Bài tập phương pháp tính

Bài tập chương 1. TÍNH GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Bài 1. Cho các số gần đúng a =4,7658 và b = 3,456 với Δa =5.10-4, và Δb=10-3; còn u =a.b. Hãy tìm sai số tương đối của a và b; tính u và ước lượng sai số Δu và δu. Bài 2. Cho a=12345; và δa =0,1%, b=34,56 với δb=0,8%. Xác định sai số tuyệt đối và các chữ số đáng tin. Bài 3. Tính diện tích hình chữ nhật có d= 40,0 và r = 24,0 và ước lượng sai số tuyệt đối và tương đối của S nếu các chữ số biểu diễn d và r đều đáng tin. Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật có các cạnh d, r, h tương ứng xấp xỉ bằng 10m, 5m và 3,5m. a) Tính thể tích V và ước lượng sai số nếu Δd =Δr =Δh = 0,005m. b) Cần tính các cạnh với sai số như thế nào để sai số ΔV ≤0,1. Bài 5. Hình trụ tròn xoay có bán kính R = 10cm chiều cao h=20cm; a. Tính V nếu ΔR= Δh=0,5cm; π=3,1416 với Δπ=0,5. 10-4. b. Với π như trên, cần tính R và h như thế nào để ΔV ≤1. Bài 6. Cho u=a-b với a= 55,23 và b=55,20; Δa=Δb= 0,005. a. Tính u, Δu và δu. b. Giải thích vì sao người ta thường tránh trừ 2 số gần bằng nhau. Bài 7. Cho u = a/b +c với a=125, b=0,5, c=5; Δa=Δb=0,1 ; Δc= 1. a. tính u và δu. b. Giải thích vì sao người ta tránh chia cho số bé ở các bước trung gian. Bài 8. Tìm chữ số đáng tin và làm tròn, chỉ giữ lại 2 số không đáng tin: a) a=57,4365 ; δa=0,5% b) a=1,40805; δa=0,6% Bài 9. Tính u= a2 b + c nếu a=4,0; b=5,5; c= 25,48; Δa=Δb=0,001; Δc=0,01 và thu gọn u chỉ giữ lại một chữ số không chắc. Bài 10. Cho y = f(x) đa thức bậc n. Chứng minh rằng khi tính gần đúng giá trị của y tại x (|x|>1) sai số Δy là rất lớn mặc dù Δx là nhỏ. 1http:/kinhhoa.violet.vn 2 Bài tập Chương 2. TÍNH GIÁ TRỊ HÀM VÀ XẤP XỈ HÀM Bài 1.Cho đa thức sau: p(x)= 2x6 +4x4 -3x3 -2x+3 a) Tìm giá trị p(x) và Δp(x) nếu x ≈2 với Δx=0.01 b) Để Δp(x) ≤ 0,01 thì cần tính x với Δx là bao nhiêu? Bài 2 Cho đa thức sau: p(x)= x6 +3x4 -2x3+5x+3 a) Tìm giá trị p(x) và Δp(x) nếu x ≈2 với Δx=0.01 b) Để Δp(x) ≤ 0,01 thì cần tính x với Δx là bao nhiêu? Bài 3. Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng x -1 0 1 2 4 y=f(x) 3 0 1 5 6 Tìm đa thức nội suy Lagrange của y trên đoạn [-1, 4]; Sau đó tính y(3)? Bài 4. Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng x 0 1 2 3 xi -1 0 1 3 yi 3 0 1 5 Tìm đa thức nội suy Lagrange của y trên đoạn [-1, 3]; Sau đó tính y(2)? Bài 5. Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng x 0 1 2 3 xi -1 0 2 3 yi 3 2 0 5 Tìm đa thức nội suy Lagrange của y trên đoạn [-1, 3]; Sau đó tính y(1)? http:/kinhhoa.violet.vn 3 Bài 6. Giả sử đồ thị hàm y=f(x) đi qua A(-1,5), B(0,3), C(1,2) và D(2,4). Tìm đa thức nội suy Newton của hàm này (đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều). Tính y(1,5)=? Bài 7. Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng x -1 0 1 2 y=f(x) 3 1 -2 4 Tìm đa thức nội suy Newton (đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều) của y trên đoạn [-1, 2]; Sau đó tính y(0,5)=? Bài 8. Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng x 1 2 3 4 y=f(x) 3 2 -1 5 Tìm đa thức nội suy Newton (đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều) của y trên đoạn [1, 4]; Sau đó tính y(3,5)=? Bài 9. Giả sử đồ thị hàm y=f(x) đi qua A(-1,5), B(0,3), C(1,2) và D(2,4). Tìm đa thức bậc nhất xấp xỉ tốt nhất theo bình phương tối thiểu. Bài 10. Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng x -1 0 1 2 y=f(x) 3 4 6 7 Tìm đa thức bậc nhất xấp xỉ tốt nhất theo bình phương tối thiểu. http:/kinhhoa.violet.vn 4 Chương 3 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 1. Lập chương trình trong C tính gần đúng đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 (với đạo hàm cấp 2 trừ 2 điểm biên) tại các mốc tại đó giá trị của hàm đã biết. Bài 2. Dùng chương trình đã lập được trong Bài 1 hãy tính giá trị đạo hàm cấp 1 và cấp 2, nếu giá trị của hàm được cho trong bảng sau i xi yi 0 1 2 3 4 5 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.266 1.326 1.393 1.469 1.553 1.647 Bài 3. Dùng chương trình đã lập được trong Bài 1 hãy tính giá trị đạo hàm cấp 1 và cấp 2, nếu giá trị của hàm được cho trong bảng sau i xi yi 0 1 2 3 4 5 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 0.4000 1.4848 2.6813 3.9975 5.3456 6.2465 Bài 4. Lập chương trình trong C tính gần đúng tích phân xác định theo phương pháp hình thang và sai số phạm phải. Bài 5. Áp dụng chương trình đã lập trong Bài 4, tính tích phân sau với h=0.1; ∫ += 1 0 22x dxI Để sai số <0.0001 thì cần chọn bước h thế nào trong các công thức tính. Bài 6. Sử dụng chương trình đã lập trong Bài 4 để tính tích phân sau ∫ += 1 0 2x dxeI x http:/kinhhoa.violet.vn 5 Cần chia đoan [0,1 ] thành bao nhiêu điểm (n=?) để sai số <0.0001 Bài 7 Lập chương trình trong C tính gần đúng tích phân xác định theo phương pháp Simpson và sai số phạm phải. Bài 8. Áp dụng chương trình đã lập trong Bài 7, tính tích phân sau với h=0.1; ∫ += 1 0 22x dxI Để sai số <0.0001 thì cần chọn bước h thế nào trong các công thức tính. Bài 9. Sử dụng chương trình đã lập trong Bài 7 để tính tích phân sau ∫ += 1 0 2x dxeI x Cần chia đoan [0,1 ] thành bao nhiêu điểm (n=?) để sai số <0.0001 http:/kinhhoa.violet.vn 6 Chương 4 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Với mỗi một trong các bài tập 1-6 sau đây hãy: 1. Tìm miền nghiệm của đa thức đó. 2. Lập trình tính giá trị của đa thức theo công thức Horner tại một điểm tùy ý. 3. Lập trình để kiểm tra xem đa thức có bao nhiêu nghiệm và mỗi nghiệm nằm trong miền nào? 4. Lập chương trình tính tất cả các nghiệm gần đúng với sai số nhỏ hơn 10-4 của đa thức theo các phương pháp Chia đôi. Bài 1. p(x) = 2 x6 +4 x5 -3 x4 +4 x3 +6x +7 Bài 2. p(x) = x5 -4 x4 +2 x3 +4x -7 Bài 3. p(x) = 2 x5 -4 x4 +3 x3 - 5x +4 Bài 4. p(x) = x5 +2 x2 – 40 x +6 Bài 5. p(x) = x6 +4 x4 -3x -5 Bài 6. p(x) = x5 +5 x -2 Bài 7. Hãy lập trình giải phương trình f(x)= 0 theo phương pháp lặp đơn. Hãy thử chương trình với f(x) = x5 -40 x + 3=0 trong đoạn [0,1]. Bài 8. Hãy lập trình giải phương trình f(x)= 0 theo phương pháp tiếp tuyến (Newton). Hãy thử chương trình với f(x) = x3 -15=0 trong đoạn [2,3]. Bài 9. Hãy lập trình giải phương trình f(x)= 0 theo phương pháp Dây cung. Hãy thử chương trình với f(x) = x3 -15=0 trong đoạn [2,3]. Trong các bài 10-15, (1) giải sơ bộ để tìm miền nghiệm của phương trình, các miền đủ nhỏ bao quanh mỗi nghiệm, (2) trong mỗi miền nhỏ này hãy kiểm tra xem các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện để áp dụng các phương pháp Lặp đơn, Tiếp tuyến hay Dây cung không? (3) nếu có hãy sử dụng các http:/kinhhoa.violet.vn 7 chương trình đã lập trong các Bài 7,8 và 9 để tính gần đúng nghiệm với sai số nhỏ hơn 10-4. Bài 10. f(x) = x5 +2 x2 – 40 x +6 =0 trong đoạn [0,1] Bài 11. f(x) = 2x – cos x -1 = 0; trong đoạn [0;1] Bài 12. f(x) = 2x – ln x -3 =0; trong đoạn [1;2] Bài 13. f(x) = 3x – sin x-2 =0 trong