Chương 3 Động lực học vật rắn

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 79 Chương 3 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định. §3.1 – VẬT RẮN 1 – Khái niệm về vật rắn: Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm. Các chất điểm trong hệ có thể tương tác lẫn nhau, các lực tương tác đó gọi là nội lực; đồng thời có thể tương tác với các vật bên ngoài hệ, các lực tương tác này gọi là ngoại lực. Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô) trong một miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ không thay đổi. Như vậy, vật rắn luôn có hình dạng, kích thước và thể tích nhất định. Trên thực tế, không có vật rắn tuyệt đối. Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của các điều kiện bên ngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng cách giữa các phần tử trong vật có thay đổi đôi chút. Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó là không đáng kể thì ta coi vật đó là vật rắn. 2 – Tính khối lượng của một vật rắn: Trong chương 2, ta đã biết khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính và mức hấp dẫn của vật. Trong phạm vi giới hạn của Cơ học cổ điển, khối lượng là đại lượng bất biến. Do đó khối lượng của một hệ cô lập luôn bảo toàn. Khối lượng m của một hệ chất điểm bằng tổng khối lượng các phần tử tạo nên hệ: ∑= i imm (3.1) Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục trong miền Ω nên khối lượng của vật rắn được tính bởi: (3.2) ∫ Ω = dmm với dm là vi phân của khối lượng m (chính là khối lượng của phần tử nhỏ bé cấu tạo nên vật rắn). Trường hợp vật rắn phân bố liên tục trong thể tích V (hình 3.1), tại mỗi điểm khảo sát M, ta lấy một yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm là khối lượng của vật chất chứa trong yếu tố dV, ta định nghĩa mật độ khối lượng khối : ρ(M) = dV dm (3.3) 80 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện Khi đó, dm = ρ(M)dV và (3.4) ∫∫∫ρ= V dV)M(m Nếu vật rắn là đồng nhất (hay thuần nhất) thì ρ = const (lúc này ρ chính là khối lượng riêng của chất liệu cấu tạo nên vật rắn). Khi đó (3.4) trở thành: m = ρV (3.5) Tương tự, nếu hệ phân bố liên tục trên bề mặt (S) (hình 3.2), thì ta định nghĩa mật độ khối lượng mặt: dS dm)M( =σ (3.6) với dm là khối lượng vật chất chứa trên yếu tố diện tích dS. Khi đó ta có: dm = σ(M)dS và (3.7) ∫∫σ= S dS)M(m Nếu hệ phân bố liên tục trên chiều dài L (hình 3.3), ta định nghĩa mật độ khối lượng dài: λ = Ad dm (3.8) với dm là khối lượng vật chất chứa trên yếu tố chiều dài d A . Khi đó ta có: dm = λd và (3.9) A L m (M)d= λ∫ A Nếu hệ thuần nhất thì từ (3.7), (3.9) ta có: m = σS = λL (3.10) dVM b) Yếu tố diện tích dS bao quanh M dS M d A M c) Yếu tố chiều dài d bao quanh M Aa) Yếu tố thể tích dV bao quanh M Hình 3.1 Một hệ phức tạp có thể chia thành nhiều phần, khối lượng của mỗi phần thuộc về một trong những dạng định nghĩa trên. Và khối lượng của hệ là tổng khối lượng của các phần đó. