Các modun đối đồng điều địa phương

Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 210 CÁC MODUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Võ Ngọc Thiệu (SV năm 4, Khoa Toán - Tin học) GVHD: TS Trần Tuấn Nam 1. Lời nói đầu Mục tiêu chính của bài báo này là nghiên cứu một số tính chất của các modun đối đồng điều địa phương. Trong đó, ta đặc biệt chú ý đến tính triệt tiêu của các đối đồng điều địa phương cấp cao trong một số trường hợp cụ thể. Nội dung chính của bài viết này gồm 2 phần. Trong phần 1, ta sẽ định nghĩa các hàm tử đối đồng điều địa phương, và tìm cách liên hệ chúng với các hàm tử quen thuộc khác. Đầu tiên, ta sẽ định nghĩa hàm tử I- xoắn, rồi xem các hàm tử đối đồng điều địa phương như là các hàm tử dẫn xuất của hàm tử I-xoắn vừa định nghĩa. Sau đó, ta sẽ sử dụng một công cụ khá mạnh của đại số đồng điều, là dãy nối các hàm tử, để tìm cách liên hệ các hàm tử này với các hàm tử quen thuộc trong đại số giao hoán và đại số đồng điều. Cụ thể, ta sẽ có đẳng cấu sau giữa các R-modun ( ) ( )*lim ;i i nI Rn RH M Ext MI∈≅ JJJJJJG` . Trong phần 2, ta sẽ chỉ ra tính triệt tiêu của các hàm tử đối đồng điều địa phương cấp cao khi idean I là hữu hạn sinh. Để làm được điều này, ta sẽ định nghĩa hàm tử I- biến đổi, và xây dựng dãy Mayer-Vietoris của các R-modun. Sau đó, dựa vào các tính chất của hàm tử I-biến đổi, và dãy Mayer-Vietoris, ta sẽ chỉ ra được rằng các đối đồng điều địa phương cấp lớn hơn n đều triệt tiêu khi idean I sinh bởi n phần tử. Định lý này là định lý quan trọng nhất của bài viết. 2. Các hàm tử đối đồng điều địa phương Mục đích chính của phần này là định nghĩa các hàm tử đối đồng điều địa phương, như là các hàm tử dẫn xuất của hàm tử xoắn. Sau đó, ta sẽ sử dụng dãy nối các hàm tử để đưa ra các tính chất khá mạnh cho các hàm tử đối đồng điều địa phương. Trong đó, ta để ý đến sự đẳng cấu của hai R-modun ( ) ( )*lim ;i i nI Rn RH M Ext MI∈≅ JJJJJJG` Hay mạnh hơn, có một tương đương tự nhiên giữa hai hàm tử: ( ) ( )*lim ;i i nI Rn RH Ext I∈• ≅ •JJJJJJG` Bài 2.1. Hàm tử xoắn - Cho R là vành Noether không suy biến, I là một iđêan của R, M là một R- môđun. ( ) ( ) 1 : 0 : nI M n M I ≥ Γ =∪ Năm học 2010 – 2011 211 - Cho :f M N⎯⎯→ là một R-đồng cấu. ( )( ) ( )I If M NΓ ⊂ Γ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) : : I I I I f M N m f m f m Γ Γ ⎯⎯→Γ Γ =6 - Như vậy, IΓ là một hàm tử R-tuyến tính, hiệp biến từ phạm trù C(R) các R- môđun vào chính nó. Ta còn chỉ ra được IΓ là hàm tử khớp trái. Ta gọi IΓ là hàm tử I- xoắn. Bài 2.2. Các modun đối đồng điều địa phương 2.2.1. Định nghĩa (Các hàm tử đối đồng điều địa phương) Với mỗi i ∈` , hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử IΓ , kí hiệu iIH , được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứng với iđêan I. Với mỗi R-môđun M, ta gọi ( )iIH M là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I. Ta có một số tính chất cơ bản sau đây mà được suy ra dễ dàng từ định nghĩa. 2.2.3. Mệnh đề: Cho J là một idean khác của R mà I J= . Khi đó, i iI JH H= . 