Chapter 3: Nguyên tử

Hình. Chấm xanh dương trong bức ảnh là ánh sáng bức xạ ra từ đơn ion barium, được giữ rất lâu trong b ẫy tại Trường Tổng hợp Washington.Một kỹ thuật đặc biệt giúp cho ion bức xạ ánh sáng liên tục -chỉ cóchuyển dời lượng tử giữa một cặp mức năng lượng.

pdf21 trang | Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 1841 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Chapter 3: Nguyên tử, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
MODERN PHYSICS (Quantum Physics) Ass. Prof. Dr. Tran Thi Tam Faculty of Engineering Physics and Nano Technology, University of Engineering and Technology, VNUH Vietnam Email: drtranthitam@yahoo.com Chapter 3 Modern Physics 2 References 1. Fundamentals of Physics; David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, 7th Edition, volume 2. John Wiley & Sons, Inc. 2005 2. William F. Smith, Professor of Engineering University of Central Florida, Principles of Materials Science and Engineering, McGraw- Hill, Inc. 1996 3. Nguyễn Văn Hiệu, Giáo trình lý thuyết lượng tử, Nhà Xuất bản Đại học Quốc gia Hà nội, 2002 Modern Physics 3 Nội dung Chương 1: Photon và sóng vật chất Chương 2: Sóng vật chất trong các bẫy Chương 3: Nguyên tử Chương 4: Sự dẫn điện trong chất rắn Modern Physics 4 Chapter 3: Nguyên tử What is so different about light from a laser? Modern Physics 5 3.1 Nền tảng vật lý ? 3. 2 Một vài tính chất của nguyên tử 3. 3 Spin của điện tử 3. 4 Các moment góc và moment lưỡng cực từ 3. 5 Thí nghiệm Stern-Gerlach 3. 6 Cộng hưởng từ hạt nhân 3. 7 Nguyên lý loại trừ Pauli 3. 8 Đa điện tử trong bẫy chữ nhật 3. 9 Xây dựng Bảng tuần hoàn 3. 10 Tia X và sự sắp xếp các nguyên tố 3. 11 Lasers và anh sáng Laser 3.12 Laser làm việc như thế nào Modern Physics 6 3.1 Nền tảng vật lý? Hình. Chấm xanh dương trong bức ảnh là ánh sáng bức xạ ra từ đơn ion barium, được giữ rất lâu trong bẫy tại Trường Tổng hợp Washington. Một kỹ thuật đặc biệt giúp cho ion bức xạ ánh sáng liên tục - chỉ có chuyển dời lượng tử giữa một cặp mức năng lượng. Mục tiêu đầu tiên của vật lý – phát hiện và hiểu các tính chất của nguyên tử. Chấm thể hiện bức xạ tích lũy của rất nhiều photons Modern Physics 7 3.2 Một vài tính chất của nguyên tử Các nguyên tử là bền vững. Về cơ bản tất cả các nguyên tử tạo nên thế giới hữu hình của chúng ta đã tồn tại hàng tỷ năm. Thế giới sẽ như thế nào giả sử như các nguyên tử liên tục thay đổi sang dạng khác, trong từng một vài tuần hoặc từng một vài năm? Các nguyên tử kết hợp với các nguyên tử khác Chúng dính kết cùng nhau tạo nên các phân tử bền vững và dính kết tạo nên chất rắn. Vốn nguyên tử là không gian rỗng, nhưng ta có thể đứng trên sàn nhà được làm nên từ các nguyên tử và không bị ngã tọt xuống. Vật lý lượng tử có thể giải thích các tính chất cơ bản này của nguyên tử, cũng như 3 tính chất kém quan trọng hơn sau đây. Modern Physics 8 Các nguyên tử được sắp xếp với nhau có hệ thống Modern Physics 9 Đồ thị năng lượng ion hóa của các nguyên tố là hàm số của số nguyên tử, cho thấy sự lặp lại theo chu kỳ qua sáu chu kỳ ngang hoàn thiện của Bảng tuần hoàn. Số lượng nguyên tố trong từng chu kỳ được chỉ ra trong bảng. Modern Physics 10 Các nguyên tố được sắp xếp trong Bảng tuần hòa theo sáu chu kỳ ngang hoàn chỉnh (và