Chương 2: Tĩnh học chất lỏng

1Chương 2: Tĩnh học chất lỏng NỘI DUNG CHƯƠNG 2 2.1. Áp suất thủy tĩnh, áp lực 2.2. Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh 2.3. Mặt đẳng áp 2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học 2.5. Định luật bình thông nhau 2.5. Định luật Pascan 2.7. Các loại áp suất 2.8. Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản trong thủy tĩnh học NỘI DUNG CHƯƠNG 2 2.9. Biểu đồ phân bố áp suất tĩnh 2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ 2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang 2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong 2.13. Định luật Acsimet 2.14. Sự cân bằng của vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng 2.15. Sự cân bằng của vật rắn nổi trên mặt tự do của chất lỏng 22.1. Áp suất thủy tĩnh, áp lực ω P  Xét khối chất lỏng W.  Cắt khối W bằng (ABCD) tùy ý.  Lấy tiết diện ω bất kỳ có chứa điểm O → lực tác dụng lên ω là . → Tỷ số : áp suất thủy tĩnh trung bình.  Nếu ω → 0 thì tiến tới phần giới hạn : áp suất thủy tĩnh tại 1 điểm (áp suất thủy tĩnh). → P tbP P → → =  → P → P 2.1. Áp suất thủy tĩnh, áp lực ω P  Áp suất thủy tĩnh là ứng suất tác dụng lên 1 phân tố diện tích lấy trong nội bộ môi trường chất lỏng đang xét → nội lực (ứng suất nén).  Đơn vị: N/m2, Pa, kG/cm2, at. → → → =        PP 0lim )( → P 2.2. Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh a. Tính chất 1: Áp suất thủy tĩnh tác dụng vuông góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy. o PPn τ  Áp suất thủy tĩnh (P) tại điểm O gồm 2 thành phần:  Pn: hướng theo pháp tuyến.  τ: hướng theo tiếp tuyến. 32.2. Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh b. Tính chất 2: Trị số của áp suất thủy tĩnh tại 1 điểm bất kỳ không phụ thuộc vào hướng đặt của diện tích chịu lực tại điểm đó.  Pn = Px = Py 2.3. Mặt đẳng áp  Là mặt có áp suất thủy tĩnh tại mọi điểm bằng nhau, p = const. 2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học  Trong khối chất lỏng tĩnh cân bằng, xét khối hình trụ thẳng đứng.  Khối chất lỏng chịu tác dụng:  Áp lực từ mặt trên: ωp2.  Áp lực từ mặt dưới: ωp1.  Áp lực ở mặt xung quanh nằm ngang và triệt tiêu.  Trọng lượng của khối chất lỏng: G = γω(h1-h2) 42.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học  Chiếu hệ lực lên phương thẳng đứng. Điều kiện cân bằng:  Khối chất lỏng chịu tác dụng: ωp1 - ωp2 - γω(h1-h2) = 0 → p1 - p2 = γ(h1-h2) 2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học  Nếu mặt trên trùng mặt thoáng, thì:  p1 = p2 + γh1 = p0 + γh1 hay p = p0 + γh, (*)  (*) là phương trình cơ bản của thủy tĩnh học.  Phát biểu: Áp suất tuyệt đối tại một điểm bất kỳ trong chất lỏng tĩnh bằng áp suất trên mặt chất lỏng, cộng với trọng lượng cột chất lỏng có đáy bằng đơn vị diện tích, chiều cao bằng độ sâu từ mặt chất lỏng đến điểm ấy. 2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học  Từ (*), nếu h = const → p = const. 52.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học  Bài tập áp dụng: Tính áp suất tại 1 điểm ở đáy bể chứa nước sâu 4m, biết mặt thoáng bể thông với không khí; trọng lượng riêng của nước là 9.810N/m3; áp suất khí quyển pa = 98.100N/m2. 