Chứng minh quan hệ vuông góc – Phần 1

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng. Viết dạng mệnh đề: ( ) ( )// // a P d P d a  ⊂ ⇔  
Tính chất giao tuyến song song: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng phải song song với a và b. Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) ( ); ; // // // a P b Q P Q a b a b  ⊂ ⊂ ∩ = ∆ →∆ 
Tính chất để dựng thiết diện song song: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ thì ∆ phải song song với a. Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) ( ) // // a P a Q a P Q   ⊂ →∆  ∩ = ∆
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: + Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong (P). Viết dạng mệnh đề: ( ) ( )a Pd P d a ∀ ⊂⊥ ⇔  ⊥ + Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P). + Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d1; d2 cùng vuông góc với (P) thì d1 // d2. + Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng (P1); (P2) cùng vuông góc với đường thẳng d thì (P1) // (P2). + Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong (P). CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) //a Pd a d P a P ⊥ → ⊥ ⊂   + Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’. Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. a) Chưng minh rằng ( )BH SAC⊥ và ( )CH SAB⊥ . b) Gọi K là trực tâm tam giác SBC chứng minh rằng: ( )SC HBK⊥ và ( )HK SBC⊥ . Lời giải: a) Do H là trực tâm tam giác ABC nên ta có: BH AC⊥ Mặt khác BH SA⊥ nên suy ra ( )BH SAC⊥ . Tương tự ta có: ( )CH AB CH SAB CH SA ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . b) Ta có : K là trực tâm tam giác SBC nên BK SC⊥ Mặt khác ( )BH SAC BH SC⊥ ⇒ ⊥ do vậy ( )SC BHK⊥ . Ta có M là trung điểm của BC thì AM BC SA BC ⊥  ⊥ ( )BC SAM BC SM ⊥ ⇒  ⊥ . Khi đó K là trực tâm tam giác SBC nên K thuộc đường cao SM suy ra BC HK⊥ . Mặt khác do ( )SC BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥ do vậy ( ) ( )HK SBC dpcm⊥ . Câu 2: [ĐVH]. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, tam giác ABC là tam giác đều và hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H của tam giác ABC. a) Chứng minh rằng: ( )AC SBD⊥ , ( )AB SHC⊥ . b) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên SD chứng minh rằng ( )SC AMC⊥ . Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! a) Do ABCD là hình thoi nên ta có: AC BD⊥ . Mặt khác ABC là tam giác đều nên H thuộc đoạn BD do vậy SH AC⊥ từ đó suy ra ( )AC SBD⊥ . Do H là trọng tâm cũng là trực tâm tam giác đều ABC nên CH AB⊥ lại có AB SH⊥ suy ra ( )AB SHC⊥ . b) Do ( )AC SBD AC SD⊥ ⇒ ⊥ , mặt khác ta có: AM SD⊥ từ đó suy ra ( ) ( )SD ACM dpcm⊥ . Câu 3: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AC, gọi E là điểm thuộc cạnh AB sao cho 4AB AE= và F là hình chiếu vuông góc của H trên A’E. Chứng minh rằng: a) ( )'AB A HE⊥ . b) ( )' 'HF A ABB⊥ . Lời giải: a) Gọi M là trung điểm của AB ta có CM AB⊥ (do tam giác ABC đều). Khi đó E là trung điểm của AM do vậy HE là đường trung bình của tam giác ACM nên / /HE CM HE AB⇒ ⊥ lại có 'A H AB⊥ nên suy ra ( ) ( )'AB A HE dpcm⊥ . b) Do ( )'AB A HE AB HF⊥ ⇒ ⊥ mặt khác 'HF A E⊥ do vậy ( ) ( )' 'HF A ABB dpcm⊥ . Câu 4: [ĐVH]. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SB SD= . a) Chứng minh rằng ( )AC SBD⊥ . b) Kẻ ( )AK SB K SB⊥ ∈ . Chứng minh rằng ( )SB AKC⊥ . Lời giải: Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! a) Gọi O là giao điễm của AC và BD Tam giác SBD có SB SD= SBD⇒ ∆ cân tại S SO BD⇒ ⊥ Mà ( )AC BD AC SBD⊥ ⇒ ⊥ b) Ta có ( )AC SBD AC SB⊥ ⇒ ⊥ Mà ( )SB AK SB AKC⊥ ⇒ ⊥ Câu 5: [ĐVH]. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng ( )BC SAM⊥ . b) Kẻ ( )AH SM H SM⊥ ∈ . Chứng minh rằng ( )AH SBC⊥ . c) Gọi ( )P là mặt phẳng chứa AH và vuông góc với ( )SAC cắt SC tại K. Chứng minh rằng ( )SC P⊥ . Lời giải: a) Ta có ( )BC AM BC SAM BC SA ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ b) Vì ( )BC SAM BC AH⊥ ⇒ ⊥ Mà ( )AH SM AH SBC⊥ ⇒ ⊥ c) Ta có ( ) ( )SAC P AK∩ = AK⇒ là hình chiếu của AH lên ( )SAC Mà AH vuông góc với SC AK⇒ vuông góc với SC ( )SC P⇒ ⊥ Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật và 2AB AD= . Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AD , M là hình chiếu của S nằm trên AB thỏa mãn 1 4 AM AB= . a) Chứng minh rằng ( )AC SDM⊥ . b) Kéo dài DM cắt BC tại I . Hạ ( )CH SI H SI⊥ ∈ . Lấy điểm K trên cạnh SC sao cho 3 4 SK SC= . Chứng minh rằng ( )BK AHC⊥ Lời giải: Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! a) Ta có 1 4 MD MA AD DC AD= + = − +