chu kỳ thứ bẩy chưa hòan thiện): trừ chu kỳ đầu, mỗi chu kỳ: bắt đầu từ bên trái với kim loại kiềm hoạt tính cao (lithium, sodium, potassium, and so on) kết thúc bên phải là các khí trơ (neon, argon, krypton, and so on). Vật lý lượng tử giải thích các tính chất hóa học của các nguyên tố này. Số lượng các nguyên tố trong sáu chu kỳ là 2, 8, 8, 18, 18, and 32. Vật lý lượng tử dự đoán trước các con số này. Modern Physics 11 Các nguyên tử phát xạ và hấp thụ ánh sáng  Các nguyên tử chỉ có thể tồn tại trong các trạng thái lượng tử gián đoạn, từng trạng thái có năng lượng xác định.  Nguyên tử có thể chuyển dời từ trạng thái này sang trạng thái khác bằng cách phát xạ ánh sáng (nhẩy xuống mức có năng lượng thấp hơn E1ow) hoặc bằng cách hấp thụ ánh sáng (nhẩy lên mức năng lượng cao hơn Ehigh).  Ánh sáng được phát xạ hay hấp thụ dưới dạng photon với năng lượng: hv = Ehigh - Elow Như vậy, thay vì tìm tần số của ánh sáng bức xạ hay hấp thụ đơn giản thành vấn đề tìm năng lượng của trạng thái lượng tử của nguyên tử. Vật lý lượng tử cho phép chúng ta – ít nhất về nguyên tắc – tính toán các năng lượng này. Modern Physics 12 Các nguyên tử có Moment góc và Từ tính Mô hình cổ điển cho thấy hạt có khối lượng m và điện tích -e chuyển động với vận tốc υ trong đường tròn bán kính. Các hạt chuyển động có moment góc , trong đó là moment tuyến tính của nó. Chuyển động của hạt tương đương với dòng theo mạch vòng và theo đó có moment từ , với hướng ngược chiều với L. prL   x   mp    Modern Physics 13 Thí nghiệm Einstein – de Haas Năm 1915, Albert Einstein và nhà vật lý người Hà lan W. J. de Haas đã tiến hành thí nghiệm thiết kế để chứng minh rằng moment góc và moment từ của các nguyên tử cá biệt là kết hợp. Einstein và de Haas treo hình trụ bằng sắt lên 1 sợi dây mảnh. Modern Physics 14 3.3 Spin của điện tử S  Cho dù điện tử bị bẫy trong nguyên tử hay tự do đều có moment góc spin nội , đơn giản thường được gọi là spin. (nhắc lại “nội” nghĩa là là đặc trưng căn bản của điện tử, giống như khối lượng và điện tích của nó.) Độ lớn của bị lượng tử hóa, và phụ thuộc vào số lượng tử spin s, luôn bằng ½ cho điện tử (và protons, neutrons). Thêm vào đó, thành phần của được đo dọc theo bất kỳ trục nào bị lượng tử hóa và phụ thuộc vào số lượng tử từ spin ms, vốn chỉ có thể có hai giá trị + ½ or - ½. S  S  S  Modern Physics 15 Trong vật lý lượng tử, moment góc spin tốt nhất nên hiểu là một tính chất nội có thể đo được của điện tử; đơn giản là bạn không thể hình dung nó với mô hình cổ điển. Bây giờ ta có thể mở rộng danh sách các số lượng tử bao gồm cả s và ms. Modern Physics 16 Trạng thái lượng tử của điện tử trong nguyên tử hydro hay bất kỳ nguyên tử khác nào đều hoàn toàn được đặc trưng bởi bộ năm số lượng tử.  Một lớp được tạo nên bởi tất các các trạng thái có cùng giá trị n.  Bằng cách tính các giá trị được phép của ℓ và mℓ sau đó nhân đôi để tính cho hai giá trị được phép của ms Một lớp được xác định bởi số lượng tử n có 2n2 trạng thái.  Một tiểu lớp được tạo thành bởi tất cả các trạng thái với cùng một bộ giá trị của n và ℓ và có cùng giá trị năng lượng.  