Chương 2: Tĩnh học lưu chất

CHƯƠNG 2: TĨNH HỌC LƯU CHẤT 2.1. KHÁI NIỆM 2.2. ÁP SUẤT THỦY TĨNH 2.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN TĨNH HỌC LƯU CHẤT 2.4. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC 2.5. TĨNH TƯƠNG ĐỐI * 2.1. KHÁI NIỆM Tĩnh lực học LC nghiên cứu LC ở trạng thái CB : Không có CĐ tương đối giữa các phần tử. Không có thành phần ứng suất tiếp. Lực tương tác giữa LC và thành rắn hoặc bên trong LC vuông góc với mặt phân chia. Khi LC chuyển động nhưng tĩnh so một hệ trục nào đó thĩ vẫn xem là tĩnh. LC cân bằng: Tổng các thành phần lực tác dụng theo mọi phương bằng không. Tổng momen của các lực đối với một điểm bất kỳ bằng không. * 2.2.1. Định nghĩa Áp suất thủy tĩnh là lực pháp tuyến tác dụng lên một đơn vị diện tích. AS thủy tĩnh tại một điểm: 2.2.2. Tính chất AS thủy tĩnh tác dụng thẳng góc và hướng vào trong diện tích chịu lực. Giá trị AS thủy tĩnh tại một điểm không phụ thuộc hướng đặt của diện tích chịu lực. 2.2. ÁP SUẤT THỦY TĨNH * * Chứng minh: Xét sự cân bằngcủa 1 vi phân thể tích LChình lăng trụ tam giác Lực do px tác dụng lên mặt ABCD chiếu lên Ox: px. y.z Lực do ps tác dụng lên mặt BCEF chiếu lên Ox: -ps .y.s.sin = -ps .y. s. z/ s = -ps .y. z F là lực khối đơn vị, lực khối tác dụng lên phần tử LC chiếu lên Ox là: Do lưu chất cân bằng: px.y.z-ps .y.z+(1/2).Fx .x.y.z =0 px - ps + (1/2).Fx .x = 0 . Khi x -> 0 px = ps 2.2. ÁP SUẤT THỦY TĨNH * Tương tự cho phương z: pz= ps => px = pz = ps 2.2.3. Thứ nguyên và đơn vị của áp suất Thứ nguyên của áp suất: Đơn vị của áp suất : + Hệ SI: N/m2 = Pa + Hệ khác: 1at=1kgf/cm2 = 10m nước = 735,5mmHg = 98100 Pa (N/m2) 2.2. ÁP SUẤT THỦY TĨNH * Đơn vị của áp suất * Xét phần tử lưu chất, tổng ngoại lực tác dụng chiếu lên phương Ox: Lực khối: - lực khối tác dụng lên một đơn vị khối lượng LC. Lực mặt  áp lực: Áp dụng định luật Newton I cho 1 phần tử LC cân bằng : 2.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN * Vậy phương trình cơ bản tĩnh học LC là: hay Nếu lực khối tác dụng chỉ là trọng lực, phương trình cơ bản tĩnh học lưu chất trở thành: - vector gia tốc trọng trường 2.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN * + LC tĩnh so với hệ trục gắn liền với trái đất. + Lực khối tác dụng chỉ là trọng lực + Hệ trục tọa độ với trục z hướng thẳng đứng lên trời Lực khối theo từng phương sẽ là: Fx = Fy = 0; Fz = -g. Thay vào: 2.4.1.Phương trình thủy tĩnh LC được xem là không nén:  = const Phân bố AS thủy tĩnh: dp =- .g.dz  p + gz = const hay * 2.4. TĨNH HỌC TUYỆT ĐỐI ( LC Cân bằng trong Trường