Bài tập môn đại số tuyến tính

BÀI TẬP CHƯƠNG I MA TRẬN, ĐỊNH THỨC Bài 1. Cho các ma trận Tính các phép toán: AB, BAT , CD, -2A, AB – BA. Bài 2. Tìm hạng của ma trận : , Bài 3. Cho các ma trận : Tính |A|, |B| bằng hai cách : Dùng quy tắc Sarrus và bằng khai triển định thức. Tìm A-1 và B-1 bằng hai cách: Dùng phép biến đổi sơ cấp và bằng định thức. Bài 4. Tìm a để các ma trận sau khả nghịch : Bài 5. Giải các hệ phương trình sau theo phương pháp Crame. b. c. Bài 6. Giải các phương trình ma trận sau: b. BÀI TẬP CHƯƠNG II KHÔNG GIAN VECTƠ Bài 1. Xét xem các tập sau có là không gian con hay không. A = {(a, 0, 0) : a Î R} B là tập các ma trận vuông cấp 2 có các phần tử là số nguyên. P[x] = { f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 : ai Î R} Bài 2. Trong R3, chứng minh rằng x = (6,2,7) là tổ hợp tuyến tính của a = (2,1,-3), b = (3,2,-5), c = (1,-1,1). Trong R4, chứng minh rằng y = (7,14,-1,2) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a = (1,2,-1,-2), b = (2,3,0,-1), c = (1,2,1,3), d = (1,3,-1,0) Trong R3[x]. chứng minh u = 5x3 – 4x2 – 2x là tổ hợp tuyến tính của các đa thức u1 = 2x3 – 3x2 + 1 , u2 = x3 – 2x + 1, u3 = -2x2 + 3. Tìm m để u = (1,m,2) là tổ hợp tuyến tính của u1 = (1,2,-1), u2 = (-2,1,3), u3 = (0,1,-1). Bài 3. Xét xem các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. {(1,1,0), (1,0,1), (1,-2,0) } { (4,-5,2,6), (2,-2,1,3), (6,-3,3,9), (4,-1,5,6) } { 2 – x + 4x2 ; 3 + 6x + 2x2 ; 1 + 10x – 4x2 } Bài 4. Tìm một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại và hạng của hệ vectơ sau trong R3 và R3[x]. {u1 = (1,1,1), u2 = (1,2,1)} {u1 = (1,0,-1) , u2 = (0,1,-1), u3 = ( 1, - 1, 0) } { u1 = x3 – 2x + 2, u2 = x2 -1, u3 = x3 + 2x2 – 2x, u4 = x3 + 1 } Bài 5. Chứng minh rằng {e1, e2, e3, e4} lập thành một cơ sở của R4 và tìm tọa độ của u đối với cơ sở này e1 = (1,2,-1,-2), e2 = (2,3,0,1), e3 = (1,2,1,3), e4 = (1,3,-1,0) và u = (7, 14, -1, 2) Chứng minh rằng {P1, P2, P3} lập thành một cơ sở của P2[x] và tìm tọa độ của P đối với cơ sở này P1 = 1 + x + x2 , P2 = x + x2 , P3 = x2 Chứng minh rằng hệ sau là cơ sở của không gian các ma trận vuông cấp hai trên R và tìm tọa độ của A đối với cơ sở này. và Bài 6. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian sinh bởi hệ sau A = { (x, y, z) : x, y, z Î R } Bài 7. Cho A = { (1,2,1), (2,3,3), (3,7,1) } , B = {(1,1,1), (5,2,1), (1,1,-6) }. Tìm ma trận đổi cơ sở từ A sang B. Giả sử u có tọa độ đối với cơ sở A là (1,0,3). Tìm tọa độ của u trong cơ sở B. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BÀI TẬP CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT Các dạng bài tập cơ bản Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát bằn phương pháp Gauss. Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Bài 1. Giải bài tập I.22, trang 52_( Sách : “ Bài tập toán cao cấp – tập II”, tác giả : Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, NXB GD, 2001). Bài 2. Giải bài tập I.23, trang 52 – 53_ ( Sách : “ Bài tập toán cao cấp – tập II”, tác giả : Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, NXB GD, 2001). Bài 3. Giải bài tập II.20, trang 97 – 98_( Sách : “ Bài tập toán cao cấp – tập II”, tác giả : Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, NXB GD, 2001). ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài 1. Chứng minh các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính. a / f : R2 ® R2, f(x, y) = (3x, y) b/ f : R2 ® R3 , f(x, y) = (x, 2x – y , x + y) c / f : R3 ® R, f(x,y,z) = x – y + z d/ f : K2[x] ® K2[x] , f(a0 + a1x + a2x2) = a0 + (a1 + a0)x + (a2 + a1)x2 e / Bài 2. Các bài tập từ III.2 đến III.6, III.8, III.11, III.15 – III.17, III.19, III.22, III.23 (Sách : “ Bài tập toán cao cấp – tập II”, tác giả : Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, NXB GD, 2001). Bài 3. Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BÀI TẬP CHƯƠNG V DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Giải Các Bài Tập IV.1 - IV.3, IV.11, IV.14, V.16, V.18, V.22, V.34 – V.36 (Sách : “ Bài tập toán cao cấp – tập II”, tác giả : Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, NXB GD, 2001).