Chương 2 Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên Chương 2 Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên liên tục Kỳ vọng, phương sai, mod Bài tập Biến ngẫu nhiên Định nghĩa: Xét phép thử có không gian mẫu . Hàm 𝑋 xác định trên  và lấy giá trị trong tập các số thực được gọi là một biến ngẫu nhiên. Ví dụ: Tung hai đồng xu cân đối đồng chất. Nếu có mặt sấp thì được 2 đồng, nếu có mặt ngửa thì thua 1 đồng. Gọi 𝑋 là số tiền nhận được thì 𝑋 là một biến ngẫu nhiên. Không gian mẫu: Ω = {𝑆𝑆, 𝑆𝑁,𝑁𝑆, 𝑁𝑁} 𝑋 𝑁𝑁 = −2 𝑋 𝑆𝑁 = 1 𝑋 𝑆𝑆 = 4 𝑋 = −2 = {𝑁𝑁} 𝑋 = 1 = {𝑆𝑁,𝑁𝑆} 𝑋 = 4 = {𝑆𝑆} 𝑋 𝑁𝑆 = 1 𝑃 𝑋 = −2 =? 𝑃 𝑋 = 1 =? 𝑃 𝑋 = 4 =? Ví dụ: Một người mua hai linh kiện điện tử. Mỗi linh kiện có thể bị từ chối hoặc được chấp nhận. Giả sử 4 kết quả có thể - 𝑑, 𝑑 , 𝑑, 𝑎 , 𝑎, 𝑑 , (𝑎, 𝑎)- có các xác suất tương ứng là 0.09; 0.21; 0.21; 0.49 (với (𝑎, 𝑑) có nghĩa là linh kiện thứ nhất là được chấp nhận và linh kiện thứ hai thì bị từ chối). Đặt 𝑋 là số linh kiện chấp nhận được sau khi mua. Thì 𝑋 là biến ngẫu nhiên, và có thể nhận các giá trị với xác xuất tương ứng cho ở bảng sau: 𝑋 0 1 2 𝑃 0.09 0.42 0.49 Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối Ví dụ Định nghĩa: Cho 𝑋 là một biến ngẫu nhiên xác định trên không gian mẫu . Với mỗi 𝑥 ∈ ℝ, ta đặt 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 < 𝑥 . 𝐹(𝑥) được gọi là hàm phân phối xác suất của 𝑋. 𝑋 0 1 2 𝑃 0.09 0.42 0.49 𝐹 0.5 = 𝑃 𝑋 < 0.5 = 𝑃 𝑋 = 0 = 0.09 𝐹 1.0 = 𝑃 𝑋 < 1.0 = ? Hàm phân phối Tính chất 1. Không giảm, 2. 𝐹 −∞ = 0, 𝐹 +∞ = 1 3. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) Ví dụ: Cho 𝑋 là BNN liên tục có hàm phân phối 𝐹 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 arctan 𝑥 . Xác định 𝑎, 𝑏. Ví dụ 𝑋 0 1 2 𝑃 0.09 0.42 0.49 𝑃 0 ≤ 𝑋 < 1.5 =? Bảng phân phối xác suất của 𝑿. Nếu biến ngẫu nhiên 𝑋 nhận các giá trị {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} hay {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … } thì ta gọi 𝑋 là BNN rời rạc. Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ⋯ 𝑥𝑛 ⋯ 𝑃 𝑝1 𝑝2 𝑝3 ⋯ 𝑝𝑛 ⋯ Nhận xét: 1 = 𝑃 Ω = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑘) 𝑘 Hàm phân phối của 𝑿 𝐹(𝑥) = 𝑃 𝑋 < 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑘) 𝑘:𝑥𝑘<𝑥 với 𝑝𝑘 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑘). Ví dụ: Một hộp đựng 4 quả cầu giống nhau đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Gọi 𝑋 là tổng hai số ghi trên hai quả đó. Tìm bảng PPXS của X. Giải. Do ta chỉ quan tâm đến tổng hai số ghi trên hai quả nên Ω = 1; 2 , 1; 3 , 1; 4 , 2; 3 , 2; 4 , 3; 4 . Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 3 4 5 6 7 𝑃 1 6 1 6 2 6 1 6 1 6 Ví dụ: Cho bảng phân phối xác suất của 𝑋 như sau: 𝑋 −1 0 1 3 5 𝑃 3𝑎 𝑎 0,1 2𝑎 0,3 Xác định 𝑎 và tính 𝑃(−1 < 𝑋 ≤ 3) Ví dụ: Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,8. Biết rằng, nếu có 1 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi 𝑋 là số viên đạn xạ thủ đã bắn, tìm hàm phân phối xác suất của 𝑋. Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài tập: Một hộp có 3 viên phấn trắng và 2 viên phấn đỏ. Một người lấy ngẫu nhiên mỗi lần 1 viên (không trả lại) từ hộp đó ra cho đến khi lấy được 2 viên phấn đỏ. Gọi 𝑋 là số lần người đó lấy phấn. Hãy tìm hàm phân phối xác suất 𝑋. Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa: Ta nói 𝑋 là biến ngẫu nhiên liên tục nếu tồn tại hàm 𝑓(𝑥) không âm, xác định với mọi 𝑥 ∈ ℝ, có tính chất: Với mọi 𝐵 ⊂ ℝ, 𝑃 𝑋 ∈ 𝐵 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐵 Hàm 𝑓(𝑥) được gọi là hàm mật độ của 𝑋. 1. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +∞ −∞ = 1 Tính chất : 3. 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑥) 2. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 4. 𝑃 𝑋 = 𝑎 = 0 Biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ: Cho 𝑋 là BNN liên tục có hàm mật độ 𝑓 𝑥 = 𝐶 4𝑥 − 2𝑥2 , 0 < 𝑥 < 2 0, nơi khác a) Xác định 𝐶. b) Tìm 𝑃(𝑋 > 1) c) Tìm hàm phân phối xác suất của 𝑋. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Định nghĩa: Cho BNN rời rạc 𝑋 có bảng phân phối xác suất Kỳ vọng của 𝑋 là 𝑋 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ⋯ 𝑥𝑛 ⋯ 𝑃 𝑝1 𝑝2 𝑝3 ⋯ 𝑝𝑛 ⋯ 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖𝑝𝑖 𝑖 𝑋 0 1 2 𝑃 0.09 0.42 0.49 Ví dụ: Cho BNN 𝑋 có bảng phân phối xác suất 𝐸 𝑋 = 0 × 0.09 + 1 × 0.42 + 2 × 0.49 = 1.40. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Định nghĩa: Cho BNN liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác suất là 𝑓 𝑥 . Kỳ vọng của 𝑋 là 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +∞ −∞ Ví dụ: Cho BNN 𝑋 có hàm mật độ 𝑓 𝑥 = 2𝑥, 𝑥 ∈ [0; 1] 0, 𝑥 ∉ [0; 1] Tính kỳ vọng của 𝑋. 1) 𝐸 𝑐 = 𝑐 2) 𝐸 𝑐𝑋 = 𝑐𝐸(𝑋) 3) 𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸(𝑌) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Tính chất của kỳ vọng Ví dụ: Cho 𝐸 𝑋 = 2 và 𝐸 𝑌 = 3. Ta có 𝐸 4𝑋 + 2𝑌 = 4𝐸 𝑋 + 2𝐸 𝑌 =? Cho 𝑋 là một biến ngẫu nhiên và hàm số ℎ(𝑥). Thế thì 𝑌 = ℎ 𝑋 là một biến số ngẫu nhiên. Hơn nữa, Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên  Nếu 𝑋 là BNN rời rạc thì 𝐸 𝑌 = ℎ(𝑥𝑖)𝑝𝑖 𝑖  Nếu 𝑋 là BNN liên tục, có hàm mật độ 𝑓(𝑥) thì 𝐸 𝑌 = ℎ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ 𝑋 0 1 2 𝑃 0.09 0.42 0.49 Ví dụ: Cho 𝑌 = 2𝑋2 + 1. Tính 𝐸(𝑌) biết 𝑋 có phân phối Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Ví dụ: Thời gian học rành nghề sửa tivi của một người là biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm mật độ 𝑓 𝑥 = 9 40 𝑥2 + 1 5 , 𝑥 ∈ [0; 2] 0, 𝑥 ∉ [0; 2] a) Tính thời gian trung bình một người học rành nghề sửa tivi; b) Cho 𝑌 = 𝑋2 + 1. Tính 𝐸 𝑌 . 