2.5. Định luật 2 bình thông nhau * Phát biểu: “Nếu hai bình thông nhau chứa đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt thoáng bằng nhau thì độ cao cột chất lỏng ở mỗi bình tính từ mặt phân chia 2 chất lỏng đó đến mặt thoáng tỷ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng”, tức là: 1 2 2 1   = h h 2.5. Định luật 2 bình thông nhau 1 2 2 1 2211 2202 1101      =⇔ =⇒ += += h h hh hpp hpp  Nếu trong 2 bình thông nhau cùng 1 loại chất lỏng γ1 = γ2 thì mặt tự do của chất lỏng trong 2 bình cùng độ cao, h1 = h2.  Xét bình thông nhau như hình.  Áp suất trên mặt phân chia A- B bằng nhau: p1 = p2 62.6. Định luật Pascan * Phát biểu: “Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn một thể tích chất lỏng cho trước, được truyền đi nguyên vẹn đến tất cả các điểm của thể tích chất lỏng đó”, tức là: ppp −=∆ 1  p1, p: áp suất thủy tĩnh tác dụng lên điểm A ở 2 trường hợp a, b. 2.6. Định luật Pascan 1 1 1  P p =  ∆p có thể âm hoặc dương. Nhiều máy móc được chế tạo theo định luật Pascan như: máy nén thủy lực, máy kích, máy tích năng, các bộ phận truyền động,…  VD: Máy thủy lực:  Pittông nhỏ chịu tác dụng bởi lực F từ đòn bẩy → áp lực lên toàn diện tích pittông nhỏ là P1. → áp lực tại xilanh nhỏ là p1: (ω1: diện tích tiết diện xilanh nhỏ) 2.6. Định luật Pascan 1 1 2212  P pP ==  Theo định luật Pascan, p1 được truyền nguyên vẹn qua xilanh lớn. Khi đó, tổng áp lực P2 tác dụng lên mặt pittông lớn là: Nếu coi P1, ω1 = const → muốn tăng P2 thì cần tăng ω2. (ω2: diện tích tiết diện xilanh lớn) 72.7. Các loại áp suất * Gồm áp suất tuyệt đối, áp suất dư và áp suất chân không. 2.7. Các loại áp suất * Bài tập 1: Tính áp suất tuyệt đối và áp suất dư (theo chiều cao cột nước) tại đáy nồi hơi có độ sâu 1,2m, áp suất tại mặt thoáng là 196.200N/m2; trọng lượng riêng của nước là 9.810N/m3. 2.7. Các loại áp suất * Bài tập 1: 2/, mNppp atđd −= Áp suất dư tại đáy: OmHph dd 2,= 82.7. Các loại áp suất * Bài tập 2: Tại mặt cắt trước khi vào máy bơm, áp suất chân không pck = 68.670N/m2. Tính áp suất tuyệt đối tại mặt cắt đó. 2.8. Ý nghĩa hình học và năng lượng của pt cơ bản trong thủy tĩnh học const p z =+  a. Ý nghĩa hình học: Trong môi trường chất lỏng cân bằng, cột nước thủy tĩnh đối với bất kỳ một điểm nào là một hằng số. b. Ý nghĩa năng lượng:  z - tỷ vị năng (vị năng đơn vị).  P/γ – tỷ áp năng (áp năng đơn vị). 2.9. Biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh (*),0 hpp +=  Theo (*): trong đk áp suất tại mặt tự do p0 cho trước, áp suất p là hàm bậc nhất theo h → (*) biểu diễn bằng 1 đường thẳng trên đồ thị p, h.  Giả sử có hệ trục như hình vẽ: Sự biểu diễn bằng đồi thị hàm số (*) trong hệ tọa độ trên gọi là giản đồ phân bố áp suất thủy tĩnh theo đường thẳng đứng.  Giả thiết: p0 = pa → pd = γh. 92.9. Biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh  Đường biểu diễn pd = γh → là đường thẳng OA’. → Giản đồ phân bố áp suất dư là ∆ vuông OAA’, đáy bằng pd, chiều cao h1.  Từ giản đồ này ta có thể xác định giản đồ phân bố áp suất dư p tại một độ sâu h bất kỳ. Bằng cách: tịnh tiến OA’ theo phương vuông góc với Oh một đoạn p0: O’’A’’. 2.9. Biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh  Nếu áp suất thủy tĩnh trên đường thẳng đứng bắt đầu ở độ sâu h’ so với mặt tự do (B) → Giản đồ phân bố áp suất dư là hình thang vuông BB’A’A. h'BB’’ B’ → Giản đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang vuông BB’’A’’A. → Trường hợp giản đồ phân bố trên đường thẳng nghiêng hoặc đường thẳng gãy cũng là ∆ vuông hoặc hình thang vuông. 