộng từng vế các phương trình ta được: b) Ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: (đpcm) Bài 14/370 a. Cho n số dương . Chứng minh rằng: ( Vế trái gọi là trung bình điều hòa của ) b. Chứng minh rằng với số n dương thì: (Vế trái gọi là trung bình toàn phương của ). Giải. Vì là các số dương là các số dương Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta được: Vậy Bài 15/371 Chứng minh rằng: Nếu dương và thì Nếu dương thì với Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho n số dương ta được Bài 16/371 Một số dương a được chia thành n số hạng dương sao cho tích của chúng lớn nhất. Tính các số hạng ấy Giải: Giả sử số dương A được chia thành n số dương là Theo Cô – si Tích đạt giá trị lớn nhất là khi và chỉ khi Khi đó Bài 17/371 Một số dương p được phân tích thành n thừa số dương sao cho tổng của chúng là lớn nhất. Tính các thừa số ấy Giải: Giả sử số dương p được phân tích thành n thừa số dương Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho n số dương ta có: khi Khi đó Bài 18/371 Nếu . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Khi nào đạt giá trị đó? Giải: Đặt ta có Do . Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương Ta có: Bài 19/371 Tìm giá trị nhỏ nhất của a) f(x) = (2x -1)(3 – 5x) b) f(x) = (1 + x)3(1 – x) c) f(x) = d) f(x) = Giải a) f(x) = (2x -1)(3 – 5x) = - 10x2 + 11x – 3 = - 10(x2 – 2.x + ) + = - 10(x - )2 + Vậy max f(x) = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x - )2 = 0 x = b) f(x) = (1 + x)3(1 – x) = (1+x)(1+x)(1+x)(3 – 3x) Ta thấy với thì f(x) 0 Với Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bốn số dương x + 1, x + 1, x + 1, x – 1 ta có (x+1)2(3 – 3x).= Vậy max f(x) = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 – 3x = x + 1 x = c) f(x) = Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm x2 và 2 ta có: X2 + 2 Vậy max f(x) = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2 = 2 d) f(x) = Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm x2, 1, 1 ta có: Vậy max f(x) = Bài 20/370 Tìm giá trị dương nhỏ nhất của Giải: Ta có: mà nên Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số ta có: Vậy . Bài 21. Cho các số x, y, z thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài làm:. AD bất đẳng thức bunhiacopski cho 2 cặp số (1, 1, 1) và (x2, y2, z2) ta được AD bất đẳng thức bunhiacopski cho 2 cập số (x, y, z) và (z, x, y) ta được Từ (1) và (2) Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là khi x = y =z =. Bài 23/370 Giải các bất phương trình: a, (1) b, (2) Lờ giải: a, (1) (1) -2x + 27 > 0 2x < 27 x < . b, (2) (2) 440x – 514 < 0 x < Bài 24/372 Tìm các nghiệm nguyên của các bất phương trình: a, 3x - (i) b, -23 2x – 10 (ii) Lời giải: a, 3x - (i) (i) 3x + 0 44x – 243 0 x 5,5 Vậy btp (i) có các nghiệm nguyên là x b, -23 2x – 10 (ii) Ta có: (ii) 2x -13 x -6,5 Vậy bpt (ii) có các nghiệm nguyên là x Bài 25. Giải và biện luận theo m các BPT a, x + 4 > 2x + m2 b, mx – 1 >x +4m2 Giải: a, x + 4 > 2x + m2 x < 4 - m2 Vậy bất phương trình luôn có nghiệm với m b, mx – 1 >x +4m2 (m-1)x > 4m2 +1(1) Với m = 1; (1)0x = 1(vô lý) phương trình vô nghiệm m > 1 m < 1 Bài 26/372 Giải và biện luận theo m các bất phương trình: Giải: Vì nên bất phương trình có nghiệm duy nhất là: . Ta có: +) nên +) Với ta có (vô lý) bất phương trình vô nghiệm. +) Với bất phương trình có nghiệm . +) Với bất phương trình có nghiệm . Vậy: bất phương trình vô nghiệm bất phương trình có nghiệm bất phương trình có nghiệm . Bài 27 Giải các hệ bất phương trình tuyến tính: a, (I) b, Lời giải: a, (I) Ta có: (I) b, Bài 28/372 Xác định m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm Từ (1) và (2) ta có: Giải (3): (m – 1)(m – 2)x > m – 1 (*) +) Với m = 1 hoặc m = 2 thì (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm +) Với m < 1 hoặc m < 2 thi (*) có nghiệm Để hệ vô nghiệm thì +) Với 1 < m < 2, từ (*) ta có Để hệ vô nghiệm thì Vậy hệ vô nghiệm khi m = 1; Bài 29. Giải các bất phương trình a. (1) Miền xác định là . Khi đó (1) Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là b. (2) Miền xác định là . Khi đó (2) Kết hợp điều kiện Vậy nghiệm của bất phương trình (2) là c. (3) Miền xác định là . Khi đó (3) Kết hợp điều kiện ta có: Vậy nghiệm của bất phương trình (3) là Bài 29. Giải các bất phương trình a. (1) Miền xác định là . Khi đó (1) Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là b. (2) Miền xác định là . Khi đó (2) Kết hợp điều kiện Vậy nghiệm của bất phương trình (2) là c. (3) Miền xác định là . Khi đó (3) Kết hợp điều kiện ta có: Vậy nghiệm của bất phương trình (3) là Bài 30/373 Giải các bất phương trình: a, ; b, ; c, . Giải: a, ĐK: và 0 8 - - -8 - - 0 + - - 0 + + 0 - - 0 + 1 + + 25 + - - 1 - 0 + 15 + VT - + 0 - + 0 - Vậy . b, ; TXĐ: Vậy . c, TXĐ: -6 1 7 - - 0 + + - 0 + + + - - - 0 + VT - + - + Bài 31 : Giải và biện luận theo m các bất phương trình: a. (1) b. (2) Lời giải: a. (1) Ta có +) . Khi đó (1) nghiệm (vì hệ số a = 1 > 0) +) Khi đó (1) Bất phương trình nghiệm khác nghiệm kép, hay tương ứng. +) Khi đó (1) có nghiệm là: Vậy thì (1) nghiệm m = -2 hoặc m = 6 thì (1) nghiệm thì (1) có nghiệm là: b. (2) * m = -1, ta có 2x – 2 0 * , ta có: + Với m = 0, (2) trở thành x2 – 0x 0 . bất phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0. + Với m = -2, (2) trở thành - x2 + 4x – 4 0 - ( x – 2)2 0 ( luôn đúng ). + Với -2 < m < -1, bất phương trình có tập nghiệm là S = . + Với -1 < m < 0, bất phương trình có tập nghiệm là S = [x1, x2 ] + Với m > 0, bất phương trình vô nghiệm. Bài 32/374 Giải các bất phương trình a. (1) b. (2) c. (3) Lời giải: a. (1) (1) Vậy nghiệm của (1) là b. (2) (2) Vậy nghiệm của (2) là c. (3) (3) Vậy nghiệm của (2) là Bài 33/374  Giải các bất phương trình a. (1) b. (2) c. (3) Lời giải : a. (1) Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là b. (2) (2) Vậy nghiệm của (2) là c, (3) Điều kiện để (3) có nghĩa là Ta có: (3) . Vậy bất phương trình (3) có tập nghiệm là S = . Bài 34/374 Giải và biện luận a theo bất phương trình (1) + Với Có Nếu bất phương trình (*) vô nghiệm nên bất phương trình (1) vô nghiệm. Nếu bất phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nên bất phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Vì nên và + Với Có (**) có nghiệm thì vậy Vậy thì bất phương trình có nghiệm Bài 35/374 Tìm a lớn nhất sao cho (1) + Xét (*) có nghiệm + Xét ta có Vì nên Từ (3) và (4) suy ra vậy a = -1 Bài 36. Giải các bất phương trình a. (1) Miền xác định là . Khi đó: (1) Kết hợp điều kiện ta có: Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là: b . (2) Miền xác định là . Khi đó (2) Kết hợp điều kiện ta có: Vậy nghiệm của bất phương trình (2) là: Bài 