Các đại lượng trung bình của các số không âm

CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA CÁC SỐ KHÔNG ÂM BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA HAI SỐ KHÔNG ÂM Với hai số không âm a, b. Kí hiệu: là trung bình cộng của hai số a, b. là trung bình nhân của hai số a, b. là trung bình toàn phương của hai số a, b. là trung bình điều hòa của hai số dương a, b.. Ta có bất đẳng thức Q ³ A ³ G ³ H. Chứng minh: Từ hay A ³ G (1) hay hay Q ³ A (2) Mặt khác hay G ³ H (3) Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q ³ A ³ G ³ H. Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a = b. Mở rộng ra cho n số không âm ta cũng có: là trung bình cộng của n số . là trung bình nhân của n số . là trung bình toàn phương của n số . là trung bình điều hòa của n số dương . Ta cũng có bất đẳng thức Q ³ A ³ G ³ H. Dấu “=” xảy ra khi . Chú ý: A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic mean (trung bình cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình toàn phương) và harmonic mean (trung bình điều hòa). II. BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM Theo phần I. thì ta đã có mối liên hệ giữa các đại lượng trung bình của các số không âm: Q ³ A ³ G ³ H. Trong đó, bất đẳng thức A ³ G thường được sử dụng hơn cả và được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (gọi tắt là bất đẳng thức A-G). Cách gọi tên này khá phổ biến ở nước ngoài, nhất là ở các nước Âu, Mỹ. Ở Việt Nam, người ta vẫn quen gọi là bất đẳng thức Cauchy (Cô-si). Đây là một cách gọi sai lầm vì bất đẳng thức này không phải do Cauchy phát hiện ra mà thực ra ông chỉ là người đưa ra phép chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp kiểu Cauchy. Cách chứng minh này rất hay và nổi tiếng, đến nỗi nhiều người lầm tưởng Cauchy là người phát hiện ra bất đẳng thức này. Nội dung của bất đẳng thức này như sau: Với n số không âm ta có: Dấu “=” xảy ra Û . Hệ quả: Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất đẳng thức AM-GM như sau: Dấu “=” xảy ra Û a = b. Dấu “=” xảy ra Û a = b = c. (ab > 0). Dấu “=” xảy ra Û a = b. hay (a > 0). Dấu “=” xảy ra Û a = 1. hay Dấu “=” xảy ra Û . Chú ý: Bất đẳng thức Cauchy thật ra lại là bất đẳng thức sau: hay có thể viết là Dấu “=” xảy ra và nếu x, y khác 0 thì ) Bất đẳng thức này đúng với 2 bộ số thực bất kì (a ; b) và (x ; y). Mở rộng ra ta thu được kết quả với 2 bộ n số thực và như sau: hoặc Dấu “=” xảy ra Bất đẳng thức Cauchy nêu trên còn có nhiều tên gọi khác như bất đẳng thức Bunyakovsky (Bu-nhi-a-cốp-xki) hay bất đẳng thức Schwarz (Sờ-vác) hoặc bằng cái tên rất dài Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz. Nhiều tài liệu ở Việt Nam lại viết theo kiểu ngược lại, tức là Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz, do đó bất đẳng thức này được viết tắt là BCS. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) là nhà toán học người Pháp, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1804 - 1889) là nhà toán học Nga và Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921), nhà toán học Đức. Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vectơ thực hữu hạn chiều, đến năm 1859, học trò của Cauchy là Bunyakovsky thu được dạng tích phân của bất đẳng thức, kết quả tổng quát được Schwarz chứng minh năm 1885. B. CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM Chứng minh bất đẳng thức Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong bài toán hình học Các ứng dụng khác (giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh các mệnh đề toán học…) I. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÍ DỤ 1. Hãy chứng minh các hệ quả nêu trên của bất đẳng thức AM-GM. Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: Dấu “=” xảy ra Từ Do đó ta có: Dấu “=” xảy ra Mặt khác, cũng từ Nên. Dấu “=” xảy ra Theo chứng minh trên thì Dấu “=” xảy ra Mà Dấu “=” xảy ra . Lại có: Vì ab > 0 nên a, b cùng dấu Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: Dấu “=” xảy ra Nếu coi là a thì là (a > 0). Như vậy ta có: . Dấu “=” xảy ra . Theo bất đẳng thức AM-GM thì: Chia cả hai vế của bất đẳng thức vừa chứng minh cho ta có Dấu “=” xảy ra VÍ DỤ 2. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b, c (*) Giải: Áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM ta có: Dấu “=” xảy ra Nhận xét: Chúng ta có thể mở rộng bất đẳng thức (*) bằng cách nhân cả hai vế của bất đẳng thức (*) với, ta có bất đẳng thức mới:. Và nếu giả thiết cho thêm dữ kiện thì chúng ta có một bất đẳng thức khá “đẹp” như sau:. Cứ tiếp tục như vậy, chúng ta sẽ tìm tòi được nhiều bài toán mới, hay hơn, tổng quát hơn… Đây chính là cách suy nghĩ trên những bài toán giúp ta nắm vững kiến thức, cũng như một cách rèn luyện tư duy, từ đó hình thành một thói quen học toán tốt. VÍ DỤ 3. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức sau: (**) Giải: Ta có: Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM ta có: Dấu “=” xảy ra Chú ý: Bất đẳng thức (**) chính là bất đẳng thức Nesbitt (Ne-xbít) cho 3 số dương. Ngoài ra, còn rất nhiều cách khác để chứng minh bất đẳng thức này. VÍ DỤ 4. Chứng minh rằng Giải: Ta có: Do đó Dấu “=” xảy ra VÍ DỤ 5. Chứng minh rằng: Nếu hai số không âm có tổng là hằng số S không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Nếu hai số không âm có tích là hằng số P không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. Giải: Gọi a, b là hai số không âm bất kì. a. Theo bất đẳng thức AM-GM thì Do đó b. Tương tự Vậy Chú ý: Đây cũng là một hệ quả khá quan trọng của bất đẳng thức AM-GM, giúp chúng ta nhanh chóng tìm ra giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Giải: Dễ dàng nhận ra (không đổi). Do đó theo phần a. thì đạt giá trị lớn nhất là khi và chỉ khi Trường hợp a, b > 0, ta có bài toán mang nội dung hình học như sau: Bài toán: Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. VÍ DỤ 6. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: Giải: Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM: (1) Tương tự (2), (3) Cộng vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có đccm. Dấu “=” xảy ra Û Tam giác đó là tam giác đều. Áp dụng hệ quả 1 của bất đẳng thức AM-GM: hay (với mọi a, b), ta có: Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được: Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên Vì các vế của ba bất đẳng thức trên đều dương nên nhân vế với vế ba bất đẳng thức ta thu được: (*) Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra Û Tam giác đó là tam giác đều. Chú ý: Nếu gọi p là nửa chu vi tam giác thì , khi đó ta có thể viết lại hai bất đẳng thức trên như sau: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức ở phần b. bằng cách khác: Tạo thêm hai bất đẳng thức tương tự rồi nhân vế với vế ba bất đẳng thức. VÍ DỤ 7. Chứng minh Giải: Ta thấy Dấu “=” xảy ra Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: Dấu “=” xảy ra Dấu “=” xảy ra Chú ý: Bạn đọc hãy cùng quan sát lại một lần nữa bất đẳng thức ở phần b. Với điều kiện , khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho ta có: Thêm vài bước biến đổi nho nhỏ ta được: Vậy là ta đã thu được một bất đẳng thức mới, cách chứng minh bất đẳng thức này cũng hoàn toàn tương tự như bất đẳng thức ban đầu. Cũng vẫn là bất đẳng thức ở phần b. nhưng nếu cho thêm giả thiết thì ta có bất đẳng thức: . Sẽ khó khăn hơn khi nhận ra phải sử dụng bất đẳng thức AM-GM để chứng minh bất đẳng thức này. Một mở rộng khác từ bất đẳng thức b. là một bài toán khá hay như sau: “Cho 2 bộ n số dương và thỏa mãn . Chứng minh: .” Bất đẳng thức ở phần c. có thể mở rộng cho 3 số: Với bốn số: Cứ như vậy, ta đi đến với kết quả tổng quát: Với n số không âm ta có: Ta có thể chứng minh bằng phương pháp tương tự như trên hoặc sử dụng bất đẳng thức AM-GM theo cách sau đây: Cộng vế hai bất đẳng thức trên, ta có: . Từ đó suy ra đccm. VÍ DỤ 8. Cho các số không âm . Chứng minh: Cho các số không âm . Chứng minh: Chứng minh rằng nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: Giải: Ta có: (đúng với mọi ) Do đó . Dấu “=” xảy ra Mặt khác, áp dụng hệ quả 1 của bất đẳng thức AM-GM: với và ta có: . Dấu “=” xảy ra Vậy Bằng phương pháp biến đổi tương đương như ở phần a. và sử dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM, ta thu được đccm. Dấu “=” xảy ra Áp dụng kết quả của phần a. ta có: Dấu “=” xảy ra Tam giác đó là tam giác đều. VÍ DỤ 9. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh Giải: Ta nhận ra 3 = 1 + 1 + 1 nên ta sẽ biến đổi điều kiện của đề bài như sau: Tương tự, ta cũng có: Nhân vế với vế bốn bất đẳng thức trên, ta có đccm. Dấu “=” xảy ra Nhận xét: Bằng việc linh hoạt trong phép biến đổi, cộng thêm sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta đã có một lời giải “nhanh, gọn, đẹp”. Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra cho chúng ta sau khi giải, đó là, liệu bất đẳng thức trên có dạng tổng quát hay không, và đó là gì? Nếu có, ta phải chứng minh như thế nào? Câu trả lời là có. Bất đẳng thức tổng quát của nó như sau: Với n số dương , thỏa mãn điều kiện , chứng minh rằng: . Bạn đọc chứng minh tương tự như ví dụ trên. VÍ DỤ 10. Chứng minh rằng với mọi , ta có: Cho các số . Chứng tỏ rằng: Giải: Trước tiên, ta đi chứng minh bất đẳng thức phụ: (1) Thật vậy, áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM, ta có: Dấu “=” xảy ra Vì nên nhân cả hai vế bất đẳng thức (1) với ta có: Dấu “=” xảy ra Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: (vì theo hệ quả 2 bất đẳng thức AM-GM) II. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC VÍ DỤ 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với Giải: Tách : Dấu “=” xảy ra Vậy VÍ DỤ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: ĐK: Ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy VÍ DỤ 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (Đề thi học sinh giỏi thành phố Yên Bái - tỉnh Yên Bái 2011 - 2012) Giải: ĐK: Làm tương tự như VÍ DỤ 12. với lưu ý: VÍ DỤ 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: với và Giải: Có thể một số bạn sẽ làm như sau: Và kết luận ngay Đây là một kết luận sai lầm vì đã không để ý đến điều kiện nữa của là . Rõ ràng không thể có thỏa mãn hệ (chứng minh: dùng hệ thức Vi-ét đảo hoặc thế vào ) . Vì thế, dấu đẳng thức ở bất đẳng thức trên không xảy ra. Tức là M > 4, nghĩa là cách giải của các bạn đã sai. Cách giải đúng như sau: Dấu “=” xảy ra Vậy Chú ý: Tại sao lại biết tách thành tổng của và ? Câu trả lời là vì ta có thể dự đoán được giá trị nhỏ nhất của M đạt được khi . Mà theo giả thiết . Như vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi . Từ đây hình thành cách tách hoặc sao cho khi dấu “=” xảy ra thì . VÍ DỤ 15. Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM, tìm ra giá trị nhỏ nhất của A là khi Vậy VÍ DỤ 16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số với Giải: Hiển nhiên với thì nên Mặt khác Dấu “=” xảy ra Vậy VÍ DỤ 17. Cho bốn số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Giải: Áp dụng bất đẳng thức: và hằng đẳng thức, ta có: (vì ) Dấu “=” xảy ra Vậy VÍ DỤ 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với và Giải: Tương tự , Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy VÍ DỤ 19. Cho là các số thực dương có tích bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: Ta có: Do đó . Dấu “=” xảy ra Vậy VÍ DỤ 20. Cho luôn thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Dấu “=” xảy ra Vậy III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC (CỰC TRỊ HÌNH HỌC) VÍ DỤ 21. Một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 30 cm. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gấp tấm nhôm lại (theo đường nét đứt) để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh các hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất. Giải: Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt là x (cm) (0 < x < 15) Thể tích khối hộp tạo thành là (cm) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Do đó (cm) Dấu “=” xảy ra Vậy thể tích khối hộp đạt giá trị lớn nhất bằng 2000 cm khi cạnh của hình vuông bị cắt bằng 5 cm. VÍ DỤ 22. Cho tam giác ABC vuông tại A. Một điểm M bất kì nằm trong tam giác. Gọi H, I, K thứ tự là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB. Tìm vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Kẻ đường cao AD của ABC. Hạ ME ^ AD. Dễ dàng chứng minh được rằng: Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi M là trung điểm của AD. VÍ DỤ 23. Cho tam giác nhọn ABC. Trong tất cả các hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC (M, N Î BC, P Î AC, Q Î AB), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Giải: Kẻ AH ^ BC. Gọi giao điểm của AH với PQ là I. Vì PQ // BC nên Do đó Vậy diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất là khi P, Q thứ tự là trung điểm của AC và AB. VÍ DỤ 24. Cho hình thang ABCD có diện tích bằng S. Biết AC là đường chéo lớn nhất của hình thang. Tìm giá trị nhỏ nhất của AC. Giải: Kẻ AM ^ CD, BN ^ CD. Theo bài ra, AC ³ BD Khi đó CM ³ DN (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) Do đó 2CM ³ CM + DN = (CN + MN) + (DM + MN) 2CM ³ MN + (CN + MN + DM) = MN + CD = AB + CD (1) Theo định lí Pythagore ta có (2) Từ (1) và (2) suy ra Bởi thế nên Vậy giá trị nhỏ nhất của AC là đạt được khi VÍ DỤ 25. Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để đạt giá trị nhỏ nhất? Giải: Kẻ phân giác AD của ABC. Như vậy, Gọi H là hình chiếu của B trên AD. Ta có: (1) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) Mặt khác, ta lại có: (2) (bất đẳng thức AM-GM) Kết hợp (1) và (2), suy ra Lập thêm hai bất đẳng thức tương tự: , rồi nhân vế với vế ba bất đẳng thức trên, ta có Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. IV. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC VÍ DỤ 26. Giải phương trình Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Dấu “=” xảy ra . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất VÍ DỤ 27. Tìm các số thỏa mãn điều kiện Giải: Theo bất đẳng thức AM-GM và hệ quả 4 của nó thì: (do ) Từ đó, dễ dàng suy ra Kết hợp với giả thiết ta có: Nến dấu “=” ở các bất đẳng thức trên xảy ra. Do đó và đây cũng là bộ số duy nhất thỏa mãn đề bài. VÍ DỤ 28. Có hay không những số dương nhỏ hơn 1 và thỏa mãn hệ bất phương trình sau đây? Giải: Nhân vế với vế ba bất phương trình trong hệ ta có: (*) Điều này là không thể xảy ra, thật vậy: , trái với (*) Vậy không tồn tại ba số dương nào thỏa mãn hệ bất phương trình. VÍ DỤ 29. Tìm hệ thức liên hệ giữa ba số nếu biết ba số đó thỏa mãn (1) Giải: Xét tích (2) (vì ) Từ (1) và (2) ta có: Do đó dấu “=” ở bất đẳng thức (2) xảy ra, cho ta VÍ DỤ 30. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Biết rằng . Tính số đo các góc của tam giác ABC. Giải: Từ hệ thức đã cho ta có: (1) Mặt khác, vì đường kính là dây lớn nhất trong một đường tròn nên ta luôn có (2). Kết hợp (1) và (2) ta được , tam giác ABC vuông tại A. Dấu “=” ở bất đẳng thức (1) xảy ra nên . Như vậy ABC vuông cân tại A. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. , b. , c. , d. , Chứng minh: Cho và . Chứng minh: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. b. c. d. Chứng minh rằng, nếu thì Cho các số dương . Chứng minh: Cho . Chứng minh: Chứng minh rằng nếu thì Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: khi Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: với Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Chứng minh: Cho ba số thỏa mãn . Chứng minh: Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: a. b. Cho các số dương thỏa . Chứng minh: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh: Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Cho các số dương có tổng bằng 6. Chứng minh: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a. b. (Chú ý: Nội dung câu b. được trích trong đề thi Violympic cấp quốc gia 2011 - 2012) Chứng minh rằng nếu là các số dương thì (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2011 - 2012) Cho là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2011 - 2012) Cho . So sánh và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh: Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Cho là ba số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (Chú ý: Kí hiệu có nghĩa là số nhỏ nhất trong hai số ) Cho . Chứng minh: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng: Cho sao cho . Chứng minh: Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh: Cho . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau: Chứng minh rằng với mọi thì Chứng minh dãy số là dãy số tăng, tức là Gọi là các số nguyên dương sao cho số cũng là số nguyên. Gọi là ước số chung của . Chứng minh Cho tam giác ABC có diện tích S. M là điểm nằm trong tam giác. Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh BC, AC, AB ở A, B, C. Xác định vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. Các đường phân giác của các góc A, B, C của tam giác ABC cắt các cạnh đối diện của tam giác tại D, E, F. Xác định dạng của tam giác ABC để tam giác DEF có diện tích lớn nhất. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ HẾT ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ NGUYỄN KHÁNH HÒA - THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH