Chương 1: Giải tích vector

1Chương 1 1 1. Các hệ toạ độ 2. Các yếu tố vi phân 3. Phép tính vector 4. Tích phân 5. Các toán tử CHƯƠNG 1: GIẢI TÍCH VECTOR 7:43 AM 7:43 AM Chương 1 2 Các hệ toạ độ  Hệ toạ độ Descartes z x yO z x y ݅௬ ݅௫ ݅௭ ݅௫ ൌ ݅௬ ൈ ݅௭ ݅௬ ൌ ݅௭ ൈ ݅௫ ݅௭ ൌ ݅௫ ൈ ݅௬ 27:43 AM Chương 1 3 Các hệ toạ độ  Hệ toạ độ trụ r,,z  rP,P,zP P ݅௥ ൌ ݅ఝ ൈ ݅௭ ݅ఝ ൌ ݅௭ ൈ ݅௥ ݅௭ ൌ ݅௥ ൈ ݅ఝ݅ఝ 7:43 AM Chương 1 4 Các hệ toạ độ  Hệ toạ độ cầu ݅௥ ൌ ݅ఏ ൈ ݅ఝ ݅ఏ ൌ ݅ఝ ൈ ݅௥ ݅ఝ ൌ ݅௥ ൈ ݅ఏ ݅ఝ  ݅௥ ݅ఝ ݅ఏ 37:43 AM Chương 1 5 Các hệ toạ độ  Liên hệ giữa các hệ toạ độ Descartes Trụ Cầu Descartes (x,y,z) x = rcos y = rsin z = z x = rsincos y = rsinsin z = rcos Trụ (r,,z) ݎ ൌ ݔ ଶ ൅ ݕଶ ߮ ൌ ܽݎܿݐܽ݊݃ ݕݔ z = z r = rsin  =  z = rcos Cầu (r,,) ݎ ൌ ݔ ଶ ൅ ݕଶ ൅ ݖଶ ߠ ൌ ܽݎܿݐܽ݊݃ ݔ ଶ ൅ ݕଶ ݔ ߮ ൌ ܽݎܿݐܽ݊݃ ݕݔ ݎ ൌ ݎଶ ൅ ݖଶ ߠ ൌ ܽݎܿݐܽ݊݃ ݎݖ =  7:43 AM Chương 1 6 Các hệ toạ độ  Liên hệ giữa các hệ toạ độ Toạ độ Vector đơn vị Hệ số Larmor u1 u2 u3 ݅ଵ ݅ଶ ݅ଷ h1 h2 h3 Descartes (x,y,z) -< x < -< y < -< z < ݅௫ ݅௬ ݅௭ 1 1 1 Trụ (r,,z) 0 r < 0  <2 -< z < ݅௥ ݅ఝ ݅௭ 1 r 1 Cầu (r,,) 0 r < 0  < 0  <2 ݅௥ ݅ఏ ݅ఝ 1 r rsin 47:43 AM Chương 1 7 Các yếu tố vi phân ݀ܵ௫ ݀ܵ௬ ݀ܵ௭  Hệ toạ độ Descartes ݈݀ ൌ ݀ݔ݅௫ ൅ ݀ݕ݅௬ ൅ ݀ݖ݅௭ ݀ܵ௫ ൌ േ݀ݕ݀ݖ݅௫ ݀ܵ௬ ൌ േ݀ݔ݀ݖ݅௬ ݀ܵ௭ ൌ േ݀ݔ݀ݕ݅௭ ܸ݀ ൌ ݀ݔ݀ݕ݀ݖ 7:43 AM Chương 1 8 Các yếu tố vi phân  Hệ toạ độ trụ ݀ܵ௭ ݀ܵ௥ ݀ܵఝ ݅ఝ rdrd ݈݀ ൌ ݀ݎ݅௥ ൅ ݎ݀߮݅ఝ ൅ ݀ݖ݅௭ ݀ܵ௥ ൌ േݎ݀߮݀ݖ݅௥ ݀ܵఝ ൌ േ݀ݎ݀ݖ݅ఝ ݀ܵ௭ ൌ േݎ݀ݎ݀߮݅௭ ܸ݀ ൌ ݎ݀ݎ݀߮݀ݖ 57:43 AM Chương 1 9 Các yếu tố vi phân  Hệ toạ độ cầu ݀ܵథ ݀ܵ௥ ݀ܵఏ ݈݀ ൌ ݀ݎ݅௥ ൅ ݎ݀ߠ݅ఏ ൅ ݎݏ݅݊ߠ݀߮݅ఝ ݀ܵ௥ ൌ േሺݎ݀ߠሻሺݎݏ݅݊ߠ݀߮ሻ݅௥ ݀ܵఏ ൌ േሺ݀ݎሻሺݎݏ݅݊ߠ݀߮ሻ݅ఏ ݀ܵఝ ൌ േሺ݀ݎሻሺݎ݀ߠሻ݅ఝ ܸ݀ ൌ ሺ݀ݎሻሺݎ݀ߠሻሺݎݏ݅݊ߠ݀߮ሻ  rsind ݅ఝ 7:43 AM Chương 1 10 Các yếu tố vi phân Tìm khối lượng của vật thể hình cầu bán kính a, tâm tại gốc toạ độ có mật độ khối lượng (r,,) = 0/r. ܸ݀ ൌ ሺ݀ݎሻሺݎ݀ߠሻሺݎݏ݅݊ߠ݀߮ሻ ݉ ൌ න ߩ ௏ ܸ݀ ൌ න ߩ଴ݎ ݎ ଶݏ݅݊ߠ݀ݎ݀ߠ݀߮ ௏ ൌ න න න ߩ଴ݎݏ݅݊ߠ݀ݎ݀ߠ݀߮ ௔ ଴ గ ଴ ଶగ ଴ m = 20a2 Tìm tích phân ׬ ݔଶ ൅ ݕଶ ܸ݀௏ với V là nửa trên hình cầu bán kính R. Áp dụng: r: 0 – R, : 0 - 2, : 0 - /2 x = rsincos y = rsinsin 67:43 AM Chương 1 11 Phép tính vector  Biểu diễn vector ܣԦ ൌ ܣଵ݅ଵ ൅ ܣଶ݅ଶ ൅ ܣଷ݅ଷ ܣԦ ൌ ܣଵଶ ൅ ܣଶଶ ൅ ܣଷଶ  Tích vô hướng ܣԦ. ܤ ൌ ܣଵܤଵ ൅ ܣଶܤଶ ൅ ܣଷܤଷ  Tích có hướng ܣԦ ൈ ܤ ൌ ݅ଵ ݅ଶ ݅ଷܣଵ ܣଶ ܣଷܤଵ ܤଶ ܤଷ ൌ ܣଶܤଷ െ ܣଷܤଶ ݅ଵ ൅ ܣଷܤଵ െ ܣଵܤଷ ݅ଶ ൅ ሺܣଵܤଶ െ ܣଶܤଵሻ݅ଷ 7:43 AM Chương 1 12 Phép tính vector  Đạo hàm vector ݀ܣԦ ൌ ߲ܣԦ߲ݔ ݀ݔ ൅ ߲ܣԦ ߲ݕ ݀ݕ ൅ ߲ܣԦ ߲ݖ ݀ݖ ߲ܣԦ ߲ݔ ൌ lim∆௫→଴ ܣԦ ݔ ൅ ∆ݔ, ݕ, ݖ െ ܣԦ ݔ, ݕ, ݖ ∆ݔ ܣԦ ൌ 2ݔଶݕ݅௫ ൅ ݕݖ݅௬ ൅ ݔݕଶ݅௭ ߲ܣԦ߲ݔ ൌ 4ݔݕ݅௫ ൅ ݕ ଶ݅௭ 77:43 AM Chương 1 13 Tích phân  Tích phân đường න ܨԦ݈݀ ஼ ൌ න ܨ. ݈݀. cos ሺܨԦ݈݀ሻ ஼ C là đường cong kín: ර ܨԦ݈݀ ஼ : lưu số của ܨԦ theo C  Tích phân mặt න ܣԦ݀ݏ ௌ ൌ න ܣ. ݀ݏ. cos ሺܣԦ݀ݏሻ ஼ S là mặt kín: ර ܣԦ݀ݏ ௌ ൌ ර ܣԦ݊݀ݏ ௌ ݊: vector pháp tuyến đơn vị của mặt S  Tích phân thể tích න ߩܸ݀ ௏ : mật độ khối 7:43 AM Chương 1 14 Các toán