37. Giải bất phương trình a. (1) Miền xác định là . Khi đó Do > 0 Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là b. (2) (2) Lập bảng xét dấu biểu thức ở vế trái của (2) ta có: Kết hợp hai bảng trên ta có nghiệm của bất phương trình (2) là: Bài 38. Giải các bất phương trình: a) b). Lời giải: a) (1) ĐK: x ≠ -1. Û £ 0 Û £ 0 Û £ 0 Vì x -x + 1 > 0 Vì x -x + 1 > 0 Û Û Û Û Vậy nghiệm của bất phương trình là: x Î (-¥ ; -1) È [0 ; 1]. b) > 0 (2) ĐK: D = R. Û > 0 Û (x - 2)(x - 1) > 0 ( vì x - x + 30 > 0) Ta có bảng xét dấu: -¥ - -1 1 +¥ x - 2 + - - - + x - 1 + + - + + Biểu thức + - + - + Từ bảng xét dấu ta có nghiệm của bất phương trình là: xÎ (-¥ ; ) È (-1; 1) È ( ;+¥). Bài 39/374 Giải các bất phương trình: Giải Điều kiện: Điều kiện. Bài 40/375 Giải các hệ bất phương trình: Giải Bài 41/375 Giải các bất phương trình. Bài 42/375 Giải các bất phương trình Điều kiện Bài 43. Giải các bất phương trình: a) - > ; b) > - . Lời giải: a) - > Û > + (1) Vì hai vế đều không âm nên ta có thể bình phương hai vế ta được bpt tương đương: Û Û (luôn đúng) Û Û Vậy nghiệm của bất phương trình là: xÎ [4; 7]. b) > - Û + > (2) Vì hai vế đều không âm nên ta có thể bình phương hai vế ta được bpt tương đương: Û Û Û Û (*) Û (I) (*) Û Û Û Khi đó (I) Û Û x < -2 Vậy nghiệm của bpt là: x < -2. Bài 44/375 Giải các bất phương trình. Điều kiện Do nên bất phương trình đã cho tương đương với Bài 45/375 Giải các phương trình 0 Bài 46/375 Giải các bất phương trình Điều kiện Kết hợp điều kiện suy ra Bài 47/376 Giải bất phương trình. Điều kiện . Chia cả 2 vế cho ta được Đặt =t, Ta được . Do nên hệ có nghệm b. Cách 1: So sánh với tổng trung gian. Vậy Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp. Với n=2 ta có luôn đúng Giả sử BĐT đúng với n=k, tức là (1) Ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1, tức là chứng minh: Cộng vào 2 vế của BĐT (1) một lượng bằng ta được Vậy BĐT luôn đúng với n=k+1 Vậy Bài 48 : Giải và biện luận theo m bất phương trình: (1) Lời giải: Đặt y = => y3 = x, ta có : y + Nếu Dy 6m – 12 (1) vô nghiệm Nếu Dy = 0 => 6m – 12 = 0 Û m = 2 thì (2) có nghiệm kép: y1 = y2 = 1 => x = 1 Nếu Dy ³ 0 => 6m – 12 ³ 0 Û m ³ 2 thì (2) có 2 nghiệm phân biệt : y1,2 = => x1,2 =( )3 Kết luận : Nếu m < 2 thì (1) vô nghiệm Nếu m = 2 thì (1) có nghiệm kép: x1 = x2 = 1 Nếu m ³ 2 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt : y1,2 = THỰC HÀNH GIẢI TOÁN Bài 1/376 a, Chứng minh rằng nếu thì Ta dùng phương pháp xét hiệu: Vì nên Vậy b, Chứng minh rằng nếu thì: Tương tự ý a ta dùng phương pháp xét hiệu: Vì Vậy Bài 2/376 Cho Vậy thỏa mãn . Tìm Giải: Do Suy ra khi và chỉ khi Bài 3/376 Chứng minh rằng với mọi bộ số dương x, y, z, t có tổng bằng 2 ta đều có: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương Dấu “=” xảy ra khi: Bài 4/376 Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c. Gọi chứng minh rằng: Giải: Sử dụng bất đẳng thức: Ta có: Suy ra: Bài 5/376 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương Theo đầu bài a, b, c > 0 nên Vậy ta được điều phải chứng minh. Bài 8. cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng: Giải: a, Phân tích để chứng minh bất đẳng thức ta khai triển biểu thức vế trái thành và sử dụng bất đẳng thức trong tam giác hiệu hai cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn cạnh còn lại. Ta đi đến lời giải