Bài tập theo Chuyên đề Quan hệ vuông góc

Quan hệ vuông góc I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau A. Phương pháp chứng minh: C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng. C2 : góc. P C3: Dùng hệ quả: C4: Dùng hệ quả: // , C5 : Dùng hệ quả: C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc. C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác B. Bài tập áp dụng Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = 16a, CD = 12a, MN = 10a. CM AB vuông góc với CD Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. M là trung điểm BC. CM AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC SA vuông góc với BC Cho hình chop S.ABC có SA vuông góc BC, SA = BC =2a, qua M song song với SA, BC, AB = a. Xác định thiết diện tạo bởi mpvà S.ABC Đặt Am = x. Tính diện tích thiết diện theo a và x Định vị trí để diện tích này lớn nhất Cho tứ diện ABCD có AB = CD. song song với AB và CD cắt các cạnh còn lại lần lượt tại M, N, P, Q Tứ gicá MNPQ là hình gì Xác định vị trí sao cho Mp vuông góc NQ Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn là AD và góc A = 900. Biết AD = 2BC = 2AB. CM: AC vuông góc CD Với E là trung điểm AD tìn giao tuyến của 2 mp(SBC) và (SCD) biết góc SCD = 900. Xác định góc giữa SA và BE II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A. Phương pháp chứng minh C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng , cắt nhau , , C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng // , C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó Lưu ý hs yếu các kiến thức thường gặp: Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau B.Bài tập ứng dụng Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I là trung điểm BC. chứng minh BC vuông góc AD kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vuông góc với mp(BCD) Cho hình chop SABC. SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B. CM BC SB Từ A lần lượt kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. CM AH (SBC), SC ( AHK) Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng minh SO vuông góc với (ABCD) AC vuông góc SD Cho tứ diện ABCD có AB CD, AC BD. Gọi H là trực tâm tam giác BCD. CM AH (BCD) CM AD CD Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A. AD = 2AB = 2BC CM BC (SAB) CM SC CD Hình chop S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung điểm BC. CM: BC (SAM) Vẽ AH SM tại H. CM AH SB Cho hình chóp S.ABC có SA = và các cạnh còn lại đều bằng a. Gọi I là trung điểm BC. CM: BC SA SI (ABC) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = a và SA (ABCD) Gọi I là trung điểm SD. CM AI (SCD) Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD. Tìm tập hợp các hình chiếu của O trên CM III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Các định lý 1. 2. 3. 4. 5. B. Bài tập ứng dụng Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD). Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, cắt SC tại I. Xác định giao điểm của SO và CM BD vuông góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và Xác định giao tuyến của (SBD) và Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (BCD) và SA = AB. Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuông góc với (AHD) Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng SH (ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Chứng minh MN (ABC) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA (ABC) Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB. CM BC (SAB) và AH (SBC) Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. CM SC (AHK) Kẻ đường cao BM trong tam giác . CM BM //(AHK) IV. Mặt phẳng vuông góc mặ phẳng A. Phương pháp chứng minh . O C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông. , , Khi đó: góc góc C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. B. Bài tập ứng dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình thoi CM SO (ABCD) CM (SAC) (SBD) Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. SA đáy CM: (SAB) (SBC) Gọi M là trung điểm AC. CM (SAC) (SBM) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC). Tam giác ABC vuông tại B CM: (SAC) (ABC) Gọi H là hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu của A lên SB. CM (AHK)(SBC) Gọi I là giao điểm của HK và mp(ABC). CM AIAH Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau . AC =AD =BC =BD =a và CD =2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và CD CM: IJ AB , IJCD Tính IJ và AB theo a và x Xác định x sao cho (ABC)(ABD) Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. dựng đoạn SD = vuông góc với (ABC). CM (SAB) (SAC) (SBC)(SAD) Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều có trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). CM: (SBC)(SAC) Gọi I là trung điểm của SC. CMR (ABI)(SBC) a.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. CMR đường thẳng AC’ (A’BD) và (ACC’A’)(A’BD) b. Tính đường chéo AC’ của hình lập phương Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. CMR: AC B’D’, AB’CD’ và AD’CB’. Khi nào mp(AA’C’C)(BB’D’D) V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC A. Lý thuyết 1. Góc của hai đường thẳng Chọn điểm O tuỳ ý. Dựng qua O : a’ // a; b’ // b . Góc (a,b) = góc (a’,b’) = Thường chọn điểm O a hoặc O b 2. Góc của hai mặt phẳng Chọn điểm O thuộc giao tuyến của và . Dựng qua O : và Góc = Góc = Chú ý: * * Nếu thi chọn góc 3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng Chọn điểm A thuộc đường thẳng a. Dựng qua tại B. Dựng giao điểm O của a và nếu chưa có. ( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng ()) Khi đó: Góc = Góc = . Dùng công thức: Bài tập Cho tứ diện đều ABCD. Tính các góc sau: Góc giữa AB và (BCD) Góc giữa Ah và (ACD) với H là hình chiếu của A lên (ABC) Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA (ABCD) và SA = . Tính các góc giữa: SC và (ABCD) SC & (SAD) SB & (SAC) AC & (SBC) Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Cho biết MN tạo với (ABCD) góc 600. Tính MN và SO Tính góc giữa MN và (SBD) VI.KHOAÛNG CAÙCH A. Lý thuyết Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng // song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai Đường thẳng chéo nhau Cách1 Cách 2 nếu a b - d ựng ho ặc tìm mp() ch ứa b v à vu ông g óc v ới a t ại A. - trong , dựng đoạn AB b tại B - đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b B. Bài tập Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a, cạnh SA (ABC) và SA = a CM: (SAB)(SBC) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA (ABCD) & SA = 5. Tính các khoảng cách từ: A đến (SBD) A đến (SBC) O đến (SBC) Cho hình chop S.ABCD có đáy SA (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AB = BC = = a, SA = a CM các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông Tính k/c từ A đến mp(SBC) Tính khoảng cách từ B đến đt SD Cho tứ diện ABCD có 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông tại D và DC = a. CMR các tam giác BAD và BDC đều vuông Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: Ị là đương vuông góc chung của AD và BC Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC) và SA = h. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung sau: SB & CD SC & BD SC & AB Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a.Các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy góc 600 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trung với trung điểm của B’C’. Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy của lăng trụ CMR mặt bên BCC’B’ là một hình vuông Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. SA = SB = SC = SD = . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) Chứng minh (SỊ) vuông góc (SBC) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB Tính khoảng cách từ S đến CI Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Chứng minh (BDD’B’) vuông góc (ACD’) Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (ACD’) và (BA’C’) Tính khoảng cách giưa 2 đt BC’ và CD’; BB’ và AC’ HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT A. Hình choùp tam giaùc ñeàu Hình chóp tam giác đều: Đáy là tam giác đều Các mặt bên là những tam giác cân Đặc biệt: Hình tứ diện đều có: Đáy là tam giác đều Các mặt bên là những tam giác đều Cách vẽ: Vẽ đáy ABC Vẽ trung tuyến AI Dựng trọng tâm H Vẽ SH (ABC) Ta có: SH là chiều cao của hình chóp Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: . Góc mặt bên và mặt đáy là: B.Hình chóp tứ giác đều Hình chóp tứ giác đều: Đáy là hình vuông Các mặt bên là những tam giác cân Cách vẽ: Vẽ đáy ABCD Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD Vẽ SH (ABCD) Ta có: SH là chiều cao của hình chóp Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: . Góc mặt bên và mặt đáy là: C. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy SA (ABC) Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: . SA (ABCD) Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: *** Chú ý: a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a, Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a, Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = , b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.