𝑋 1 2 4 5 7 𝑃 𝑎 0,2 𝑏 0,2 0,1 Ví dụ: Cho BNN 𝑋 có bảng phân phối xác suất Xác định 𝑎, 𝑏 để 𝐸 𝑋 = 3,5. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Ví dụ: Cho BNN 𝑋 có hàm mật độ 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑏𝑥2, 𝑥 ∈ 0; 1 , 0, 𝑥 ∉ [0; 1] Cho biết 𝐸 𝑋 = 0,6. Tính 𝑃(𝑋 < 0,5). Ví dụ: Nhu cầu hàng ngày của 1 khu phố về rau sạch có bảng phân phối xác suất cho ở bảng sau Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Nhu cầu(kg) 25 26 27 28 P 0,2 0,4 0,3 0,1 Một cửa hàng trong khu phố nhập về mỗi ngày 28kg rau sạch với giá 10.000 đồng/kg và bán ra với giá 15.000 đồng/kg. Nếu bị ế, cuối ngày cửa hàng phải bán hạ giá còn 7500 đồng/kg mới bán hết hàng. Tính tiền lời trung trình của cửa hàng về loại rau sạch trong một ngày. Ý nghĩa của kỳ vọng  Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của biến ngẫu nhiên X, nó phản ánh giá trị trung tâm phân phối xác suất của X.  Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần chọn phương án cho năng suất (hay lợi nhuận) cao, người ta chọn phương án sao cho năng suất kỳ vọng (hay lợi nhuận kỳ vọng) cao. Ví dụ: Một thống kê tỉ lệ tai nạn xe gắn máy ở thành phố 𝐻 là 0,001. Công ty bảo hiểm 𝐴 đề nghị bán bảo hiểm cho ông 𝐵 ở thành phố 𝐻 trong một năm với số tiền chi trả là 10 (triệu đồng), phí bảo hiểm là 0,1 (triệu đồng). Hỏi trung bình công ty lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho ông 𝐵? Ý nghĩa của kỳ vọng Ví dụ: Người thợ chép tranh mỗi tuần chép hai bức tranh độc lập A và B với xác suất hỏng tương ứng là 0,03 và 0,05. Nếu thành công thì người thợ sẽ kiếm lời từ bức tranh A là 1,3 triệu đồng và B là 0,9 triệu đồng, nhưng nếu hỏng thì bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệu đồng và do B là 0,6 triệu đồng. Hỏi trung bình người thợ nhận được bao nhiêu tiền chép tranh mỗi tuần? A. 2,185 triệu đồng; B. 2,148 triệu đồng. C. 2,116 triệu đồng; D. 2,062 triệu đồng. Ý nghĩa của kỳ vọng Bài tập: Một dự án xây dựng được viện C thiết kế cho cả 2 bên A và B xét duyệt một cách độc lập. Xác suất (khả năng) để A và B chấp nhận dự án này khi xét duyệt thiết kế là 70% và 80%. Nếu chấp nhận dự án thì bên A phải trả cho C là 400 triệu đồng, còn ngược lại thì phải trả 100 triệu đồng. Nếu chấp nhận dự án thì bên B phải trả cho C là 1 tỉ đồng, còn ngược lại thì phải trả 300 triệu đồng. Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ đồng và 10% thuế doanh thu. Hỏi trung bình viện C có lãi bao nhiêu khi nhận thiết kế trên? Ý nghĩa của kỳ vọng Phương sai của biến ngẫu nhiên Định nghĩa: Cho BNN 𝑋 có 𝐸 𝑋 = 𝜇. Phương sai của 𝑋 là 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸((𝑋 − 𝜇)2) Nhận xét: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − [𝐸(𝑋)]2 𝑋 1 2 3 𝑃 0.2 0.5 0.3 Ví dụ: Tính 𝑉𝑎𝑟(𝑋) biết 𝑋 có phân phối Ví dụ: Cho BNN 𝑋 có hàm mật độ 𝑓 𝑥 = 3𝑥2, 𝑥 ∈ 0; 1 , 0, 𝑥 ∉ [0; 1] Tính 𝑉𝑎𝑟 𝑋 . Định nghĩa độ lệch chuẩn của BNN 𝑿 là 𝝈 𝑿 = 𝑽𝒂𝒓(𝑿) Phương sai của biến ngẫu nhiên Tính chất của phương sai 1) 𝑉𝑎𝑟 𝑋 ≥ 0 2) 𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 0 3) 𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉𝑎𝑟(𝑋) 4) 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟(𝑌)  Do X – E(X) là độ lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó nên phương sai là trung bình của bình phương độ lệch đó. Phương sai dùng để đo mức độ phân tán của X quanh kỳ vọng. Nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ nên độ tập trung lớn, và ngược lại.  Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị sản xuất. Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro đầu tư. Phương sai của biến ngẫu nhiên Định nghĩa: Mod(X) là giá trị x0 mà tại đó:  𝑋 nhận xác suất lớn nhất, nếu 𝑋 rời rạc;  Hàm mật độ của 𝑓(𝑥) đạt giá trị lớn nhất, nếu X liên tục. Mod(X) còn được gọi là số có khả năng nhất. Mod của biến ngẫu nhiên 𝑋 1 2 3 𝑃 0.2 0.5 0.3 Ví dụ: Tính 𝑀𝑜𝑑(𝑋) biết 𝑋 có phân phối Ví dụ: Cho 𝑋 là BNN liên tục có hàm mật độ 𝑓 𝑥 = 3 8 4𝑥 − 2𝑥2 , 0 < 𝑥 < 2 0, nơi khác Xác định 𝑀𝑜𝑑(𝑋). Bài 1: Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008. Một công ty bảo hiểm A đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 10000 USD, phí bảo hiểm là 100 USD. Hỏi trung bình công ty A lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho người đó? Bài tập Bài 2: Tuổi thọ (𝑋-tuổi) của người dân ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối cho như sau 𝐹 𝑥 = 0, 𝑥 ≤ 0 1 − 𝑒−𝜆𝑥, 𝑥 > 0 , 𝜆 = 0,013. Tính: 1) Tỷ lệ người dân thọ từ 60 đến 70 tuổi; 2) Xác định hàm mật độ của; 3) Tính tuổi thọ trung bình và 𝑉𝑎𝑟 𝑋 . Bài tập Bài 3: Tuổi thọ (𝑋-tháng) của một bộ phận trong một dây chuyền sản xuất là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ: 𝑓 𝑥 = 25 2 (𝑥 + 10)−2, 𝑥 ∈ [0; 40] 0, 𝑥 ∉ [0; 40] . 1) Tính xác suất tuổi thọ của bộ phận này nhỏ hơn 6 tháng; 2) Tính tuổi thọ trung bình của bộ phần này; 3) Tìm hàm phân phối của 𝑋. Bài tập Bài 4: Tuổi thọ (𝑋- tháng) của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là 𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥2(4 − 𝑥), 𝑥 ∈ [0; 4] 0, 𝑥 ∉ [0; 4] . 1) Xác định 𝑘; 2) Tìm 𝐸 𝑋 , 𝑉𝑎𝑟(𝑋) và 𝑀𝑜𝑑(𝑋); 3) Tìm hàm phân phối của 𝑋. 4) Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi. Bài tập Bài 5: Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥 (2 − 𝑥), 𝑥 ∈ [0; 2] 0, 𝑥 ∉ [0; 2] . 1) Xác định 𝑘 để 𝑓(𝑥) là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên mà ta gọi là 𝑋; 2) Cho 𝑌 = 𝑋3. Tính 𝑃(𝑌 > 2𝑋). Bài tập