Chương 2 Biến ngẫu nhiên

Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 33 Chương 2 Biến ngẫu nhiên 1. KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN Như chúng ta đã biết, một không gian mẫu M có thể được mô tả không thuận lợi nếu những phần tử của M không phải là các con số. Để tiện lợi trong việc mô tả, giải toán và đưa vào một số khái niệm mới, người ta sẽ tìm một qui tắc, theo đó, mỗi phần tử m thuộc M có thể được biểu diễn bởi một số thực x tương ứng. Ý tưởng này dẫn đến khái niệm Biến ngẫu nhiên. 1.1. Định nghĩa. Cho trước không gian xác suất M. Một hàm X: M →
sao cho với mọi khoảng K trong
, tập hợp {m ∈ M / X(m) ∈ K} là một biến cố của M, được gọi là một Biến ngẫu nhiên ( viết tắt là BNN ) trên M. Miền giá trị của X được ký hiệu là Im(X), i.e. Im(X) = {x ∈
/ ∃m ∈ M, X(m) = x}. • Để đơn giản cách viết, biến cố {m ∈ M / X(m) ∈ K} được viết là {X ∈ K}. Đặc biệt, với các số thực a và b, các biến cố: {m ∈ M / X(m) = a}; {m ∈ M / X(m) < a}; {m ∈ M / a ≤ X(m) ≤ b}; {m ∈ M / X(m) ≥ b}; … lần lượt được viết là {X = a}; {X < a}; {a ≤ X ≤ b}; {X ≥ b}; … Các xác suất P({X = a}); P({X < a}); P({a ≤ X ≤ b})…được viết gọn là P(X = a); P(X < a); P(a ≤ X ≤ b) … Dựa vào các tính chất của hàm thực, chúng ta có: 1.2. Định lý. Giả sử X và Y là các BNN trên cùng một không gian xác suất M; a và b là các hằng số thực; khi đó, các hàm aX + bY, XY, max(X, Y), min(X,Y) và X/Y (với Y ≠ 0) cũng là các BNN trên M. Ngoài ra, nếu ϕ là một hàm liên tục xác định trên Im(X) thì ϕoX cũng là một BNN trên M. 1.3. Thí dụ. Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 34 1.3.1. Tham khảo lại Định nghĩa 1.6.1 và Định lý 1.6.2; với B(p), không gian mẫu là M = {T, B}, trong đó, T và B lần lượt chỉ các kết quả sơ cấp "Thành công" và "Thất bại". Hàm số thực X trên M được xác định bởi: X(T) = 1 và X(B) = 0 là một biến ngẫu nhiên trên M. "Qui tắc" để thành lập hàm X là "số lần thành công trong B(p)". Chúng ta nói rằng X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công trong B(p). X có miền giá trị là {0, 1}, và P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1 − p. 1.3.2. Trong quá trình B(n; p), không gian mẫu M chứa 2n điểm mẫu, mỗi điểm được biểu diễn bởi một dãy n ký tự gồm chữ T và B.Thật bất tiện. Bây giờ, chúng ta xét hàm thực X xác định trên M bởi: Ứng với mỗi điểm mẫu m của M, X(m) là số chữ T có trong m, tức là số lần thành công trong mỗi kết quả sơ cấp. Như vậy, chúng ta có BNN X chỉ số lần thành công trong quá trình B(n;p). X có miền giá trị là {0, 1, 2, …, n}, và xác suất để có k thành công trong quá trình là: (Định lý 1.6.2.) ( ) ( ) ( ) −= = = −P C 1k k n kn nX k P k p p , k ∈ {0, 1, 2, …, n} Khi đó, người ta nói rằng: BNN X có phân phối nhị thức, với hai tham số n và p. Ký hiệu: X ~ B(n;p). • Chú ý rằng: Nếu gọi Xi là BNN chỉ số lần thành công trong phép thử thứ i ( 1 ≤ i ≤ n ) thì X = X1 + X2 + . . . + Xn. 1.3.3. Trong mô hình phân phối siêu hình học ở đoạn 1.2, nếu gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phần tử "được đánh dấu" trong mẫu kích thước n thì biến cố {X = k} = Ak (Ak: “có k phần tử được đánh dấu trong mẫu”) có xác suất là . ( ) − − = = CC P C n kk T N T n N X k , trong đó k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, min (T, n)}. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Chú ý: Trong giáo trình này, khi cần tham khảo lại một định nghĩa, một định lý hoặc một thí dụ ỏ phần trước, tác giả ghi thêm số chương vào phía trước số chỉ mục. e.g. Khi cần tham khảo Định nghĩa 6.1 ở chương 1, tác giả ghi: Định nghĩa 1.6.1; Định lý 2.3 ở chương 2, sẽ được ghi là Định lý 2.2.3… Khi đó, người ta nói rằng: Biến ngẫu nhiên X tuân theo luật ( hay có luật) phân phối siêu hình học. Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 35 1.3.4. Một công ty nghiên cứu phản ứng của thị trường đối với một loại sản phẩm mới ở 3 mức độ: Tốt , trung bình và kém. Không gian mẫu M gồm 3 biến cố sơ cấp: {tốt, trung bình, kém}. Chúng ta có thể xác định một biến ngẫu nhiên X trên M như sau: X(tốt) = 1; X(trung bình) = 0; X(kém) = −1. Miền giá trị của X là {−1, 0, 1}. 2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT TÍCH LŨY 2.1. Định nghĩa. Cho biến ngẫu nhiên X trên không gian xác suất M. Với mọi x thuộc
, {X < x} là một biến cố, nên tồn tại P(X < x). Hàm F được xác định bởi: ∀x ∈
, F(x) = P(X < x ) được gọi là Hàm phân phối xác suất tích lũy (hay nói gọn là hàm phân phối, viết tắt là h.p.p. ) của X. Từ định nghĩa của h.p.p. và tính chất của xác suất, dễ thấy rằng: ∀x

, 0  F (x)  1 H.p.p. F của BNN X có các tính chất cơ bản được thể hiện ở định lý sau: 2.2. Định lý. Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên một không gian xác suất; F là h.p.p. của X . Khi đó, (i) ∀(x1, x2)

2, ( x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ) (ii) lim ( ) 0 x F x → − ∞ = và lim ( ) x F x → + ∞ = 1 (iii) F liên tục bên trái trên
(iv) P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a) với mọi a và b thỏa a < b (v) P(X = a) = F (a+) − F (a) với mọi a ∈
. Chứng minh. (i). Nếu x1 ≤ x2 thì {X < x1} ⊂ {X < x2}; do đó: P(X < x1) ≤ P(X < x2). Vậy, F(x1) ≤ F(x2). (ii) Hàm F đơn điệu và bị chặn, nên tồn tại lim ( ) x x →−∞ F và lim ( ) x F x →+∞ Có một dãy số giảm (xn)n ∈ * sao cho n nx ∞→ −∞ Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 36 Với mọi n ∈ *, đặt An = {X < xn} thì (An) là một dãy giảm các biến cố và 1 n n A ∞ = = ∅∩ . Do đó, 1 lim P ( ) P 0n n n n A A ∞ →∞ =    = =     ∩ hay lim ( )n n F x →∞ = 0 Vậy, lim ( ) x x →−∞ F = 0 (viết gọn là ( ) 0F −∞ = ). Chứng minh tương tự cho lim ( ) x F x → + ∞ = 1 (viết gọn là ( ) 1F + ∞ = ). (iii) Hàm F đơn điệu trên
nên tại mọi điểm x ∈
, luôn có ( ) lim ( ) t x F x F t → − − = Với mọi x ∈
và với mọi n ∈ *, đặt { }1n nB x X x= − ≤ < thì Bn là một dãy giảm các biến cố và 1 n n B ∞ = ∩ = ∅. Do đó, 1 lim P ( ) P ( ) 0n n n n B B ∞ → ∞ = = =∩ Thế mà, {X < x} = {X < x − 1 n } + Bn ⇒ F ( x − 1n ) = F (x) − P(Bn), nên 1lim ( ) ( ) nn F x F x →∞ − = ; từ đó, chúng ta có F (x−) = F (x). Vậy, F liên tục bên trái tại mọi điểm x ∈
. Phần chứng minh (iv) và (v) được xem như bài tập.
