Bồi dưỡng khả năng phán đoán cho học sinh lớp 11 thông qua phép suy luận tương tự trong dạy học hình học không gian

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 49-56 This paper is available online at BỒI DƯỠNG KHẢ NĂNG PHÁN ĐOÁN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA PHÉP SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Vũ Đình Chinh Trường THPT Hà Đông, Quận Hà Đông, Hà Nội Email: chinh.vudinhhueuni@gmail.com Tóm tắt. Trong bài báo này tác giả tập trung nghiên cứu việc bồi dưỡng khả năng phán đoán cho học sinh lớp 11 thông qua phép suy luận tương tự giữa hình bình hành và hình hộp trong dạy học Hình học không gian. Từ khóa: Khả năng, phán đoán, phép suy luận tương tự. 1. Mở đầu Việc giáo viên sử dụng phép suy luận tương tự để rèn luyện cho học sinh khả năng phán đoán đã trở thành yêu cầu rất cần thiết và quan trọng trong xu hướng dạy học ngày nay. Nhờ phép suy luận tương tự mà người học có thể chủ động khám phá và sáng tạo nhiều bài toán hình học không gian bằng khả năng phán đoán của mình. Khi dạy giờ bài tập hình học không gian, đa số giáo viên thường đưa ra các bài toán và yêu cầu học sinh chứng minh bài toán đó bằng phương pháp diễn dịch, điều này dẫn đến học sinh học Hình học không gian một cách thụ động, hiểu nội dung bài học không được sâu sắc và các em có tâm lí rất ngại học bộ môn này. Việc giáo viên bồi dưỡng khả năng phán đoán cho học sinh trong bài dạy của mình đã giúp các em tiếp cận bài học một cách chủ động, tạo cơ hội cho các em sáng tạo các bài tập theo năng lực của từng em. Phán đoán của học sinh có thể đúng hoặc sai vì thế sau khi các em phán đoán kiến thức mới thì các em cũng phải quay lại suy luận diễn dịch để chứng minh phán đoán của mình đúng hay sai. Như thế, việc bồi dưỡng khả năng phán đoán thông qua phép suy luận tương tự nói riêng không tách rời với suy luận diễn dịch. Nói cách khác nó như là hoạt động giúp các em tiếp cận bài học một cách tự nhiên, giúp các em bồi dưỡng năng lực sáng tạo và khả năng quan sát, giúp các em hình thành cho mình thái độ học tập tích cực, chủ động và yêu thích môn học trước khi các em đến với việc rèn luyện suy luận chứng minh trong quá trình học Hình học không gian ở trường trung học phổ thông. 49 Vũ Đình Chinh 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Cơ sở lí luận 2.1.1. Phán đoán và phán đoán đoán thông qua phép suy luận tương tự Theo logic học thì phán đoán được định nghĩa như sau: "Phán đoán là hình thức của tư duy nhờ liên kết các khái niệm để khẳng định hay phủ định một cái gì đó thuộc bản thân đối tượng tư tưởng hay quan hệ giữa các đối tượng tư tưởng. Phán đoán có hai giá trị logic cơ bản là đúng hoặc sai". Phán đoán phản ánh đúng hiện thực gọi là phán đoán đúng. Phán đoán không phản ánh đúng đối tượng gọi là phán đoán sai. Ngoài ra, phản ánh chưa biết đúng hay sai gọi là phán đoán không xác định [3; 52]. 2.1.2. Tương tự - Tương tự là suy luận, trong đó kết luận về dấu hiệu thuộc về đối tượng xác định nào đó được rút ra trên cơ sở giống nhau của đối tượng ấy với đối tượng khác ở hàng loạt dấu hiệu. - Một số loại tương tự. Có nhiều công trình nghiên cứu sự phân chia tương tự, trong bài viết này tác giả xem xét dưới góc độ phân chia tương tự theo 2 loại sau đây: + Tương tự theo thuộc tính: Dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị thuộc tính nghĩa là A và B có cùng tính chất P1, P2, . . . Pn và A có tính chất Pn+1 thì ta dự đoán B cũng có tính chất Pn+1. + Tương tự theo quan hệ: Dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị quan hệ có nghĩa là A và B cùng loại