Chương 3 Cơ học lượng tử

CHƯƠNG 3 :         CƠ HỌC LƯỢNG TỬ KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT Bài toán mở đầu.  Các đại lượng đặc trưng. Mở rộng cho hàm phân bố liên tục. HÀM SÓNG Biểu thức. Ý nghĩa. Tính thống kê của hàm sóng. Ðiều kiện chuẩn hóa. Ðiều kiện của hàm sóng. Quan hệ giữa sóng Broglie và hạt chuyển động Vận tốc pha, vận tốc nhóm. TOÁN TỬ Khái niệm về toán tử.  Hàm riêng và trị riêng của toán tử.  Các toán tử trong cơ học lượng tử. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER HẠT TRONG HỐ THẾ SÂU VÔ HẠN DAO ÐỘNG TỬ ÐIỀU HOÀ HIỆU ỨNG ÐƯỜNG NGẦM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I. KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT TOP Cơ học lượng tử là môn học gắn liền với chuyển động của các hạt vi mô có vận tốc chuyển động gần với vận tốc ánh sáng. Ðặc điểm của cơ học lượng tử, như tên của nó, nghiên cứu về tính chất lượng tử hóa của các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động vi mô. Quan điểm về xác suất được sử dụng rất nhiều trong cơ học lượng tử bởi vì theo nguyên lý Heisenberg ta không thể xác định chính xác đồng thời vị trí và vận tốc của hạt vi mô, không xác định được quỹ đạo của hạt chuyển động. Thế nên trong phần đầu của chương, ta sẽ giới thiệu sơ bộ về lý thuyết xác suất.             1.Bài toán mở đầu TOP Giả sử trong một phòng họp có sự phân bố số người dự họp theo số tuổi như sau: Có 1 người 14 tuổi. Biểu diễn ( N(14)=1 Có 1 người 15 tuổi.  ( N(15)=1 Có 3 người 16 tuổi.  ( N(16)=3 Có 2 người 22 tuổi.  ( N(22)=2 Có 2 người 24 tuổi.  ( N(24)=2 Có 5 người 25 tuổi.  ( N(25)=5 Tổng quát N(J) là hàm theo các biến nguyên biểu thị số người có cùng số tuổi là J. Sự phân bố được biểu diễn như đồ thị (Hình 3.1) sau đây              2. Các đại lượng đặc trưng TOP Khi nói đến bài toán phân bố ta xét đến khả năng chọn lựa một biến cố bất kỳ, ví dụ như bài toán trên là khả năng chọn ra một người có số tuổi là J nào đó. Muốn tính khả năng nầy ta phải biết:              3. Mở rộng cho hàm phân bố liên tục TOP Giả sử bây giờ ta tính chính xác tuổi từng người theo ngày tháng năm và giờ sinh: Trong bài toán trên (J) sẽ là các biến số dương và liên tục, có thể viết là (x). Hàm phân bố số tuổi có thể viết lại là P(x) và đây là xác suất tìm chính xác một người có tuổi x nào đó trong phòng họp. P(x) thường được gọi là mật độ xác suất. Trong trường hợp tổng quát thì biến x là biến thực. Xác suất tìm ra một số người có tuổi trong khoảng x+dx sẽ là: ở đây ta cần lấy cận tích phân tiến về vô cùng bởi vì biến x nhận các giá trị thực. Giá trị trung bình của biến x trong trường hợp nầy được gọi là kỳ vọng tóan học của x: II. HÀM SÓNG (WAVE FUCTION)              1.      Biểu thức TOP Theo giả thuyết Broglie thì đối với các hạt vi mô ngoài tính hạt còn có tính sóng, vậy ta hãy thử mô tả hạt vi mô như là một sóng và đó cũng là ý định của những người sáng lập môn học cơ học lượng tử.             2.      Ý nghiã TOP Ở đây ta dùng hàm phức có dạng: thay cho hàm thực để mô tả trạng thái chuyển động của hạt, bởi vì các nhà vật lý cho rằng sóng Broglie là một dao động phức tạp. Hàm sóng phức giúp ta biết được trạng thái vi mô của các hạt chuyển động với vận tốc khá lớn và rất khó xác định gía trị chính xác của vận tốc.             3. Tính thông kê của hàm sóng TOP Xét một chùm hạt phôton chuyển động trong không gian qua một phần tử có thể tích là (V bất kỳ bao quanh một điểm M. Theo thuyết sóng ánh sáng thì cường độ sáng tại M tỷ lệ với bình phương biên độ của biểu thức dao động sóng:             4. Điều kiện chuẩn hóa TOP Khi tìm hạt trong toàn bộ không gian mà hạt cư trú, ta chắc chắn sẽ tìm thấy hạt, nghiã là xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian hạt cư trú là bằng 1 Phương trình 3.22 được gọi là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng. Như vậy hàm sóng cho hạt chuyển động ( ta mượn biểu thức từ sự truyền sóng cơ trong không gian nhưng hàm sóng nầy không mô tả một dao động thực nào mà nó chỉ cho ta xác suất tìm hạt tại một trạng thái nào đó. Nói cách khác hàm sóng ( viết cho hạt thì mang tính thống kê.              5. Điều kiện của hàm sóng TOP Hàm sóng phải thoả mản các điều kiện sau đây: 1- Giới nội. Nếu hàm sóng không giới nội thì tích phân (3.21) là phân kỳ nên mâu thuẩn với ý nghĩa xác suất. 2- Ðơn trị. Nếu hàm sóng không đơn trị thì ứng với mỗi trạng thái có nhiều xác suất tìm thấy hạt khác nhau. Ðiều đó thì mâu thuẩn với lý thuyết xác suất. 3-      Liên tục. Ðiều nầy là do xác suất không thể thay đổi một cách nhảy vọt. 4-      Ðạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục (sẽ đề cập ở phần sau).             6. Quan hệ giữa sóng Broglie và hạt chuyển động TOP             7. Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm TOP Biểu thức 3.25 chứng tỏ vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng điều nầy có nghiã là vận tốc pha không phải là vận tốc truyền hạt hay truyền năng lượng.  Cơ học lượng tử cho rằng chuyển động của các hạt không phải ứng với các sóng đơn sắc riêng biệt mà ứng với một tập hợp sóng có bước sóng gần bằng nhau (Ðiều nầy nhiễu xạ của electron đã chứng tỏ khi các vân nhiễu xạ có độ rộng nhất định chứ không phải một vạch mảnh). Vậy nhiễu xạ tạo ra không phải bởi một sóng mà là do nhiều sóng có bước sóng gần nhau. Bó sóng là gì: Một tập hợp gồm nhiều sóng có bước sóng gần bằng nhau. Biên độ của bó sóng là tổng hợp của biên độ các sóng thành phần; còn hàm sóng mô tả cho bó sóng là: III. TOÁN TỬ (OPERATOR)             1. Khái niệm về toán tử TOP Toán tử là gì: Toán tử là một ánh xạ khi tác dụng lên một hàm bất kỳ thì nó biến hàm đó thành một hàm khác: Vậy ta có toán tử được thành lập từ hai toán tử bằng phép cộng và trừ. Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp             2. Hàm riêng và trị riêng của toán tử: TOP trong đó a là một gía trị nào đó mà ta gọi là trị riêng ứng với hàm riêng đó. Như vậy khi ta tác dụng toán tử lên hàm riêng của nó thì ta được chính hàm riêng đó nhân với trị riêng tương ứng với hàm riêng đó. Trị riêng của một toán tử có thể lấy các giá trị gián đoạn hoặc các gía trị liên tục. Số lượng trị riêng của một toán tử có thể là hữu hạn hoặc là vô hạn.             3. Các toán tử trong cơ học lượng tử TOP a-Biến số động lực học: Các nhà sáng lập cơ học lượng tử cho rằng nếu như trong cơ học cổ điển trạng thái của hệ được xác định bằng một tập hợp các biến số như toạ độ, vận tốc, xung lượng, năng lượng thì trong cơ học lượng tử một trạng thái của hệ được đặc trưng bằng các biến số động lực học tương tự như các biến số trong cơ học cổ điển . b- Trong qúa trình sử dụng các biến số động lực học người ta phải chấp nhận một số tiên đề sau đây : Tiên đề 1: Mỗi biến số động lực học được biểu diễn bằng một toán tử HERMITE có phổ trị riêng là các số thực mà nó được đo đạc thực nghiệm từ biến số của đại lượng vật lý cổ điển tương ứng. Ví dụ toán tử năng lượng có phổ trị riêng là các gía trị năng lượng được đo từ thực nghiệm. Tiên đề 2: Hệ thức giữa các toán tử trong cơ học lượng tử có dạng giống hệt như dạng các biến số của đại lượng trong cơ học cổ điển tương ứng. Sau đây ta giới thiệu một số toán tử thông dụng trong cơ học lượng tử : IV. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER (SCHRODINGER EQUATION) TOP Nhắc lại hàm sóng Broglie cho một hạt chuyển động tự do có năng lượng E và xung lượng P là: Tóm lại phương trình Schrodinger mô tả sự vận động của vi hạt có vai trò giống như phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Giải phương trình Schrodinger trong không gian rất phức tạp nên đơn giản ta chỉ giải những bài toán một chiều.  V. HẠT TRONG HỐ THẾ SÂU VÔ HẠN TOP Kết qủa quan trọng của bài toán là năng lượng của hạt chuyển động trong hố thế chỉ có thể nhận những gía trị gián đoạn (gía trị đó tỷ lệ với bình phương các số nguyên). Ta có thể xác định hằng số A trong nghiệm (3.51) bằng điều kiện chuẩn hóa: VI. DAO ÐỘNG TỬ ÐIỀU HÒA TOP Xét một hạt có khối lượng m chuyển động trên trục x chịu tác dụng của một lực F tỷ lệ với x và trái dấu với x. Theo cơ học cổ điển hạt sẽ dao động quanh vi trí cân bằng x=0 vì thế ta gọi nó là dao động tử điều hòa. Phương trình của dao động tử điều hoà theo cơ học cổ điển là: VII. HIỆU ỨNG ÐƯỜNG NGẦM TOP Hệ số phản xạ và hệ số truyền qua Hệ số phản xạ R: là tỷ số giữa bình phương biên độ sóng phản xạ tại rào thế và bình phương biên độ sóng tới tại hàng rào thế. Nếu xét trên phương diện ánh sáng thì hệ số phản xạ là tỷ số mật độ phôtôn phản xạ và mật độ phôtôn tới trong một đơn vị thời gian. Hệ số truyền qua D: là tỷ số giữa bình phương biên độ sóng truyền qua hàng rào thế và bình phương biên độ sóng tới tại hàng rào thế. Nếu xét trên phương diện ánh sáng thì hệ số truyền qua là tỷ số mật độ phôtôn truyền qua hàng rào thế và mật độ phôtôn tới trong một đơn vị thời gian. Theo định luật bảo toàn năng lượng thì: R+D =1 3.86 Ta hãy tính hệ số truyền qua hàng rào D đó là tỷ số giữa bình phương biên độ sóng qua hàng rào và bình phương biên độ sóng tới hàng rào: Hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra đối với kích thước vi mô. Nghĩa là hệ số truyền qua D chỉ đáng kể khi độ rộng hố thế a là rất nhỏ, khi đó hạt thể hiện tính chất sóng của vi hạt và điều đó không thể có với các hạt vĩ mô. Hiệu ứng đường ngầm nầy cho phép ta giải thích nhiều hiện tượng trong tự nhiên như hiện tượng phát electron trong kim loại mà không cần cung cấp nhiệt lượng. Người ta thường gọi đó là sự phát xạ elctron lạnh. Muốn electron thoát ra khỏi bề mặt kim loại, ta cần nung nóng kim loại để nó có đủ năng lượng thắng công cản mà vượt qua hàng rào thế. Tuy nhiên do hiệu ứng đường ngầm nên ngay ở nhiệt độ phòng bình thường (300 0K) electron cũng có khả năng thoát ra khỏi kim loại. BÀI TẬP Ứng dụng của hiẹn tượng quang điện. TOP TRẮC NGHIỆM TOP Theo giả thuyết Broglie về hạt và sóng: a)      Hạt vi mô có tính chất sóng và tính chất hạt. b)      Bước sóng của vi hạt có quan hệ với năng lượng của vi hạt. c)      Bước sóng của vi hạt có quan hệ với xung lượng của vi hạt. d)      Tất cả các ý trên. Hàm sóng của hạt vi mô (vi hạt) được biểu diễn bằng hàm phức bởi vì: a)      Hàm phức có thể xác định quỹ đạo của hạt chuyển động. b)      Hàm phức có thể xác định tọa độ và vận tốc của hạt chuyển động. c)      Bình phương biên độ hàm sóng là mật độ xác suất tìm thấy hạt. d)      Trạng thái của vi hạt là các trạng thái ảo, không có thật. Các điều kiện của hàm sóng cho vi hạt là: a)      Giới nội. b)      Ðạo hàm theo mọi biến, theo mọi bậc là liên tục. c)      Ðơn trị. d)      Ðơn trị, giới nội và có đạo hàm bậc nhất theo biến không gian là liên tục. Ý nghĩa của điều kiện chuẩn hoá hàm sóng là: a)      Xác suất tìm được hạt trong vùngü không gian hạt tồn tại bằng một. b)      Xác suất tìm được hạt trong một đơn vị thể tích bằng một. c)      Xác suất tìm được hạt trong một đơn vị thời gian bằng một. d)      Không thể xác định chính xác quỹ đạo của vi hạt mà phải dùng khái niệm đám mây điện tử. So sánh vận tốc pha và vận tốc nhóm thì: a)      Vận tốc pha nhỏ hơn vận tốc nhóm. b)      Vận tốc pha lớn hơn vận tốc nhóm c)      Vận tốc pha nhỏ hơn vận tốc ánh sáng trong chân không. d)      Vận tốc pha lớn hơn vận tốc ánh sáng trong chân không. e)      Câu b và câu d là đúng. Trong bài toán dao động tử điều hòa: a)      Năng lượng dao động ở độ không tuyệt đối là khác không. b)      Ở độ không tuyệt đối không có sự suy biến mức năng lượng. c)      Năng lượng của hạt vi mô dao động là không đổi. d)      Năng lượng của hạt vi mô dao động bị lượng tử hoá. e)      Các câu a, b, d là đúng. Hiệu ứng đường ngầm dùng để giải thích: a)      Phản ứng nhiệt hạch. b)      Sự phát xạ ở điều kiện thường của e trong kim loại. c)      Hiện tượng quang điện. d)      Hiện tượng phát ra tia X. Theo bài toán Hiệu ứng đường ngầm: a)      Tổng Hệ số phản xạ và hệ số truyền qua bằng 1. b)      Không có sự phản hồi của sóng khi sóng truyền xa vô cùng. c)      Cường độ của sóng truyền đi tỉ lệ mật độ hạt phôrôn. d)      Dù năng lượng của các vi hạt có nhỏ hơn thế năng hàng rào thì vẫn có một số hạt xuyên qua hàng rào. Hệ số truyền qua của vi hạt trong Hiệu ứng đường ngầm phụ thuộc: a)      Bán kính của vi hạt. b)      Năng lượng hàng rào thế. c)      Khối lượng của vi hạt. d)      Vận tốc của vi hạt. e)      Tất cả các yếu tố trên.