Bài tập môn Hình học xạ ảnh bài 36

Hãy dựng thêm một số điểm của đýờng conic S biết: Năm điểm thuộc S Bốn điểm thuộc S và tiếp tuyến tại một trong các điểm ấy thuộc S. Ba điểm thuộc S và 2 tiếp tuyến tại 2 trong 3 điểm đó. Phát biểu bài toán đối ngẫu và giải bài toán đó BÀI 36 A1 A2 A3 A4 A5 A6 Q P R d Giả sử 5 điểm A1,A2,A3,A4,A5 của(S)Ta cần dựng thêm A6 (S) Câu a: Bài Làm Cách dựng: B1:Dựng điểm P =A1A2 x A4A5 B2:Qua P dựng đường thẳng d bất kỳ B3:Dựng Q = d x A2A3 và R = d x A3A4 B4:Dựng A6 = A5Q x A3R là điểm cần dựng A4 A1 A2 A3 A5 A6 Q P R d Chứng minh Xét lục giác tạo bởi A1A2A3A4A5 A6 P =A1A2 x A4A5 Q = A2A3 x A5 A6 R = A3A4 xA6A1 Do P, Q, R thẳng hàng nên theo định lý Pascal lục giác này nội tiêp 1 conic (S’) nào đó Mà qua 5 điểm A1,A2,A3,A4,A5 có duy nhất một đường conic (S) nên (S’) trùng (S) Suy ra A6 thuộc (S) A4 A1 A2 A3 A5 A6 Q P R d Tui Đây Q Đây P Đây Conic S’ (S’) trùng (S) a1 Giải bài toán đối ngẫu: Giả sử (S) có 5 tiếp tuyến a1, a2, a3, a4, a5,. Ta cần dựng thêm tiếp tuyến a6 của (S) Bài toán đối ngẫu: Hãy dựng thêm một số tiếp tuyến của đường bậc 2 (S) biết 5 tiếp tuyến thuộc (S) a2 a5 a4 a3 a6 d1 d2 Cách dựng B1:Dựng d =(a1x a2, a4x a5) B2:Trên d lấy điểm O bất kỳ B3:Dựng d1= (O, a2x a3) d2 = (O, a3x a4) B4: Khi đó đường thẳng a6 = (a1 x d2, a5 x d1) là đường thẳng cần tìm a d O a1 a2 a5 a4 a3 a6 d1 d2 a1x a2 a4x a5 a2x a3 a3x a4 a1x d2 a5x d1 Chứng minh Xét lục giác tạo bởi a1a2a3a4a5 a6 d qua (a1x a2, a4x a5) d1 qua (a2x a3 ,a5x a6) d2 qua (a3x a4 ,a6x a1) Do d , d1, d2 đồng quy nên theo định lý Briăngsông lục giác này ngoại tiếp 1 conic (S’) nào đó Mà qua 5 đường thẳng a1a2a3a4a5 a6 có duy nhất một đường conic (S) nên (S’) trùng (S) Suy ra a6 thuộc (S) O a d O a1 a2 a5 a4 a3 a6 d2 Câu b Giả sử A,B,C,D thuộc conic (S) và tiếp tuyến a đi qua A Ta cần dựng E thuộc (S) A A D C B E P a d Q R Cách dựng B3: Dựng Q = d x AB , R = d x BC A D C B E P a d Q R B1: Dựng P = a x CD B2: Qua P dựng đường thẳng d bất kỳ B4: Khi đó E = AR x DQ là điểm cần dựng Dựng P = a x CD Dựng d bất kỳ qua P Dựng Q = d x AB Dựng R = d x BC Dựng E = AR x DQ Chứng minh: Xét lục giác tạo bởi AABCDE có : P = a x CD = AAxCD Q = AB x DE R = BC x EA Do P, Q, R thẳng hàng nên theo định lý Pascal lục giác này nội tiêp 1 conic (S’) nào đó Mà qua 4 điểm A,B,C,D và 1 đường thẳng a đi qua A có duy nhất một đường conic (S) nên (S’) trùng (S) suy ra E thuộc (S) A A D C B E P a d Q R P = a x CD = AAxCD Q = AB x DE R = BC x EA Bài toán đối ngẫu Hãy dựng thêm một số tiếp tuyến của đường bậc 2 (S) biết 4 tiếp tuyến của (S) và 1 tiếp điểm Giải bài toán đối ngẫu: giả sử ta dựng được 4 tiếp tuyến a,b,c,d và M là tiếp điểm của a. Ta cần dựng tiếp tuyến e của (S) b c d p O q a M e r Cách dựng B1:Dựng p qua (M, c x d) B2:Trên p lấy điểm O bất kỳ B3:Dựng q qua (O,a x b) r qua (O, b x c) Khi đó e = (a x r, d x q) là tiếp tuyến cần dựng b c d p O q a M e r p qua M, cxd c x d Chứng minh Xét lục giác tạo bởi 6 cạnh aabcde có : p qua (M, c x d) (M=axa) q qua (axb,exd) r qua (bxc,axe) Do p, q, r đồng quy tại O nên theo định lý Briăngsông truờng hợp ngũ giắc thì ngũ giác này nội tiêp 1 conic (S’) nào đó Mà qua 4 đường thẳng a,b,c,d và 1tiếp điểm M của a có duy nhất một đường conic (S) nên (S’) trùng (S) suy ra e là tiếp tuyến của (S) b c d p O q a M e r Câu c Giả sử A,B,C thuộc (S) , tiếp tuyến a đi qua A và tiếp tuyến c đi qua C. Ta cần dựng D (S) R A Q P D C B c a Cách dựng B1: Dựng P = a x c B2: Qua P dựng đường thẳng d bất kỳ B3: Dựng Q = d x AB R = d x BC B4: Khi đó D = AR x CQ là điểm cần dựng R A Q P D C B c a Chứng minh: Xét lục giác tạo bởi 6 cạnh: a,AB,BC,c,CD,DA có: P = a x c Q = ABxCD R = BDxDA Do P,Q,R thẳng hàng nên theo định lý Pascal lục giác này nội tiếp 1 conic (S’) nào đó Mà qua 3 điểm A,B,C và 2 tiếp tuyến a,b lần lượt qua A,B xác định duy nhất đường conic (S) nên (S’) trùng (S) suy ra D thuộc (S) R A Q P D C B c a Bài toán đối ngẫu Hãy dựng thêm một số tiếp tuyến của đường bậc 2 (S) biết 3 tiếp tuyến của (S) và 2 tiếp điểm Giải bài toán đối ngẫu: Giả sử có 3 tiếp tuyến a,b,c của (S) và A,B lần lượt là 2 tiếp điểm của a,b.Ta dựng tiếp tuyến d của (S) q a b c A B p d O r Cách dựng Dựng p qua (A, b x c) Trên p lấy điểm O bất kỳ Dựng q qua B,O r = (O, a x b) Khi đó đường thẳng cần dựng là d = (a x q , c x r) r a b c A B p d O q Dựng p = (A, b x c) Dựng q qua B & O Dựng q qua O & axb Chứng minh Xét lục giác tạo bởi 6 cạnh: aabbcd có: p qua b x c và A (axa) q qua axd và B (bxb) r qua axb và cxd Do p,q,r đồng quy tại O nên theo định lý Briăngsông lục giác này nội tiếp 1 conic (S’) nào đó Mà qua 3 tiếp tuyến a,b,c và 2 tiếp điểm A,B lần lượt của a,b xác định duy nhất đường conic (S) Nên (S’) trùng (S) suy ra D thuộc (S) r a b c A B p d O q