Tiểu lớp được xác định bằng số lượng tử ℓ có 2(2ℓ + 1) trạng thái. Modern Physics 17 3.4 Các moment góc và moment lưỡng cực từ Từng trạng thái lượng tử của điện tử trong nguyên tử luôn đi với moment góc quỹ đạo và moment lưỡng cực từ quỹ đạo tương ứng. Từng điện tử, cho dù bị bẫy trong nguyên tử hay là tự do, có moment góc spin và moment lưỡng cực từ spin tương ứng. Modern Physics 18 Moment góc quỹ đạo và từ tính Độ lớn L của moment góc quỹ đạo của điện tử trong nguyên tử bị lượng tử hóa; nghĩa là, nó chỉ có thể có những giá trị xác định. Những giá trị này bằng: L   )1( L2 h   - Số lượng tử quỹ đạo  = 0, 1, 2, 3…(n - 1) Lưỡng cực từ có moment lưỡng cực từ quỹ đạo , vốn liên quan tới moment góc quỹ đạo bởi: orb  L m e orb  2    12  m e orb Modern Physics 19 Ta hãy tưởng tượng rằng nguyên tử đang nằm trong từ trường B; giả thiết rằng trục z mở rộng theo hướng của các đường sức tại vị trí của nguyên tử. Tiếp đó ta có thể đo thành phần z của µorb và L dọc theo trục này. Thành phần µorb,z được tính bằng: mBzorb  , mL z m e m eh B 24     = 9,274 . 10-24 J /T =5,788 . 10-5 eV /T mℓ - số lượng tử từ quỹ đạo µB – Bohr magneton Thành phần Lz của moment góc cũng bị lượng tử hóa, và được tính bằng:   ,....2,1,0m Lượng tử hóa không gian Modern Physics 20 Fig. (a) Các giá trị được phép của Lz đối với điện tử trong trạng thái với ℓ = 2. Đối với từng vector của moment góc quỹ đạo L trong hình, tồn tại một vector chỉ theo hướng ngược lại, thể hiện độ lớn và hướng của moment lưỡng cực từ quỹ đạo µorb. (b) Các hình côn của các hướng có thể của mL z L L zcos L    Modern Physics 21 Hiệu ứng Zeeman Hiệu ứng từ trường dịch chuyển năng lượng của từng trạng thái quỹ đạo bằng một lượng U – năng lượng tương tác. BU .  Sự phụ thuộc này là nguyên nhân mℓ được gọi là số lượng tử từ. mBzorb  , mℓ xác định định hướng của moment từ quỹ đạo tương đối với từ trường.   ,....2,1,0m Modern Physics 22 BmU B   ,....2,1,0m  Mức năng lượng với số lượng tử quỹ đạo ℓ chứa (2ℓ + 1) các trạng thái quỹ đạo khác nhau. Khi không có từ trường ngoài các trạng thái này có cùng năng lượng; nghĩa là, chúng bị suy biến. Từ trường loại bỏ sự suy biến này. Trong từ trường ngoài chúng bị tách thành 2ℓ + 1 các mức năng lượng khác biệt;  Các mức cạnh nhau khác nhau theo năng lượng bằng: BB Giản đồ các mức năng lượng của hydro. Cho thấy sự tách các mức năng lượng là kết quả của sự tương tác của moment từ quỹ đạo của điện tử với từ trường ngoài. Modern Physics 23 Moment góc Spin và Moment lưỡng cực từ Spin Độ lớn S của moment góc spin 3 của bất kỳ điện tử nào, cho dù tự do hay bị bẫy, chỉ có một giá trị bằng: S    866.0)1( )1( 2 1 2 1   ssS  1 ss m e s Điện tử có lưỡng cực từ nội luôn đi cùng moment góc spin của nó 3 , cho dù điện tử bị giam giữ trong nguyên tử hay tự do. Lưỡng cực từ này có moment lưỡng cực từ 8 , vốn liên quan tới moment góc spin S bởi S  s  S  S m e s   Modern Physics 24 Cho dù 3 hay là p , không thể đo được bằng bất kỳ cách nào. Tuy nhiên, ta có thể đo các thành phần của nó dọc theo bất kỳ trục cho trước nào – gọi là theo trục z. Thành phần Sz của moment góc spin bị lượng tử hóa và bằng: S  s  .sz mS  ms = +½ electron is said to be spin up ms = -½ electron is said to be spin down Bszs m  .2,  Thành phần µs,z của moment lưỡng cực từ spin cũng bị lượng tử hóa và bằng: Hình. Các giá trị được phép của Sz và µz của điện tử. Modern Physics 25 Sự kết hợp moment góc quỹ đạo và Moment góc Spin Đối với nguyên tử chưa nhiều hơn một điện tử, ta định ra moment góc tổng 7 , chính là tổng vector của các moment góc của điện tử cá biệt – cả moment góc quỹ đạo và moment góc spin của điện tử đó. Đối với nguyên tử trung tính: J  Z – Số lượng hạt protons vốn được xác định như số nguyên tử (hay số điện tích) của nguyên tố Modern Physics 26 Các giá trị có thể của độ lớn J được gán cho số lượng tử j bằng:  Có thể có những trạng thái trong đó j = |ℓ ± ½|.  