Trọng lực) 2.4.1 Phương trình thủy tĩnh -gọi là cột áp tĩnh * z(m): độ cao hình học p/ (m): độ cao đo áp 2.4. TĨNH HỌC TUYỆT ĐỐI ( LC Cân bằng trong Trường Trọng lực)  * - Mặt đẳng áp là mặt nằm ngang - Nhiều LC khác nhau, KLR khác nhau, không trộn lẫn vào nhau thì mặt phân chia là các mặt đẳng áp. Độ chênh AS giữa 2 điểm A, B trong 1 môi trường LC chỉ phụ thuộc khoảng cách thẳng đứng giữa 2 điểm đó. LC không nén ở TTCB, độ tăng áp suất được truyền nguyên vẹn đến mọi điểm trong LC- Định luật Pascal: 2.4.1 Phương trình thủy tĩnh Các hệ quả : 2.4. TĨNH HỌC TUYỆT ĐỐI ( LC Cân bằng trong Trường Trọng lực) Ý nghĩa của phương trình thủy tĩnh  * Về mặt hình học: Tổng độ cao hình học (z) và độ cao đo áp (p/) của chất lỏng tĩnh tuyệt đối là một trị số không thay đổi ( C) với mọi điểm trong chất lỏng đó. Về mặt năng lượng: Năng lượng chất lỏng tĩnh bao gồm vị năng (z) và áp năng (p/) bằng nhau với mọi điểm trong lòng chất lỏng đó. * 2.4.2.Lưu chất nén được (chất khí ):   const Chất khí là khí lý tưởng, sử dụng phương trình khí lý tưởng p = RT 2.4. TĨNH HỌC TUYỆT ĐỐI ( LC Cân bằng trong Trường Trọng lực) * Trong tầng bình lưu (z≤11km): nhiệt độ thay đổi theo độ cao T = T0-Lz, L> 0, T0 là nhiệt độ ứng với độ cao z = 0 Gọi p0 là áp suất ứng với z = 0 Trong tầng đối lưu: (z>11km) T = T1= -56.50C 2.4.2.Lưu chất nén được (chất khí ):   const 2.4. TĨNH HỌC TUYỆT ĐỐI 2.4.3.1 .Áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân không: a. Áp suất tuyệt đối (ptđ): Là giá trị đo AS so với chuẩn là chân không tuyệt đối. b. Áp suất dư (pdư): Là giá trị đo AS so với chuẩn là AS khí trời (pa) tại vị trí đo. pdư = ptđ – pa  ptđ >pa : áp suất dư dương  ptđ PA. Ống kín đầu được hút chân không nên P0 = 0. Chiều cao cột nước trong ống ha được gọi là chiều cao pezomét ứng với áp suất tuyệt đối: PA = gha Còn ống hở đầu có áp suất là Pa nên áp suất dư tại điểm A: Pdư = PA – Pa = ghdư Vậy hiệu số chiều cao pezomét ứng với áp suất tuyệt đối và áp suất dư chính bằng chiều cao ứng với áp suất khí quyển tức là Pa/g  10 mH2O Ví dụ 1 Xác định giá trị áp suất đọc trên áp kế nếu biết:h1 =76cm, h2 = 86cm, h3 =64cm, h4 =71cm Giải: pB –pC =HghBC pD –pE =HghDE pD –pC =nhDC Suy ra giá trị áp suất là: pA =pE - nhA-B + HghB-C -nhC-D + HghD-E =0 - n(h1+h2)+ Hgh1 - nh3+ Hgh4 = n(-h1-h2+13,6h1-h3+13,6h4) =17,732n =17,732x9810Pa=173,95KPa * Ví dụ 2: Nước chảy trong ống từ A-B. Để đo độ chênh cột áp tĩnh người ta dùng ống đo áp đo chênh như hình vẽ. Xác định độ chênh cột áp tĩnh và độ chênh áp suất giữa 2 điểm A và B. Biết chất lỏng (1) là nước n = 1000kg/m3 (2) thủy ngân Hg = 13,6. h =0,7m, b-a = 0,3m Giải: Phương trình thủy tĩnh áp dụng cho các cặp điểm A-M, M-N, N-B: Hay * Độ chênh cột áp tĩnh giữa 2 điểm A và B là Độ chênh áp suất giữa 2 điểm A và B là: * 2.4.3.2. Định luật Pascal: Áp suất tĩnh do ngoại lực tác động lên bề mặt chất lỏng được truyền đi nguyên vẹn đến mọi điểm trong lòng chất lỏng (với tốc độ âm thanh) * 2.4. TĨNH HỌC TUYỆT ĐỐI 2.4.3. Ứng dụng phương trình thủy tĩnh * 2.4.3.Ứng dụng phương trình thủy tĩnh 2.4.3.3. Biểu đồ phân bố áp suất 2.4. TĨNH HỌC TUYỆT ĐỐI 2.4.3.3.Biểu đồ phân bố áp suất * Bản chất của áp suất chính là lực tổng hợp của các áp suất trên cùng một bề mặt nào đó Áp suất chất lỏng tác dụng lên mặt phẳng luôn vuông góc và hướng vào bề mặt vật đó. 2.4.4. ÁP LỰC THỦY TĨNH 2.4.4.1. Áp lực thủy tĩnh trên một BM phẳng Cho 1 tấm phẳng, diện tích A nằm chìm trong chất lỏng và nghiêng một góc  so với bề mặt chất lỏng. * Độ lớn Xét một vi phân diện tích dA, áp lực tác dụng thẳng góc vào diện tích và có giá trị: => dF = p.dA trong đó p = p0 + h Áp lực tác dụng lên toàn bộ diện tích: Vậy: F = pC.A = (p0 + .hC).A pC là giá trị AS tại trọng tâm C của tấm phẳng 2.4.4 .ÁP LỰC THỦY TĨNH * 2.4. 4. 1.ÁP LỰC CHẤT LỎNG TÁC DỤNG LÊN BM PHẲNG Điểm đặt lực -Vi phân moment của áp lực đối với trục quay Ox: dM0x =y.dF -Moment áp lực trên toàn bộ diện tích A đối với trục quay Ox * Xét trường hợp p0 =0 =>F = hCA = sinyCA Moment tính theo áp lực F: M0x =yD.F (**) Từ (*) và (**) . Suy ra điểm đặt lực D Độ lệch tâm: Xét moment áp lực trên toàn bộ diện tích A với trục quay Oy. Chứng minh tương tự : Nếu bề mặt phẳng có dạng đối xứng: =>IxyC = 0 => xD = xC Nên chỉ cần xác định yD là đủ. * 2.4. 4. 1.ÁP LỰC CHẤT LỎNG TÁC DỤNG LÊN BM PHẲNG + Xét trường hợp: Đưa về bài toán tương đương để giải Trong đó: Tính áp lực thủy tĩnh bằng phương pháp biểu đồ: Xét vi phân diện tích dA, tại trọng tâm: p = p0 + .h => dF = p.dA * 2.4. 4. 1.ÁP LỰC CHẤT LỎNG TÁC DỤNG LÊN BM PHẲNG Độ lớn của áp lực trên tòan bộ diện tích A: F đi qua trong tâm CV của thể tích V - Trong trường hợp A là hình chữ nhật có cạnh song song mặt thoáng: F = ..b F đi qua trong tâm C của diện tích biểu đồ phân bố áp lực . * 2.4. 4. 1.