Báo cáo Phương trình sai phân và các ứng dụng

ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn : Sinh viên thực hiện : BÀI THẢO LUẬN NHÓM 11 Môn Toán cao cấp Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Nội dung bài hảo luận gồm có các nội dung chính như sau: A/ Sai phân và PT sai phân 1. Lưới thời gian và sai phân Phương trình sai phân B/ Ứng dụng của PTSP Ứng dụng trong tìm công thức tổng quát của dãy số Ứng dụng của PTSP trong tính tổng của một dãy số 3.Ứng dụng của PTSP trong kinh tế 4. Một số ứng dụng khác của sai phân Nội dung chi tiết: A/ Sai phân và phương trình sai phân 11.1.1. Lưới thời gian và sai phân a) Lưới và bước lưới Cho điểm t0 trên trục thực và khoảng cách h>0. Tập các điểm trên trục thực: I := {t0 = nh : n
Z } là một tập rời rạc, gồm các điểm cách điều nhau một khoảng cách là h, bắt đầu từ h0. Ta gọi I là một lưới thời gian với bước lưới là h. b) Sai phân GIả sử y(t) là một hàm trên lưới I; t
I. Khi đó :
Y(t) := y(t+h) – y(t) gọi là sai phân cấp một của hàm y(.) tại điểm t.

y(t) :=
(
y(t)) := [y(t+2h)-y(t+h)] - [y(t+h) – y(t)] := y(t+2h) – 2y(t+h) + y(t). gọi là sai phân cấp hai. Tương tự ta có
y(t) :=
(
y(t)) :=

y(t+ih) gọi là sai phân cấp k. Ý nghĩa: -Giả sử y(t) là một hàm khả vi trên R. Khi h>0 là một khoảng thời gian đủ nhỏ thì ta có xấp xỷ: Y(t+h) – y(t)
y’(t)h Như vậy với hàm số khả vi khi bước lưới là bé thì sai phân có thể coi là xấp xỷ tích của đạo hàm và độ dài bước lưới. -Giả sử y(n) là một hàm trên lưới Z. ta cũng dùng ký hiệu y(.) : Z
R : n
y(n) hoặc y(.) : Z
R : n
y
giá trị của hàm y(.) tại bước n
Z được ký hiệu là y(n) hoặc y
. như vậy, trên lưới Z theo các định nghĩa ở trên, ta có :
y(n) =y(n+1) – y(n)
y(n) =
y(n)) =
-
= y(n+2) –2 y(n+1) + y(n)
y(n) =
y(n)) =
y(n+k-i) Từ nay, để đơn giản khi trình bày, ta luôn lấy t0= 0 và h = 1 ( h=1 là đơn bị thời gian, chẳng hạn một giây, một giờ....) Trong trường hợp này ta có I
Z := {0;
;....}. Biến độc lập, theo truyền thống ta kí hiệu là n. c) Tính chất của sai phân 1)
= 0 ( C hằng số) 2)
[
y(n) +
y(n)] =
y(n) +
(
,

R) 3)
n
= 0 khi k > m Đa thức bậc m-k khi k
m 4)
(k = 1, 2, 3 … ) Hệ quả:
y(n) = y(N + 1) –y(M) 11.1.2 Phương trình sai phân ( PTSP) Định nghĩa 11.1 Giả sử y(n) là một hàm đối số nguyên, chưa biết, cần tìm từ đẳng thức. F(n,
y(n),
y(n),...,
y(n), y(n)) = 0 (11.1) Trong đó không được khuyết
y(n). Khi đó đẳng thức trên được gọi là một phương trình sai phân cấp k. Từ định nghĩa sai phân ta thấy phương trình (11.1) có thể viết dưới dạng tương đương như sau : F1(n, y(n+k), y(n+k-1),...,y(n+1), y(n) = 0 (11.2) Trường hợp đặc biệt, ta được phương trình sau : Y(n+k) = f(n, y(n+k-1), y(n+k-2),...,y(n+1),y(n)) (11.3) được gọi là một phương trình sai phân cấp k dạng chính tắc. Nghiệm Giả sử ta xét bải toán trên tập n
J
Z
:= {0;1;2;...). Mọi hàm số đối số nguyên mà khi thay vào phương trình được đẳng thức đúng với mọt n
J đều gọi là nghiệm của phương trình sai phân đó ( trên J). Điều kiện ban đầu Cho một giá trị bất kì n0

và một bộ k giá trị thực tùy ý (
). Nghiệm y(.) của phương trình sai phân, sao cho: Y(n0 = y

Y(n0+1) = y
(11.4) ...... Y(n0 +k -1) = y
gọi là nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu (11.4). Để đơn giản, nếu không nói gì thêm, ta mặc định m0 = 0 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng định nghĩa 11.2: Giải phương trình sai phân cấp k, được kết quả là một đẳng thức tương đương dạng y(n) =
(n, C1, C2 , ....Ck ) (11.5) trong đó C1, C2,...,Ck là k hằng số tự do, khi đó (11.5) gọi là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân đó. Thay một bộ giá trị hằng số cụ thể vào nghiệm tổng quát , ta được đẳng thức: y(n) =
(n,
) đẳng thức này được gọi là một nghiệm riêng. Thông thường, nghiệm riêng được xác định theo điều kiện ban đầu. 11.2 Ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt. Ph­¬ng tr×nh d­íi ®©y gäi lµ ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh ( PTSPTT) cÊp k. aky(n +k) +ak-1y(n+k-1)+…+a1y(n+1)+a0y(n) = f(n) (aka0
0) (11.6) NÕu tån t¹i n sao cho f(n) ≠ 0 th× ph­¬ng tr×nh gäi lµ kh«ng thuÇn nhÊt. NÕu f(n) = 0 th× ph­¬ng tr×nh sau ®aay lµ ph­¬ng rt×nh thuÇn nhÊt t­¬ng øng cña (11.6) aky(n +k) +ak-1y(n+k-1)+…+a1y(n+1)+a0y(n) = 0 (11.7) NÕu cã hÖ sã ai phô thuéc vµo n th× nãi ph­¬ng tr×nh cã hÖ sè biÕn thiªn. Tr­êng hîp ng­îc l¹i, khi mäi hÖ sè ai ®Òu kh«ng phô thuéc vµ n th× nãi ph­¬ng tr×nh cã hÖ sè h»ng. TÝnh chÊt tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt. MÖnh ®Ò 11.1 1) NÕu y1(n) lµ c¸c nghiÖm cña (11.7) th× víi mäi cÊp sè thùc α,β hµm y(n) = αy1(n) + βy2(n) còng lµ nghiÖm cña (11.7) 2) NÕu y1(n), y2(n),…,yk(n) lµ k nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña (11.7) th×
= C1y1(n) + C2y2(n) +…+ Ckyk(n) Trong ®ã C1,C2,...,Cn lµ c¸c h»ng sè tuú ý, lµ nghiÖm tæng qu¸t cña (11.7) Ngoµi ra, ta dÔ thÊy ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt lu«n cã nghiÖm tÇm th­êng y(n) = 0. 11.2.1 Ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 vµ hÖ sè h»ng. 1. Phương trình thuần nhất * Dạng tổng quát: ay(n + 1) + by(n) = 0 (*) Với a, b là hằng số ≠ 0 * Cách giải: Cách 1: Xét phương trình đặc trưng: aλ + b = 0 λ = -b/a Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: Y(n) = c(-b/a)n Cách 2: Truy hồi VD: y(n + 1) – 3y(n) = 0 (1) - Cách 1: Xét phương trình đặc trưng của (1) là λ – 3 = 0 =>λ = 3 => Nghiệm tổng quát của (1) là: y(n) = C. 3n - Cách 2: Truy hồi: y(n) ≠ 0 √ n, y(n + 1) = 3y(n) Ta có: y(1) = 3y(0) Y(2) = 3y(1) …………. Y(n) = 3y(n-1) Nhân vế với vế ta có: y(n) = y(0) * 3n Đặt y(0) = C => y(n) = C. 3n 2. Phương trình không thuần nhất: * Dạng tổng quát: ay(n + 1) +by(n) = f(n) (a.b ≠ 0; f(n) ≠ 0) Cách giải: Cách 1: Phương pháp chọn Bước 1: Giải phương trình thuần nhất ay(n+1) +by(n) = 0 Ta tìm được nghiệm tổng quát y(n) = (-b/a)n .c Bước 2: Tìm nghiệm riêng ü(n) của 1 Trường hợp 1: Cho hàm f(n) = αn.Pm(n) Với Pm(n) là đa thức bậc m của n + Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nghĩa là α ≠ -b/a. Nghiệm riêng của (1) có thể tìm dưới dạng: ü(n) = αn. Qm(n) Trong đó Qm(n) là một đa thức bậc m có hệ số chưa biết và có thể tìm bằng phương pháp hệ số bất định + Nếu α là nghiệm của phương trình đặc trưng thì tìm nghiệm riêng ở dạng: ü(n) = n. αn. Qm(n) Trường hợp 2: Cho hàm f(n) = αn. [ Pm(n)cos(nβ) + Ql(n).sin(nβ) ] Nghiệm riêng có thể tìm dưới dạng ü(n) = αn. [ Ph(n)cos(nβ) + Qh(n).sin(nβ) ] Trong đó h = max(l,m) Cách giải 2: Phương pháp biến thiên hằng số: Bước 1: Giải phương trình thuần nhất ay(n+1) +by(n) = 0 Ta tìm được nghiệm tổng quát y(n) = (-b/a)n .c Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình thuần nhất bằng biến thiên hằng số Coi C = C(n) khi đó: Y(n) = C(n). (-b/a)n y(n+1) = C(n+1). (-b/a)n+1 Thay vào phương trình Ay(n + 1) +by(n) = f(n) ta được: a.C(n+1).(-b/a)n+1 + b.C(n).(-b/a)n = f(n) C(n+1) – C(n) = (-1/b).(-a/b)n.f(n) Đây là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng đối với C(n) ta có thể giải bằng các cách đã biết C(1) – C(0) = (-1/b). f(0).(-a/b)0 C(2) – C(1) = (-1/b). f(1). (-a/b)1 ………………… C(n) – C(n-1) = (-1/b). f(n-1). (-a/b)n-1 Cộng theo từng vế ta được: n-1 C(n) – C(0) = (-1/b). ∑ f(i). (-a/b)i i=0 Lấy hằng số tự do là C(0) = C ta được n-1 C(n) = C +(-1/b). ∑ f(i). (-a/b)i i=0 Thay vào y(n) ta được nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là n-1 Y(n) = (-b/a)n.[ C +(-1/b). ∑ f(i). (-a/b)I ] i=0 Ví dụ: Giải phương trình: y(n+1) – 5y(n) = 5n(n + 3) Cách giải 1: Bước 1: Xét phương trình thuần nhất y(n+1) – 5y(n) = 0 Xét phương trình đặc trưng: λ – 5 = 0 λ = 5 y(n) = C.5n Bước 2: Ta có: f(n) = 5n(n+3) α=5 là nghiệm của phương trình đặc trưng Vậy ü(n) = n5n.(An+B) ü(n+1) = (n+1)5n+1(An +A + B). Thay vào phương trình ban đầu ta được: (n+1)5n+1(An + A + B) - 5n5n.(An+B) = 5n(n + 3) 5(n+1)(An + A +B) – 5n(An + B) = n+3 10An + 5(A + B) = n+3 10A = 1 và 5(A + B) = 3 A=1/10 và B = ½ ü(n) = n.5n(n/10 + 1/2) Nghiệm của phương trình là y(n) = C.5n + n.5n(n + 5)/10 Cách giải 2: Xét phương trình thuần nhất y(n+1) – 5y(n) = 0 Xét phương trình đặc trưng: λ – 5 = 0 λ = 5 y(n) = C.5n Coi C = C(n) ta có: C(n+1) 5n+1- 5.5n.C(n) = 5n(n+3) C(n+1) – C(n) = 5-1(n+3) C(1) – C(0) = 5-1(0+3) C(2) – C(1) = 5-1(1+3) ………….. C(n) – C(n-1) = 5-1(n-1+3) Cộng vế với vế ta được: C(n) – C(0) = 5-1(3+4+5+…+n+2) = (n2 + 5n)/10 Đặt C = C(0) Thay C(n) vào y(n) ta được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là: Y(n) = (C + (n2 + 5n)/10) Chó ý 11.1 : Ta th­êng ding kÝ hiÖu
(n) ®Ó chØ nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt ®Ó tr¸nh nhÇm lÉn vÒ sau. Ta còng cã thÓ viÕt nghiÖm tæng qu¸t ®¬n gi¶n lµ y(n) 11.2.2 Ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cÊp 2 hÖ sè h»ng XÐt ph­¬ng tr×nh sau víi a, b, c lµ c¸c h»ng sè vµ ac ≠ 0 ay(n+2) + by(n+1) +cy(n) = 0 (11.9) Ph­¬ng tr×nh nghiÖm phøc sau ®©y gäi lµ ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña (11.9) a
+ bλ + c = 0 (ac ≠ 0 ) MÖnh ®Ò 11.3 1) NÕu ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng (11.10) cã 2 nghiÖm thùc kh¸c nhau lµ th× nghiÖm tæng qu¸t cña 11.9 lµ:
(n) = C1
+ C2
2) NÕu (11.10) cã 2 nghiÖm thùc trïng nhau lµ λ1 = λ2 = λ th× nghiÖm tæng qu¸t cña (11.9) lµ
= C1
+ nC2

