Bài tập vật lý đại cương

BÀI TẬP VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG Bài 1: Cho phương trình chuyển động của chất điểm là : x = Acosw t y = Bsinw t z = 0 Trong A, B, w là các hằng số.Hãy tìm phương trình quĩ đạo, vận tốc và gia tốc của chất điểm. HD : quĩ đạo là một ellip có các bán trục là A và B nằm trong mặt phẳng xOy : z = 0 = - Aw sinw t+ Bw cosw t = - Aw 2cosw t- Bw 2sinw t= -w 2: gia tốc hướng vào tâm ellip và tỉ lệ với bán kính . Bài 2. Từ độ cao h = 25m một vật được ném theo phương nằm ngang với vận tốc ban đầu vo = 15m/s. Hãy xác định : a) Quĩ đạo của vật b) Thời gian chuyển động của vật từ khi ném cho tới khi chạm đất. c) Gia tốc toàn phần, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến của vật khi chạm đất. d) Bán kính cong của quĩ đạo khi vật chạm đất. HD : quĩ đạo parapol a) y = b) t = = 2,26s c) a=g=9,8m/s2 ; at==8,112m/s2 ; an== 5,6m/s2 d) R ==122,7m  ) Bài 3. Một quả bóng được ném với vận tốc ban đầu vo theo một góc nghiêng f so với bề mặt của một mặt phẳng nghiêng. Mặt phẳng nghiêng làm với mặt phẳng ngang một góc q . a) Hãy xác định khoảng cách dọc theo mặt phẳng nghiêng từ điểm ném  cho tới khi quả bóng chạm mặt phẳng nghiêng theo vo, g, f, q. b) Với góc f nào khi ném thì khoảng cách trên đạt giá trị cực đại. ( ĐS : a) ()[tan(q +f ) - tanq ] b) ) Bài 4. Một cầu thủ bóng rổ bị phạm lỗi khi cố gắng ném bóng vào rổ của đội bạn và được hưởng hai quả ném phạt. Theo phương nằm ngang từ tâm của rổ đến điểm ném phạt là 4,21m và độ cao của rổ là 3,05m tính từ mặt sân. Trong lần ném phạt thứ nhất cầu thủ ném quả bóng theo một góc 35o so với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu vo=4,88m/s2. Khi bắt đầu rời khỏi tay cầu thủ thì quả bóng ở độ cao 1,83m so với mặt sân. Lần ném này quả bóng không lọt vào rổ. Giả sử bỏ qua sức cản của không khí. a) Hỏi độ cao cực đại mà quả bóng đạt được. b) Độ xa quả bóng đạt được theo phương nằm ngang khi rơi chạm đất. c) Trong lần ném phạt thứ hai độ cao ban đầu và góc nghiêng của quả bóng khi ném cũng vẫn giữ nguyên như trong lần ném đầu tiên tức là 1,83m và 35o. Lần này quả bóng đi vào tâm rổ. Hỏi vận tốc ban đầu của quả bóng lần này là bao nhiêu? d) Độ cao cực đại của quả bóng đạt được trong lần ném thứ hai. (ĐS : a) 2,32m; b) 3,84m; c) 8,65m/s; d) 3,09m. ) Bài 5. Một chất điểm chuyển động trên quĩ đạo tròn bán kính bằng 50m. quãng đường đi được trên quĩ đạo được cho bởi công thức : s = -0,5t2+10t+10 (m) Tìm gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của chất điểm lúc t = 5(s). (ĐS : at = -1m/s2; an = 0,5m/s2; a = 1,12m/s2) Bài 6. Một vật A được đặt trên một mặt bàn nằm ngang. Dùng một sợi dây, một đầu buộc vào A cho vòng qua ròng rọc và đầu kia của sợi dây buộc vào vật B sao cho vật B rơi không ma sát thẳng đứng từ trên xuống. Cho biết mA= 2kg, hệ số ma sát giữa A và mặt bàn là k=0,25; gia tốc chuyển động của hệ là a= 4,9m/s2. Hãy xác định : a) Khối lượng mB. b) Lực căng của dây. ( ĐS : a/ mB= 3kg; b/ T=14,7N) Bài 7. Một vật trượt từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc a . Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k, vận tốc ban đầu của vật bằng 0. Vật trượt hết mặt phẳng nghiêng sau thời gian t. Tính chiều dài l của mặt phẳng nghiêng. (ĐS : l =1/2.g(sina -kcosa )t2 ) Bài 8. Cho hai vật A và B được mắc như hình dưới. Vật A được đặt nằm trên mặt phẳng nghiêng có hệ số ma sát k=0,2. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và dây. Cho biết mA=1kg, lực căng của sợi dây T=9,91N; g = 9,8m/s2; a = 30o. Hãy tính gia tốc của hệ. ( ĐS : a=3,24m/s2) Bài 9. Cho hai vật m1 và m2 như được mắc ở hình bên với m1=m2=1kg. Bỏ qua ma sát, khối lượng của các ròng rọc và dây. Xác định gia tốc của các vật m1, m2 và lực căng của sợi dây. Cho g = 9,8m/s2. ( ĐS : a1==g = 3,92m/s2; a2 =g =1,96m/s2 T=m2g @ 5,9N ) Bài 10. Trên một toa tàu khối lượng M có hai vật m1 và m2 được mắc như ở hình dưới. Cho biết hệ số ma sát giữa vật m1 và mui tàu là k. Bỏ qua khối lượng của dây và ròng rọc cũng như ma sát giữa chúng. Tác dụng một lực đẩy theo phương nằm ngang làm cho toa tàu chuyển động trên đường ray. Bỏ qua lực ma sát lăn giữa toa tàu và đường ray. Hỏi lực đẩy phải có độ lớn bằng bao nhiêu để cho khi toa tàu chạy mà hai vật m1 và m2 vẫn đứng yên so với toa tàu? Bài giải : Để giúp các bạn có thể hiểu rõ việc áp dụng các định luật động lực học Niu-tơn trong các hệ qui chiếu khác nhau cũng như vai trò của lực quán tính chúng ta sẽ giải bài toán này trong hai hệ qui chiếu khác nhau : - Hệ qui chiếu đứng yên (chẳng hạn như sân ga) - Hệ qui chiếu chuyển động (toa tàu) 1- Giải bài toán trong hệ qui chiếu đứng yên :(sân ga) Đây là một hệ qui chiếu quán tính (gần đúng), ta nhìn thấy vật m1 chuyển động với gia tốc (là gia tốc của con tàu) còn vật m2 đứng yên không chuyển động theo phương thẳng đứng (trong thực tế m2 chuyển động theo phương nằm ngang vớigia tốc nhưng ta không quan tâm đến chuyển động này của m2 mà chỉ quan tâm chuyển động của m2 theo phương thẳng đứng!). Ta qui ước chọn chiều dương của trục tọa độ nằm ngang hướng từ trái qua phải. *Xét vật m1 : Có hai lực tác dụng lên m1 : lực căng của sợi dây hướng từ trái qua phải, lực Fms = km1g hướng từ phải qua trái. Hiệu của hai lực này gây ra chuyển động có gia tốc của vật m1 nên theo định luật II Niu-tơn ta có: T-km1g = m1a (1) *Xét vật m2 : Theo phương thẳng đứng vật m2 chịu tác dụng của hai lực : lực căng của sợi dây hướng thẳng đứng lên trên và trọng lượng của nó 2 hướng thẳng đứng xuống dưới. Vì theo đầu bài thì m2 đứng yên theo phương này nên theo định luật II Niu-tơn ta có: T-P2 = 0 hay T= P2 = m2g. Thay giá trị T= m2g vào (1), ta tìm được a = Lực đẩy tác dụng lên hệ gồm toa tàu và hai vật m1, m2 và gây cho hệ gia tốc nên : = (m1+m2+M) Từ đó, độ lớn của lực đẩy là : F = (m1+m2+M)    (2) 2- Giải bài toán trong hệ qui chiếu chuyển động : (toa tàu) Vì toa tàu chuyển động thẳng với gia tốc là nên đây là một hệ qui chiếu không quán tính. Trong hệ qui chiếu này về hình thức ta cũng có thể áp dụng định luật II Niu-tơn nhưng khi đó trong các lực tác dụng lên vật ta phải kể thêm cả lực quán tính. *Xét vật m1 : Trong hệ qui chiếu này vật m1 đứng yên. Các lực tác dụng lên vật m1 gồm : - Lực căng của sợi dây hướng sang phải. - Lực ma sát Fms=km1g hướng sang trái. - Lực quán tính qt= -m1 hướng sang trái. Vì vật đứng yên nên tổng của các lực này phải bằng 0, tức là ; T-km1g-m1a = 0 Từ đó a = (3) *Xét vật m2 : Trong hệ qui chiếu này m2 đứng yên. Theo phương nằm ngang m2 chịu tác dụng của lực quán tính –m2 hướng từ phải qua trái làm cho m2 ép sát vào thành toa. Phản lực của thành toa sẽ triệt tiêu lực quán tính này nên theo phương ngang m2 đứng yên. Theo phương thẳng đứng m2 chịu hai lực : lực căng hướng lên trên và trọng lượng 2= m2 hướng xuống dưới. Hai lực này triệt tiêu nhau nên : T= P2 = m2g Thay giá trị này của T vào (3) ta tìm được : a = *Xét hệ gồm toa tàu khối lượng M và các vật m1, m2. Lực tác dụng lên hệ gồm : - Lực đẩy tác dụng lên toa tàu. - Lực quán tính -(m1+m2+M)a tác dụng lên tất cả các vật của hệ. Vì trong hệ qui chiếu này các vật của hệ đều đứng yên nên theo định II Niu-tơn ta phải có : -(m1+m2+M)a+F = 0. Hay từ đó : F = (m1+m2+M)a = (m1+m2+M) (4) So sánh (4) và (2) ta thấy chúng ta thu được cùng một kết quả khi giải bài toán này trong hai hệ qui chiếu khác nhau. Bài 11. Trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt phẳng nằm ngang một góc a có hai vật có khối lượng m1 và m2 (m2>m1) được nối với nhau bằng một sợi dây không co dãn. Hệ số ma sát giữa m1 và m2 với mặt phẳng nghiêng là k1 và k2 (k1< k2). Hãy xác định : a) góc a tối thiểu của mặt phẳng ngiêng để cho hệ hai vật có thể bắt đầu chuyển động xuống phía duới. b) gia tốc a của hai vật và sức căng T của sợi dây nối khi hệ chuyển động trên mặt phẳng nghiêng có a = 45o. Áp dụng với m1=2kg; m2 = 8kg; k1= 0,2; k2 = 0,4; g =10m/s2. (ĐS: a) tana gh =» 0,36 Þ a » 19o8 b) a = gsina -gcosa () = 4,525m/s2 ) Bài 12. Một hệ gồm hai vật có khối lượng mA và mB được nối với nhau bằng một sợi dây không co dãn vắt qua một ròng rọc như ở hình bên. Mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng là a . Hệ số ma sát giữa mA và mặt phẳng nghiêng là k . a) Hãy tìm điều kiện để cho mA chuyển động xuống phía dưới. b) Tìm điều kiện cho mA chuyển động lên phía trên. c) Tìm điều kiện để cho hệ đứng yên. (ĐS : a) < sina -kcosa ; b) > sina +kcosa ; c) sina -kcosa << sina +kcosa ) Bài 13. Trên mặt đất một người đứng lên một cái cân thì chỉ số của cân là 50 (50kg). a) Khi ở trong thang máy đang đi lên với gia tốc a=1m/s2 cái cân đó chỉ bao nhiêu? b) Khi thang máy đi xuống với gia tốc bằng bao nhiêu thì chỉ số của cái cân là 0 (tình trạng không trọng lực) (ĐS: a) 54; b) a= g = 9,8m/s2 ) Bài 14. Một vật có khối lượng m được kéo trên một mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng là a , với vận tốc không đổi bởi một sợi dây nối. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k. Hãy xác định góc b hợp bởi sợi dây và mặt phẳng nghiêng để lực căng dây là nhỏ nhất. Tính giá trị lực căng dây lúc đó. (ĐS: b = arctgk; Tmin=(sina +kcosa ) ) Bài 15. Một vật khối lượng m1 chuyển động tới va chạm với vật thứ hai đứng yên có khối lượng m2=1kg. Biết rằng sau va chạm vật thứ nhất đã truyền cho vật thứ hai một lượng x=36% động năng ban đầu của mình. Coi va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Hãy tính m1. (ĐS: m1= 9kg hay m1= 1/9 kg) Bài 16.Một con lắc đơn có trọng lượng P được kéo ra khỏi phương thẳng đứng một góc a =90o sau đó con lắc được thả rơi. Hãy tính sức căng T của dây khi con lắc đi qua vị trí cân bằng. (ĐS: T= 3P ) Bài 17. Từ đỉnh của một bán cầu bán kính là R người ta buông tay cho một vật trượt xuống phía dưới theo bề mặt của bán cầu. Hỏi ở độ cao nào so với so với mặt đất vật bắt đầu rời khỏi bề mặt của bán cầu Bài giải Xét một vị trí bất kỳ của vật khi nó còn tiếp xúc với mặt bán cầu như ở hình trên. Khi đó vật chịu tác dụng của hai lực : - Phản lực của mặt bán cầu. Lực này hướng theo phương nối tâm O của bán cầu với vật và có chiều hướng từ trong ra ngoài bán cầu. - Trọng lượng mg của vật hướng theo phương thẳng đứng từ trên xuống dưới. Lực này có thể phân tích thành hai lực thành phần: + Thành phần pháp tuyến mgcosa . + Thành phần tiếp tuyến mgsina là thành phần lực trực tiếp làm cho vật chuyển động trượt xuống dưới theo bề mặt bán cầu. Trong đó a là góc lực pháp tuyến làm với phương thẳng đứng. Do theo phương pháp tuyến của quĩ đạo hai lực mgcosa và ngược chiều nhau nên khi tổng hợp lại ta có lực (mgcosa -N). Chính lực này đóng vai trò là lực hướng tâm làm cho vật chuyển động theo quĩ đạo tròn. Do vậy, ta có : mgcosa -N = m với v là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm mà ta đang xét. Từ đó : N= mgcosa - m= m(gcosa -)                     (1) Từ (1) ta có nhận xét sau : khi vật càng trượt xuống phía dưới thì góc a càng tăng làm cho thành phần gcosa càng giảm trong khi thành phần càng tăng do v càng lớn (v càng lớn do đó thành phần mgsina càng tăng) đến một lúc nào đó thì gcosa = và khi đó N= 0. Lúc này vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu (vì rằng khi rời khỏi bán cầu vật không còn tiếp xúc với mặt bán cầu nên nó không còn chịu tác dụng của phản lực N, tức là N = 0) Khi vật bắt đầu rời khỏi bán cầu, ta có : mgcosa = m Þ gcosa = Þ cosa =      (2) Muốn tính được góc a khi vật bắt đầu rời khỏi bán cầu ta phải tính được vận tốc tức thời v của vật khi đó. Muốn vậy, ta có thể áp dụng định luật bảo toàn cơ năng vì vật chuyển động trong trường trọng lực là một trường thế. Gọi h là khoảng cách tính theo phương thẳng đứng từ đỉnh của bán cầu đến vị trí mà vật bắt đầu rời khỏi bán cầu. Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có : 1/2. mv2= mgh Þ v2= 2gh Thay giá trị này vào (2) ta tìm được : cosa =           (3) Mặt khác, từ hình vẽ ta tính được : cosa =         (4) Từ (3) và (4) ta có : = Þ 2h = R-h Þ h = R/3 Cuối cùng, vật bắt đầu rời khỏi bán cầu ở độ cao : H = R – h = R – R/3 = 2R/3 Bài 18. Một khúc gỗ có khối lượng 1,5 kg tiếp xúc với một lò xo bị nén đặt ở chân một mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng 30o (điểm A). Khi lò xo được thả lỏng cho bung ra nó đẩy khúc gỗ chuyển động dọc mặt phẳng nghiêng . Ở điểm B cách A 6m dọc theo mặt phẳng nghiêng thì khúc gỗ có vận tốc 7m/s và không liên kết với lò xo nữa. Cho biết hệ số ma sát động giữa khúc gỗ và mặt phẳng nghiêng là k = 0,5. Bỏ qua khối lượng của lò xo. Hãy tính thế năng biến dạng dự trữ trong lò xo lúc ban đầu. Cho g = 9,8m/s2. (ĐS: U =119J ) Bài 19. Một hệ gồm hai vật có khối lượng m1= 12kg và m2 = 4kg được nối với nhau bằng một sợi dây và được vắt qua một ròng rọc như hình bên. Ban đầu vật m2 nằm ở sàn nhà còn m1 nằm ở độ cao 2m. buông tay cho m1 rơi xuống dưới. Hãy xác định vận tốc của m1 khi nó chạm nền nhà. Bỏ qua ma sát và khối lượng của dây và ròng rọc. (ĐS: 4,4m/s ) Bài 20. Một thang máy có khối lượng 1 tấn, đi lên nhanh dần đều với vận tốc ban đầu bằng không và gia tốc là 2 m/s2. Tính: a) Công của thang máy thực hiện được trong 5 giây đầu tiên. b) Công suất trung bình và công suất cực đại sau 10 giây đầu tiên. (ĐS: a) 50kW=J  b) CS t.bình=Công toàn bộ/thời gian=20kW; CSmax=F.vmax=40kW) Bài 21. Một động cơ có công suất là 3 mã lực (HP) (1HP=736W). Hiệu suất của máy là 75%. Ðộng cơ dùng để nâng một vật lên cao với vận tốc không đổi là 3m/phút. Tính khối lượng tối đa của vật được nâng.   (ĐS: 3380kg) Bài 22.Vận động viên chạy xe đạp trên đường vòng xiếc là một đường tròn tâm O và bán kính R. Tìm vận tốc tối thiểu v0 để người đó đi qua điểm cao nhất của đường tròn mà không bị rơi xuống.   O R v0 mg FL v Bài giải: Tại điểm cao nhất, gắn hệ quy chiếu với xe (hqc là phi quán tính), ta có các lực tác dụng: trọng lực mg và lực ly tâm FL. Để xe không rơi: FL = m.v2/R >= mg (1). với v có thể tính được từ định luật bảo toàn cơ năng: m.v02/2 = m.v2/2 +2mgR. Suy ra: v2=v02 - 4gR. Thế vào (1), ta có: v02 >= 5gR. Bài 23. Một quả cầu có khối lượng là 1 kg treo vào đầu một sợi dây buộc cố định vào trần nhà. Ðưa quả cầu lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 600 rồi buông ra không vận tốc đầu. Tính vận tốc của quả cầu khi nó ở vị trí tạo với vị trí cân bằng một góc 300. Tính lực căng của dây cũng tại vị trí đó.  