( Gợi ý: Để chứng minh (v), dùng 1{ }n nC a X a= ≤ < + Ngược lại, người ta chứng minh được rằng: 2.3. Định lý. Nếu một hàm F:
→
thỏa ba tính chất (i), (ii) và (iii) trong Định lý 2.2.2. thì F là h.p.p. của một biến ngẫu nhiên trên một không gian xác suất nào đó. Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 37 Thí dụ. Cho BNN X có h.p.p. F được xác định bởi: 2 0 0 ( ) 0 1 1 1 x x F x x x ≤  = < ≤  < + 1 nÕu nÕu nÕu Khi đó, 3 31 1 2 2 4 4P ( 3 ) ( ) ( 3) 0X F F− ≤ < = − − = − = P(X = 0) = F (0+) − F (0) = 1 12 20− = . 3. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT Các định lý 2.2.2 và 2.2.3 cho chúng ta thấy rằng: Nếu biết h.p.p. F của một BNN X thì chúng ta biết được đầy đủ về X. Vì vậy, hàm phân phối là một đặc trưng đầy đủ của một biến ngẫu nhiên. Khi biết h.p.p. F của BNN X, người ta nói rằng phân phối xác suất của X được xác định. Có hai loại phân phối xác suất: Loại rời rạc và loại liên tục. 3.1. Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X trên không gian xác suất M được gọi là có phân phối xác suất thuộc loại rời rạc hay X là BNN rời rạc nếu Im(X) là một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được. Nói cách khác, X là một BNN rời rạc nếu các phần tử của Im(X) có thể liệt kê được thành một dãy. Giả sử Im(X) = {x1, x2, ..., xn, …}. Hàm f :
→
được xác định bởi: f (x) = P( ) Im( ) 0 Im( ) k kX x x x X x X = = ∈  ∉ nÕu nÕu được gọi là Hàm mật độ xác suất hay nói gọn là Hàm mật độ ( viết tắt là h.m.đ. ) của BNN X. Rõ ràng, f có các tính chất: (i) f (x) ≥ 0 với mọi x ∈
và (ii) ( ) 1 x f x ∈ =∑ R Để đơn giản cách viết, cụm từ "nếu x ∉ Im(X)" có thể được thay bằng cụm từ "nơi khác". • Nếu F là h.p.p. của X thì ∀x ∈
, ( ) ( ) w x F x f w < = ∑ Hàm phân phối của một BNN rời rạc là một hàm bậc thang. Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 38 Khi Im(X) là hữu hạn, phân phối xác suất của X có thể được trình bày dưới dạng bảng gọi là Bảng phân phối xác suất: x x1 x2 . . . xn f (x) p1 p2 . . . pn trong đó, pi = f (xi), với mọi i ∈ {1, 2, …, n}. Thí dụ. Gieo 2 con xúc xắc vô tư và quan sát số nút xuất hiện ở mặt trên của hai con xúc xắc. Không gian mẫu M tương ứng là hữu hạn đều và gồm 36 điểm (Thí dụ 1.1.3.1). Gọi X là BNN chỉ số lớn nhất trong hai số xuất hiện, i.e. với mọi (a,b) thuộc M, X(a,b) = max (a,b). Khi đó, Im(X) = {1, 2, 3. 4, 5, 6}. Gọi f là h.m.đ. của X, chúng ta có: f (1) = P(X = 1) = P({(1,1)}) = 1/36; f (2) = P(X = 2) = P({(1,2), (2,2), (2,1)}) = 3/36; f (3) = P(X = 3) = P({(1,3), (2,3), (3,3), (3,2), (3,1)}) = 5/36; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bảng phân phối xác suất của X: x 1 2 3 4 5 6 f (x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 Xác suất của biến cố {X ≤ 3}: P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = + + = 91 3 5 36 36 36 36 . Xác suất của biến cố {2 ≤ X < 5}: P(2 ≤ X < 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = + + =3 5 7 15 36 36 36 36 . Phân phối xác suất của X có thể được trình bày dưới dạng một Biểu đồ: f (x) Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 39 0 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 7/36 8/36 9/36 10/36 11/36 1 2 3 4 5 6 x 3.2. Định nghĩa. Cho BNN X có hàm phân phối F. (a) Nếu F liên tục trên
thì X được gọi là có phân phối xác suất thuộc loại liên tục hay X là BNN liên tục. (b) Giả sử X là một BNN liên tục. Nếu h.p.p. F có đạo hàm trên
thì hàm f = F’ được gọi là hàm mật độ (viết tắt là h.m.đ.) của X. Trong trường hợp này, F được viết dưới dạng: ∀x ∈
, ( ) ( ) x F x f t dt − ∞ = ∫ và X được gọi là liên tục tuyệt đối. X hoàn toàn được xác định nếu và chỉ nếu h.m.đ. của X được xác định. Đối với BNN liên tục, giáo trình này chỉ khảo sát loại tuyệt đối liên tục nên để đơn giản cách trình bày, chúng ta gọi chung là BNN liên tục. 3.3. Định lý. Một hàm thực f xác định trên
là hàm mật độ của một BNN X nếu và chỉ nếu f thỏa mãn hai tính chất sau: (i) f (x) ≥ 0 với mọi x ∈
và (ii) ( ) 1f x dx + ∞ − ∞ =∫ . Chứng minh. (a) Nếu f là h.m.đ. của một BNN X thì dựa vào các tính chất của h.p.p. của X, dễ thấy rằng f thỏa hai tính chất (i) và (ii). .(b) Bây giờ giả sử f thỏa (i) và (ii). Với mọi số thực x, đặt: ( ) ( ) x F x f t dt −∞ = ∫ . Dễ thấy F thỏa các tính chất (i), (ii) và (iii) của Định lý 2.2.2 nên F là hàm phân phối của một BNN X và F’ = f. Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 40 Vậy f là h.m.đ. của BNN X.
3.4. Chú ý. Giả sử X là một BNN liên tục có h.p.. F và h.m.đ. f. Khi đó, với mọi số thực a và b thỏa a < b: (i) P(a ≤ X < b) = ( ) ( ) ( ) b a F b F a f x dx− = ∫ ; (ii) P(X = a) = F ( a+) − F (a) = 0 ( vì F liên tục tại a ). (iii) P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b); Như vậy, sự thay đổi giá trị của h.m.đ. của X tại một điểm không làm thay đổi phân phối xác suất của X. Thí dụ, h.m.đ. f xác định bởi 0( ) 0 xe xf x − < < + ∞ =   nÕu n¬i kh¸c có thể được viết là 0( ) 0 xe xf x − ≤ < + ∞ =   nÕu n¬i kh¸c Đồ thị hàm mật độ f của một BNN liên tục. Diện tích của vùng được tô đen trong hình là xác suất P(a  X  b). 3.5. Thí dụ. Cho BNN X rời rạc có h.m.đ. f được xác định bởi: 6 {1,2,3}( ) 0 x xf x  ∈ =   nÕu n¬i kh¸c Khi đó, h.p.p. F của X được xác định bởi: Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 41 1 6 3 6 0 1 1 2 ( ) 2 3 1 3 x x F x x x ≤  < ≤ =  < ≤  < nÕu nÕu nÕu nÕu 3.6. Thí dụ. Cho BNN X liên tục có h.m.đ. f được xác định bởi: 3 1( ) 0 a x xf x  < < + ∞ =   nÕu n¬i kh¸c trong đó a là một hằng số cho trước. Hãy xác định a, h.p.p. F của X và tính P(0 < X < 3). Giải. Dựa vào các tính chất: (∀x

, f (x) ≥ 0) và ( ) 1f x dx + ∞ −∞ =∫ , chúng ta tính được a = 2. Hàm phân phối F được xác định bởi: ( ) 0 0 1 x F x dt x −∞ = = ≤∫ nÕu và 3 2 2 1 1 ( ) 1 1 x t x F x dt x= = − <∫ nÕu Xác suất: 3 8 9 0 (0 3) ( ) (3) (0)P X f x dx F F< < = = − =∫ 4. VECTƠ NGẪU NHIÊN Trong nhiều trường hợp, khi nghiên cứu một đối tượng, chúng ta phải ghi nhận cùng một lúc nhiều đặc tính của đối tượng. Thí dụ., khi quan sát tầm vóc mỗi người, chúng ta phải để ý đến cả chiều cao, được biểu diễn bởi BNN X1, lẫn khối lượng, được biểu diễn bởi BNN X2, của người đó. Như vậy, tầm vóc của một người được đặc trưng bởi một bộ hai BNN (X1, X2 ), mà người ta gọi là một vectơ ngẫu nhiên viết tắt là VTNN ). Ở thí dụ này., VTNN có 2 thành phần nên được gọi là một Biến ngẫu nhiên 2 chiều. Một VTNN có n thành phần được gọi là một BNN n chiều. 4.1. Định nghĩa. Giả sử X1, X2, …, và Xn là n biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất M. Hàm X: M →
n được xác định bởi: Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 42 ∀m ∈ M , X (m) = (X1(m), X2(m), …, Xn(m)) được gọi là một vectơ ngẫu nhiên (viết tắt là VTNN) n thành phần hay một Biến ngẫu nhiên n chiều trên M. Người ta viết: X = (X1, X2, …, Xn); các BNN Xi (i = 1, …, n) được gọi là các thành phần của VTNN X. Miền giá trị của X là Im(X) = Im(X1) × Im(X2) × . . . × Im(Xn). Để đơn giản cách viết, với mọi tập con A trong
n, biến cố {m ∈ M / (X1(m), X2(m), …, Xn(m)) ∈ A} được ký hiệu là {(X1, X2, …, Xn) ∈ A}. Đặc biệt, với mọi (x1 , x2, …, xn) ∈
n, biến cố { } 1 / ( ) n i i i m X m x = ∈ <∩ M được ký hiệu là {(X1 < x1, X2 < x2, …, Xn < xn)} hay i 1 {X } n i i x = <∩ , và xác suất của nó được viết là P(X1 < x1, X2 < x2, …, Xn < xn) hay 1 P( { }) n i i i X x = <∩ . 4.2. Định lý. Giả sử X = (X1, X2, …, Xn) là một VTNN trên không gian xác suất M ; u:
n →
là một hàm liên tục. Khi đó, hàm Y = uoX là một BNN trên M. Sau này, để đơn giản cách trình bày, giáo trình chỉ trình bày các vấn đề liên quan trong trường hợp biến ngẫu nhiên hai chiều (X1, X2). Đối với BNN n chiều (X1, X2, …, Xn), chúng ta cũng có biểu thức tương tự. 5. HÀM PHÂN PHỐI, HÀM MẬT ĐỘ ĐỒNG THỜI 5.1. Định nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) trên một không gian xác suất. Hàm F :
2 →
được xác định bởi: F (x1, x2) = ( )1 1 2 2P ,X x X x< < được gọi là hàm phân phối (tích lũy) đồng thời của các BNN X1, X2 hay hàm phân phối (h.p.p.) của VTNN X. Tương tự như trường hợp BNN, h.p.p. F của VTNN X = (X1, X2) có các tính chất sau: (i) Với mọi a = (a1, a2) và b = (b1, b2) thuộc
2, Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 43 (a1 ≤ b1 và a2 ≤ b2) ⇒
F (a) ≤ F (b) (ii) F liên tục bên trái đối với mỗi biến (iii) 1 1 2lim ( , ) 0 x F x x →−∞ = ; 2 1 2lim ( , ) 0 x F x x →−∞ = và 1 2 1 2lim ( , ) 1 x x F x x →+∞ →+∞ = 5.2. Định nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) rời rạc trên một không gian xác suất. Hàm f :
2 →
được xác định bởi: f (x1, x2) = 1 1 2 2 1 2 ( , ) ( , ) Im( ) 0 P X x X x x x= = ∈   nÕu n¬i kh¸c X được gọi là h.m.đ. đồng thời của các BNN X1, X2 hay h.m.đ. của VTNN X. Nếu F là h.p.p. của X thì với mọi (x1, x2) ∈
2, F (x1, x2) = 1 1 2 2 1 2( , ) u x u x f u u < < ∑ ∑ Rõ ràng, f (x1, x2) ≥ 0 với mọi (x1, x2) ∈
2 và 2 1 2( , ) 1f x x =∑
. 5.3. Định nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) liên tục có h.p.p. F . Có một hàm f :
2 →
không âm và khả tích trên
2 sao cho với mọi (x1, x2)∈
2, F (x1, x2) = 1 2 1 2 1 2( , ) x x f u u du du − ∞ −∞ ∫ ∫ Hàm f được gọi là h.m.đ. đồng thời của các BNN X1, X2 hay h.m.đ. của VTNN X. 5.4. Định lý. Nếu VTNN X = (X1, X2) liên tục có h.m.đ. f và h.p.p. F thì (a) f (x1, x2) ≥ 0 với mọi (x1, x2) ∈
2 (b) 1 2 1 2( , ) 1f x x dx dx +∞ +∞ − ∞ −∞ =∫ ∫ (c) ∀(x1, x2) ∈
2 , f (x1, x2) = 2 1 2 1 2 ( , )F x x x x ∂ ∂ ∂ • Ngược lại, nếu cho trước hàm f :
2 →
thỏa hai tính chất Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 44 (a) f (x1, x2) ≥ 0 với mọi (x1, x2) ∈
2 , và (b) 1 2 1 2( , ) 1f x x dx dx + ∞ + ∞ −∞ −∞ =∫ ∫ thì tồn tại một không gian xác suất M và một BNN 2 chiều X trên M sao cho f là h.m.đ. của X. 6. HÀM MẬT ĐỘ BIÊN, MẬT ĐỘ ĐIỀU KIỆN 6.1. Định nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) có h.m.đ. f . Với hai số thực a và b (a < b), biến cố {a < X1 < b} xảy ra nếu và chỉ nếu biến cố {a < X1 < b} và {- ∞ < X2 < + ∞} cùng xảy ra. Do đó: 1 1 2 1 2 ( ) ( , ) a x b x P a X b f x x < < < < = ∑ ∑ , nếu X1 và X2 rời rạc, hay 1 1 2 2 1( ) ( , ) b a P a X b f x x dx dx + ∞ − ∞ < < = ∫ ∫ , nếu X1 và X2 liên tục. Với mọi x1∈
, đặt: f1(x1) = 1 2 2 ( , ) x f x x∑ , nếu X1 và X2 rời rạc, hay f1(x1) = 1 2 2( , )f x x dx + ∞ −∞ ∫ , nếu X1 và X2 liên tục Khi đó, f1 là một hàm theo biến x1. Ngoài ra, với mọi a và b thỏa a < b, chúng ta có 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) a x b b a f x P a X b f x dx < <    < < =    ∑ ∫ ( tr−êng hîp rêi r¹c ) ( tr−êng hîp liª n tôc ) Như vậy, f1 là h.m.đ. của riêng BNN X1 và được gọi là h.m.đ. biên của X1. • Tương tự, hàm f2 được xác định với mọi x2 ∈