NÕu (11.10) cã 2 nghiÖm phøc liªn hîp lµ α
iβ trong ®ã β ≠ 0; α
iβ = r(

i
) th× nghiÖm tæng qu¸t cña (11.9) lµ :
(n) =
(C1
+ C2
) ë ®©y C1,C2 lµ c¸c h»ng sè tïy ý. 11.2.3 Ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cÊp k hÖ sè h»ng XÐt ph­¬ng tr×nh sau víi a0a1,…ak lµ c¸c h»ng sè víi aoak ≠ 0: aky(n +k) +ak-1y(n+k-1)+…+a1y(n+1)+a0y(n) = 0 (11.12) Ph­¬ng tr×nh nghiÖm phøc sau(11.13) 11.2.4 PTSPTT cÊp 1 hÖ sè biÕn thiªn Phương trình thuần nhất Dạng: a(n).y(n+1) + b(n).y(n) = 0 Cách giải: Truy hồi Gi¶ sö r»ng A(n)B(n) ≠ 0,
n ≥ no. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t khi ta gi¶ sö n0= 0 khi chØ xÐt ph­¬ng tr×nh sau: Y(n+1) = a(n)y(n) (a(n) ≠ 0, n

) (11.16) G¸n cho n lÇn l­ît c¸c gi¸ trÞ ta 0, 1, 2, …, n-1, ta ®­îc: y(1) = a(0)y(0) y(2) = a(1)y(1) … y(n) = a(n-1)y(n-1) Nh©n theo tõng vÕ lµ lÊy h»ng sè tù do lµ C = y(n) ta ®­îc nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh (11.16) lµ :
(n) = C
Chó ý : 1)NÕu trong ph­¬ng tr×nh (11.16) a(n) ≠ 0 b¾t ®Çu n0 trë ®I th× ta lÊy C = y(n0) vµ b¾t ®Çu tÝnh c¸c gi¸ trÞ liªn tiÕp tõ n0+1 trë ®I 2) ViÖc lÊy h»ng sè tù do C = y(n0) hay C = y(n0+1) lµ kh«ng ¶nh h­ëng ®Õn nghiÖm tæng qu¸t Phương trình không thuần nhất: Dạng: a(n).y(n+1) + b(n).y(n) = f(n) (1) f(n) ≠ 0 Cách giải: Dùng truy hồi VD: Giải phương trình: Y(n+1) = (n+1)y(n) + (n+1)!.n Lời giải: Xét phương trình thuần nhất: Y(n+1) = (n +1)y(n) Ta có: y(1) = 1y(0) Y(2) = 2y(1) …………… Y(n) = n.y(n-1) Nhân vế với vế, lấy C = y(0) ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Y(n) = C.n! Coi C = C(n) ta được: y(n) = n!.C(n) Y(n+1) = (n+1)!.C(n+1) Thay vào phương trình không thuần nhất ban đầu ta được: (n+1)!.C(n+1) = (n+1)C(n)n! + n(n+1)! C(n+1) –C(n) = n C(1) – C(0) = 0 C(2) –C(1) = 1 ………… C(n) – C(n-1) = n-1 Cộng vế với vế ta được: C(n) – C(0) = n(n-1)/2 Coi C =C(0) => C(n) = C + n(n-1)/2 Thay vào biểu thức ta được nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: Y(n) = (C + n(n-1)/2) B/ Ứng dụng của PT sai phân I.