2.9. Biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh  Giản đồ phân bố trên thẳng gãy OAB → Giản đồ phân bố áp suất dư là ∆ vuông OAA’. → Giản đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang vuông OO’’A’’A. 10  Áp lực tác dụng lên vi phân dω , trọng tâm đặt ở độ sâu h: 2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ ( )  dhppddP +== 0 1. Trị số của áp lực  Xét áp lực P tác dụng lên một diện tích phẳng ω, nghiêng so với mặt thoáng góc α. ( )∫∫ +==   dhppdP 0 → Áp lực tác dụng lên toàn bộ diện tích ω: 2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ 1. Trị số của áp lực  Chọn hệ trục tọa độ Oyz như hình, ta có: ( ) ∫∫∫ +=+=⇒   dzSindpdzSinpP 00 chính bằng mômen tĩnh của diện tích ω đối với trục Oy. zSinh = (*),0 ∫+=⇔   zdSinpP oySzd =→ ∫   Và : độ sâu của C so với mặt thoáng. 2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ 1. Trị số của áp lực  zC là tung độ của trọng tâm c, khi đó: Sinzh CC = COy zS =   Sin hS COy =⇒  ChpP +=⇒ 0(*) 11  Nếu p0 = pa thì áp lực dư tác dụng lên mặt phẳng: 2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ  ChP = a. Trị số của áp lực → Áp lực thủy tĩnh của chất lỏng tác dụng lên diên tích phẳng ngập trong nó bằng tích số của áp lực tuyệt đối tại tâm diện tích phẳngđó nhân với diện tích ấy. * Cách xác định vị trí tâm áp lực dư: 2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ DCD zhPzM == b. Vị trí của tâm áp lực Điểm đặt của áp lực gọi là tâm áp lực. Gọi D(zD,yD)  Xác định zD: Mômen của áp lực P đối với trục Oz: ∫∫ ==   hzdpzdM Tổng mômen của áp lực P lên các diện tích vi phân: yISindzSinM . 2   ==⇒ ∫ Với: là mômen∫=  dzI y 2 quán tính của tiết diện ω đối với trục Oy. c y c y D z I Sin h I z ..  ==⇒ 12 2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ ∫==  dpPyM D Tương tự Mômen của áp lực P đối với trục Oy:  Xác định yD: ∫=⇒   zydSinySinyz DC . Với: P = γhCω; hC = zCSinα; p = γzSinα  Tổng quát, thành phẳng đặt nghiêng với mặt phẳng ngang góc α, đáy rộng b, chiều cao h, đáy trên ở độ sâu h1, đáy dưới ở độ sâu h2, áp suất mặt tự do p0 = pa. → Trị số tổng áp lực dư: Trong đó: và 2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang  ChP = Áp lực nước tác dụng lên cửa cống hình chữ nhật bh= 2 21 hhhC + = Với: là diện tích của giản đồ phân bố áp lực dư AA’BB’. 2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang bhhhP 2 21 + =⇒  hhh 2 21 + =Ω bP Ω=⇒  13 P Nếu đáy trên HCN đặt tại mặt tự do (h1 = 0) → Giản đồ áp lực là tam giác vuông có diện tích: 2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang 22 1 hh=Ω h 3 2 → Lực P đặt tại trọng tâm giản đồ tam giác vuông có độ sâu Nếu HCN đặt thẳng đứng → Giản đồ áp lực là tam giác vuông cân: 2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang 2 2 1 h=Ω 2 2bhbP  =Ω=⇒ Bài tập: Tính áp lực nước tác dụng lên cạnh cống HCN có h = 3m, b = 2m, độ sâu mực nước thượng lưu H = 6m. 2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang 14 Hướng dẫn giải: 2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang - Áp lực dư: Với  ChP = 2 hHhC −= Hoặc: ( )[ ] 21 hHhHbbSP +−==  Xét trường hợp áp lực của chất lỏng tác dụng lên thành cong hình trụ tròn có đường sinh đặt nằm ngang. 