sau: b, Lời giải: ta có vế trái: Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: Do đó Hay ta có đpcm. c, Khai thác bài toán Tương tự ta có thể chứng minh các bài toán sau: Giải: Bài toán 1: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác và a<b<c chứng minh rằng Bài toán 2: Cho a, b, c là đọ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: Bài 9/377 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng Vì 2p là nửa chu vi của tam giác ABC nên Áp dụng cô-si Bài 10. Cho a, b 1. chứng minh rằng (1) phân tích Bài toán yêu cầu chứng minh cho n số của . Ta nghĩ tới việc chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạp. Trước hết ta chứng minh cho trường hợp n = 2. sau đó đi chứng minh cho trường hợp n = k+1. ta có lời giải của bài toán như sau: Lời giải * ta chứng minh cho trường hợp n = 2: Xét hiệu : vì a, b 1 nên đẳng thức luôn đúng trong trường hợp n= 2 Giả sử (1) đúng với n = k tức là Ta phải đi chứng minh (1) đúng với n = k + 1 Bài 11. 1.Chứng minh rằng với mọi số thực u, v ta có giải: a) Phân tích : Đây là 1 đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải. Ta đi đến lời giải sau: Lời giải Xét hiệu Vậy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u = v c. khai thác bài toán bằng phương pháp xét dấu của hiệu A – B ta xét được sự đúng đắn của bất đẳng thức và có thể giải các bài toán tương tự sau: bài toán 1: chứng minh với số thực a, b, c. Ta có bài toán tổng quát sau Bài toán 2: Giải: Với n = 2 ta có ( bằng cách xét hiệu ) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k+1, tức là Thật vậy Ta chứng minh: Suy ra đpcm 1. Cho a+b = 1, chứng minh rằng: Phân tích Từ điều kiện cho a + b =1, ta biến đổi về biểu thức có chứa a + b và áp dựng các bất đẳng thức đã biết. Ta có lời giải sau: Lời giải (1) Vì a + b = 1, nên Thay ab = vào (1) ta được: Khai thác bài toán Ta có thể đề xuất các bài toán tương tự Bài toán 1: Chứng minh rằng nếu thì Bài toán 2: Cho a, b, c là các số không âm và a + b + c = 1. Chứng minh Bài 12: cho xy + yz + xz = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = x4 + y4 + z4 a. Phân tích: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q ta đi biến đổi Q để đánh giá Q ³ m ( với m là 1 hằng số), khi đó giá trị nhỏ nhất của Q = m. Dựa vào giả thiết ta dùng các bất đẳng thức đã biết để làm Q xuất hiện 1 lượng xy + yz + xz = 4. b. Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số (1,1,1) và (x2 , y2, z2) ta có: (12 + 12 + 12)(x4 + y4 + z4) ³ (x2 + y2 + z2)2 Û 3(x4 + y4 + z4) ³ (x2 + y2 + z2)2 (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số (x, y, z) và (y , z, x) ta có: (x2 + y2 + z2)(x2 + y2 + z2) ³ (xy+ yz + zx)2 = 16 Û(x2 + y2 + z2)2 ³ 16 (2) Từ (1) và (2) ta có: 3(x4 + y4 + z4) ³ 16 Û (x4 + y4 + z4) ³ Vậy giá trị nhỏ nhất của Q = (x4 + y4 + z4) = khi x = y = z = c.khai thác bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất của xy biết x,y là nghiệm của phương trình: x2 + y2 = 2(1 - xy) Bài 13/378 Cho . Tìm GTLN của Phân tích Để tìm GTLN của M ta sẽ biến đổi M sao cho M = - [f(x, y)]2 + k thì GTLN của M = k hoặc dựa vào BĐT đã biết để tìm. Nhìn vào biểu thức M ta thấy Lời giải Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho cặp số (x, y) và (,) ta có: (vì ) Bài 14/378 Giải và biện luận bất phương trình (1). Phân tích Trước tiên vì biểu thức có