Ứng dụng của PTSP trong tìm CTTQ của dãy số Vấn đề sai phân và ứng dụng của sai phân giải toán dãy số cũng như giải toán nói chung đã được nhiều người quan tâm, cho dù mức độ cũng như dạng loại cũng có phần khác nhau. Sai phân và ứng dụng của sai phân là phần rất quan trọng nó không những góp phần giải quyết các bài toán dãy số mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức...Về bản chất sai phân là tìm cách tách một số hạng của dãy số đã cho thành hiệu (hay tổng quát hơn là tổng đại số) của hai hay ba số hạng liên tiếp của dãy số khác. Dưới đây là ứng dụng của phương trình sai phân trong tìm công thức số hạng tổng quát của một dãy số. 1) Sai phân cấp I: Cho dãy
: U1 cho trước ,
( với a,b cho trước) hãy xác định số hạng tổng quát
của dãy số. Ta gọi đó là phương trình sai phân cấp I ( tức là để tìm một số hạng của dãy cần biết một số hạng ngay trước nó). Đây là bài toán cơ bản có cách giải đơn giản: +) Nếu a=1 thì dãy số là cấp số cộng công sai b nên
+) Nếu a
1 ta có
khi đó dãy là cấp số nhân , công bội a nên
Tuy nhiên nếu ta làm như sau thì sẽ thấy dẫn tới phương pháp sai phân: +) Nếu a =1: có
hay
+) Nếu a
1 ta có:
. Đặt
Do đó
; từ đó tìm được
. Thử lại thoả mãn. Phương pháp này gọi là Sai phân cấp I: Tức là tách một số hạng của dãy thành hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy mới, cũng có thể thay dấu bằng bởi các dấu lớn, nhỏ hơn mà ta sẽ thấy qua các ví dụ dưới đây, phương pháp này có ứng dụng rất lớn. Ví dụ 1:(Sai phân trong trong đa thức ) Tìm tất cả các đa thức f(x)
R
thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) f(x+1)- f(x) = x
x b) f(x+1)- 3f(x) = 2x+5
x Giải: a) Đây mới là bài toán dùng sai phân: Ta sẽ đưa về bài toán a) bằng cách tìm một đa thức g(x) sao cho: g(x+1) - g(x) = x (
x) Chỉ cần chọn g(x)=ax2+bx ( đa thức có bậc lớn hơn bậc của x một đơn vị) Ta có