Trạng thái ℓ + ½ tương ứng với trường hợp các vectors L and S có thành phần z song song,  Trạng thái ℓ - ½, các vector L và S có thành phần z- ngược chiều nhau.  Ví dụ, khi ℓ = 1, j có thể là 1/2 hoặc 3/2 . Modern Physics 27 Tương tự như vậy,  Moment lưỡng cực từ tổng của nguyên tử nhiều điện tử là vector tổng của các moment lưỡng cực từ (cả quỹ đạo và spin) của các điện tử riêng biệt của nguyên tử đó. Moment lưỡng cực từ hiệu dụng µeff đối với nguyên tử là thành phần của vector tổng của các moment lưỡng cực từ cá biệt theo hướng của –J. Hình. Mô hình cổ điển chỉ cho thấy vector moment góc tổng J và vector moment từ hiệu dụng µeff. Modern Physics 28 Checkpoint 3.1 Điện tử trong trạng thái lượng tử mà moment góc quỹ đạo của điện tử L có độ lớn bằng 2 . Có bao nhiêu hình chiếu của moment lưỡng cực từ quỹ đạo của điện tử trên trục z là được phép? 3 Modern Physics 29 3.5 Thí nghiệm Stern-Gerlach Collimator Electromagnet Otto Stern Walther Gerlach 1922 Modern Physics 30 Lực từ trường làm lệch hướng nguyên tử bạc dz dB dz dB dz dUF zz  Thế năng U của lưỡng cực từ trong từ trường B. Lực tương tác giữa từ trường của nam châm điện và lưỡng cực từ của nguyên tử bạc cá biệt: BU . µ – moment lưỡng cực từ B  Thành phần µz của moment lưỡng cực từ của nguyên tử dọc theo hướng củaB  BU z . B  - Gradient ủa từ trường dọc theo trục z. Phương trình của lực từ làm lệch hướng của nguyên tử khi nguyên tử bạc đi qua từ trường Modern Physics 31 Ý nghĩa của kết quả thực nghiệm Nguyên tử bạc là nguyên tử nhiều điện tử. Tất cả moment từ spin và các moment từ quỹ đạo triệt tiêu nhau theo vector chỉ trừ một điện tử đơn, và moment lưỡng cực quỹ đạo của điện tử ấy cũng bằng zero. → Moment lưỡng cực kết hợp µ của nguyên tử bạc là moment lưỡng cực từ spin của điện tử đơn ấy. → Điều này nghĩa là µz chỉ có thể có hai giá trị dọc theo trục z: ms = +½ (điện tử đơn có spin up), và thành phần kia dành cho số lượng tử ms = -½ (điện tử đơn có spin down).   BBzs   .2 21, dz dBF Bz    BBzs   .2 21, dz dBF Bz & 2 vết bạc trên tấm thủy tinh Modern Physics 32 Sự ngạc nhiên từ thí nghiệm Kết quả của các thí nghiệm hiện đại lặp lại thí nghiệm của Stern - Gerlach. Khi nam châm điện tắt, trên lối ra chỉ có một chùm tia; bật nam châm điện, chùm tia đơn tách thành hai chùm nhỏ. Hai chùm nhỏ này tương ứng với sự định hướng của moment từ của nguyên tử cesium song song và ngược chiều với từ trường ngoài. Modern Physics 33 3.6 Cộng hưởng từ hạt nhân Proton có moment lưỡng cực từ spin µ vốn liên đới với moment góc spin nội của proton S. Hai vectors này kết hợp với nhau và, bởi proton có điện tích dương. Chúng có cùng hướng. Giả thiết là proton nằm trong từ trường B định hướng theo chiều dương của trục z. Thì µ có 2 thành phần bị lượng tử hóa khả thi dọc theo trục đó +µz và -µz Thế năng U của lưỡng cực từ trong từ trường ngoài B. BU .  Modern Physics 34 Hình. Thành phần z của µ của proton trong (a) trạng thái năng lượng thấp (spin-up) và (b) trạng thái năng lượng cao (spin-down). (c) Giản đồ các mức năng lượng , cho thấy proton nhẩy lượng tử lên trên khi spin của nó đảo chiều từ “up” sang “down”. Như vậy, hiệu năng lượng giữa hai trạng thái đó bằng:   BBBE zzz .2..   Modern Physics 35 Nếu ta đặt mẫu nước vào từ trường B, các protons trong thành phần hydro của phân tử nước có thiên hướng vào trạng thái năng lượng thấp. Như vậy, proton có thể nhẩy lên trạng thái năng lượng cao bằng cách hấp thụ photon có năng lượng hv bằng ΔE Bhv z .2 Sự hấp thụ này được gọi là cộng hưởng từ (magnetic resonance) hoặc là theo gốc, nuclear magnetic resonance (NMR), và cơ cấu đảo chiều thành phần Sz của spin được gọi là đảo chiều spin (spin-flipping). Trên thực tế, các photon đòi hỏi cộng hưởng từ có tần số trong vùng tần số radio - (RF) và được cung ứng bởi một cuộn dây nhỏ cuộn quanh mẫu sẽ trải qua cộng hưởng. Modern Physics 36 Hình ảnh cho thấy phổ NMR của ethanol CH3CH2OH, mà phân tử của nó gồm ba nhóm nguyên tử: CH3, CH2, và OH. Proton trong từng nhóm có thể trải qua công hưởng từ, nhưng từng nhóm có giá trị cộng hưởng từ Bext duy nhất của nó Bởi các nhóm nằm trong các trường nội khác nhau Bint, do sự sắp xếp của chúng trong phân tử CH3CH2OH. Như vậy, các đỉnh cộng hưởng trong phổ trên tạo nên chữ ký duy nhất NMR để xác định ethanol. Toàn bộ trục hoành trải dài cỡ nhỏ hơn 10-4 T. Modern Physics 37 Bởi nhiều chất có chữ ký NMR duy nhất, cộng hưởng từ được sử dụng để giám định các chất chưa biết, ví dụ như công việc thuộc tòa án trong nghiên cứu tội phạm. Thêm vào đó, quy trình magnetic resonance imaging (MRI) cũng được ứng dụng trong dự đoán bệnh trong y học với những kết quả lớn lao. Hình. Trứng hóa thạch 70-triệu năm của khủng long (loại ăn cỏ) được đặt trong máy MRI quét để kiểm tra phía trong quả trứng. Modern Physics 38 Hai điện tử bị giam trong cùng một bẫy không thể có cùng một bộ các số lượng tử. Nguyên lý này không chỉ ứng dụng cho điện tử mà còn protons và neutrons, tất cả chúng có s = ½. Nguyên lý này nghĩa là không thể tồn tại hai điện tử trong nguyên tử có thể có giá trị của bốn số lượng tử n, ℓ, mℓ, and ms giống nhau. Tất cả các điện tử có cùng số lượng tử s = ½. → bất kỳ hai điện tử nào trong một nguyên tử phải khác nhau ít nhất một trong bốn số lượng tử. →Ở đâu mà điều này không đúng, thì nguyên tử sẽ bị phá vỡ, và như vậy bạn và thế giới này không thể tồn tại. 3.7 Nguyên lý loại trừ Pauli Modern Physics 39 Chìa khóa để hiểu bảng tuần hoàn các nguyên tố được Wolfgang Pauli (1900-1958) phát hiện nguyên lý loại trừ. Pauli received the 1945 Nobel Prize in physics for his accomplishment. Bức ảnh này ông Pauli (bên trái) và Niels Bohr đang quan sát vật lý của con quay đồ chơi quay trên sàn nhà. Modern Physics 40 3.8 Nhiều điện tử trong bẫy chữ nhật Để bàn luận nguyên tử nhiều điện tử, chúng ta hãy xem xét 2 điện tử bị giam trong bẫy chữ nhật của Chương 2. Các moment góc spin của hai điện tử, khi ta giả thiết rằng bẫy nằm trong từ trường đồng nhất. (Sz = msћ); ms = + ½ or ms = - ½ ; 1. Bẫy một chiều. Để sóng điện tử phù hợp trong bẫy có độ rộng L đòi hỏi