đoạn [0;1] Bài 14. f(x) = x6 +4 x4 -3x -5 = 0 với x ∈ [1,2]; Bài 15. f(x) = x5 +5 x -2 =0 với x ∈[0,1]; Bài 16. Hãy tính gần đúng: 5 a với a là một số dương cho trước. Bài 17. Để tính a x 1= người ta giải phương trình 01 =− xa với sai số nhỏ hơn 10-5. Bài 18. Lập chương trình giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Gauss. Áp dụng giải hệ Ax = b nếu ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 2 0 1 1 1 1 ; 132 121 111 bvàbA Giải bằng tay và so sánh các kết quả tìm được. Bài 19. Lập chương trình dùng phương pháp Gauss-Gordan tìm nghịch đảo ma trận. Sử dụng chương trình tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 131 232 211 ) 211 112 121 ) 100 210 331 ) AcAbAa Bài 20. Dùng phương pháp lặp đơn và Seidel giải gần đúng hệ sau với sai số nhỏ hơn 10-4: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+−− =−+− =−− 593 46 528 ) 321 321 321 xxx xxx xxx a http:/kinhhoa.violet.vn 8 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+− =+− =+− 882 86 65 ) 321 321 321 xxx xxx xxx b Bài 21. Giải hệ sau bằng phương pháp lặp với xấp xỉ ban đầu tương ứng: ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += ++−= ++−+= )2( 5 1 )4.0( 9 1 )1)1log()1(log( 3 1 ) 22 xyz zxy zyx a trong miền D= {[0;2][0;2][0;2]} với x0 =1; y0 =1; z0 =1; ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−−= −−−= ++−= )3.02( 7 1 )2.03( 9 1 )1.02( 7 1 ) 2 2 2 xyxz xzyy yzxx b trong miền D={[-1,1],[-1;1],[-1;1]} với x0 = y0 = z0 =0 Bài 22. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Newton với x0 =1,01và y0 = 0.47. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−− =−+++ 01 36.0 5.1 06.1)4.0cos( 2 2 222 yx yxyx http:/kinhhoa.violet.vn 9Chương 5 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Bài 1. Hãy viết chương trình trong ngôn ngữ lập trình C giải gần đúng bài toán Côsi cho phương trình vi phân thường theo phương pháp Euler. Bài 2. Hãy viết chương trình trong ngôn ngữ lập trình C giải gần đúng bài toán Côsi cho phương trình vi phân thường theo phương pháp Euler cải tiến 1 và cải tiến 2.. Bài 3. Hãy viết chương trình trong ngôn ngữ lập trình C giải gần đúng bài toán Côsi cho phương trình vi phân thường theo phương pháp Runge-Kutta. Bài 4. Dùng chương trình đã viết giải các phương trình sau bằng phương pháp Euler. a) y’ = xy/2 với y(0) =1; h=0.1; [a,b]= [0,1] b) y’ = x2+y2 với y(0) =0; h=0.1; [a,b]= [0,1] Bài 5. Viết chương trình giải hệ phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ===== −= 1;0;1)0(;0)0(' ' bazy x yz xzy Bài 6. Dùng chương trình đã viết giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Runge-Kutta với h=0.2; sau đó h=0.1. a) y’=y-x; y(0)=1.5; a=0; b=1; b) y’=y/x -y2 ; y(1)=1; a=1; b=2 Bài 7. Dùng phương pháp đạo hàm liên tiếp tìm 4 số hạng đầu trong khai triển Taylor của nghiệm: a) y’= ey+x2; y(1)=0 b) y’=cos(x+y); y(0)=0 c) y’’+xy’=e-x ; y(0)=1; y’(0)=0; d) ⎩⎨ ⎧ −= ==+= zyz zyzxyy ' ;1)0(;0)0(;' Bài 8. Giải các phương trình sau bằng phương pháp hệ số bất định. http:/kinhhoa.violet.vn 10 2 1)0(';1)0(;2''') 2 1)0(';1)0(;0'2''4) ;1)0(';0)0(; 1 ''') 2 ===−− −===++ ==−=++ − yyeyxyyc yyyyxyb yy x xyxyya x Bài 9. Viết chương trình trong C giải bài toán biên theo phương pháp vượt. Bài 10. Sử dụng chương trình vưa viết trong 9, giải các bài toán biên sau: 1.0;0)1()0(:)(''') 2.0;367.11)1(;1)0(; )2( )25(22'2'') 2 2 1 3 ===+=−++ ==+==− −=++ − hyy bx xyxayxyb heyy x xyxyya http:/kinhhoa.violet.vn