2.2.4. Mệnh đề: Nếu M là R-modun nội xạ thì ( ) 0 1iIH M i= ∀ ≥ 2.2.5. Mệnh đề: Với mọi nhóm Abel G (xem như một ] -modun) và với mọi số nguyên a. Bài 2.3. Dãy nối các hàm tử 2.3.1. Định nghĩa Cho R’ cũng là một vành giao hoán. Một dãy ( )i i T ∈` các hàm tử hiệp biến từ C(R) vào C(R’) được gọi là một dãy nối (tương ứng, nối mạnh) nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn đồng thời: (i) Với mọi dãy khớp ngắn 0 0f gL M N⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ các R-modun và R-đồng cấu, tồn tại một R’-đồng cấu nối cảm sinh ( ) ( )1i iT N T L i+⎯⎯→ ∀ ∈` làm cho dãy các R’-đồng cấu sau là nửa khớp (tương ứng, khớp): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 00 0 0 1 1 0 .... ... ... i i T f T g T f T gi i i i T L T M T N T L T L T M T N T L+ ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ (ii) Với mọi biểu đồ giao hoán các R-modun và R-đồng cấu ' ' 0 0 0 ' ' ' 0 f g f g L M N L M N ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ↓ ↓ ↓ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 212 với các dòng là khớp, tồn tại một phép biến đổi dây chuyền cảm sinh giữa hai dãy nửa khớp (tương ứng khớp) sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 1 ' '0 0 0 1 1 ' ' 1 0 ... 0 ' ' ' ' ... ... ... ... ' ' ' ' ... i i i i T f T g T f T g T f T gi i i i T f T gi i i i T L T M T N T L T L T M T N T L T L T M T N T L T L T M T N T L + + ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ↓ ↓ ↓ ↓ ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ↓ ↓ ↓ ↓ ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ 2.3.2. Nhận xét Rõ ràng dãy ( )i i T ∈ ℜ ` là một dãy nối mạnh. Cụ thể, ta có hàm tử HomR và các hàm tử mở rộng ( )*iRExt i∈` lập thành một dãy nối mạnh. 2.3.3. Định nghĩa Cho R’ cũng là một vành giao hoán. Cho ( )i i T ∈` và ( )i iU ∈` là hai dãy nối các hàm tử hiệp biến từ C(R) vào C(R’). Ta gọi một đồng cấu ( ) ( ): i i i i T U ∈ ∈ Ψ ⎯⎯→` ` là một dãy các phép biến đổi tự nhiên :i i iT Uψ ⎯⎯→ giữa các hàm tử từ C(R) vào C(R’) mà chúng thỏa mãn các tính chất sau: Với mọi dãy khớp ngắn 0 0f gL M N⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ các R-modun và các R- đồng cấu, tồn tại biểu đồ giao hoán cảm sinh ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1' ' i i i i T N T L U N U L + + ⎯⎯→ ↓ ↓ ⎯⎯→ Đồng cấu ( ) ( ): i i i i T U ∈ ∈ Ψ ⎯⎯→` ` được gọi là một đẳng cấu (giữa các dãy nối) nếu các phép biến đổi tự nhiên :i i iT Uψ ⎯⎯→ là các phép tương đương tự nhiên. Bằng một số kỹ thuật, chúng ta chỉ ra được rằng, tồn tại duy nhất một đẳng cấu giữa các dãy nối mạnh ( )( ) ( )( ) ( )*lim ; 1i i nI Ri n iRH Ext I∈ ∈ ∈≅ JJJJJJG` ` `i i 3. Dãy mayer-Vietoris Trong phần này, ta sẽ chứng minh các đối đồng điều địa phương cấp lớn hơn n sẽ bị triệt tiêu khi idean I sinh bởi n phần tử. Để làm được như vậy, ta cần đến dãy Mayer- Năm học 2010 – 2011 213 Vietoris trong bài 3.3. Bài 3.1 và 3.2 sẽ là bước chuẩn bị cho các kết quả quan trọng trong bài 3.3. Bài 3.1. Hàm tử I-biến đổi 3.1.1. Định nghĩa Ta định nghĩa hàm tử ( ) ( ) * lim ;nI RnD Hom I∈= JJJJJJG`i i và gọi là hàm tử I-biến đổi. Chú ý: - Rõ ràng ID là hàm tử hiệp biến R-tuyến tính và khớp phải. - Có một đẳng cấu tự nhiên giữa các hàm tử: ( ) ( )aR aD ≅⎯⎯→i i . Trong đó, ( )ai là hàm tử địa phương hóa với tập nhân đóng là { }21; ; ; ...; ; ...nS a a a= . Trong bài này, ta chú ý đến kết quả quan trọng sau về tính triệt tiêu của các đối đồng điều địa phương khi I là idean chính. 