tử  Gradient  Nabla ߘ ൌ ݅௫ ߲߲ݔ ൅ ݅௬ ߲ ߲ݕ ൅ ݅௭ ߲ ߲ݖ  Tác dụng lên hàm vô hướng, kết quả là vector  Độ lớn bằng tốc độ tăng cực đại  Hướng là hướng có tốc độ tăng cực đại (vuông góc với mặt V = const đi qua điểm đang xét) ݃ݎܸܽ݀ ൌ 1݄ଵ ݅ଵ ߲ܸ ߲ݑଵ ൅ 1 ݄ଶ ݅ଶ ߲ܸ ߲ݑଶ ൅ 1 ݄ଷ ݅ଷ ߲ܸ ߲ݑଷ 87:43 AM Chương 1 15 Các toán tử  Gradient  Descartes ݃ݎܸܽ݀ ൌ ݅௫ ߲ܸ߲ݔ ൅ ݅௬ ߲ܸ ߲ݕ ൅ ݅௭ ߲ܸ ߲ݖ ൌ ߘܸ  Trụ ݃ݎܸܽ݀ ൌ ݅௥ ߲ܸ߲ݎ ൅ 1 ݎ ݅ఝ ߲ܸ ߲߮ ൅ ݅௭ ߲ܸ ߲ݖ  Cầu ݃ݎܸܽ݀ ൌ ݅௥ ߲ܸ߲ݎ ൅ 1 ݎ ݅ఏ ߲ܸ ߲ߠ ൅ 1 ݎݏ݅݊ߠ ݅ఝ ߲ܸ ߲߮ 7:43 AM Chương 1 16 Các toán tử  Gradient Tìm vector đơn vị vuông góc với mặt r 2cos(2) = 1 tại điểm 2, గ଺ , 0 trong hệ toạ độ trụ. Hướng vuông góc với mặt V = const là gradV  cần tính gradV với V = r 2cos(2) ݃ݎܸܽ݀ ൌ ݅௥ ߲ܸ߲ݎ ൅ 1 ݎ ݅ఝ ߲ܸ ߲߮ ൅ ݅௭ ߲ܸ ߲ݖ ൌ 2ݎܿ݋ݏ 2߮ ݅௥ െ 2ݎݏ݅݊ 2߮ ݅ఝ Tại điểm 2, గ଺ , 0 ݃ݎܸܽ݀ ൌ 2 2ܿ݋ݏ 2ߨ6 ݅௥ െ 2 2ݏ݅݊ 2 ߨ 6 ݅ఝ ߲ܸ ߲߮ ൌ 2 ݅௥ െ 6 ݅ఝ Vector đơn vị: ݅௡ ൌ ݃ݎܸܽ݀݃ݎܸܽ݀ ൌ 2 ݅௥ െ 6 ݅ఝ 8 ൌ 1 2 ݅௥ െ 3 ݅ఝ 97:43 AM Chương 1 17 Các toán tử  Divergence  Đặc trưng cho cường độ của nguồn  Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vô hướng ݀݅ݒܣԦ ൌ 1݄ଵ݄ଶ݄ଷ ߲ሺܣଵ݄ଶ݄ଷሻ ߲ݑଵ ൅ ߲ሺܣଶ݄ଷ݄ଵሻ ߲ݑଶ ൅ ߲ሺܣଷ݄ଵ݄ଶሻ ߲ݑଷ  Descartes ݀݅ݒܣԦ ൌ ߲ܣ௫߲ݔ ൅ ߲ܣ௬ ߲ݕ ൅ ߲ܣ௭ ߲ݖ ൌ ߘܣԦ 7:43 AM Chương 1 18 Các toán tử  Định lý Divergence (định lý Gauss – Ostrograsky)  Divergence න ݀݅ݒܣԦܸ݀ ௏ ൌ ර ܣԦ݀ݏ ௌ S: mặt kín bất kỳ bao quanh thể tích V 10 7:43 AM Chương 1 19 Các toán tử  Rotation (curl)  Đặc trưng cho tính chất xoáy của vector  Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vector ݎ݋ݐܣԦ ൌ 1݄ଵ݄ଶ݄ଷ ݄ଵ݅ଵ ݄ଶ݅ଶ ݄ଷ݅ଷ ߲ ߲ݑଵ ߲ ߲ݑଶ ߲ ߲ݑଷ ܣଵ݄ଵ ܣଶ݄ଶ ܣଷ݄ଷ 7:43 AM Chương 1 20 Các toán tử  Rotation (curl)  Descartes ݎ݋ݐܣԦ ൌ ݅௫ ݅௬ ݅௭ ߲ ߲ݔ ߲ ߲ݕ ߲ ߲ݖ ܣ௫ ܣ௬ ܣ௭ ൌ ߘ ൈ ܣԦ  Định lý Stokes න ݎ݋ݐܣԦ݀ݏ ௌ ൌ ර ܣԦ݈݀ ஼ C: đường cong kín bất kỳ bao quanh diện tích S 11 7:43 AM Chương 1 21 Các toán tử  Laplace  Tác dụng lên hàm vô hướng, kết quả là vô hướng f = div(gradf) = ..f = 2f ∆݂ ൌ 1݄ଵ݄ଶ݄ଷ ߲ ߲ݑଵ ݄ଶ݄ଷ ݄ଵ ߲݂ ߲ݑଵ ൅ ߲ ߲ݑଶ ݄ଷ݄ଵ ݄ଶ ߲݂ ߲ݑଶ ൅ ߲ ߲ݑଷ ݄ଵ݄ଶ ݄ଷ ߲݂ ߲ݑଷ  Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vector ∆ܣԦ ൌ ߘ. ߘ. ܣԦ െ ߘ ൈ ߘ ൈ ܣԦ ൌ ݃ݎܽ݀ ݀݅ݒܣԦ െ ݎ݋ݐሺݎ݋ݐܣԦሻ 7:43 AM Chương 1 22 Các biểu thức cơ bản 1. (f + g) = f + g 2. ߘ. ܣԦ ൅ ܤ ൌ ߘ. ܣԦ ൅ ߘ. ܤ 3. ߘ ൈ ܣԦ ൅ ܤ ൌ ߘ ൈ ܣԦ ൅ ߘ ൈ ܤ 4. (fg) = gf + fg 5. ߘ ݂ܣԦ ൌ ܣԦߘ݂ ൅ ݂ߘܣԦ 6. ߘ ܣԦ ൈ ܤ ൌ ܤ. ߘ ൈ ܣԦ െ ܣԦ. ߘ ൈ ܤ ݄ܽݕ ݀݅ݒ ܣԦ ൈ ܤ ൌ ܤ. ݎ݋ݐܣԦ െ ܣԦ. ݎ݋ݐܤ 7. ߘ ܣԦ. ܤ ൌ ܣԦ ൈ ߘ ൈ ܤ ൅ ܤ ൈ ߘ ൈ ܣԦ ൅ ܣԦ. ߘ ܤ ൅ ሺܤ. ߘሻܣԦ 8. ߘ ൈ ݂ܣԦ ൌ ߘ݂ ൈ ܣԦ ൅ ݂ߘ ൈ ܣԦ 9. ߘ ൈ ܣԦ ൈ ܤ ൌ ܣԦߘ. ܤ െ ܤߘ. ܣԦ ൅ ܤ. ߘ ܣԦ െ ሺܣԦ. ߘሻܤ 10. ߘ. ߘ ൈ ܣԦ ൌ ݀݅ݒ ݎ݋ݐܣԦ ൌ 0 11. ߘ. ߘ ൈ ݂ ൌ ݎ݋ݐ ݃ݎ݂ܽ݀ ൌ 0 12 7:43 AM Chương 1 23 ܣԦ ൌ 2ݔݖ݅௫ ൅ ݔଶݕଶ݅௬ ൅ ݔݕ݅௭ ܤ ൌ 2݅௫ ൅ 3݅௬ ൅ ݅௭ Tính: 1. ܣԦ. ܤ 2. ܣԦ ൈ ܤ 3. ݀ܣԦ 4. gradV 5. ݀݅ݒܣԦ 6. ݎ݋ݐܣԦ 7. ∆ܣԦ 8. ∆ܸ 9. ݀݅ݒܥԦ 10.gradU ܸ ൌ 2ݔଶሺݕ ൅ 1ሻሺݖଶ ൅ 1ሻ ܥԦ ൌ ݎଶ݅௥ ൅ 2ݎݏ݅݊߮݅ఝ ൅ ݖ݅௭ ܷ ൌ ݎଷ ൅ ݎݏ݅݊߮ܿ݋ݏߠ ൅ ݎଶݏ݅݊ߠ