 AC AD DC= +








 ( )1. 4MD AC DC AD AD DC ⇒ = − + +  


















 2 21 1 . . 4 4 DC AD DC AD AD DC= − − + +











 ( )2 210 . 2 0 0 4 a a= − + + = DM AC⇒ ⊥ Mà ( )AC SM AC SDM⊥ ⇒ ⊥ b) Ta có 3 4 IB IM BM IC ID DC = = = , mà ( )3 / / 1 4 SK BK SI BK CH SC = ⇒ ⇒ ⊥ Vì ( ) ( )2AC SDM AC SI BK AC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ . Từ ( )1 và ( ) ( )2 BK AHC⇒ ⊥ Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC). b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK). c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI. Lời giải: a) Ta có CD ⊥ AD và CD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD) có chứa CD). ⇒ CD⊥ (SAD). Tương tự, BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông) và BD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD) có chứa BD) ⇒ BD⊥ (SAC). b) Theo a, CD⊥ (SAD) ⇒ CD⊥ AK , (1). Lại có AK ⊥ SD, (2). Từ (1) và (2) ta được AK⊥ (SCD) Mà SC ⊂ (SCD) ⇒ AK⊥ SC, (*) Chứng minh tương tự ta cũng được AK⊥ SC, (**). Từ (*) và (**) ta được SC ⊥ (AHK). Do ( ) ( ) //( ) ⊥ ⊂  → ⊥  SC AHK AI AHK SC AI AI AHK . Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Do A ∈ (AHK) nên không thể xảy ra AI // (AHK), khi đó AI ⊂ (AHK), hay điểm I thuộc (AHK). c) Ta nhận thấy BD ⊥ (SAC), nên để chứng minh HK ⊥ (SAC) ta sẽ tìm cách chứng minh BD // HK. Thật vây, do các tam giác SAB và SAD bằng nhau nên các đường cao AH và AK bằng nhau. Khi đó, ∆SAH = ∆SAK ⇒ SH = SK // ( )→ = ⇒ ⇒ ⊥SH SK HK BD HK SAC SB SD Mà AI ⊂ (SAC) ⇒ HK ⊥ AI. Câu 8: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và 2SC a= . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD). b) Chứng minh rằng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD. Lời giải: a) ∆ABC đều nên SH ⊥ AB, (1). Ta có SB = BC = a, đồng thời 2 2 2 2 SB BD a SC SB BC SB BC SC a = = → = + ⇔ ⊥ = Mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH, (2). Từ (1) và (2) ta có SH ⊥ (ABCD). b) Theo a, SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AC. Do HK là đường trung bình của ∆ABD nên HK // BD, mà BD ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC. Từ đó ta được, AC ⊥ (SHK), hay AC ⊥ SK. Lại có ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ CK DH CK SHD CK SH , hay CK ⊥ SD Câu 9: [ĐVH]. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH ⊥ AC. c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a. Lời giải: Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! a) Ta có: 3 1; ; 2 2 2 a aSI IJ AD a SJ CD= = = = = Do vậy tam giác SIJ vuông tại đỉnh S Lại có: ( )IJ CD CD SIJ SI CD ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Khi đó: ( )SI CD SI SCD SI SJ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ tương tự chứng minh trên ta cũng có SJ ⊥ (SAB). b) Dựng SH IJ⊥ lại có ( )SH CD SH ABCD⊥ ⇒ ⊥ SH AC⇒ ⊥ c) Do BM SA BM AH SH BM ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . Ta có : 2 3 ; 4 4 SI a aHI HJ IJ = = = Đặt CM x= ta có: ( ) ( ). 0 . . . 0BM AH BC CM AI IH BC IH CM AI= ⇔ + + = + =






























 2 2 23 3 50 4 2 2 2 a ax a a x AM AD DM⇔ − = ⇔ = ⇒ = + = Câu 10: [ĐVH]. Cho ∆MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′. a) Chứng minh rằng CC′ ⊥ (MBD). b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của ∆BCD. Lời giải: a) Ta có: ( ) 'BM MA BM CMD BM CC BM CD ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . Do vậy ( )' 'CC BMD CC BD⊥ ⇒ ⊥ b) Dễ thấy BK CD⊥ . Lại có HK AB HK BD HK CD ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . Mặt khác 'CC BD BD CK⊥ ⇒ ⊥ Do vậy K là trực tâm tam giác BCD. Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Câu 11: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và BC= a, đáy ABCD là hình thang vuông có đường cao AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD. a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C. b) Kẻ SN vuông CD tại N. Chứng minh rằng CD ⊥ (SAN). Lời giải: a) Ta có: ABCM là hình vuông cạnh a do vậy 1 2 CM a AD ACD= = ⇒ ∆ vuông tại C. Lại có: CD AC CD SC CD SA ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ hay tam giác SCD vuông tại C. b) Kẻ SN CD N C⊥ ⇒ ≡ ⇒ CD ⊥ (SAN).