Biến đổi Fourier

BIẾN ĐỔI FOURIER I. Chuỗi Fourier 1. Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục 1.1. Định nghĩa Tín hiệu x(t) liên tục tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2T    có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier như sau: ( ) jk tk k x t c e      Trong đó: 0 1 ( ) T jk t kc x t e dtT   :là các hệ số FS của x(t) 1.2. Điều kiện tồn tại của FS:  x(t) bị chặn  x(t) có hữu hạn cực đại và cực tiểu trong 1 chu kỳ  x(t) có hữ hạn các điểm hữu hạn 1.3. Tính chất  Tính chất tuyến tính           1 2 1 2FS x x FS x FS xt t t t      Trong đó α, β là các hằng số thực, x1(n) và x2(n) là các tín hiệu liên tục.  Tính chất dịch Dịch theo thời gian 0 0( ) j tFS kx t t e c   Dịch theo tần số 0 0 ( )j t FS k ke x t c    Đảo trục thời gian ( ) FS kx t c   Tính chất đối xứng * *( ) FS kx t c   Quan hệ Patseval 2 21 ( ) k kT x t dt c T     Ý nghĩa: FS bảo toàn công suất của tín hiệu. 1.4. Các phương pháp biểu diễn ( )jX e   Biểu diễn dưới dạng phần thực và phần ảo Bởi vì ( )jX e  là một hàm biến phức nên ta có thể biểu diễn nó trong miền tần số ω dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu thức dưới đây: ( )jX e  = Re[ ( )jX e  ] + jIm[ ( )jX e  ] Trong đó: Re[ ( )jX e  ]: là phần thực của ( )jX e  Im[ ( )jX e  ]: là phần ảo của ( )jX e   Biểu diễn dưới dạng biên độ và pha ( )jX e  làm một hàm biến số phức vậy ta có thể biểu diễn nó dưới dạng module và argument như sau: ( )jX e  = | ( )jX e  | arg[ ( )] jj X ee  Trong đó: | ( )jX e  |: được gọi là phổ biên độ của x(n) arg[ ( )]jX e  :được gọi là phổ pha của x(n) Ta có quan hệ sau: | ( )jX e  | =  2 2[X(e )j je mR I X e           arg arg j mj j e I X e X e tg R X e               2. Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc 2.1. Dãy tuần hoàn và chuỗi Fourier rời rạc Dãy   ~ x n tuần hoàn với chu kỳ N:     ~ ~ , ,x n x n rN n r    Khai triển chuỗi Fourier cho dãy   ~ x n :   2~ j kn N k k x n c e   Đặc điểm của các thành phần tần số 2j kn Ne  , 2j kn Ne  ∀ k∈ Z 2j kn Ne  = 2 ( )j k rN n Ne   , ∀ r∈ Z       21~ 0 , N j kn N k rN k r x n X k e X k c           21 ~ 0 1 N j knN n X k x n e N      Với X [k ] tuần hoàn với chu kỳ N . DTFS (chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian) cho dãy tuần hoàn:             ~ ~ 2 21 1~ ~ ~ ~ 0 0 1 , DTFS N Nj kn j kn N N n k x n X k X k x n e x n X k e N           Nếu cần nhấn mạnh "hệ số", có thể thay   ~ X k bằng ký hiệu   ~ kc 2.2. Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc  Tuyến tính        1 2 1 2x x X XDTFSn n k k       Trễ thời gian    0 2~ ~ 0 j knDTFS jkNx n n e X e      Trễ tần số    0 2 ~ ~ 0 j kn DTFSNe x n X k k      Tính chất đối ngẫu Nếu     ~~ DTFSx n X k thì     ~~ 1DTFSX n x k N    Tính chất đối xứng     ~ ~ * DTFSx n X k      ~ ~ * DTFSx n X k  II. Biến đổi Fourier 1.Biến đổi Fourier (FT) cho tín hiệu liên tục không tuần hoàn 1.1. Định nghĩa Cho tín hiệu x(t) liên tục và không tuần hoàn theo thời