Cho biết chiều dài của dây là 1m. (ĐS: 2,7m/s; 16N) Bài 24. Tính khối tâm của vật hình tròn có khoét một hình tròn nhỏ phía trong có bán kính bằng nửa hình tròn lớn và của hình vuông cạnh là đường kính hình tròn lớn và cũng khoét một hình tròn nhỏ phía trong (theo hình vẽ). Bài 25.Một viên đạn khối lượng m=10g bay với vận tốc 600 m/s.  Sau khi xuyên thủng một bức tường, vận tốc chỉ còn 200 m/s. Tìm độ biến thiên xung lượng và độ biến thiên động lượng của viên  đạn. Tính lực cản trung bình mà bức tường tác dụng vào viên đạn cho biết thời gian mà viên đạn xuyên qua tường là 1/1000 s. Bài 26.Sau va chạm đàn hồi của hai quả cầu có khối lượng bằng nhau, cả hai có cùng vận tốc sau là 10 m/s. Cho biết trước va chạm quả cầu thứ hai đứng yên. Tính góc tạo bởi phương chuyển động của quả cầu thứ hai so với phương chuyển động của quả cầu thứ nhất trước khi va chạm. Tính vận tốc của quả cầu thứ nhất trước va chạm. Bài 27. Một người đứng giữa ghế Giukốpski cầm trong tay hai quả tạ, mỗi quả khối lượng m=10kg. Khoảng cách từ quả tạ đến trục quay là 0,2m. Giả sử ban đầu ghế quay với vận tốc w 1 = 4,1vòng/s. Hỏi vận tốc góc của ghế thay đổi như thế nào nếu người đó dang tay ra để khoảng cách từ mỗi quả tạ đến trục là 0,75m. Cho biết mômen quán tính cùa người và ghế (không kể quả tạ) đối với trục quay là IO = 2,5kgm2. (ĐS : w 2 = 0,984 » 1vòng/s.) Bài 28. Một ròng rọc bán kính R, khối lượng M. Trên ròng rọc có quấn một sợi dây một đầu treo một vật nặng khối lượng m. Hãy tính : a/ Gia tốc rơi của vật nặng. b/ Sức căng T của sợi dây. c/ Vận tốc của vật nặng khi nó rơi được một đoạn s. (ĐS : a/ a = 2mg/(2m+M) ;          b/ T = mMg/(2m+M) ;          c/ v = ) Bài 29. Một hệ gồm hai vật m1 và m2 được mắc như ở hình bên. Khối lượng của ròng rọc là M và bán kính R. Hệ số ma sát giữa m1 và mặt bàn là k. Hãy xác định gia tốc chuyển động của hệ và các lực căng T1, T2 của các đoạn dây. Cho m1=1kg; m2 =2kg; M = 2kg; k = 0,1; g =10m/s2. ( ĐS :  a = = 4,75m/s2 T1 = m1(kg+a) = 5,75N T2 = m2(g-a) = 10,5N ) Bài 30. Cho hai ròng rọc giống hệt nhau có khối lượng m và bán kính R. Hai vật m1 và m2 được mắc như hình vẽ. Sợi dây nối không co dãn và bỏ qua khối lượng của dây. a/ Giả sử ban đầu các vật đứng yên. Hãy xác định gia tốc chuyển động của các vật m1, m2. b/ Tìm điểu kiện để cho m1 rơi từ trên xuống và kéo m2 lên. c/ Tìm các sức căng T1, T2, T3 của các đoạn dây. Bài giải Chọn hệ trục tọa độ Ox có chiều dương hướng thẳng đứng từ trên xuống dưới như hình trên. Gọi tọa độ của ròng rọc thứ nhất là xo. Ta có nhận xét là xo không đổi trong quá trình hệ chuyển động. Gọi tọa độ của ròng rọc thứ hai là x2. Ta cũng có nhận xét là chuyển động của m2 giống hệt như chuyển động của ròng rọc thứ hai vì chúng được nối với nhau bằng một đoạn dây không co dãn. Gọi tọa độ m1 là x1. Ta lần lượt viết phương trình chuyển động của các vật trong hệ. * Xét vật m1 : Vật m1 chịu tác dụng của hai lực ngược chiều nhau : m1 hướng xuống dưới (m1g > 0), lực căng 1 của sợi dây