chỉ một số lượng tử n. Hai điện tử có thể có các giá trị n khác nhau, hoặc chúng có cùng giá trị của n nếu một trong hai điện tử có spin up ms = + ½ và điện tử kia có spin down ms = - ½. n and ms Modern Physics 41 2. Thành chữ nhật. Để sóng điện tử phù hợp trong thành có độ rộng Lx và Ly đòi hỏi 2 số lượng tử nx và ny. ms = + ½ hoặc = - ½. Theo nguyên lý loại trừ Pauli, hai điện tử bị giam trong một bẫy ít nhất một trong ba số lượng tử này phải có các giá trị khác nhau. nx, ny and ms Modern Physics 42 3. Hộp chữ nhật. Để sóng điện tử phù hợp trong hộp có các độ rộng Lx, Ly và Lz đòi hỏi 3 số lượng tử nx, ny và nz. ms = + ½ hoặc = - ½. Theo nguyên lý loại trừ Pauli, hai điện tử bị giam trong một bẫy ít nhất một trong bốn số lượng tử này phải có các giá trị khác nhau. nx, ny, nz mà ms Modern Physics 43 Giả sử rằng thêm nhiều hơn 2 điện tử, từng điện tử một, vào bẫy chữ nhật nói trên.  Hai điện tử đầu tiên tất nhiên đi vào mức năng lượng thấp nhất có thể - chúng được gọi là chiếm mức năng lượng đó. Nguyên lý loại trừ Pauli không cho phép thêm bất kỳ điện tử vào chiếm mức năng lượng thấp nhất đó, và điện tử tiếp theo phải chiếm mức năng lượng cao hơn tiếp theo.  Mức năng lượng đầy hoặc là bị chiếm đầy, khi mức năng lượng không thể chứa thêm điện tử theo nguyên lý loại trừ Pauli.  Mức năng lượng rỗng hoặc là không bị chiếm – khi mức năng lượng đó không bị chiếm bởi bất kỳ điện tử nào.  Mức năng lượng bị chiếm một phần cho trường hợp ở giữa. Cấu hình điện tử của hệ thống các điện tử bị bẫy là danh sách hoặc là hình vẽ của các mức năng lượng các điện tử chiếm hay là của bộ các số lượng tử của các điện tử. Modern Physics 44 Tìm năng lượng tổng Một hệ thống có hai điện tử hoặc nhiều hơn bị giam giữ trong bẫy chữ nhật. Để đơn giản, giả thiết rằng các điện tử không tương tác điện với nhau; như vậy, ta sẽ bỏ qua được thế năng điện của cặp điện tử.  Điện tử bị bẫy phải tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli; Trong trường hợp này, ta có thể tính năng lượng tổng cho cấu hình điện tử bất kỳ bằng cách tính năng lượng của từng điện tử sau đó cộng các năng lượng đó lại. Modern Physics 45 Hình. (a) Giản đồ các mức năng lượng của một điện tử trong thành hình chữ nhật có độ rộng L. (Năng lượng E được tính nhân với h2/8mL2.) iện tử spin-down chiếm mức năng lượng thấp nhất. (b) Hai điện tử (một spin down, điện tử thứ hai spin up) chiếm mức năng lượng thấp nhất trong giản đồ năng lượng. (c) Điện tử thứ ba chiếm mức năng lượng tiếp theo. (d) Cấu hình trạng thái cơ bản của hệ thống đối với cả 7 điện tử. Modern Physics 46 Modern Physics 47 (e) Ba chuyển dời mà 7 điện tử của hệ thống có thể nhẩy lên trạng thái kích thích thứ nhất. (f) Giản đồ năng lượng của hệ thống, đối với ba năng lượng tổng thấp nhất của hệ thống (nhân với h2/8mL2). Modern Physics 48 3.9 Xây dựng Bảng tuần hoàn  Bốn số lượng tử n, ℓ, mℓ, và ms xác định các trạng thái lượng tử của các điện tử cá biệt trong các nguyên tử nhiều điện tử.  Thế năng liên đới với điện tử đã cho được xác định không chỉ bằng điện tích và vị trí của hạt nhân nguyên tử mà còn điện tích và vị trí của tất cả các điện tử khác trong nguyên tử → hàm sóng của các trạng thái này không giống hàm sóng của các trạng thái tương ứng trong nguyên tử hydro. 