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 81 §3.2 KHỐI TÂM Khi nghiên cứu chuyển động của một hệ chất điểm hay chuyển động của vật rắn, trong một số trường hợp có thể rút gọn về chuyển động của một điểm đặc trưng cho hệ đó. Điểm đặc biệt này chính là khối tâm của hệ. 1 – Định nghĩa khối tâm: M2 G M1 Khối tâm được định nghĩa xuất phát từ bài toán tìm trọng tâm (điểm đặt của trọng lực) của hệ 2 chất điểm. Xét hai chất điểm M1 và M2 có khối lượng m1 và m2. Trọng lực tác dụng lên 2 chất điểm đó là và . Hợp lực của và là có điểm đặt tại G sao cho: 1P → 2P → 1P → 2P → → P → P → 2P → 1P 1 2 1 2 2 1 m m P P GM GM == Hình 3.2: Khối tâm của hệ 2 chất điểm ⇒ m1.M1G – m2.M2G = 0 hay (3.11) 0GM.mGM.m 2211 =+ →→ Điểm G thỏa mãn (3.11) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất điểm M1 và M2. Trường hợp tổng quát, hệ có n chất điểm có khối lượng lần lượt là m1, m2, …, mn đặt tương ứng tại các điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định nghĩa khối tâm của hệ là một điểm G thoả mãn: 0GMm...GMmGMm nn2211 =+++ →→→ hay: (3.12) 0m n i =∑ = → 1i iGM Với vật rắn, khối tâm là điểm G thỏa mãn: (3.13) 0dVMGdmMG =ρ= ∫∫ →→ Vaät raénVaät raén trong đó M là điểm bất kì trên vật rắn, dV là yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1) Khối tâm G được định nghĩa theo (3.12) và (3.13) là một điểm đặc trưng cho hệ, chỉ phụ thuộc vào vị trí tương đối và phân bố khối lượng giữa các phần tử trong hệ, không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài. Các kết quả tính toán cho thấy, nếu hệ có một yếu tố đối xứng (tâm đối xứng, trục đối xứng, mặt đối xứng) thì khối tâm của một hệ nằm trên yếu tố đối xứng đó. Như vậy, nếu hệ có nhiều yếu tố đối xứng thì khối tâm G thuộc về giao của các yếu tố đối xứng đó. 82 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện Ví dụ, khối tâm của đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều chính là tâm của đĩa (giao điểm của hai đường kính); khối tâm của miếng sắt mỏng đồng chất, hình chữ nhật chính là giao điểm của 2 đường chéo, … Cần phân biệt hai thuật ngữ “khối tâm” và “trọng tâm”! Trọng tâm G’ của hệ là điểm đặt của trọng lực tác dụng vào hệ, nghĩa là vị trí của G’ không những phụ thuộc vào vị trí, khối lượng của các phần tử cấu tạo nên hệ mà còn phụ thuộc vào gia tốc trọng trường. Trong khi đó vị trí khối tâm G không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường. Trên thực tế, hầu hết kích thước các hệ vật lí mà ta khảo sát là không lớn, do đó gia tốc trọng trường hầu như không đổi tại mọi điểm và G’ trùng với G. Việc phân biệt vị trí của G’ và G là không cần thiết! Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng bằng nhau, đặt tại ba đỉnh của tam giác ABC. Xác định khối tâm của hệ. Giải Theo định nghĩa, khối tâm G thỏa: 0CGmBGmAGm 221 =++ →→→ Vì m1 = m2 = m3 = m nên: 0CGBGAG =++ →→→ Điểm G thỏa phương trình trên chính là trọng tâm (giao điểm của ba trung tuyến) của tam giac ABC. 2 – Toạ độ của khối tâm: Trong kỹ thuật, việc xác định chính xác khối tâm của vật rắn là hết sức quan trọng, nhất là đối với các vật rắn có chuyển động quay. Xác định khối tâm G theo định nghĩa (3.12) và (3.13) là rất phức tạp. Trong thực hành, ta có thể xác định G bằng cách tìm giao điểm của các trục đối xứng. Phương pháp này đặc biệt tiện lợi đối với các vật phẳng đồng nhất. Trong lí thuyết, ta dùng phương pháp tọa độ. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị trí của khối tâm G được xác định bởi vectơ bán kính . Áp dụng “qui tắc 3 điểm” đối với 3 điểm O, G và M →→ = OGrG i bất kì, ta có: . →→→ += GMOMOG ii Nhân hai vế phương trình này với mi rồi lấy tổng theo i, ta có: →→→ += GMmOMmOGm iiiii và n n n ii i i i 1 i 1 i 1 m OG m OM m M G → → = = = = +∑ ∑ ∑ i→ i → Vì OG không phụ thuộc vào chỉ số chạy i nên ta đưa ra ngoài dấu tổng: → n n n ii i i i 1 i 1 i 1 OG m m r m M G → → = = = = +∑ ∑ ∑ Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 83 Mà theo định nghĩa (3.12), ta có: . 0GM 1i i =∑ = →n im Vậy: rG ∑ ∑ = = → →→ == n 1i i n 1i ii m rm OG (3.14) Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ có tọa độ nên khối tâm G của hệ có tọa độ: → ir )z,y,x( iii G ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = n 1i i n 1i ii n 1i i n 1i ii n 1i i n 1i ii m zm ; m ym ; m xm (3.15) Với vật rắn thì tọa độ của G là: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ === ∫∫∫ m zdm z; m ydm y; m xdm x GGG vaät raénvaät raénvaät raén (3.16) Trong đó (x,y,z) là tọa độ của yếu tố khối lượng dm; m là khối lượng của vật rắn. Ví dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo đặt tại ba đỉnh A, B, C của tam giác đều, cạnh a. Xác định khối tâm G của hệ. Phải tăng hay giảm khối lượng của m3 đi bao nhiêu để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC? Giải m3 A m1 x C G O Dễ thấy, hệ đối xứng qua đường cao OC, nên G nằm trên OC. Chọn trục Ox như hình vẽ. Theo (3.15), ta có: 321 332211 G mmm xmxmxm x ++ ++= Dễ thấy: x1 = xA = 0; x2 = xB = 0; B m2 x3 = xC = a 3 /2. Hình 3.3 Suy ra: 10 3a3 m10 2/3am600 x o o G =++= Để G trùng với trọng tâm ∆ABC thì : 6 3a 3 xxx x CBAG =++= 84 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện 6 3a mm2m2 2/3am00 3oo 3 =++ ++⇒ ⇒ m3 = 2mo ϕ= RddA x x R -α α ϕ Vậy phải giảm khối lượng vật m3 một lượng ∆m = 4mo O Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm của một vật thể hình cung tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α. Giải Chọn trục Ox là đường phân giác của góc ở tâm như hình (3.4). Dễ thấy Ox chính là trục đối xứng của hệ. Suy ra khối tâm G phải nằm trên Ox. Hình 3.4: Xét một yếu tố dài chắn góc ở tâm dϕ. Hoành độ của yếu tố này là: x = Rcosϕ; khối lượng chứa trong là dm = λ = λRdϕ. Theo (3.16), ta có: Ad Ad Ad α α=αλ ϕλ = ϕλϕ == ∫∫∫ α α− sinR 2.R cosR m Rd.cosR m xdm x 2 LL G (3.17) trong đó λ là mật độ khối lượng dài của cung tròn; m = λR.2α là khối lượng của cung tròn. Vậy khối tâm của vật thể hình cung tròn đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâm một đoạn xG được xác định bởi (3.17). dS = r.dr.dϕ r R dϕ x ϕ drVí dụ 3.4: Xác định khối tâm của một vật thể hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α. Giải x O Tương tự như ví dụ 3 ta cũng suy ra khối tâm G của hình quạt đồng nhất nằm trên trục đối xứng Ox (đường phân giác của góc ở tâm). Xét một yếu tố diện tích dS. Trong hệ tọa độ cực, ta có dS = r.dr.dϕ. Khối lượng chứa trong dS là dm = σdS; hoành độ của dS là x = r.cosϕ. Hoành độ của khối tâm G là: Hình 3.5 m dS.cos.r m xdm x SSG ∫∫∫ σϕ == m d.dr.r..cos.r S ∫∫ ϕσϕ = Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 85 α α=ασ ϕϕσ =⇒ ∫∫ α α− 3 sinR2 R. dcos.drr x 2 R 0 2 G (3.18) Trong đó, m = σ.S = σ.