hướng lên trên (T1< 0). Vậy theo định luật II phương trình chuyển động của m1 là : m1g – T1 = m1a1 (1) * Xét chuyển động quay của ròng rọc thứ nhất : Ròng rọc chịu tác dụng của hai mômen lực : T1R và T2R ngược chiều nhau, do đó phương trình chuyển động của ròng rọc thứ nhất là : (T1-T2)R = Ib 1= I(a1/R) = mR2(a1/R) = ma1R hay : T1-T2 =ma1                            (2) * Xét chuyển động quay của ròng rọc thứ hai (lưu ý ròng rọc 2 bao giờ cũng quay ngược chiều với ròng rọc 1) Tương tự ròng rọc 1, ta có phương trình chuyển động : (T3-T2)R = Ib 2 = I(a2 /R) = mR2(a2 /R) = ma2R Hay : T3-T2 = ma2                 (3) * Lưu ý là ròng rọc thứ hai vừa tham gia cả chuyển động quay và cả chuyển động tịnh tiến. Vì vật m2 nối với ròng rọc thứ hai bằng một sợi dây không co dãn nên ta có thể coi ròng rọc thứ hai và vật m2 như là một vật với khối lượng là (m+m2) cùng tham gia chuyển động tịnh tiến. Lực tác dụng lên (m+m2) gồm (m+m2)g hướng xuống dưới và (T2+T3) hướng lên trên. Vậy phương trình chuyển động là : (m+m2)g - (T2+T3) = (m+m2) a2                 (4) * Đến đây ta tìm được bốn phương trình (1),(2),(3) và (4) nhưng ta lại có tới năm ẩn số : a1, a2, T1, T2, T3 do đó để có thể giải được bài toán ta cần phải tìm thêm một phương trình nữa. Ta có nhận xét là hai ròng rọc không chuyển động hoàn toàn độc lập đối với nhau vì chúng được vắt qua bởi cùng một sợi dây có độ dài không đổi. Biểu thức xác định chiều dài l của sợi dây là : x2 + (x2 – xo) + (x1 – xo) + p R + p R = l hay 2x2 + x1 – 2xo +2p R = l lấy đạo hàm bậc hai theo thời gian và để ý rằng xo, R, l là hằng số, ta đi đến phương trình : 2=0 hay 2a2 + a1 = 0 hay a1 = -2a2                 (5) * Cuối cùng ta giải hệ gồm năm phương trình (1),(2),(3),(4) và (5) như sau : (1)+(2)Þ m1g – T2 = (m1+m)a1 = (m+2m1)a1 hay - T2 = (m+2m1)a1 – m1g thay a1 = -2a2 từ (5) vào phương trình trên, ta có : - T2 = -(m+2m1) a2 – m1g (*) (3) + (4) Þ (m+m2)g – 2T2 = (3m+2m2)a2 (**) Thay –2T2 từ (*) vào (**), ta có : (m+m2)g – 2(m+2m1)a2 – 2m1g = (3m+2m2)a2 hay (m+m2-2m1)g = (3m+2m2)a2+2(m+2m1)a2 = (3m+2m2+4m+8m1)a2 =(7m+2m2+8m1)a2 Từ đó ta tính được : a2 = Từ (5) a1 = -2a2 nên : a1=-2a2 = Þ Muốn cho m1 chuyển động xuống phía dưới, tức là a1>0, thì cần thõa mãn điều kiện : 8m1 > 4(m+m2) hay 2m1>(m+m2) (1) Þ T1 = m1(g-a1) = m1[g-] = m1[ = T1= (*)Þ T2 = (m+2m1)a2 +m1g = (m+2m1) + m1g T2 = (3)Þ T3= T2 +ma2 = T3= Bài 31.Một khối trục đặc có khối lượng là M và có bán kính R có thể quay không ma sát chung quanh trục của nó theo phương nằm ngang. Người ta treo hai vật có khối lượng bằng nhau và bằng m nhờ hai sợi dây nhẹ quấn quanh khối trụ và thả cho chúng rơi không vận tốc ban đầu. Hãy xác định : a/ Gia tốc của các vật. b/ Lực căng của mỗi sợi dây. c/ Vận tốc góc của khối trụ khi hai vật rơi được một đoạn h. (ĐS : a/ a = 4mg/(M+4m) ; b/ T = Mmg/(M+4m) ; c/ w = ) Bài 32. Cho một hệ như hìn