khi đó bài toán đã cho
Theo a) ta có f(x)- g(x)=A( hằng số) hay f(x) =
Thử lại đúng. b)Tương tự câu a), nhưng tìm g(x) = ax+b (cùng bậc với 2x+5) sao cho g(x+1)-3g(x) = 2x+5
x Ta có a(x+1)+b-3(ax+b)=2x+5(
x)
khi đó giả thiết có dạng: (f(x+1)-g(x+1)) - 3(f(x)-g(x)) = 0 (
x) Dễ chứng minh đa thức h(x) thoả mãn h(x+1) - 3h(x) = 0 (
x) là đa thức đồng nhất bằng 0 (đồng nhất hệ số). Vậy f(x) = g(x) = - x - 3
x. Ví dụ 2 :(Sai phân trong phương trình hàm) Tìm các hàm số xác dịnh trên R và thoả mãn một trong các điều kiện sau: a)f(x+2) = f(x) + 3x - 1
x b)f(x+1) = 3f(x) + x c) f(x+1) = 3f(x) + 2x
x Giải: a)Dùng phương pháp sai phân: Tìm một hàm số g(x) sao cho g(x+2) - g(x) = 3x - 1
x Ta chọn g(x) = ax2 + bx; ta có a(x+2)2 + b(x+2) - (ax2+bx) = 3x-1(
x) hay 4ax+4a+2b = 3x-1
x , nên a =
; b = -2 Khi đó ta có giả thiết tương đương với f(x+2) - g(x+2) = f(x) - g(x)
x .Vậy f(x) - g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2, ta gọi đó là h(x)( hoàn toàn xác định) hay f(x) = h(x) +
x2 - 2x .Thử lại thoả mãn. b)Trước tiên ta tìm hàm số f(x) thoả mãn: f(x+1)=3f(x) (
x)
Đặt f(x) = 3x h(x), ta có h(x+1) = h(x) (
x) tức là h(x) là hàm số tuần hoàn chu kỳ 1(đã xác định theo câu a) hay f(x)=3xh(x) (
x) Bước hai: Ta tìm hàm số g(x) = ax+b sao cho g(x+1) - 3g(x) = x (
x)
hay a= -
; b= -
Khi đó f(x+1)-g(x+1) = 3(f(x)- g(x)) (
x) . Theo kết quả ở trên suy ra f(x) =
+3xh(x), ở đó h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 bất kỳ. c) Ta tìm hàm số g(x) = a.2xsao cho g(x+1) - 3 g(x) = 2x (
x) hay a.2x+1- 3a.2x=2x
x suy ra a = -1 Khi đó bài toán đã cho thành: f(x+1) - g(x+1) = 3(f(x)- g(x)) (
x) Cũng theo kết quả trên thì f(x) = 3x h(x) - 2x (
x), trong đó h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 tuỳ ý. 2)Sai phân cấp I suy rộng: Ta đã giải quyết được bài toán tìm Un thoả mãn Un+1=aUn+b với a, b là các hằng số và một vài ví dụ về áp dụng sai phân cấp I Bây giờ ta sẽ giải bài toán phức tạp hơn: tìm Un thoả mãn Un+1=aUn+f(n) trong đó f(n) là một trong các hàm: đa thức của n; sinn; cosn; an ... Thông qua các ví dụ sau đây ta sẽ thấy ứng dụng sai phân rất mạnh, và có thể nghiên cứu được quy luật để áp dụng. Ví dụ 3: Tìm
(Hệ số của Un khác 1) Giải: Ta tìm đa thức bậc 1 với n ( cùng bậc với (n+1) ) là: an+b sao cho
hay
Khi đó (1)
Đặt
Vậy
. Thử lại thoả mãn. Ví dụ 4: Tìm
(Khác ví dụ trên vì hệ số Un là 1) Giải: Ta phải tìm đa thức bậc 2 với n ( hơn bậc của (n+1) một đơn vị)
sao cho
Giải ra ta được a = b =
Khi đó (*)
Đặt
. Vậy
( V1=0). Thử lại thoả mãn. Nhận xét : Qua hai ví dụ trên thấy rằng nếu f(n) là đa thức của n có bậc k thì ta tìm đa thức để sai phân cùng bậc k (khi hệ số Un khác 1); hoặc đa thức bậc k+1 (khi hệ số Un bằng 1). Ví dụ 5: a)Tìm
b)Tìm
c)Tìm
(Ba ví dụ là ba dạng của trường hợp f(n) là hàm mũ: hệ số của Un bằng 1, khác 1 nhưng bằng hoặc không bằng cơ số hàm mũ; cách giải chúng có sự khác nhau). Giải: Ta tìm g(n) = a.3n sao cho:

chọn được a =1. Khi đó giả thiết trở thành
. Hay
b) Tìm g(n) =
và ta được a = -2 khi đó giả thiết trở thành:
. Vậy
Ta tìm g(n) =
. Khi đó từ giả thiết suy ra
do đó
Ví dụ 6: a) Tìm
b) Tìm
Giải: a) (Dùng sai phân!) Ta tìm g(n) = a cosn + b sinn sao cho: g(n+1) - g(n) = cosn hay:
vì định thức D = 2-2cos1 > 0 nên hệ có nghiệm duy nhất là (a;b). Khi đó ta có:
suy ra
Với a, b xác định theo hệ trên. b) Sử dụng phương trình sai phân: Tìm hàm số g(n) = a cosn + b sinn, sao cho g(n+1)-2g(n) = sinn
. Làm tương tự như trên: a,b là nghiệm của hệ phương trình
định thức D = 5 - 4cos1 > 0 nên hệ có nghiệm duy nhất (a;b). Thay vào giả thiết ta có

(với g(n) xác định theo hệ trên) Đến đây ta thấy rõ ràng lợi ích của phép sai phân: tìm hàm g(n) để đưa về bài toán đã biết(với f(n)=0) Bây giờ ta sẽ giải quyết bài toán phức tạp hơn: f(n) là tổng hai hàm trong ba hàm số đã nêu là hàm đa thức, hàm mũ và hàm cosin, sin của biến n. Để nắm được phương pháp chung ta chỉ cần xét một ví dụ sau: Ví dụ 7: Tìm
Giải: Rõ ràng không thể chia hai vế của đẳng thúc đã cho cho 2n+1 Ta sẽ tìm hai hàm số : g(n)=an+b sao cho g(n+1) -2g(n) = n và h(n) = c3n sao cho h(n+1)-2h(n) = 3n
. Giải ra ta có a = b = -1; c = 1 . Khi đó giả thiết đã cho trở thành:
. Vậy
. Thử lại thoả mãn Một lần nữa ta thấy lợi ích của phương pháp sai phân có thể giải được bài toán khi f(n) phức tạp hơn: có dạng tổ hợp của các f(n) đã cho. 3) Sai phân cấp II: Ta gọi biểu thức af(x+2)+bf(x+1)+cf(x) là sai phân cấp II của biến x. Phương trình sai phân cấp II thuần nhất: af(x+2)+bf(x+1)+cf(x) = 0(*) trong đó x thuộc R hay thuộc N. Ta xét cách giải và mở rộng cho phương trình không thuần nhất ( tức là vế phải của phương trình (*) là hàm số) thông qua các ví dụ. Ví dụ 8: Tìm
Giải: Giả thiết


. Cộng đại số hai đẳng thức ta có
Hay
ở đó
xác định nhờ U1;U2 Tổng quát: Nếu
và phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt
. Trong đó
xác định nhờ U1;U2 . Ví dụ 9: Tìm
Giải: Dễ thấy từ giả thiết suy ra
. Do đó
. Đây là dạng đã được giải quyết ở phần II). Có thể viết :

Thử lại thoả mãn. Tổng quát: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép x0 thì Un=(an+b)x0n với a và b xác định nhờ U1;U2. Ví dụ 10: Tìm
Giải: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp
Làm tương tự như ở ví dụ 1( Phần II) ta có
. Thay số ta có

a, b xác định nhờ U1;U2. Thử lại thấy thoả mãn đề bài. Tổng quát: phương trình sai phân mà trong đó phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức liên hợp thì:
. ( Ở đó
là hai nghiệm của phương trình đặc trưng). Ví dụ 11: Tìm
Giải: Đặt
( Vì dễ chứng minh Un
). Khi đó giả thiết đã cho trở thành:
. Do đó
. Vì V1=1 và V2=U1/V1=1 nên
.Thử lại thoả mãn. Tổng quát: Nếu cho dãy số
Với điều kiện để Un khác 0 thì ta có thể đặt
; Từ giả thiết sẽ suy ra được
. Giải phương trình sai phân cấp II này suy được Un 4)Sai phân cấp II suy rộng: Tương tự sai phân cấp I , ta xét các phương trình sai phân dạng:
; trong đó
là hàm đa thức của n, hàm mũ của n, hàm cosn, sinn. Ta có thể thấy phương pháp thông qua ví dụ cụ thể: Ví dụ 12:(Trường hợp phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt khác 1). Tìm
a)Với f(n) = n +2 Giải: Nguyên tắc chung vẫn như ở sai phân cấp I, ta tìm g(n) sao cho g(n+2) - 5g(n+1) + 6g(n) = f(n)
a)Ta tìm g(n) =
; giải ra ta có g(n) =
Khi đó giả thiết suy ra
Giải phương trình sai phân ta có
do đó
. Thử lại thoả mãn. Ví dụ 13:(Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm x=1 là nghiệm đơn).