Chương 3: Động học lưu chất

• Nghiên cứu sự chuyển động (CĐ) của phần tử LC mà không xét đến nguyên nhân gây ra CĐ • Xem xét đặc tính của dòng qua các đại lượng vận tốc, gia tốc và sự biến thiên của các đại lượng này theo thời gian 1 CHƯƠNG 3: ĐỘNG HỌC LƯU CHẤT Chương 3: Động học lưu chất 3.1.Hai phương pháp mô tả CD lưu chất (LC) 3.2.Một số khái niệm liên quan đến chuyển động LC 3.3.Phân loại CĐ 3.4.Gia tốc toàn phần của phần tử LC 3.5.Phương trình liên tục 3.6. Phân tích chuyển động của phần tử lưu chất 2 3.1. HAI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT 3.1.1. Phương pháp Lagrange -Chuyển động của LC được mô tả bằng vị trí của các phần tử LC theo thời gian. -Hệ thống tọa độ được xác định trong không gian. -Đường nối vị trí của một phần tử LC theo thời gian được gọi là quỹ đạo CĐ của một phần tử LC. 3 3.1.1.Phương pháp Lagrange - Ưu điểm: mô tả CĐ một cách chi tiết. - Khuyết điểm: số lượng pt phải giải quá lớn (3n); không thể mô tả cùng một lúc quỹ đạo của nhiều phần tử. - Khả năng áp dụng: phòng thí nghiệm 3.1. HAI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT 4 • Xét sự thay đổi theo thời gian của các t/s động học tại một vị trí (ví dụ nhu trạm đo VT trên sông, đo VT của nhiều p.tử LC đi qua điểm này) • Trong một hệ toạ độ xác định, CĐ của LC được mô tả bằng VT của các p.tử LC tại mỗi vị trí trong không gian, theo thời gian. • Tại M(x,y,z) cố định, ở thời điểm t một p.tử qua M với vận tốc u, ở thời điểm t+dt, có một p.tử LC khác đi qua M. Trong toàn miền CĐ, ta xác định được một trường vectơ VT. 3.1.2. Phöông phaùp Euler 5 3.1. HAI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT 6 3.1.HAI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT 3.1.2. Phương pháp Euler -CĐ của thể tích LC được quan niệm là trường VT và được mô tả bởi một hàm VT liên tục theo không gian và thời gian: - Ưu điểm: chỉ có 3 phương trình. -Khuyết điểm: không cho thấy rõ cấu trúc của CĐ. - Khả năng áp dụng: tính toán 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Th¸ng 1 VËn tèc trªn bÒ mÆt 0.1m/s 0.5m/s Scale 0.05m/s 0.01m/s Trung quoác PP Lagrange PP Euler - Theo dõi vị trí của 1 phần tử LC trong không gian, theo thời gian - Xem xét sự thay đổi các thông số động học tại 1 vị trí, theo thời gian (liên quan đến nhiều phần tử LC) - Thiết lập quỹ đạo của một phần tử LC - Cho hình ảnh của dòng CĐ trường phân bố vận tốc, áp suất, nhiệt độ… -Thuận lợi nếu số phần tử CĐ ít ứng dụng trong cơ học chất rắn - Phổ biến trong cơ LC vì số lượng phần tử CĐ lớn 7 3.1. HAI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT 3.2. CÁC KHÁI NIỆM 8 3.2.1. Đường dòng Đường dòng: Là đường cong vạch ra trong LC chuyển động sao cho vector VT của các phần tử LC chuyển động trên đó tiếp tuyến với nó. Có thể thay đổi theo thời gian. Phương trình vi phân đường dòng: 3.2.2. Ống dòng, dòng chảy Ống dòng là bề mặt dạng ống tạo bởi vô số các đường dòng cùng đi qua một chu vi khép kín. Dòng chảy là khối lượng LC chuyển động bên trong ống dòng Ví dụ: mặt trong của đường ống; bề mặt lòng sông cùng với mặt thoáng… là các ống dòng. s u u 9 3.2. CÁC KHÁI NIỆM 3.2.3. Mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực - Mặt cắt ướt (A) là mặt cắt ngang dòng chảy sao cho trực giao với các đường dòng và nằm bên trong ống dòng. -Chu vi ướt (P) là phần chu vi của mặt cắt nơi dòng chảy tiếp xúc với thành rắn (0). - Bán kính thủy lực (R): 3.2.4. Lưu lượng, vận tốc trung bình mặt cắt Lưu lượng (Q) là thể tích lưu chất CĐ ngang qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian A P A dA u 3.2. CAÙC KHAÙI NIEÄM - Löu löôïng theå tích: - Löu löôïng khoái löôïng: -Vaän toác trung bình qua maët caét öôùt: - Do aûnh höôûng ma saùt, vaän toác u taïi caùc ñieåm treân maët caét öôùt laø khaùc nhau.  VT trung bình V laø giaù trò giaû töôûng, deã daøng xaùc ñònh trong thöïc nghieäm.  A dAuQ .  A dAuQ .. 10 3.2.5. CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ 11 3.2.5.1 Hàm dòng và thế vận tốc Khảo sát chuyển động trong mặt phẳng Oxy Đưa vào hàm :(x,y) và (x,y) sao cho thoả mãn điều kiện: xy u        yx        v  : Hàm dòng;  : Thế vận tốc . Từ phương trình đường dòng v dy u dx dt  0v        ddy y dx x udydx Ptr đường dòng có dạng:  = Const . 12 3.2.5.1.Hàm dòng và thế vận tốc Tương tự ta có  = Const biểu diễn họ đường đẳng vận tốc Các đường dòng và đường đẳng thế trực giao với nhau vì từ định nghĩa của  và  : 0          yyxx  ( Điều kiện Côsi- Riêman). 13 3.2.5.2.Tính lưu số vận tốc và lưu lượng Tính lưu số vận tốc trên cung AB   B A yx B A AB )dyudxu(uds        B A AB dy y dx x )(  )()( ABd B A AB    14 3.2.5.2.Tính lưu số vận tốc và lưu lượng Tính lưu lượng q   B A yx A B n )dxudyu(dsuq        B A )dx x dy y (q )()( ABdq B A   15 3.2.5. CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ 3.2.5.3. Đường xoáy và ống xoáy CĐ quay của mỗi PT chất lỏng xung quanh một trục quay tức thời đi qua nó được gọi là CĐ xoáy. Véctơ vận tốc góc trong chuyển động xoáy urot 2 1  Đường cong tiếp xúc với vectơ vận tốc góc gọi là đường xoáy Cường độ của ống xoáy  duroti n . Phương trình đường xoáy zyx dzdydx      16 3.2.5. CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ 3.2.5.4. Thế phức w(z), vận tốc phức w’(z) Giữa thế vận tốc  và hàm dòng  có quan hệ sau                  xy yx Hàm số phức w(z) xác định bằng công thức: w(z)= +i Trong đó: z= x+iy Vận tốc phức: yx iuu x i x zw         )(' uuuzw yx  22 )(' 3.3. PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG 3.3.1.Phân loại theo thời gian 3.3.2.Phân loại theo không gian 3.3.3.Phân loại theo ma sát nhớt 3.3.4. Tính nén được 17 3.3. Phân loại chuyển động 3.3.1. Theo thời gian 18 3.3. Phân loại chuyển động 3.3.2.Theo không gian • 3D – ba chiều không gian: dòng khí CĐ qua máy bay, qua xe hơi đang chạy, qua một quả bóng…có vận tốc • 2D – hai chiều không gian: các thông số CĐ thay đổi theo hai chiều trong một mặt phẳng và xem như không thay đổi trong các mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Ví dụ: nước chảy trong hai mặt phẳng song song, dòng CĐ qua đập tràn có tiết diên mặt cắt ngang không đổi và chiều thứ ba có thể xem là vô tận • 1D - một chiều không gian: các thông số của dòng CĐ chỉ phụ thuộc vào một chiều. Ví dụ: dòng CĐ với vận tốc trung bình trong ống 19 • Dòng CĐ không nhớt (không ma sát)  lưu chất lý tưởng: μ = 0, không có lực ma sát nhớt cản trở CĐ của phần tử LC.  giả thuyết để đơn giản hoá bài toán hoặc khi tính nhớt ảnh hưởng ít đến CĐ • Dòng chuyển động có nhớt  CĐ của LC thực: μ ≠ 0  Khi LC chuyển động qua biên rắn (vùng lớp biên) là LC nhớt, xuất hiện ứng suất ma sát do tính nhớt theo định luật Newton. Các lớp LC ở ngoài lớp biên chịu ảnh hưởng lực ma sát không đáng kể có thể xem là LC lý tưởng. 20 3.3.3. Theo ma sát nhớt tính nhớt Trong dòng CĐ của LC thực có ma sát  phân loại theo cấu trúc dòng CĐ. Quan sát TN , thí nghiệm Reynolds, cho thấy có 2 loại chuyển động: • CĐ tầng - laminar flow: LC chuyển động thành từng lớp, không hoà lẫn vào nhau. • CĐ động rối - turbulent flow: LC chuyển động hỗn loạn, vận tốc thay đổi liên tục cả về trị số và phương. • Số vô TN phân biệt hai trạng thái CĐ này là số Reynolds. 3.3. Phân loại chuyển động 21 3.3.3. Theo ma sát nhớt tính nhớt 3.3.4. Theo tính chất lưu chất tính nén được • LC không nén đượcρ≈const (ít phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ): chất lỏng; chất khí CĐ vận tốc thấp • LC nén đượcρ=ρ(x,y,z,t) ≠ const : chất khí CĐ vận tốc lớn, khối lượng riêng phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ • Số vô thứ nguyên phân biệt các trạng thái CĐ theo tính nén được là số MACH v : vận tốc chuyển động của LC a : vận tốc âm thanh 22 3.3.4. Tính nén được Biến thiên khối lượng riêng theo số Mach 5% M<0.3: ρ thay đổi dưới 5% • M<0.3: LC không nén được • M>0.3: LCnén được 3.3. Phân loại chuyển động 23 B. Dòng có KLR thấp KHÍ ĐỘNG LỰC A. Dòng liên tục C. Dòng có nhớt D. Dòng không nhớt F. Dòng nén E.Dòng không nén H. Lân cận vận tốc âm thanh M=1 G. Dòng dưới vận tốc âm thanh M<1 I. Siêu thanh 1<M<5 J. Cực siêu thanh M>5 Phân loại CĐ  theo tính chất của LC 24 25 3.3. Phân loại chuyển động Theo ảnh hưởng của độ nhớt Chuyển động của LC lý tưởng ( = 0) Chuyển động của LC thực (  0) Theo ảnh hưởng của khối lượng riêng Chuyển động của LC không nén được ( = const) Chuyển động của LC nén được (  const)  Theo ảnh hưởng của thời gian Chuyển động của LC là ổn định ( ) Chuyển động của LC là không ổn định ( ) Theo không gian của chuyển động Chuyển động của LC là 1 chiều (u  0; v = w = 0) Chuyển động của LC là 2 chiều (u  0; v  0; w= 0) Chuyển động của LC là 3 chiều (u  0; v  0; w  0 0 t 0 t Phân loại chuyển động của chất lỏng Theo thời gian Theo phân bố vận tốc Dòng chảy đều (trong chuyển động dừng): sự phân bố vận tốc trên mọi mặt cắt dọc theo dòng chảy giống nhau (không đổi) Theo giá trị áp suất: Dòng chảy có áp là dòng chảy không có mặt thoáng, còn dòng chảy không áp là dòng chảy có mặt thoáng. 