αR2 là khối lượng của hình quạt Vậy khối tâm của vật thể hình quạt đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâm một đoạn xG được xác định bởi (3.18). Ví dụ 3.5: Xác định khối tâm của một vật thể hình nón đồng nhất, đường cao h. Giải Chia hình nón thành những phần nhỏ, có dạng đĩa tròn bán kính r, bề dày dx (hình 3.6). Ta có: ∫ ∫ ∫ ∫∫ ρπ ρπ =ρ ρ == vaät raén vaät raén vaät raén vaät raénvaät raén m dx.r dx.rx dV dVxdm.x x 2 2 G 4 h dx.)xh( dx.)xh(x dx.tg.)xh( dx.tg.)xh(x x h 0 2 h 0 2 22 22 G = − − =α− α− = ∫ ∫ ∫ ∫ vaät raén vaät raén Vậy, khối tâm của khối hình nón đồng nhất nằm trên trục hình nón, cách đáy một khoảng: 4 hx G = (3.19) 3 – Chuyển động của khối tâm: Vận tốc của khối tâm: dx O h 4 r G O h – x x α x h Hình 3.6: Khối tâm của vật hình nón 86 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện 1i ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = → = = → = = → → → ==== n 1i i n ii n 1i i n 1i i i n 1i i n 1i ii G G m vm m dt rdm m rm dt d dt rd v (3.20) Tương tự, gia tốc của khối tâm: aG ∑ ∑ = = → → → == n 1i i n 1i ii G m am dt vd (3.21) Gọi là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i; m = là khối lượng của toàn hệ. Theo (2.6) ta có : . →→ ifaø vFi ∑ im →→→ =+ iiii amfF Suy ra: m fF a iiG ∑ ∑→→→ += . Mà theo định luật III Newton, các vật trong hệ tương tác nhau bằng các lực trực đối, nên tổng các nội lực ∑ = 0. →if Vậy: ∑∑ →→ → → == iGiG Famhaym F a (3.22) (3.22) chính là phương trình chuyển động của khối tâm. Từ đó ta thấy rằng, khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng các vật trong hệ. Ví dụ: Khi ta ném cái rìu lên trời thì nó vừa bay, vừa xoay. Tuy vận tốc và qũi đạo của mỗi điểm trên cái rìu là hoàn toàn khác nhau và rất phức tạp, nhưng qũi đạo của khối tâm chắc chắn phải là đường Parabol như chuyển động ném xiên của một chất điểm (bỏ qua sức cản không khí). Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 87 § 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN Trong chương 1, chúng ta đã nghiên cứu tính chất các chuyển động của chất điểm. Vật rắn có những chuyển động riêng và trong mỗi dạng chuyển động, có những tính chất đặc trưng riêng. Giáo trình này chỉ nghiên cứu chuyển động song phẳng của vật rắn, nghĩa là trong quá trình chuyển động, mỗi điểm trên vật rắn luôn có qũi đạo nằm trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định. 1 – Vật rắn tịnh tiến: Chuyển động của vật rắn được gọi là tịnh tiến nếu một đoạn thẳng nối hai điểm bất kì trên vật rắn luôn song song với chính nó (có phương không đổi). Xét điểm M bất kỳ trên vật rắn và khối tâm G của vật rắn. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo qui tắc 3 điểm ta có: M G G M →→→ += GMOGOM hay →→→ += GMrr GM Hình 3.7: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn. Suy ra: dt GMd dt rd dt rd GM →→→ += Vì vật rắn tịnh tiến nên vectơ không đổi. Do đó → GM 0= → dt GMd . Vậy: v v hay GM →→ →→ == dt rd dt rd GM (3.23) Khi vật rắn tịnh tiến thì mọi điểm trong vật rắn đều vạch ra các qũi đạo giống nhau với cùng một vận tốc bằng với vận tốc của khối tâm. Do đó chuyển động của vật rắn trong trường hợp này được qui về chuyển động của khối tâm. Nói cách khác, toàn bộ vật rắn được coi như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng toàn vật rắn, đặt tại khối tâm G. 2 – Vật rắn quay quanh một trục cố định: Khi vật rắn quay quanh trục cố định (∆) với vận tốc góc ω thì mọi điểm của vật rắn