Chương 1. Ma trận - Định thức

1C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma trận nghịch đảo 4 Hạng của ma trận 21. MA TRẬN 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n              mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A • aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j. • A = [aij]m x n = (aij)m x n 31. MA TRẬN 1.1.2. Ma trận vuông:  Ma trận vuông: Khi m = n              nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A • a11,a22,…ann được gọi là các phần tử chéo. • Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính. 41. MA TRẬN  Ma trận tam giác trên: aij = 0 nếu i > j              nn n222 n11211 a...00 ............ a...a0 a...aa A  Ma trận tam giác dưới: aij = 0 nếu i < j              nn2n1n 2221 11 a...aa ............ 0...aa 0...0a A 51. MA TRẬN  Ma trận chéo: aij = 0 nếu i ≠ j              nn 22 11 a...00 ............ 0...a0 0...0a A  Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aij=1,i=j; aij = 0, i≠j              1...00 ............ 0...10 0...01 I 61. MA TRẬN 1.1.3. Vectơ hàng(cột): Ma trận chỉ có một hàng(cột) 1.1.4. Ma trận không:              0...00 ............ 0...00 0...00 mxn 1.1.4. Ma trận bằng nhau: A=B 1) A=[aij]m x n; B=[bij]m x n 2) aij = bij với mọi i,j Ví dụ, tìm X sao cho:        92 31 X 71. MA TRẬN 1.1.5. Ma trận chuyển vị: A=[aij]m x n => A T=[aji]n x m              419 224 693 741 AVí dụ: tìm AT: 1.1.6. Ma trận đối xứng: A=AT              4647 6315 4123 7531 AVí dụ: 81. MA TRẬN 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN: 1.2.1. Phép cộng hai ma trận 1. Định nghĩa: A=[aij]mxn; B=[bij]mxn => A+B =[aij+bij]mxn                531 394 032 412 X 2. Tính chất: • A + B = B + A • (A + B) + C = A + (B + C) •  + A = A • Nếu gọi -A = [-aij]m x n thì ta có -A + A =  Ví dụ, tìm X: 91. MA TRẬN 1.2.2. Phép nhân một số với ma trận: 1. Định nghĩa: cho A=[aij]m x n, kR => kA=[kaij]m x n        853 142 A 2. Tính chất: cho k, h  R: • k(A + B) = kA + kB • (k + h)A = kA + hA Tính 3A? 10 1. MA TRẬN 1.2.3. Phép nhân hai ma trận: 1. Định nghĩa :A=[aik]m x p; B=[bkj]p x n=>C=AB=[cij]m x n:    p 1k kjikpjip2ji21ji1ij baba...babac Thuật toán: Hàng i ma trận A x Cột j ma trận B 11 1. MA TRẬN 2. Một số tính chất: • (A.B).C = A.(B.C) • A(B+C) = AB + AC • (B+C)A = BA + CA • k(BC) = (kB)C = B(kC) • Phép nhân nói chung không có tính giao hoán • A=[aij]n x n => I.A = A.I = A                 1203 0112 1321 123 112 Ví dụ: Tính: 12 1. MA TRẬN 1.3. VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng. Tháng 1 A B C D CH1 10 2 40 15 CH2 4 1 35 20 Tháng 2 A B C D CH1 12 4 20 10 CH2 10 3 15 15 13 1. MA TRẬN Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng theo kế hoạch sản xuất cho bởi 2 bảng số liệu sau: Phân xưởng Sản phẩm A B C PX1 10 0 5 PX2 0 8 4 PX3 0 2 10 Sản phẩm Vật liệu VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 A 1 2 0 2 0 B 0 1 1 2 0 C 0 0 2 1 3 14 2. ĐỊNH THỨC 2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA:  A là ma trận vuông cấp 2:  A là ma trận vuông cấp 1: A= [a11] thì det(A) = |A| = a11        2221 1211 aa aa A thì det(A) = a11a22 – a12a21 15 2. ĐỊNH THỨC              nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A • Aij là ma trận con cấp n-1 nhận được từ A bằng cách xoá hàng i cột j. Aij: ma trận con bù của aij • cij = (-1) i+jdet(Aij) là phần bù đại số của aij • C = (cij): Ma trận phần bù đại số của A • A là ma trận vuông cấp n: 16 2. ĐỊNH THỨC Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức: 513 321 342 A  • Định thức cấp n của A là: det(A) = a11c11 + a12c12 + …+ a1nc1n      n 1j j1j1 j1 n 1j j1j1 )Adet(a)1(ca)Adet( 17 2. ĐỊNH THỨC 2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC: • Tính chất 1:AT=A Hệ quả: Một phát biểu của định thức đúng theo hàng thì đúng theo cột. • Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (cột) định thức đổi dấu. Hệ quả: Định thức triển khai theo bất kỳ hàng nào. 1200 15915 4100 2101 Ví dụ: tính: 18 2. ĐỊNH THỨC • Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (cột) bằng nhau thì bằng không. • Tính chất 4: Một định thức có một hàng (cột) toàn là số không thì bằng không. • Tính chất 5: Nhân các phần tử của một hàng (cột) với cùng một số k (k0) thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k. Hệ quả: Ta có thể đưa thừa số chung của một hàng (cột) ra ngoài định thức. 19 2. ĐỊNH THỨC • Tính chất 10: Định thức ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo. nn n222 n11211 a...00 ............ a...a0 a...aa A  nn2211 a...aaA  nn2m1n 2221 11 a...aa ............ 0...aa 0...0a A  • Tính chất 9: Cộng k lần hàng r vào hàng s thì định thức không đổi. 516 754 312 Tính 20 2. ĐỊNH THỨC 2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC: • Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. • Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận về dạng tam giác. Phép biến đổi Tác dụng TC Đổi chỗ hai hàng Định thức đổi dấu 2 Nhân một hàng với số thực k0 Định thức nhân k 5 Cộng k lần hàng r vào hàng s Định thức không đổi 9 • Phương pháp 3: Kết hợp hai phương pháp trên và một số tính chất của định thức 21 2. ĐỊNH THỨC 1203 3332 1311 21014  Ví dụ: Tính định thức: 22 2. ĐỊNH THỨC Ví dụ: Tính định thức: 332112322311312213 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa A    23 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1. Ma trận không suy biến: nếu det(A) ≠ 0. 3.2. Ma trận nghịch đảo: Cho A cấp n, nếu tồn tại B thoả: AB = BA = I thì: • B gọi là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu: B = A-1 • A gọi là ma trận khả nghịch. 3.3. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo: Định lý: Nếu A khả nghịch thì A-1 là duy nhất. 24 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.4. Sự tồn tại và biểu thức ma trận nghịch đảo: Định lý: A khả nghịch  det(A)≠0 và              nnn2n1 2n2212 1n2111 T1 c...cc ............ c...cc c...cc A 1 C A 1 A • CT: ma trận chuyển vị của ma trận phần bù đại số            121 212 113 AVí dụ, tìm ma trận nghịch đảo: 25 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.6. Phương pháp Gauss - Jordan: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp chuyển: [A│I] = [I│A-1] Phép biến đổi 1. Đổi chỗ hai hàng 2. Nhân một hàng với một số thực k0 3. Cộng k lần hàng r vào hàng s Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo:              5321 4331 6543 4321 A 26 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.1. Ma trận con: • Ma trận vuông cấp p suy ra từ Amxn bằng cách bỏ đi m-p hàng và n-p cột gọi là ma trận con cấp p của A. • Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p của A. • p  min(m,n) Ví dụ: Tìm các ma trận con A            2121 4112 2431 B       24 31 A 27 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.2. Hạng của ma trận: • Định nghĩa: Hạng của ma trận Amxn là cấp cao nhất của định thức con khác không của A. Nếu r là hạng của ma trận thì: • Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0. • r = min(m,n) hoặc mọi định thức con của A cấp lớn hơn r đều bằng 0. • Ký hiệu: r(A) = r Ví dụ: Tìm hạng A              2121 4112 2431 A 28 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.3. Ma trận bậc thang: 4.3.1. Định nghĩa: • Một dòng của ma trận được gọi là dòng 0 nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. • Ngược lại, nếu một dòng của ma trận có ít nhất một phần tử khác 0 thì được gọi là dòng khác 0. • Phần tử khác 0 đầu tiên của một dòng được gọi là phần tử chính của dòng đó. 29 4 HẠNG CỦA MA TRẬN Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang khi thoả các điều kiện sau: • A không có dòng 0 hoặc dòng 0 luôn ở dưới các dòng khác 0. • Nếu A có ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng khác 0 tuỳ ý của A, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòng trên.            0000 1000 0210 4321 A      100 042 B          000 012 432 C          310 000 021 D 30 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.3.2. Định lý về hạng của ma trận: Sau hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận thì hạng không thay đổi. Hệ quả: Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang thu được sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp.              40132 22242 51263 11131 AVí dụ: Tìm hạng của ma trận: