Chương 3 Các biến ngẫu nhiên đặc biệt

Chương 3 CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐẶC BIỆT 1. Biến ngẫu nhiên nhị thức 2. Biến ngẫu nhiên Poisson 3. Biến ngẫu nhiên siêu bội 4. Biến ngẫu nhiên chuẩn Dãy phép thử Bernoulli: một dãy n phép thử được gọi là một dãy n phép thử Bernoulli nếu: 1. Các phép thử độc lập với nhau, và 2. Trong mỗi phép thử biến cố A mà ta quan tâm có xác suất p không đổi. Số p được gọi là xác suất thành công. Xác suất để có k lần thành công trong n phép thử là 𝐶𝑛 𝑘𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 Biến ngẫu nhiên nhị thức Số lần A xuất hiện trong n phép thử được gọi là số lần thành công trong dãy phép thử Bernoulli. Ví dụ: Tại tỉnh A, theo số liệu thống kê cho biết có 25% dân số bị sốt rét. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Kiểm tra lần lượt từng người trong 6 người này xem có mắc bệnh sốt rét hay không. Trong mỗi lần kiểm tra, xác suất người được kiểm tra mắc bệnh là bao nhiêu? Hãy tính xác suất để có 4 người mắc bệnh trong 6 người này!? Biến ngẫu nhiên nhị thức Phép thử kiểm tra một người có bệnh sốt rét hay không được thực hiện mấy lần? Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên 𝑋 chỉ số lần thành công trong một dãy 𝑛 phép thử Bernoulli với xác xuất thành công 𝑝 được gọi là biến ngẫu nhiên nhị thức, và được ký hiệu là 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝). Biến ngẫu nhiên nhị thức 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝐶𝑛 𝑘𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Nhận xét: Xét dãy 𝑛 phép thử Bernoulli với xác xuất thành công 𝑝. Đặt 𝑋𝑘 = 1, phép thử thứ 𝑘 thành công 0, phép thử thứ 𝑘 thất bại Thế thì 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛 Ví dụ: Tại tỉnh A, theo số liệu thống kê cho biết có 25% dân số bị sốt rét. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất có 4 người bị sốt rét trong 6 người được chọn. Ví dụ: Có 5 máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng bằng 0,1. Tìm xác suất để: (a) Trong một ngày có 2 máy hỏng; (b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng. Biến ngẫu nhiên nhị thức Ví dụ: Một đề thi có 20 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án trong đó chỉ có một đáp án đúng. Sinh viên A trả lời một cách ngẫu nhiên tất cả các câu. Gọi X là số câu trả lời đúng của sinh viên. Tính 𝐸 𝑋 , 𝑉𝑎𝑟 𝑋 ,𝑀𝑜𝑑 𝑋 . Ví dụ: Một máy sản xuất được 200 sản phẩm trong một ngày. Xác suất để sản xuất ra phế phẩm là 0,05. Tìm số phế phẩm trung bình và số phế phẩm tin chắc nhất của máy đó trong 1 ngày. Biến ngẫu nhiên nhị thức Định lý: Cho 𝑋~𝐵 𝑛; 𝑝 . Ta có  𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝;  𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)  𝑛𝑝 + 𝑝 − 1 ≤ 𝑀𝑜𝑑 𝑋 ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝 Định nghĩa: BNN 𝑋 nhận các giá trị 0,1,… , 𝑛, … với xác xuất 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝜆𝑘 𝑘! 𝑒−𝜆 được gọi là BNN Poisson với tham số 𝜆, ký hiệu 𝑋~𝑃(𝜆) Ví dụ: Quan sát 5 phút thấy có 15 người vào đại lý internet. Tính xác suất trong một phút có 4 người vào nơi đó. Biến ngẫu nhiên Poisson BNN Poisson thường là số sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian nào đó; tham số 𝜆 là trung bình số sự kiện xảy ra trong khoảng thời gian đó. Nhị thức xấp xỉ bởi Poisson Định lý: Cho 𝑋~𝐵 𝑛; 𝑝 . Khi 𝑛 lớn và 𝑝 nhỏ, 𝑛𝑝 = 𝜆 thì 𝑋~𝑃(𝜆) Quy ước: 𝑛 ≥ 100 và 𝑝 ≤ 0.01. Ví dụ: Trong một lô thuốc dạng ống, tỷ lệ thuốc hư là 0,003. Kiểm nghiệm 1000 ống. Tính xác suất để gặp 3 ống bị hỏng. Ví dụ: Giả sử xác suất tử vong của bệnh sốt xuất huyết là 0,7%. Tính xác suất để có đúng 5 người chết do sốt xuất huyết trong một nhóm 400 người. Bài tập: một máy dệt có 4000 ống sợi. Xác suất để mỗi ống sợi ấy bị đứt trong 1 phút là 0,0005. Tính xác suất để trong một phút: 1. Có 3 ống sợi bị đứt; 2. Có ít nhất hai ống sợi bị đứt. Bài tập: Xác suất một chai rượu bị bể khi vận chuyển là 0,001. Giả sử vận chuyển 4000 chai. Tìm số chai rượu bị bể trung bình và số chai bị bể tin chắc nhất khi vận chuyển. Nhị thức xấp xỉ bởi Poisson Bài tập: Một nhà vườn trồng 256 cây mai với xác suất nở hoa của mỗi cây trong dịp tết năm nay là 0,62. Giá bán một cây mai nở hoa là 0,5 triệu đồng. Giả sử nhà vườn bán hết các cây mai nở hoa. Hỏi nhà vườn thu được chắc chắn nhất là bao nhiêu tiền? Ví dụ: Trong một hộp có 10 hòn bi, gồm 6 bi đỏ và 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 lần 5 bi. Gọi X là số bi đen trong 5 bi lấy ra. Tính xác suất để có m bi đen. Định nghĩa: BNN rời rạc 𝑋 nhận các giá trị nguyên 𝑘 thỏa max (0, 𝑛 − (𝑁 −𝑀)) ≤ 𝑘 ≤ min (𝑛,𝑀) với xác suất 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝐶𝑀 𝑘 × 𝐶𝑁−𝑀 𝑛−𝑘 𝐶𝑁 𝑛 được gọi là BNN siêu bội, và ký hiệu là 𝑋~𝐻 𝑁,𝑀, 𝑛 . Biến ngẫu nhiên siêu bội Biến ngẫu nhiên siêu bội Ví dụ: Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A, còn lại là sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 5 sản phẩm (lấy một lần). Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 5 sản phẩm lấy ra. 1) Xác định phối xác suất của X; 2) Tính xác suất trong 5 sản phẩm lấy ra có 2 sản phẩm loại A. Bài tập: Có 20 chi tiết máy, trong đó có 15 chi tiết máy tốt. Từ 20 chi tiết này lấy ra ngẫu nhiên 4 chi tiết máy (lấy một lần), gọi X là số chi tiết tốt lẫn trong 4 chi tiết lấy ra. 1) Xác định phối xác suất của X; 2) Tính xác suất trong 4 chi tiết lấy ra có 3 chi tiết tốt. Biến ngẫu nhiên siêu bội Ví dụ: Chủ một vườn lan để nhầm 20 chậu lan có hoa màu đỏ với 100 chậu lan có hoa màu tím, lan chưa nở hoa. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 15 chậu từ 120 chậu lan đó (chọn một lần). Gọi X là số chậu lan có hoa màu đỏ khách chọn được. Tính E(X) và Var(X). Định lý: Cho 𝑋~𝐻 𝑁,𝑀, 𝑛 . Đặt 𝑝 = 𝑀 𝑁 . Ta có 1) 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝; 2) 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 𝑁−𝑛 𝑁−1 Xấp xỉ siêu bội bằng nhị thức Ví dụ: Trong một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 800 sản phẩm loại A và 200 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó 10 sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để có ít nhất 8 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy ra. Định lý: Cho 𝑋~𝐻 𝑁,𝑀, 𝑛 . Nếu 𝑛 rất nhỏ so với 𝑁 thì 𝑋 có phân phối xấp xỉ nhị thức với hai tham số 𝑛 và 𝑝 với 𝑝 = 𝑀 𝑁 . Ví dụ: Một ao cá có 10.000 cá da trơn, trong đó có 1.000 con cá tra. Tính xác suất để khi bắt ngẫu nhiên 1) 20 con từ ao thì được 5 con cá tra. 2) 50 con từ ao thì được 10 con cá tra. Biến ngẫu nhiên chuẩn Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên 𝑋 được gọi là BNN chuẩn nếu 𝑋 có hàm mật độ 𝑓 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 − (𝑥−𝜇)2 2𝜎2 trong đó, 𝜇, 𝜎 ∈ ℛ, 𝜎 > 0, và được ký hiệu 𝑋~𝑁 𝜇; 𝜎2 . 𝑥 𝑂 𝑦 𝜇 Đồ thị của hàm mật độ chuẩn Định lý: 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) thì 𝐸 𝑋 = 𝜇, 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2, và 𝑀𝑜𝑑 𝑋 = 𝜇. 𝑥 𝑂 𝑦 Biến ngẫu nhiên chuẩn Định nghĩa: Cho 𝑋~𝑁 𝜇; 𝜎2 . Nếu 𝜇 = 0 và 𝜎 = 1 ta gọi 𝑋 là biến ngẫu nhiên chuẩn tắc. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên chuẩn tắc 𝑋 là 𝑓 𝑥 = 1 2𝜋 𝑒− 𝑥2 2 Có đồ thị Định lý: Cho 𝑋~𝑁 𝜇; 𝜎2 . Thế thì 𝑋−𝜇 𝜎 ~𝑁(0,1) Biến ngẫu nhiên chuẩn Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên chuẩn tắc 𝑋 là 𝐹 𝑥 = 1 2𝜋 𝑒− 𝑡2 2 𝑑𝑡 𝑥 −∞ Tích phân Laplace 𝜙 𝑥 = 1 2𝜋 𝑒− 𝑡2 2 𝑑𝑡 𝑥 0 Liên hệ giữa tích phân Laplace và hàm phân phối 𝐹 𝑥 = 1 2 + 𝜙 𝑥 Tính chất của tích phân Laplace: 𝜙(𝑥) là hàm lẻ và lim 𝑥→+∞ 𝜙(𝑥) = 0.5 Biến ngẫu nhiên chuẩn Định lý: Cho 𝑋~𝑁 0,1 . Ta có 1) 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝜙 𝑏 − 𝜙 𝑎 ; 2) 𝑃 −𝑎 < 𝑋 < 𝑎 = 2𝜙(𝑎). Ví dụ: Cho 𝑋~𝑁 0,1 . Tính 1) 𝑃 −1 < 𝑋 < 2 ; 2) 𝑃 𝑋 > 3 ; 3) 𝑃(𝑋 < −1) 4) 𝑃( 𝑋 < 2) 5) 𝑃( 𝑋 > 1) Biến ngẫu nhiên chuẩn Hệ quả: Cho 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 . Ta có 1) 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝜙 𝑏−𝜇 𝜎 − 𝜙 𝑎−𝜇 𝜎 ; 2) 𝑃 −𝑎 < 𝑋 − 𝜇 < 𝑎 = 2𝜙 𝑎 𝜎 . Ví dụ: Cho 𝑋~𝑁 3, 22 . Tính 1) 𝑃 −1 < 𝑋 < 2 ; 2) 𝑃 𝑋 > 3 ; 3) 𝑃 𝑋 < −1 ; 4) 𝑃 𝑋 − 1 < 2 ; 5) 𝑃( 𝑋 − 1 > 1) Ví dụ: Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn, kỳ vọng 20mm, độ lệch chuẩn 0,2mm. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết: a) Có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm; b) Có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3mm. Biến ngẫu nhiên chuẩn Bài tập: Điểm Toeic của sinh viên sắp tốt nghiệp ở trường đại học có phân phối chuẩn với giá trị trung bình 560 và độ lệch chuẩn 78. Tính: a. Tỷ lệ sinh viên có điểm từ 600 đến 700. b. Tỷ lệ sinh viên có điểm Toeic trên 500. c. Giả sử nhà trường muốn xác định điểm Toeic tối thiểu để sinh viên có thể ra trường với tỉ lệ 80%. Tính điểm Toeic tối thiểu (lấy phần nguyên). trong đó, 𝑓 𝑥 = 1 2𝜋 𝑒− 𝑥2 2 , 𝜙 𝑥 = 1 2𝜋 𝑒− 𝑡2 2 𝑑𝑡 𝑥 0 Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng pp chuẩn Định lý: Cho 𝑋~𝐵 𝑛, 𝑝 . Nếu 𝑛 lớn và 𝑝 không gần với 0 và 1 thì 𝑋 có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng bằng 𝑛𝑝 và phương sai bằng 𝑛𝑝𝑞, 𝑞 = 1 − 𝑝. Khi ấy,  𝑃 𝑋 = 𝑘 ≈ 1 𝑛𝑝𝑞 𝑓 𝑘−𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞  𝑃 𝑘1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑘2 ≈ 𝜙 𝑘2−𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 − 𝜙 𝑘2−𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 Ví dụ: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại A là 0,8. Tính xác suất để trong 400 sản phẩm do máy sản xuất ra có: 1) 336 sản phẩm loại A; 2) Có từ 304 đến 328 sản phẩm loại A; Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng pp chuẩn Bài tập: Trong một kho lúa giống có tỉ lệ hạt lúa lai là 20%. Tính xác suất sao cho khi chọn lần lượt 1000 hạt lúa giống trong kho thì có: 1) Đúng 192 hạt lúa lai. 2) Có từ 185 đến 195 hạt lúa lai. Bài tập: Tuổi thọ của một loại máy cắt cỏ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 82 tháng. Nhà sản xuất bảo hành sản phẩm khi bán ra là 33 tháng. Giả sử 2,5% sản phẩm bị trả lại (hỏng) trong thời gian bảo hành. Tính: a. Độ lệch chuẩn của tuổi thọ sản phẩm này. b. Xác suất một máy loại này có tuổi thọ trên 50 tháng. c. Một cửa hàng bán 10 máy cắt cỏ loại này. Tính: i) Xác suất có 2 máy hỏng trong thời gian bảo hành. ii) Số máy trung b.nh hỏng trong thời gian bảo hành. Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng pp chuẩn Bài 1: Tại bệnh viện A trung bình 3 giờ có 8 ca mổ. Tính a. Số ca mổ chắc chắn nhất sẽ xảy ra tại bệnh viện A trong 25 giờ. b. Tính xác suất trong 5 giờ có từ 10 đến 12 ca mổ. Bài tập Bài 2: Một lô hàng chứa 20 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Chọn liên tiếp 3 lần (có hoàn lại) từ lô hàng, mỗi lần chọn ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 lần chọn có: a. Đúng 1 lần chọn được không quá 1 phế phẩm. b. Trung bình số lần chọn được không quá 1 phế phẩm. Bài 3: Giá cà phê trên thị trường là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 26000 đồng/kg và độ lệch chuẩn 2000 đồng. Gọi k là giá trị tại đó cà phê có giá lớn hơn k với xác suất 90%. Tính giá trị k. Bài tập Bài 4: Thời gian mang thai của sản phụ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 280 ngày. Cho biết tỷ lệ một sản phụ mang thai trên 290 ngày là 25,14%, tính độ lệch chuẩn của thời gian mang thai. Bài 5: Chiều dài của loại linh kiện điện tử A tại cửa hàng B là biến ngẫu nhiên 𝑋(𝑚𝑚)~𝑁(12,2.5). Một công ty cần mua loại linh kiện này với chiều dài từ 11,98mm đến 13mm và họ chọn lần lượt 7 chiếc từ cửa hàng B. Tính xác suất để trong 7 chiếc được chọn có: a. Từ 5 đến 6 chiếc sử dụng được. b. Ít nhất một chiếc sử dụng được. Bài tập Bài tập Bài 6: Thời gian chơi thể thao trong một ngày của một thanh niên là biến ngẫu nhiên X (giờ/ngày) có hàm mật độ 𝑓 𝑥 = 2𝜋 3 sin 𝜋 3 𝑥 , 0 < 𝑥 < 1 0, nơi khác a) Tính xác suất một thanh niên có thời gian chơi thể thao chưa tới 30 phút/ngày. b) Trung bình có bao nhiêu thanh niên chơi thể thao hơn 30 phút/ngày trong 100 thanh niên. c) Ta phải chọn ít nhất bao nhiêu thanh niên để gặp được ít nhất 1 người có thời gian chơi thể thao chưa tới 30 phút/ngày xảy ra với xác suất hơn 95%. Bài 7: Thời gian học rành nghề sửa ti vi của một người là một biến ngẫu nhiên - X (năm) có hàm mật độ 𝑓 𝑥 = 9 40 𝑥2 + 1 5 , 0 < 𝑥 < 2 0, nơi khác a) Tính xác suất một người học rành nghề dưới 6 tháng. b) Chọn ngẫu nhiên 5 học viên, tính xác suất có 2 người học rành nghề dưới 6 tháng. Bài tập