Bài tập tính đơn điệu và cực trị của hàm số

BAØI TAÄP TÍNH ÑÔN ÑIEÄU VAØ CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số . Xác định m để hàm số đồng biến trên . GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: + Nếu m = 1 thì Hàm số đồng biến khi và chỉ khi ( loại so với yêu cầu bài toán) + Nếu m = -1 thì . Hàm số đồng biến trên (nhận so với ycbt) (1) + Nếu thì HS đồng biến trên khi và chỉ khi (2) Từ (1) và (2) suy ra hàm số đồng biến trên Bài 2: Cho hàm số Định mọi giá trị của tham số m để hàm số luôn luôn đồng biến. GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: Biệt số Để hàm số luôn luôn đồng biến ta phải có: Vậy các giá trị m cần tìm là: Bài 3: Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số không thể luôn luôn đồng biến. GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: Biệt số Vì Do đó đạo hàm luôn có 2 nghiệm phân biệt . Suy ra không luôn luôn dương. Vậy hàm số không luôn luôn đồng biến. Bài 4: Định a để hàm số: Đồng biến trên khoảng (0;3) Lưu ý: 1) So sánh 1 số với các nghiệm của phương trình bậc 2: 2) So sánh 2 số và với các nghiệm của phương trình bậc 2: GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: Hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) có 2 nghiệm phân biệt , Giả sử Bảng biến thiên: x (0;3) - 0 + 0 - y Để Bài 5:  Định m để hàm số: Nghịch biến trên khoảng (-1;1) GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) x (-1;1) + 0 - 0 + y Để Bài 6: Định m để hàm số: đồng biến trên khoảng GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: Biệt số - Nếu thì Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số đồng biến trên khoảng Do đó giá trị thích hợp. (1) - Nếu có 2 nghiệm phân biệt , Giả sử Bảng biến thiên: x (1) + 0 - 0 + y Căn cứ vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên khoảng là: (2) Từ (1) và (2), các giá trị m cần tìm là: Bài 7: Cho hàm số: Định m để hàm số đã cho: a) Luôn luôn đồng biến. b) Đồng biến trên khoảng . GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: a) Khi : Hàm số luôn luôn đồng biến. Vậy với , hàm số luôn đồng biến. b) Khi có 2 nghiệm phân biệt , Giả sử Bảng biến thiên: x (5) + 0 - 0 + y Căn cứ vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên khoảng là: Vậy với hàm số đồng biến trên khoảng CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số: Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu. GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: Để hàm số không có cực trị thì phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Bài 2: Cho hàm số: Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: Hàm số đạt cực tiểu tại Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại Bài 3: Cho hàm số a) Tìm cực trị của hàm số. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị. Lưu ý: Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: ta làm như sau: (*) Gọi là nghiệm của pt (là các điểm cực trị) Trong đó là phần dư của phép chia Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: ( Vì toạ độ của điểm cực trị thoả pt , nên từ (*) ta suy ra ) GIẢI a) TXĐ: D = Đạo hàm: Cho Chia cho , ta được: Giá trị cực trị là: Lập bảng biến thiên CĐ, CT. b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: Bài 4: Cho hàm số Xác định m sao cho: a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu. GIẢI a) TXĐ: D = Đạo hàm: Cho (*) Để hàm số có 2 cực trị thì: b) Chia cho , ta được: giá trị cực trị là: Gọi , là 2 điểm cực trị Hàm số có 2 cực trị cùng dấu (1) Mặt khác: , Do đó (1) Kết hợp với điều kiện có cực trị , ta được: Bài 5: Cho hàm số: Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: Hàm số có 2 cực trị (*) Gọi , là 2 nghiệm của phương trình thì: Từ (1) và (2) , Thay vào (3) (Nhận so với điều kiện) Vậy: Bài 6: Cho hàm số: (ĐH Y - Dược) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m. GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ có 2 nghiệm , thỏa Vậy Bài 7: Cho hàm số: (1) Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng GIẢI TXĐ: D = Đạo hàm: Cho Hàm số (1) có cực trị Lấy (1) chia cho ta được: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: (d) Để (d) song song với đường thẳng thì: Bài 8: Cho hàm số: a) Tìm cực trị của hàm số. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị. Lưu ý: Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số: , (1) Gọi là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra: Các giá trị cực trị là: Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: GIẢI a) TXĐ: Đạo hàm: , Giá trị cực trị là: , Lập bảng biến thiên CĐ, CT. b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: Bài 9: Cho hàm số: . Tìm m để hàm số: a) Có cực đại và cực tiểu. b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu. GIẢI a) TXĐ: Đạo hàm: , (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có 2 nghiệm phân biệt b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi: có 2 nghiệm phân biệt Đồ thị không cắt trục ox ( Pt vô nghiệm) Bài 10: Cho hàm số: Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu GIẢI TXĐ: Đạo hàm: , Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt) Vậy