3.1.2. Định lý: 0 *i aRD iℜ = ∀ ∈` . Từ đó suy ra 0 1iaRH i= ∀ > . Bài 3.2. So sánh hệ thống các idean 3.2.1. Định nghĩa Cho ( );Λ ≤ là một tập sắp thứ tự thuận khác rỗng và cho ( )B Iα α∈Λ= là học các idean của R được đánh chỉ số trong Λ . Khi đó, Ta gọi B là họ ngược các idean của R nếu với mọi ( );α β ∈Λ×Λ mà α β≥ thì I Iα β⊂ . Ta gọi B là một hệ thống ngược các idean nếu nó là một họ ngược các idean và thỏa mãn thêm điều kiện với mọi ;α β ∈Λ , tồn tại δ ∈Λ để I I Iδ α β⊂ . Bằng cách khảo sát một số tính chất của hệ thống các idean, ta thu được hai đẳng cấu tự nhiên sau giữa hai dãy nối mạnh: ( )( ) ( )( )*lim ;i in nR I J in iRExt HI J ≅ + ∈∈ ∈ ⎯⎯→+JJJJJJK `` `i i . ( ) ( )( )0*lim ; in nR I J in iRExt HI J ≅ ∈∈ ∈⎛ ⎞ ⎯⎯→⎜ ⎟⎝ ⎠JJJJJJK ∩ `` `i i∩ Bài 3.3. Dãy mayer-vietoris 3.2.3. Định lý – Định nghĩa: Với mọi R-modun M, tồn tại một dãy khớp sau, gọi là dãy Mayer- Vietoris của M ứng với I và J ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 0 ... ... ... I J I J I J I J i i i i i I J I J I J I J H M H M H M H M H M H M H M H M H M H M + + + + + ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⊕ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⊕ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ∩ ∩ Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 214 sao cho với mọi R-đồng cấu :f M N⎯⎯→ , ta có phép biến đổi dây chuyền cảm sinh giữa hai dãy khớp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 ... 0 ... ... ... ... ... I J I J I J I J I J I J I J I J i i i i i I J I J I J I J i i i i i I J I J I J I J H M H M H M H M H M H N H N H N H N H N H M H M H M H M H M H N H N H N H N H N + + + + + + + + + + ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⊕ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ↓ ↓ ↓ ↓ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⊕ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⊕ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ↓ ↓ ↓ ↓ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⊕ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ∩ ∩ ∩ ∩ Một áp dụng quan trọng của định lý này là để chứng minh định lý sau: 3.2.4. Định lý: Giả sử rằng I sinh bởi n phần tử. Khi đó, với mọi R-modun M, ta đều có ( ) 0iIH M i n= ∀ > . TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. M.F. Atiyah, I.G. Macdonald (1965), Introduction to CommutativeAlgebra, Addison – Wesley Publishing Company. 2. M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge Studies in Advanced Mathematics60, Cambridge University Press. 3. Hideyuki Matsumura (2002), Commutative ring theory, Cambridge University Press. 4. D. G. Northcott (1973), A first course of homological algebra, Cambridge University Press. 5. J. J. Rotman (1979), An introduction to homological algebra, Academic Press, Orlando.