gian. Nếu coi tín hiệu x(t) là tuần hoàn với T   thì phép biến đổi Fourier của x(t) được định nghĩa như sau: ( ) ( )FTx t X j Trong đó:   ( ) ( ) j tX j FT x t x t e dt       Và   11( ) ( ) 2 j j tx t X e e d F X j          1.2. Điều kiện tồn tại:  x(t) khả tích tuyệt đối ( )x t dt      Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạncác cực đại và cực tiểu  Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn các điểm không liên tục,với các giá trị không liên tục là hữu hạn.  2. Biến đổi Fourier (FT) cho tín hiệu liên tục và tuần hoàn 2.1. Định nghĩa Xét tín hiệu ở miền tần số 0( ) 2 ( )X j     , ta có: 0 0 1( ) 2 ( ) 2 j tj tx t e dt e          2.2. Tính chất của biến đổi Fourier  Tính chất tuyến tính           1 2 1 2FT x x FT x FT xt t t t      Trong đó α, β là các hằng số thực, x1(n) và x2(n) là các tín hiệu liên tục.  Tính chất dịch Dịch theo thời gian 0 0( ) ( ) j tFTx t t e X j   Dịch theo tần số 0 0( ) ( ( ) j t FTe x t X j     Vi phân và tích phân Vi phân: ( ) ( )FTd x t j X j dt   Tích phân:  1( ) (0) ( ) t FTx d X j X j           Tính chất đối xứng * *( ) ( )FTx t X j   Đối ngẫu Nếu ( ) ( )FTx t X j thì ( ) 2 ( )FTX jt x    Co dãn trên miền thời gian 1( ) FT jx at X a a       |a|>1: nén trục thời gian, giãn trục tần số |a|>1: giãn trụcthời gian, nén trục tần số  Quan hệ Parseval 2 21( ) ( ) 2 x t dt X j d          Chập trên miền thời gian        * ( ) ( )FTy t x t h t Y j X j H j     3. Biến đổi Fuorier cho tín hiệu rời rạc không tuần hoàn theo thời gian 3.1. Định nghĩa Xét dãy x[n] có chiều dài hữu hạn, không tuần hoàn theo thời gian, có thể coi là dãy   ~ Nx n tuần hoàn vớ chu kỳ →∞. Ta có:   0 ~ 1 ( )jk N X k X e N  Trong đó 0 2 N    và    j j n X e x n e        jX e  - biến đổi Fourier của dãy rời rạc theo thời gian x[n]  Tuần hoàn với chu kỳ 2π  Phổ biên độ:  jX e  , và phổ pha   arg jX e  3.2. Cặp biến đổi Fourier    FT jx n X e  Biến đổi thuận:         FT j j n n x n X e FT x n x n e         Biến đổi ngược:       1 1 1 ( )2 FTj j j j nX e x n FT X e X e e d               3.3. Sự tồn tại của biến đổi Fuorier  FT tồn tại khi dãy sau hội tụ:   j n n x n e      Điều kiện   n x n     4. Biến đổi Fuorier cho tín hiệu rời rạc, tuần hoàn theo thời gian  0 02 2j FT l e n l           Nếu   ~ Nx n có khai triển Fourier (DTFT)     21~ ~ 0 N j kn N N k x n X k e    Thì có biến đổi Fourier (FT) như sau:   2( ) 2 ( )j k X e X k k N          Tính chất của FT  Tuyến tính           1 2 1 2FT x x FT x FT xn n n n       Trễ thời gian     00 j n jFT x n n e X e    Trễ tần số     00 jj nFT e x n X e          Đảo trục thời gian    ( )jFT x n X e    Đạo hàm trên miền tần số    ( ) jX eFT nx n j d     Tích chập       1 1 2* 2 ( )j jFT x n x n X e X e   Nhân        1 1 212 ( )2 jjFT x n x n X e X e d            Đối xứng            * *( ) * *( ) 1Re ( ) * 2 j j j j FT x n X e FT x n X e FT x n X e X e                   Quan hệ Parseval :   22 1 ( ) 2 j n x n X e d          