sẽ vạch ra những đường tròn đồng trục ∆, với cùng một vận tốc góc . →ω Xét một điểm M bất kì trên vật rắn, gọi → R là vectơ bán kính quĩ đạo của M, ta có: - Vận tốc dài: (3.24) →→→ ω= Rxv 88 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện và độ lớn: v = ωR (3.25) - Gia tốc tiếp tuyến: (3.26) →→→ β= Rxa t và độ lớn: at = βR (3.27) - Gia tốc pháp tuyến: (3.28) Ra 2n ω= - Gia tốc toàn phần: (3.29) →→→ += nt aaa và độ lớn: 2n 2 t aaa += (3.30) Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vôlăng I và bánh xe II. Bán kính vôlăng là R1 = 10cm; bánh xe là R2 = 50cm. Vôlăng đang quay với vận tốc 720 vòng/phút thì bị ngắt điện, nó quay chậm dần đều, sau đó 30 giây vận tốc chỉ còn 180 vòng/phút. Tính vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện, số vòng quay của vôlăng và bánh xe trong khoảng trời gian trên. Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống sẽ dừng? Tính vận tốc góc trung bình của vôlăng và bánh xe trong khoảng thời gian từ lúc ngắt điện đến lúc dừng (dây cuaroa không bị trượt trên vôlăng và bánh xe). ω M →ω → R Hình 3.8: Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định. Giải Gọi ω1 và ω2 là vận tốc góc của vôlăng và bánh xe; ω01 và ω02 là các vận tốc góc ban đầu của chúng. Ta có: ω01 = 720 vòng/phút = 24π rad/s. t1 = 30s; ω1 = 180 vòng/phút = 6π rad/s. Vì dây cuaroa không bị trượt trên vôlăng và bánh xe nên các điểm tiếp xúc giữa vôlăng – dây cuaroa, bánh xe – dây cuaroa luôn có cùng vận tốc dài. Suy ra: ω1R1 = ω2R2 ; ω01R1 = ω02R2 R2 R1 Hình 3.9 Vậy vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện là: 144720. 50 10 R R 1o 2 1 2o ==ω=ω vòng/phút = 4,8π rad/s. Gia tốc góc của vôlăng: π−=π−π=ω−ω=β 6,0 30 246 t1 1o1 1 rad/s 2. Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t1 = 30s: π=π−π=β+ω=θ 45030.3,030.24t 2 1t 221111o1 rad. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 89 Vậy, vôlăng đã quay được N1 = 225 vòng. Số vòng quay của bánh xe trong thời gian t1 = 30s: N2 = 1 2 1 N R R = 45 vòng. Ta có: t11o1 β+ω=ω . Khi dừng: ω1 = 0. Suy ra s40t 1 1o =β ω−= Vậy, hệ thống sẽ dừng lại sau 40s kể từ lúc ngắt điện. Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t = 40s: π=π−π=β+ω=θ 91240.3,040.24t 2 1t 2211o rad Vận tốc góc trung bình của vôlăng: π=π=θ=ω 8,22 40 912 ttb1 rad/s. Vận tốc góc trung bình của bánh xe: π=ω=ω 56,4 R R tb1 2 1 tb2 rad/s. 3 – Chuyển động phức tạp của vật rắn: Khi vật rắn có chuyển động phức tạp bất kỳ (nhưng vẫn là song phẳng), ta có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến và quay. Để chứng minh điều này, ta xét 2 điểm bất kỳ M và N trên vật rắn và chọn điểm O làm gốc tọa độ. Theo qui tắc 3 điểm ta có: . Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian, ta có: →→→→→→ +=+= NMrrhayNMONOM NM dt NMdvv NM → →→ += Vectơ có độ lớn không đổi, nhưng có phương thay đổi, nên ta có thể tìm được trục quay (∆) tức thời sao cho quay quanh N với vectơ vận tốc góc thỏa mãn phương trình: → NM → NM →ω →→→→ → =ω= NMRx dt NMd R vôùi (3.31) Do đó ta có thể viết: (3.32) →→→→ ω+= Rxvv NM Như vậy: Nếu chọn điểm N là điểm cơ bản thì chuyển động của điểm M (bất kỳ trên vật rắn) bao gồm hai chuyển động: - Tịnh tiến cùng với điểm cơ bản N với vận tốc ; → Nv - Quay quanh điểm cơ bản với vận tốc