hay có cấu trúc tương tự, A có quan hệ với C, ta có thể dự đoán B cũng có quan hệ với C. - Những điều kiện đảm bảo độ tin cậy của suy luận tương tự. Các đối tượng so sánh có càng nhiều thuộc tính giống nhau thì mức độ chính xác của kết luận càng cao; Các thuộc tính giống nhau càng phong phú, càng nhiều mặt thì mức độ chính xác của kết luận càng cao; Số lượng các thuộc tính có bản chất giống nhau càng nhiều thì mức độ chính xác của kết luận càng cao. 2.1.3. Phán đoán thông qua phép suy luận tương tự Phán đoán thông qua phép suy luận tương tự có thể được mô tả như sau: Nếu A và B là hai đối tượng “tương tự” với nhau và A có thuộc tính p thì ta phán đoán B cũng có thuộc tính q tương tự như thuộc tính p. Phán đoán thông qua phép suy luận tương tự có thể đúng hoặc có thể sai. Muốn khẳng định phán đoán là đúng thì phải chứng minh bằng suy luận diễn dịch. 50 Bồi dưỡng khả năng phán đoán cho học sinh lớp 11 thông qua phép suy luận tương tự... Khái niệm “tương tự” rất đa dạng và phong phú, tùy theo cách ta xem xét các đối tương theo góc độ nào [2; 146]. Trong bài báo này tác giả chủ yếu nhìn dưới góc độ tương tự theo thuộc tính trong Hình học affin. 2.2. Khái niệmm-hộp trong hình học Affin 2.2.1. Khái niệmm-hộp Trong không gian affin thựcAn(R) với n ≥ 1 chom+1 điểm độc lậpP0, P1, . . . , Pm (m ≥ 1). Tập hợp H(P0,P1, . . . ,Pm) = { M ∈ An|−−→P0M = m∑ i=1 λi −−→ P0Pi, 0 ≤ λi ≤ 1 } gọi làm-hộp đóng xác định bởi mục tiêu (P0, −−→ P0P1, ..., −−−→ P0Pm). Ta cũng gọi tập hợp: 0 H(P0,P1, . . . ,Pm) = { M ∈ An|−−→P0M = m∑ i=1 λi −−→ P0Pi, 0 <λi < 1 } là m- hộp mở cũng là phần trong của H(P0,P1, . . . ,Pm). Các điểm M ứng với các {λ1, λ2, ..., λm}mà ∀λi ∈ {0; 1} được gọi là các đỉnh của m-hộp (đóng hoặc mở) nói trên [1; 51]. 2.2.2. Ví dụ Một 1- hộp đóng gọi là 1 đoạn thẳng; một 2-hộp đóng gọi là hình bình hành đóng; một 3-hộp là hình hộp đóng. Mỗim- hộp (đóng hoặc mở) là một tập lồi. Như thế ta có thể xem các khái niệm sau đây là tương đương: Đoạn thẳng, hình bình hành và nói chung là m-hộp trong không gian n chiều [2; 147]. 2.3. Bồi dưỡng cho học sinh lớp 11 khả năng phán đoán thông qua suy luận tương tự giữa hình bình hành và hình hộp trong dạy học Hình học không gian 2.3.1. Một số thuộc tính tương tự giữa hình bình hành và hình hộp Hình bình hành ABCD Hình hộp ABCD.A′B′C ′D′ Đường thẳng Mặt phẳng Hai đường thẳng song song Hai mặt phẳng song song Đường chéo Mặt phẳng chéo 51 Vũ Đình Chinh Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường thẳng Độ dài đoạn thẳng Diện tích mặt phẳng Diện tích của hình bình hành Thể tích của khối hộp Hình bình hành có các cạnh đối AB và CD; AD và BC: Song song song và bằng nhau Hình hộp có các cặp mặt phẳng đối diện: (ABB′A′) và (CDD′C ′); (BCC ′B′) và (ADD′A′); (ABCD) và (A′B′C ′D′): Song song và bằng nhau. Hai đường chéo cắt tại trung điểm của mỗi đường. * Hai mặt phẳng chéo (ACC ′A′) và (BDD′B′) cắt nhau theo giao tuyến là đuờng trung bình của mỗi mặt. * Bốn đường chéo đồng quy tại trung điểm của mỗi đường. Hình bình hành chia thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Khối hộp chia thành hai khối lăng trụ có thể tích bằng nhau. 2.3.2. Sử dụng phép suy luận tương tự giữa hình bình hành và hình hộp để bồi dưỡng khả năng phán đoán cho học sinh lớp 11 Khi xem xét hình hộp là khái niệm tương đương với khái niệm hình bình hành thì nhờ những kết quả đã biết trong hình bình hành giáo viên có thể rèn luyện cho học sinh khả năng phán đoán một số kết quả trong hình hộp. Việc phán đoán của học sinh có thể đúng hoặc sai vì thế sau khi phán đoán học sinh phải sử dụng suy