2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong 22 zx PPP += 0;0 == ya Ppp - Xét mặt trụ ABA’B’ có đường sinh l có trục Oy // l; mặt tọa độ nằm ngang trùng với mặt tự do có - Cần xác định Px; Pz → 2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong ∫∫ ==   hddPP xx Với: ωx: hình chiếu diện tích ABA’B’ lên mặt zOy. hC: độ sâu trọng tâm. xCx hP =⇒ Hoặc: (Ωx: diện tích giản đồ áp lực)lP xx Ω=  → Đường tác dụng Px đặt ở độ sâu bằng độ sâu trọng tâm diện tích Ωx. 15 2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong - Lấy 1 diện tích nguyên tố dω, ở độ sâu h → áp lực tác dụng: hddP = xx hdxdPCoshdxdPdPCosdP  ===⇒ ),(),( Giả thiết mặt trụ chịu áp lực chất lỏng từ phía trên, phái dưới mặt trụ khô. zz hdzdPCoshdzdPdPCosdP  ===⇒ ),(),( ),( xdPCosd x  =Với: hình chiếu dω lên Ox. hình chiếu dω lên mặt tọa độ nằm ngang (mặt tự do). ),( zdPCosd z  = 2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong ∫∫ == zz zzz hddPP   Với: thể tích hình lăng trụ đứng L, giới hạn bởi mặt trụ AB (Ωy: diện tích hình Abba) GWPZ ==⇒  Whd z z =∫   lW yΩ=→ → Đường tác dụng Pz qua trọng tâm hình lăng trụ L (hình lăng trụ L gọi là vật áp lực), hướng xuống dưới. 2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong xCx hP = 222 zyx PPPP ++=⇒ Nếu hệ trục tọa độ có trục Oy không song song với đường sinh → Py ≠ 0, khi đó: Với: hC: độ sâu trọng tâm của mặt trụ = độ sâu trọng tâm hình chiếu ωx, ωy. yCy hP = WPz = 16 2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong Bài tập: Tính tổng áp lực tác dụng lên cửa cống cong AB, dài l=3m; diện tích AOB bằng ¼ diện tích mặt bên của hình trụ tròn có bán kính r=1m; độ sâu h=1m. 2.13. Định luật Acsimet Phương của lực Acsimet đi qua trọng tâm D của khối chất lỏng bị vật rắn chiếm chỗ → D: tâm đẩy (D không phải là điểm đặt của lực Acsimet). Một vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng chịu tác dụng của một áp lực hướng lên trên, có trị số bằng trọng lượng khối chất lỏng bị vật rắn chiếm chỗ hoàn toàn. 2.14. Sự cân bằng của vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng a. C thấp hơn D → Cân bằng ổn định. b. C cao hơn D → Cân bằng không ổn định. Xét vật rắn ngập hoàn toàn trong nước, đứng cân bằng c. C trùng D → Vật ở trạng thái cân bằng với bất kỳ vị trí nào (cân bằng phiếm định). Vật rắn không vân bằng nếu Pz ≠ G: nếu Pz < G → Vật chìm nếu Pz > G → Vật nổi lên 17 2.15. Sự cân bằng của vật rắn nổi trên mặt tự do của chất lỏng - Mớn nước: giao điểm của vật nổi với mặt nước. - Mặt nổi: mặt phẳng có chu vi là đường mớn nước. - Trục nổi: đường thẳng góc với mặt nổi qua tâm vật nổi. Xét vật rắn cân bằng ổn định với trường hợp C cao hơn D. 2.15. Sự cân bằng của vật rắn nổi trên mặt tự do của chất lỏng Khi góc nghiên tạo bởi trục nổi với phương của lực đẩy mới α < 150 → ρ = MD: bán kính định khuynh (M: tâm định khuynh); hM = MC: độ cao định khuynh; e = DC. Khi vật nổi nghiêng → tâm đẩy D thành D’. ehM −=⇒  2.15. Sự cân bằng của vật rắn nổi trên mặt tự do của chất lỏng + M cao hơn C (hM > 0): ngẫu lực do G và P tạo nên có xu hướng làm vật nổi trở lại trạng thái cân bằng ban đầu → vật nổi. + M thấp hơn C (hM < 0): ngẫu lực có xu hướng làm vật càng nghiêng đi → vật nổi không ổn định. + M ≡ C (hM = 0): không tồn tại ngẫu lực → mọi vị trí vật đều cân bằng.