Bài tập Không gian euclide

KHÔNG GIAN EUCLIDETRẦN NGỌC DIỄMTích vô hướng và kg Euclidef là tích vô hướng trên kg vector V, nếu:Ký hiệu:Không gian vector với 1 tvh gọi là kg Euclide.Tích vô hướng và kg EuclideĐịnh nghĩa:: độ dài vector x: khoảng cách giữa x, y:  là góc giữa x và yTích vô hướng và không gian EuclideTrên R2, với tvh = 2x1y1 – x1y2 – x2y1 + x2y2Tính với x = (1,2), y = (-2,1)Tính khoảng cách giữa x và y Tìm độ dài vector xTrên R3 tích vô hướng (với x = (x1,x2,x3), y = (y1,y2,y3))Tính tích của x = (1,2,3) và y = (1,-1,2)Tính độ dài của xTính khoảng cách giữa x, ySự trực giaox, y trực giao  x y  = 0, S trực giao  S gồm các vector đôi một trực giao.S trực chuẩn nếu S trực giao và ॥x॥= 1, x  Siv) x M  x y , yMv) M  M’  x y , xM, yM’ vi) Bù trực giao của M : M = {x V: x M}vii) U, W ≤ E, UW : U+W=U W: tổng trực giaoSự trực giaoMột số kết quả cần nhớ:U E, = U, x  U  x  S3. = U, = U’, U  U’  S  S’xy, xz  x  y + z, , R4. M  E  M  ENếu M  E thì dimM + dimM = dimV và M M = E1. x  E  x= 0Sự trực giaoMột hệ trực giao không có vector 0 thì độc lập tuyến tínhHình chiếu trực giao: y =prU x : hình chiếu trực giao (vuông góc) của x lên USự trực giaoS ={ e1, e2,,en} là cơ sở trực chuẩn của ESự trực giaoTrên R2, với tvh = 2x1y1 – x1y2 – x2y1 + x2y2Vector nào sau đây trực giao với nhau:x = (-1,2), y = (1,2), z = (1,1), t = (3,4)Tìm 1 hệ trực chuẩn từ các vector trực giao vừa tìm đượcTrên R2 với tvh chính tắc cho u=(1, -2, 1), v=(4,m+2,-1)Tìm m để u và v trực giao.Làm lại với tvh sau:Sự trực giao3. Trên không gian R3 với tvh chính tắc, cho a. Vector nào sau đây vuông góc với U:b. Tìm m để v = (– 3, m, m – 3) vuông góc với ULàm lại với tvh: Sự trực giao4. Trong R3, với tvh chính tắc choTìm vector u trong U sao cho u vuông góc với WSự trực giao5. Trên R3 với tvh chính tắc, tìm cơ sở của Wa. Cho W= |b. W là không gian nghiệm của hệ ptSự trực giao6. Trên R3, cho 2 khôg gian conChứng minh Sự trực giao7. Trong R4, cho Tìm m, n để Sự trực giao8. Trong R3 cho 2 kg conTìm m để Sự trực giao9. Trên không gian R3 cho S = {(1,1,1), (-2,1,1), (0,-1,1)}.Kiểm tra tính trực giao của STìm 1 cơ sở trực chuẩn S’ của R3 từ S.Cho u = (1,2,2), tìm tọa độ của u theo S’Sự trực giaoQua trình trực giao hóa Gram - Schmidt: cho {x1, , xp} là hệ đltt trong E.Đặt:Khi đó {y1, , yp} là hệ trực giao.Sự trực giaoTrên không gian R3, trực giao hóa các hệ vecor sau:Bổ sung vào các tập hợp sau để được 1 cơ sở trực giao của R3.Sự trực giaoBổ sung vào các tập hợp sau để được 1 cơ sở trực giao của R4.Cho U = , x = (-1,1,2). Tìm y U, z U sao cho x = y + zSự trực giaoTìm hình chiếu trực giao của lên kg con Trên kg R3 với tích vô hướngTìm hình chiếu trực giao của lên kg con Sự trực giao Trong R4 cho U là không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất sau: Và vector Tìm hình chiếu của z xuống không gian