luận diễn dịch để làm rõ phán đoán của mình đúng hay sai. Một số kết quả trong hình hình hành Phán đoán kết quả tương tự trong hình hộp Cho hình bình hành ABCD, gọi M,N, P,Q lần lượt là trung điểm của BC,AD,AB,CD. Ta có một số kết quả: Cho hình hộp ABCD.A′B′C ′D′, trong mặt phẳng (ABCD) gọi M,N, P,Q lần lượt là trung điểm của BC,AD,AB,CD. i1. BM//DM ; Phán đoán 1: (BNN ′B′)//(DMM ′D′); i2. Đường chéo AC cắt các đường thẳng BN vàDM lần lượt tại hai điểm I, J sao cho chúng chia AC thành 3 đoạn thẳng bằng nhau; Phán đoán 2: Mặt phẳng (ACC ′A′) cắt các mặt phẳng (BNN ′B′), (DMM ′D′) theo các giao tuyến sao cho các giao tuyến này chia mp (ACC ′A′) thành 3 phần có diện tích bằng nhau; i3. AQ//CP ; Phán đoán 3: (AA′Q′Q)//(CPP ′C ′); 52 Bồi dưỡng khả năng phán đoán cho học sinh lớp 11 thông qua phép suy luận tương tự... i4. Đường chéo BD cắt các đường thẳng CP và AQ lần lượt tại hai điểmK,H sao cho chúng chia BD thành 3 đoạn thẳng bằng nhau; Phán đoán 4: Mặt phẳng (BDD′B′) cắt các mặt phẳng (AA′Q′Q), (CPP ′C ′) theo các giao tuyến sao cho các giao tuyến này chia mp (BDD′B′) thành 3 phần có diện tích bằng nhau; i5. Tứ giác IKJH là hình bình hành; Phán đoán 5: Hình IKJH.I ′K ′J ′H ′ là hình hộp; i6. Tổng bình phương độ dài của 2 đường chéo của hình bình hành bằng tổng bình phương độ dài các cạnh của nó. Phán đoán 6: Tổng bình phương độ dài 4 đường chéo của hình hộp bằng tổng bình phương độ dài của tất cả các cạnh của nó. (H1), (H2) là các hình vẽ của bài toán trong Hình học phẳng. (H3), (H4) là các hình vẽ của bài toán phán đoán trong không gian 3 chiều. Sau khi phán đoán được bài toán mới học sinh phải dụng suy luận suy diễn để chứng minh phán đoán của mình là đúng, nếu tìm được một phản ví dụ chứng tỏ phán đoán sai thì ngay lập tức học sinh phải loại bỏ phán đoán sai. Để chứng minh các phán đoán trên là đúng thì học sinh sử dụng suy luận diễn dịch. Suy luận diễn dịch quá trình vận dụng các quy tắc (gọi là quy tắc suy diễn) để từ một hay nhiều mệnh đề đã biết là đúng mà suy ra những mệnh đề mới cũng đúng [2;139]. Sau đây là suy luận diễn dịch mà học sinh sử dụng để chứng minh phán đoán của mình là đúng hoặc bác bỏ nếu phán đoán sai. 53 Vũ Đình Chinh Phán đoán 1: Học sinh dễ dàng chứng minh đây là phán đoán đúng. Phán đoán 2: (BNN ′B′) ∩ (ACCA) = II ′; (DMM ′D′) ∩ (ACCA) = JJ ′. Do II ′//AA′ và JJ ′//CC ′ nên II ′//JJ ′. Như vậy, mp (ACC ′A′) được chia thành 3 hình bình hành AA′I ′I; II ′J ′J ; JJ ′C ′C bằng nhau nên chúng có diện tích bằng nhau. Suy ra phán đoán 2 đúng. Phán đoán 3: Đây là phán đoán đúng, cách chứng minh tương tự như phán đoán 1. Phán đoán 4: Chứng minh tương tự như phán đoán 2 ta suy ra phán đoán 4 đúng Phán đoán 5: Do IKJH và I ′K ′J ′H ′ là các hình bình hành song song và bằng nhau; II ′//JJ ′//KK ′//HH ′ và II ′ = JJ ′ = KK ′ = HH ′ nên IKJH.I ′K ′J ′H ′ là hình hộp. Vậy phán đoán 5 đúng. Phán đoán 6: AC ′2 + A′C2 +BD′2 +B′D2 = 4(AB2 +BC2 +BB′2) Học sinh có thể sử dụng phần mềm GPS để đo đạc độ dài của các đoạn thẳng nhằm kiểm chứng phán đoán 6 đúng hay sai. Rõ ràng nhìn vào kết quả cho học sinh niềm tin đây là phán đoán đúng. Nhưng đó chỉ là minh họa bằng phần mềm, để khẳng định tính đúng đắn của nó thì học sinh phải dùng suy luận suy diễn. Nhận thấy, sử dụng kết quả đã có trong các hình bình hành AA′C ′C;BDD′B′ và ABCD ta có: AC ′2 + A′C2 = 2(AA′2 + AC2) = 2(BB′2 + AC2); BD′2 +B′D2 = 2(BB′2 +BD2); AC2 +BD2 = 2AB2 + 2BC2. Vậy, mệnh đề 6 là đúng. 2.4. Thực nghiệm sư phạm Tác giả đã tổ chức tiết dạy thực nghiệm với nội dung nói trên ở lớp 11A1 trường THPT Hà Đông - Hà Nội năm học 