21 Xét phần tử LC chuyển động trên quỹ đạo của nó (dùng biến Lagrange), gia tốc của ptử : Trong biến Euler, vận tốc là hàm theo không gian và thời gian -> vận tốc u được tính theo u0 bằng chuỗi Taylor bậc 1: Thay vào biểu thức : và thực hiện phép tính 0u  s Quyõ ñaïo u   0000 ,,, zyxt            zzz yyy xxx ttt 0 0 0 0 27 3.4. GIA TỐC TOÀN PHẦN CỦA PHẦN TỬ LC • Ta thấy gia tốc của phần tử LC gồm hai thành phần: 28 3.4. GIA TOÁC TOAØN PHAÀN CUÛA PHAÀN TÖÛ LC Gia tốc đối lưu: biểu thị suất biến thiên của VT của các phần tử LC do sự khác biệt vị trí trong trường CĐ. z u u y u u x u u zyx         Gia tốc cục bộ: biểu thị suất biến thiên cục bộ của vận tốc do CĐ không ổn định t u   Viết dưới dạng vectơ: ).( udagru t u dt ud a        3.5.1. Phương trình liên tục. - ĐL bảo toàn KL: tốc độ gia tăng của KLcủa một hệ vật chất bằng KL chuyển động vào hệ trong 1 đơn vị thời gian. -Áp dụng cho lưu chất trong thể tích kiểm soát:  Klượng lưu chất trong thể tích:  Klượng LC cđộng ra khỏi thể tích: • Theo ĐL bảo toàn: 29 3.5.PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC  V dV  S ndSu V S u un un.dS n  0    S n V dSudV t    0    u t    Đối với lưu chất không nén được, =const:   0udiv                 0 z u y u x u zyx 3.5.2.Phương trình liên tục cho DC ổn định của LC không nén được Xét thể tích kiểm soát giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2 Trong trường hợp LC không nén được, CĐ ổn định pt liên tục dưới dạng tích phân được rút gọn còn: Chia diện tích bao bọc S = A 1 + A 2 + S n Tách tích phân thành tổng của 3 tích phân: Hai tích phân đầu cho lưu lượng ngang qua các mcắt 1-1 và 2-2, còn tích phân thứ 3 bằng không 2 2 1 1 Sn A2 A1 un=0 n  n  u  u  30 3.6. PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG LC • Xét ptử lưu chất. Điểm M0 được chọn làm cực của ptử. • Giả sử vận tốc tại M0 đã biết, câu hỏi là vận tốc tại điểm M? • Sử dụng chuỗi Taylor, bỏ qua số hạng vô cùng nhỏ bậc cao, tphần vận tốc ux: 31 x z y M0 M x z y 0u  u  z z u y y u x x u uu xxx xx           0 Cộng và trừ số hạng vào vế phải của bthức trên, sau đó sắp xếp lại sẽ thu được bthức:             z x u y x u zy 2 1 z x u z u y x u y u x x u uu zxyxx xx                           2 1 2 1 0 z x u z u y x u y u zxyx                        2 1 2 1 32 Đặt                                j i i j k j i i j k i i i x u x u x u x u x u 2 1 2 1  ;; Thành phần vận tốc ux sẽ được tính bằng công thức: Tương tự:    zyzyxuu yzyzxxx  0    xzxzyuu zxzxyyy  0    yxyxzuu xyxyzzz  0 Ý nghĩa các số hạng: x: Giả sử mặt trái và mặt phải của ptử chỉ CĐ theo trục x với VT u0x và ux tương ứng của điểm M0 và M. Do có sự chênh lệch VT , sau 1 đơn vị thời gian, ptử đi ra một đoạn : ux-u0x Do đó tốc độ giãn dài tương đối của ptử là:   xuu xx  0 x z M0 M x z ux-u0x • Khi x 0, ta có: • i - tốc độ giãn dài tương đối của ptử theo trục xi. z và z : Giả sử mặt trên và mặt dưới của ptử chỉ CĐ theo trục x với VT u0x và ux tương ứng của điểm M0 và M. Do có sự chênh lệch VT , sau 1 đơn vị tgian, ptử sẽ bị đổ nghiêng với góc: 33 x xxx x u x uu       0 x y M0 M x y ux-u0x 1 ux u0x y u y uu xxx       01 Tương tự, do có sự chênh lệch thành phần VT trên phương y giữa mặt trái và mặt phải mà ptử cũng sẽ bị đổ nghiêng với góc: x y M0 M x y uy-u0y 2 uy u0 y x u y uu yyy       0 2 34   z xy y u x u              2 1 2 1 12   z xy y u x u              2 1 2 1 12  urotukji zyx  2 1 2 1   Nếu cả 2 CĐ đồng thời xuất hiện, ptử sẽ bị thay đổi như hình: Trong 1 đơn vị thời gian ptử bị biến dạng một góc: x y M0 M’ x y 1 M 2 (2- 1)/2  k - tốc độ bdạng góc của ptử quanh trục xk Trong 1 đơn vị thời gian ptử quay đi một góc:  k - tốc độ quay của ptử quanh trục xk. 3.6. PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG LC ° Định lý Hemholm: Cđộng của ptử lưu chất bao gồm cđộng của vật rắn (theo cực và quay quanh cực) và cđộng biến dạng (bdạng dài và bdạng góc). Vector vận tốc quay :                    zyx uuu zyx kji uRot   2 1 2 1  35  urotukji zyx  2 1 2 1   3.6. PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG LƯU CHẤT Với: ° Chuyển động không quay (chuyển động có thế):  x =  y =  z = 0             z u y u yz x 2 1              x u z u zx y 2 1              y u x u xy z 2 1  36 • Ví dụ 1: Cho vector vận tốc gồm 3 thành phần: ux = x 2 + y2 + z2 uy = xy + yz + z 2 uz = -3xz + z 2/2 + 4 Tìm vector vận tốc quay? Giải 37 Ví dụ 2. Chuyển động có vector vận tốc: ux = ay + by 2 uy = uz = 0 Với a, b là hằng số a. Chuyển động có quay không? b. Xác định a, b để không có biến dạng góc Giaûi: chuyển động quay a, b ≠ 0 không có cặp a, b nào để biến dạng góc bằng 0   02 2 1 2 1               bya y u x u xy z   02 2 1 2 1               bya y u x u xy zy 38 Ví dụ 3: Chất lỏng lý tưởng quay quanh trục thẳng đứng (Oz). Giả sử vận tốc quay của các phân tố chất lỏng tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ trục quay trên phương bán kính (u =a/r; a>0 là hằng số). a. CM rằng đây là một chuyển động thế. b. Tìm PT các đường dòng Giải: Suy ra: Vậy: CĐ là không quay (thế) trên mặt phẳng xOy PT các đường dòng: 222x r a ox)u.cos(u,u yx ay r ay r y        y r u x O 222y r a oy)u.cos(u,u yx ax r ax r x         222 22 22 22 22 )( ( )( 2)( x u yx xya yx xaxyxa yx ax x y                 222 22 22 22 22 )( ( )( 2)( y u yx xya yx yayyxa yx ay y x                   0rot(u) 0 uu z       yx xy Cyx dx yx ax dy yx ay dxudyu u dy u dx yx yx       )( 22 2222 39 40 Ví dụ 4: Chuyển động hai chiều được xác định bởi vector vận tốc u với: ux = -y/b 2, uy = -x/a 2 Chứng minh đây là chuyển động của LC không nén được và hình elip x2/a2 + y2/b2 = 1 là một đường dòng. ux = -y/b 2  Giải 0   x u x uy = -x/a 2  0   y u y Đây là chuyển động của LC không nén được. 41 Phương trình vi phân của đường dòng là: 42 Ví dụ 5 : Các thành phần vận tốc của 1 phân tử lưu chất là : Ux = x 2 ; uy = y 2 ; uz = z 2 Xác định phương trình đường dòng đi qua A(2,4,-6) Giải Phương trình chuyển động Lagrange: x y z x z u u u d dy d   2 2 2 x z x d dy d y z    2 2 x x d dy y Vì 2 2 x x d dy y  Hay 1 1 1 C x y      1 y x C xy    43 2 2 xd dy y z  Tương tự 2 z y C zy    Do phương trình đường dòng qua A(2,4,-6) 1 4 2 1 4.2 4 C     2 6 4 5 24 12 C       hay Vậy phương trình đường dòng đi qua A(2,4,-6) là: 1 4 y x xy   5 12 z y zy  