ÁP LỰC CHẤT LỎNG TÁC DỤNG LÊN BM PHẲNG Ví dụ 3:Cho 1 cửa van hình chữ nhật có bề rộng b = 5m. Chịu áp lực nước thượng lưu như hình vẽ với H = 2m. Hỏi áp lực thủy tĩnh F tác dụng lên van? Giải Áp lực thủy tĩnh tác dụng lên van: F = pC.A = .hCA hC = H/2 = 2/2 = 1 (m) => F = 9810N/m3 x 1mx 5mx2m = = 98100 N * Ví dụ 4:Cho 1 tấm phẳng hình tam giác chìm trong chất lỏng có tỷ trọng  = 1,2, có các kích thước như sau: h = 3m; b = 2m; H = 1m,  = 600 p0 = 0.06at Thay p0 bằng lớp chất lỏng có bề dày tương đương: * F = pCA = hC1/2bh = 1.2*1000*2.366*1/2*3*2 = 8.5x103N * Ví dụ 5: Van phẳng hình tròn đặt trên mặt phẳng nghiêng 1 góc 600 như hình vẽ. Van có thể quay quanh trục nằm ngang qua tâm C. Bỏ qua ma sát. Xác định:a. Áp lực tác dụng lên vanb. Momen cần tác dụng để mở van. F = pCA Giải yD –yC = 0,0866m  MC = 0 M = Fx(yD –yC ) = (1230x103N)(0,0866m) = 1,07x105 N.m * 2.4.4.2. Áp lực thủy tĩnh trên một diện tích cong - AS trên mặt thoáng bằng áp suất khí trời - Ba hình chiếu của A: Ax, Ay, Az - Xét vi phân diện tích dA, tại trọng tâm: - Áp lực trên toàn bộ diện tích A: * 2.4.4 .ÁP LỰC THỦY TĨNH - Ta có: Thành phần áp lực trên trục toạ độ x » thành phần áp lực trên trục x chính bằng áp lực thủy tĩnh trên diện tích phẳng Ax: Tương tự cho thành phần áp lực trên trục toạ độ y: Thành phần áp lực trên trục toạ độ z: W – thể tích vật áp lực) * 2.4.4 .ÁP LỰC THỦY TĨNH W: Thể tích vật áp lực là TT hình lăng trụ thẳng đứng tạo bởi diện tích cong A , có đường sinh trượt trên chu vi của A, giới hạn bởi A và kéo dài cho đến khi gặp mặt tự do (p =pa), hay mặt thoáng kéo dài của chất lỏng tác dụng lên diện tích cong đó. Xác định áp lực thủy tĩnh trên diện tích cong A là xác định 3 t/p của nó trên 3 trục tọa độ. Trong đó, 2 t/p nằm ngang Fx, Fy được XĐ trên các diện tích phẳng Ax, Ay là các hình chiếu đứng tương ứng của A theo các trục x, y. Còn Fz được tính bằng thể tích vật áp lực. Vậy: Trị số áp lực dư được tính bằng : Trong trường hợp diện tích cong phức tạp (có hình chiếu chồng chập) => chia nó thành các phần đơn giản và tính từng phần rồi cộng lại. * 2.4.4 .ÁP LỰC THỦY TĨNH Ví dụ 6: Xác định áp lực do dầu tác dụng lên một van cung dạng ¼ hình trụ có bán kính 0,5m, dài 2m nằm dưới độ sâu h =1m. Giải Fx =pCxAx Ax=RL, Fy = 0 Fx =9,81KN FZ =10,93KN * 2.4.4.3. Lực đẩy Archimedè Xét vật có thể tích V chìm trong chất lỏng Xét vi phân thể tích dV hình lăng trụ thẳng đứng. Nó có 2 bề mặt trên và dưới tiếp xúc với chất lỏng và thành phần áp lực trên phương trục z tác dụng trên 2 bề mặt này là: dFz1 và dFz2. Áp lực tổng cộng tác dụng lên dV theo trục z: Thành phần áp lực trên trục z tác dụng lên toàn bộ bề mặt bao bọc thể tích V: Tương tự, tính được 2 thành phần áp lực trên 2 trục còn lại. * 2.4.4 .ÁP LỰC THỦY TĨNH 2.5. TĨNH TƯƠNG ĐỐI 2.5.1. Chất lỏng tĩnh trong thùng CĐ thẳng với gia tốc không đổi Vector cường độ lực khối: dp = - .a.dx -.g.dz Phương trình của áp suất thủy tĩnh: p = -ax -gz + C1 Mặt đẳng áp: * 2.5. TĨNH TƯƠNG ĐỐI 2.5.1. Chất lỏng tĩnh trong thùng CĐ thẳng với gia tốc không đổi Vector cường độ lực khối: dp = - .ax.dx -.(g+az).dz Phương trình của AS thủy tĩnh: p +axx+(g+az)z = const Mặt đẳng áp: * 2.5. TĨNH TƯƠNG ĐỐI 2.5.2. Chất lỏng tĩnh trong thùng chuyển động thẳng với gia tốc không đổi *Chuyển động thẳng đứng: p +(g+a)z = const; Phương trình mặt đẳng áp: z = C * 2.5. TĨNH TƯƠNG ĐỐI 2.5.3. Chất lỏng tĩnh trong thùng CĐ quay tròn đều dp =.2.x.dx + .2.y.dy - .g.dz => Phương trình của AS thủy tĩnh: Mặt đẳng áp: * Ví dụ 7 : Một bình kín rộng 2m, chứa đấy nước chuyển động nhanh dần đều theo phương ngang, chiều như hình vẽ (gia tốc a = 2m/s). Nếu tại E có 1 lỗ nhỏ. Xác định áp suất tại A và B và áp lực tác dụng lên mặt đứng AB. Giải pE = pa = 0 P +axx + gz =const pA + axxA + gzA = pE + axxE + gzE  pA = pE +ax(xE - xA) = 0 +1000x2x0,5 =1000 Pa pA + axxA + gzA = pB + axxB + gzB pB = pA +ghAB = 1000 +1000x9,81x1 =10810 Pa Trên mặt AB áp suất phân bố theo quy luật: Nên: * Ví dụ 8: Ba ống nhỏ cùng đường kính cao H = 1m nối với nhau như hình vẽ, chứa nước đến độ cao h = 0,5m. Biết a =0,4m. Xác định chiều cao nước trong 3 ống nếu 3 ống quay đều quanh trục z với vận tốc  = 2rad/s Thể tích chất lỏng không đổi: h1 +h2 +h3=3h h1 = 0,424m; h2 =0,391m; h3 = 0,685m * Ví dụ 9: Cho một xe có kích thước H = 3m, L = 5m, b = 2m, chứa nước đến chiều cao h = 2,5m, chuyển động nhanh dần đều theo phương ngang với gia tốc a như hình vẽ.1. amax để nước không tràn ra ngoài?2. Tính áp lực nước lên thành sau xeGiảiTừ phương trình mặt thoáng:  Áp lực lên thành sau của xe: Psau = b = 9810N/m3 x(0,5x3mx3m)x2m = 88290 N * Ví dụ 10: Cho một bình hở có kích thước R = 3m, H = 4m, chứa nước đến chiều cao h = 3,1m, chuyển động quay tròn xung quanh truc của bình với vận tốc max như hình vẽ. 1. Xđ max để nước không tràn ra ngoài? 2. Tính áp lực nước lên ½ thành * pysau = 2R = 9810N/m3 x(0,5x4mx4m)x2x3m = 470880 N * Ví dụ 11: |Một van bản lề rộng 4m, cao 6m quay quanh trục nằm ngang qua O. Mực nước trung bình ở trên van 6m. a.Tính trị số x nhỏ nhất để van không tự động mở ra. b.Trục O khi đã đặt ở độ cao xmin và mực nước xuống tới A, ta phải áp 1 ngẫu lực bằng bao nhiêu để mở van. Ta có PA = 103 .9,81.6 = 6.9,81.103 (N/ m2) PB = 12.9,81.103 (N/ m2) Giải x= L= * Mực nước xuống tới A PA = 0; PB = 6.9,81.103 (N/ m2) Khoảng cách từ điểm đặt D cách đáy lớn Vậy khoảng cách từ D đến trục quay: 2,6 – 2 = 0,6 m Ngẫu lực để mở van M = 0,66.706,32.103 = 473,23 kN.m m