2012 - 2013. Sau tiết dạy, tác giả sử dụng phiếu khảo sát đánh giá để lấy ý kiến phản hồi từ người học về một số tiêu chí của bài học. 54 Bồi dưỡng khả năng phán đoán cho học sinh lớp 11 thông qua phép suy luận tương tự... Phiếu khảo sát đánh giá: Hãy bôi đen vào ô mà bạn lựa chọn với (1): Rất đồng ý; (2): Đồng ý; (3): Không chắc chắn; (4): Đồng ý một phần; (5): Rất không đồng ý. Bảng 1. Nội dung phiếu khảo sát đánh giá kết quả bài học Stt Nội dung khảo sát Ý kiến đánh giá của HS 1 Tôi đã được rèn luyện các hoạt động phán đoán nhờ suy luận tương tự trong bài học này. (1) (2) (3) (4) (5) 2 Bài học cho tôi hiểu sâu sắc hơn kiến thức về hình hộp, mối tương quan giữa hình bình hành và hình hộp. (1) (2) (3) (4) (5) 3 Bài học đã giúp tôi hình thành khả năng sáng tạo một số giả thiết về hình học không gian. (1) (2) (3) (4) (5) 4 Tôi bắt đầu thích thú và chủ động trong việc học hình học không gian. (1) (2) (3) (4) (5) Sau đây là tổng hợp kết quả đánh giá của lớp 11A1, 44 học sinh của lớp học thực nghiệm đã tham gia đánh giá, tác giả đã xử lí và tổng kết kết quả đánh giá bằng phần mềm Excel. (1, 2, 3, 4, 5 tương ứng với 5 mức đánh giá: (1), (2), (3), (4), (5)). 3. Kết luận Sau khi dạy thực nghiệm và tổng hợp ý kiến đánh giá của lớp dạy thực nghiệm, cùng với sự đóng góp ý kiến quý báu của một số giáo viên đã tham gia dự giờ tiết học thực nghiệm, tác giả đưa ra một số nhận định sau đây: - Việc sử dụng phán đoán trong dạy học hình học không gian rất cần thiết và hữu ích trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo và kỹ năng quan sát; - Việc vận dụng tương tự trong việc rèn luyện năng lực phán đoán khi dạy học toán đã giúp các em thấy được mối liên hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, sự kế thừa và 55 Vũ Đình Chinh phát triển của các kiến thức mà các em đã, đang và sẽ được học; - Việc rèn luyện năng lực phán đoán trong dạy học hình học không gian đã hình thành cho học sinh thái độ học tập đúng đắn, đó là: thái độ tích cực, chủ động và thích thú với việc khám phá kiến thức mới. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Khắc Ban, 2008. Hình học Afin và hình học Ơclit. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. [2] Văn Như Cuơng (Chủ biên), Hoàng Ngọc Hưng, ĐỗMạnh Hùng, Hoàng Trọng Thái, 2009. Hình học sơ cấp và thực hành giải toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. [3] Vương Tất Đạt, 2011. Logic học đại cương. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. [4] G.Polia, 2010. Toán học và những suy luận có lý. Nxb Giáo dục Việt Nam. [5] Đào Tam (Chủ biên), Trần Trung, 2010. Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. [6] Nguyễn Cảnh Toàn, 1997. Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy và nghiên cứu toán. Tập 1, 2, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. ABSTRACT fostering conjectures through the use of analogy in the high school geometry classroom Teachers often try to ensure mathematical information acquisition by presenting inference and mathematical induction, but that mathematical hypothesis construction comes about by plausible reasoning. The difference between these two types of reasoning is very rich and colorful. This article focuses on reasoning in conjectured activities. Although such reasoning can not confirm that a tentative conclusion is right or wrong, making use of such reasoning does improve plausible reasoning capacity and creativity as well as observation capability. After formulation of a new clause, students return to prove the inference to clarify whether its true or false. 56