chứa căn thức nên ta tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa. Ta có ĐK: , mặt khác thấy đây là bất phương trình vô tỉ có chứa căn tầng mà biểu thức trong căn biến đổi thành dạng bình phương của một tổng hay một hiệu, từ đó ta dễ dàng biện luận được Lời giải (2) Nếu a bpt (1) vô nghiệm Nếu a 0 Bài 15. Giải bất phương trình a. Phân tích Ta nhận thấy bất phương trình trên chứa căn tầng, để giải được bất phương trình này ta phải làm mất dần căn tầng. Để ý rằng: Ta có lời giải sau. b. Lời giải ta có ( Sau 2004 bước) Vậy bất phương trình có nghiệm C, Khai thác bài toán Coi x là các giá trị cụ thể ta có thể giải các bài toán sau: Bài toán 1: Chứng minh ( vế trái có 100 dấu căn) Giải: Ta có Vậy ta có đpcm Bài toán 2: Chứng minh rằng: Bài 16. giải bất phương trình: (1) Phân tích Để giải bất phương trình vô tỉ, ta cần phải dựa vào các định lý về biến đổi tương đương và làm mất dần căn. Do đó ta có lời giải sau: Lời giải Ta giải riêng tùng hệ của tuyển: Giải (2) vô nghiệm Giải (3) Vậy x1 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Khai thác bài toán Tương tự ta có thể giải các bất phương trình sau: 1. 2. 3. Giải: 3. Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = Bài 17. giải bất phương trình Phân tích Để giải bất phương trình vô tỉ, ta cần phải dựa vào các định lý về biến đổi tương đương và làm mất căn bậc hai. Ta đi đến lời giải của bài toán Lời giải Ta có Khai thác bài toán Tương tự ta có thể giải các bất phương trình sau: 1. 2. Bài 18. giải bất phương trình 1. a. Phân tích không thể dùng các phép biến đổi tương đương thông thường để giải phương trình vì sẽ làm tăng bậc một cách đáng kể. Xét thấy . Vì vậy chúng ta có thể tìm GTLN của vế trái rồi so sánh với GTNN của vế phải. Ta có lời giải của bài toán b. Lời giải Điều kiện: Khi đó Dấu “=” xảy ra Vế phải: Dấu “=” xảy ra x=3 Vậy hai vế bằng nhau x=3 Kết luận; Bất phương trình có nghiệm duy nhất x=3 c.Khai thác bài toán Dùng phương pháp tương tự có thể giải các bất phương trình sau: Bài toán 1. Bài toán 2. Bài toán 3. 2. a. Phân tích không nên sử dụng phép bình phương để làm mất căn vì nếu vậy sẽ làm tăng bậc của phương trình một cách đáng kể. Nếu đặt ẩn phụ cũng phải biến đối làm tăng bậc của phương trình. Để ý rằng các biểu thức dưới dấu căn đều có dạng , ta có lời giải sau: b. Lời giải Vì nên do đó 2 Dấu “=” xảy ra x= - 1 Tương tự dấu “=” xảy ra x= - 1 Vây vế trái Vế phải dấu “=” xảy ra x= - 1 Suy ra (1) vế trái = vế phải = 6 x = - 1 Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1 c.Khai thác bài toán Ta đã giải phương trình trên bằng cách tính giá trị lớn nhất, bé nhất (nếu có) của 2 vế. Đây cũng là một phương pháp khá phổ biến ( phương pháp đánh giá). Học sinh có thể tự nêu ra và giải một số bài toán tương tự. Chẳng hạn: Giải các bất phương trình 1. 2. Bài 19/378 Giải các bất phương trình Phân tích Với bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thường xét các khoảng đối với biến để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, từ đó giải các bất phương trình Lời giải 1) Với x < 1 thì BPT đã cho có dạng: - x + 1 – x + 2 = x2 – 3x + 1x2 – x – 2 = 0 2) Ta có: x2 – 3x + 2 > 0 (x – 1)(x – 2) > 0 Với x > 2 hoặc x < 1 thì BPT đã cho có dạng: x2 – 3x + 2 < 2x + 1x2 – 5x + 1 < 0 Với 1 < x < 2 thì BPT đã cho có dạng: - (x2 – 3x + 2) 0 (luôn đúng) 3)