góc . →ω 90 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện Khi chọn điểm cơ bản khác nhau thì vận tốc tịnh tiến của điểm M cũng khác nhau nhưng vận tốc góc không thay đổi. Trong các bài toán, ta thường chọn điểm cơ bản là khối tâm của vật rắn. Khi đó (3.32) trở thành: →ω →→→→ ω+= Rxvv GM với (3.33) →→ = GMR Tóm lại: Chuyển động bất kỳ của vật rắn luôn có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến của điểm cơ bản và quay quanh trục đi qua điểm cơ bản đó. Thông thường, ta chọn điểm cơ bản là khối tâm G của vật rắn. Ví dụ 3.7: Bánh xe hình đĩa tròn, lăn không trượt trên đường nằm ngang với vận tốc tịnh tiến vo. Xác định vectơ vận tốc, qũi đạo và quãng đường đi (sau hai lần liên tiếp tiếp xúc với mặt đường) của một điểm bất kì trên vành bánh xe. Giải Xét điểm M trên vành bánh xe. Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình 3.10. Gốc toạ độ và gốc thời gian tại vị trí và thời điểm M tiếp xúc với mặt đường. y Đường cong cycloid ov → O M A D → Mv→→ω Rx G x Hình 3.10: Qũi đạo, vận tốc của điểm M trên vành bánh xe. Do bánh xe lăn không trượt nên vận tốc dài của điểm M có độ lớn bằng với vận tốc tịnh tiến của bánh xe: vM = ωR = vG = vo. Vận tốc của điểm M: = (*) →→→→ ω+= Rxvv GM →→→ ω+ Rxv o Chiếu (*) lên các trục tọa độ Ox, Oy ta có: ⎩⎨ ⎧ ω=ϕω+= ω−=ω−=ϕω−= tsinvsinR0v )tcos1(vtcosvvcosRvv oy oooox (3.34) trong đó ϕ = = ωt : là góc mà điểm M đã quay được trong thời gian t. qMGA Suy ra, độ lớn vận tốc của điểm M: | 2 tsin|v)tcos1(2vvvv oo 2 y 2 xM ω=ω−=+= (3.35) Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 91 Nếu ta chọn điểm cơ bản là điểm A thì . Suy ra . →→→ ω= AMxvM →→ ⊥ AMv M Vậy: phương của luôn đi qua đỉnh D của bánh xe. → Mv (3.34) suy ra phương trình chuyển động của M: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ω−== ω−=ωω−== ∫ ∫ )tcos1(Rdtvy tsinRtv)tsin1t(vdtvx t 0 y oo t 0 x (3.36) (3.36) biểu diễn đường cong cycloid. Vậy quĩ đạo của M là đường cong cycloid. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp điểm M tiếp xúc với mặt đường chính là chu kì quay quanh khối tâm: T = ω π2 . Trong khoảng thời gian này, điểm M đã đi được quãng đường: ∫∫ ω== → T o o T 0 M dt|2 tsin|vdt|v|s = 8R. (3.37) § 3.4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 1 – Tổng quát: Chuyển động phức tạp của vật rắn được phân tích thành hai chuyển động đồng thời. Vì thế, mô tả chuyển động của vật rắn về mặt động lực học, ta cũng có hai phương trình: • Phương trình mô tả chuyển động tịnh tiến của khối tâm G: → → = F dt pd hay (3.38) →→ = Fam Với: là tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn; ∑→→ = iFF ∑ →→→ == Gii vmvmp là động lượng của vật rắn; → a là gia tốc tịnh tiến của vật rắn (gia tốc của khối tâm). • Phương trình mô tả chuyển động quay quanh trục ∆ đi qua khối tâm G: dt Ld → = (3.39) → M 92 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện Với: là mô men động lượng của vật rắn; ∫ →→ = vaät raén AdL = là tổng momen ngoại lực đối với trục ∆. →M ∑ →→ )Fxr( ii Hai phương trình (3.38) và (3.39) mô tả chuyển động bất kỳ của vật rắn. Nếu xét trong hệ trục Oxyz ta có 6 phương trình vi phân. Tuy nhiên, trong phạm vi giáo trình này, ta chỉ khảo sát các chuyển động đặc biệt của vật rắn, nên việc giải các phương trình trên