bởi: f2(x2) = 1 2 1 ( , ) x f x x∑ , nếu X1 và X2 rời rạc, Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 45 hay f2(x2) = 1 2 1( , )f x x dx + ∞ −∞ ∫ , nếu X1 và X2 liên tục, là h.m.đ. của riêng BNN X2 và được gọi là h.m.đ. biên của X2. (h.m.đ. biên còn được gọi là h.m.đ. lề ) Chú ý. Xét trường hợp đặc biệt: Hai BNN X1 và X2 có miền giá trị hữu hạn. Giả sử Im(X1) = {a1, a2, …, an}; Im(X2) = {b1, b2, …, bm}, và f là h.m.đ. của VTNN (X1,X2). Phân phối xác suất của (X1,X2) có thể được trình bày dưới dạng bảng: X2 X1 b1 b2 . . . bm f1 (aj) a1 a2 . . . an p11 p21 . . . pn1 p12 p22 . . . pn1 . . . . . . . . . . . . p1m p2m . . . pnm p1* p2* . . . pn* f2 (bk) p*1 p*2 . . . p*m 1 trong đó: pjk = f (aj,bk), m j* j k k 1 p p = = ∑ = f1 (aj) và n *k j k j 1 p p = = ∑ = f2 (bk) , với mọi j ∈ {1,…,n} và k ∈ {1,…,m}. • Tương tự, cho VTNN (X1, X2, …, Xn ) (n > 2), có h.m.đ. f ; chúng ta có thể định nghĩa các h.m.đ. biên f1, f2, … và fn, theo thứ tự, của các BNN X1, X2, …và Xn. H.m.đ.biên f1 của X1 được xác định bởi: 1 1 1 2 2( ) . . . ( , ,. . . ., ) . . .n nf x f x x x dx dx +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ nếu các BNN đã cho là liên tục, hoặc Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 46 1 1 1 2 2 ( ) . . . ( , ,. . . ., )n x xn f x f x x x= ∑ ∑ nếu các BNN đã cho là rời rạc. ………………………... 6.2. Thí dụ. 6.2.1. Cho hai BNN X1 và X2 trên cùng một không gian xác suất, có h.m.đ. đồng thời f được cho bởi: 1 2 1 2211 2 , {1,2,3}; {1,2},( , ) 0 x x x xf x x + ∈ ∈ =   n¬i kh¸c Khi đó, P(X1 = 3) = f (3,1) + f (3,2) = 37 , P(X2 = 2) = f (1,2) + f (2,2) + f (3,2) = 47 . H.m.đ. biên f 1 của X1 được xác định bởi: 1 2 1 2 2 2 3 121 211 1 1 , {1,2,3} ( ) 0 x x x x xf x + + =  = ∈ =    ∑ n¬i kh¸c Tương tự, bạn đọc hãy tìm h.m.đ.biên f 2 của X2 . 6.2.2. Cho hai BNN X và Y trên cùng một không gian xác suất, có h.p.p. đồng thời F được cho bởi: ( ) 21 ( , ) ( )( , ) 0 x y x ye e e x yF x y − − − + +  − − + ∈ =   víi n¬i kh¸c
(a) Tìm h.m.đ. đồng thời của X và Y (b) Tìm các h.m.đ. biên của X và Y (c) Tính xác suất: P(0 ≤ X < 1, 0 ≤ Y < 1). Giải. (a) H.m.đ. đồng thời f của X và Y được xác định với mọi (x,y) ∈
2 bởi: 2 ( , ) x y( , ) F x yf x y ∂ ∂ ∂= = ( ) 2( , ) ( ) 0 x ye x y− + + ∈  víi n¬i kh¸c
(b) H.m.đ. biên f1 của X được xác định với mọi x ∈
bởi: Ch
ng 2 BIN NGU NHIÊN 47 f1(x) = ( , )f x y dy + ∞ −∞ =∫ ( ) 0 0 0 0 x ye dy x x +∞ − + ≥   < ∫ víi víi = 0 0 0 xe x x − ≥  < víi víi Bạn đọc tự tìm h.m.đ. biên của BNN Y và giải câu (c). 6.3. Định lý và Định nghĩa. Cho hai BNN X và Y trên cùng một không gian xác suất có h.m.đ. đồng thời f và hai h.m.đ. biên của X và Y lần lượt là f 1 và f 2. Giả sử x là một số thực sao cho f1 (x) > 0. Hàm f ( . / x) được xác định với mọi y thuộc
bởi f ( y / x) = P(Y = y /