Chương 3: Nguyên lý II – Nhiệt động lực học

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SƯ BỘ MÔN VẬT LÝ NGUYỄN NHƯ XUÂN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2 NGUYÊN LÝ II – NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC Chương 3:  Hạn chế của nguyên lý I.  Quá trình thuận nghịch.  Máy nhiệt. Phát biểu Nguyên lý II  Chu trình và định lý Carnot. Entrôpi.  Các hàm nhiệt động (tự ôn sgk)  Bài tập Nguyên lý II I. Những hạn chế của Nguyên lý I- Nhiệt động lực học • Nguyên lý I không cho biết quá trình biến đổi giữa công và nhiệt trong tự nhiên diễn ra theo chiều nào cũng như sự khác biệt giữa công và nhiệt. Hay: Nguyên lý I không cho biết chiều diễn biến của các quá trình xảy ra trong tự nhiên. •Nguyên lý I cũng không cho thấy sự khác nhau trong quá trình chuyển hoá giữa công và nhiệt. Theo nguyên lý I công và nhiệt là tương đương nhau, có thể chuyển hoá lẫn nhau. Nhưng thực tế cho thấy công có thể chuyển hoá hoàn toàn thành nhiệt, nhưng nhiệt chỉ có thể biến đổi 1 phần thành công mà không thể biến đổi hoàn toàn thành công. •Nguyên lý I cũng không cho thấy chất lượng của nhiệt. Thực tế cho thấy cùng một nhiệt lượng, nhưng nếu lấy ở nguồn có nhiệt độ cao sẽ có chất lượng cao hơn nếu lấy ở nguồn có nhiệt độ thấp hơn. Như vậy, nguyên lý I không giải quyết được nhiều hiện tượng trong tự nhiên. Nguyên lý II sẽ khắc phục những hạn chế trên của nguyên lý I, cũng với nguyên lý I tạo thành một hệ thống lý luận chặt chẽ làm cơ sở cho việc nghiên cứu nhiệt học. II. Quá trình thuận nghịch và không thuận nghịch 1. Định nghĩa: • Quá trình thuận nghịch là quá trình biến đổi của hệ từ trạng thái 1  2 và ngược lại từ trạng thái 2  1 qua tất cả các trạng thái trung gian mà quá trình thuận đã đi qua. Quá trình thuận nghịch cũng là quá trình cân bằng. Kết quả là: Quá trình thuận và quá trình nghịch sẽ có + Đồ thị trùng nhau. + Công và nhiệt hệ nhận được ở quá trình nghịch = công và nhiệt hệ cấp cho bên ngoài trong quá trình thuận. Do đó khi hệ trở về trạng thái ban đầu thì môi trường xung quanh không thể xảy ra một biến đổi nào. • Quá trình không thuận nghịch là quá trình khi tiến hành theo chiều nghịch 21, hệ không qua đầy đủ các trạng thái trung gian như trong quá trình thuận. Kết quả là trong quá trình không thuận nghịch khi hệ trở về trạng thái ban đầu thì môi trường xung quanh bị biến đổi. 2. Ví dụ a. Quá trình thuận nghịch • Dao động của con lắc không ma sát và nhiệt độ con lắc bằng nhiệt độ môi trường – dao động điều hoà. • Quá trình nén giãn khí đoạn nhiệt vô cùng chậm của pitton trong xylanh cách nhiệt với môi trường. Nói chung mọi quá trình cơ học không ma sát đều là quá trình thuận nghịch. b. Quá trình không thuận nghịch Thực nghiệm cho thấy các quá trình vĩ mô trên thực tế xảy ra bao giờ cũng có trao đổi nhiệt với bên ngoài. Do đó các quá trình vĩ mô thực tế đều là các quá trình không thuận nghịch. + Các quá trình cơ học có ma sát, luôn có sự biến đổi công thành nhiệt => môi trường bị biến đổi. + Quá trình truyền nhiệt từ vật nóng sang vật lạnh hơn : để thực hiện quá trình ngược lại nhiệt truyền từ vật lạnh sang vật nóng hơn phải có tác động bên ngoài (công cơ học chẳng hạn) đó là nguyên lý của máy lạnh. 3. Ý nghĩa của quá trình thuận nghịch: • Quá trình thuận nghịch là lý tưởng không có trong thực tế. Trong thực tế chỉ xảy ra quá trình không thuận nghịch.  Chiều biến đổi của các quá trình tự nhiên là tiến tới trạng thái cân bằng. Khi hệ đã ở trạng thái cân bằng thì không thể tự phát xảy ra quá trình đưa hệ tới trạng thái không cân bằng. • Quá trình thuận nghịch lợi nhất về phương diện công và nhiệt.  chế tạo động cơ nhiệt, chế tạo máy để nó hoạt động theo các quá trình càng gần với quá trình thuận nghịch sẽ có hiệu suất càng cao. III. Nguyên lý II nhiệt động lực học 1. Máy nhiệt • Máy nhiệt là một hệ hoạt động tuần hoàn biến đổi công thành nhiệt hoặc ngược lại. + Tác nhân là chất vận chuyển làm nhiệm vụ biến đổi nhiệt thanh công hoặc ngược lại. Khi máy nhiệt hoạt động, tác nhân sẽ thực hiệc việc trao đổi nhiệt với các vật có nhiệt độ khác nhau gọi là các nguồn nhiệt. + Các nguồn nhiệt được coi là có nhiệt độ không đổi và sự trao đổi nhiệt không ảnh hưởng đến nhiệt độ của nó. Thường máy nhiệt trao đổi nhiệt với hai nguồn nhiệt. Nguồn có nhiệt độ cao hơn gọi là nguồn nóng, nguồn có nhiệt độ thấp hơn gọi là nguồn lạnh. • Các máy nhiệt hoạt động tuần hoàn do các tác nhân biến đổi theo chu trình. a. Động cơ nhiệt: Là loại máy nhiệt biến nhiệt thành công như máy hơi nước, động cơ đốt trong. Tác nhân trong động cơ nhiệt biến đổi theo chu trình thuận nghịch, đường cong biểu diễn chu trình có chiều theo chiều kim đồng hồ (sinh công). Hiệu suất  của động cơ nhiệt được định nghĩa: 1 2 2 1 1 1 ' '' 1Q Q QAQ Q Q     Động cơ nhiệt bốn kì Động cơ nhiệt hai kì Động cơ Stirling b. Máy lạnh: Là loại máy nhiệt tiêu thụ công để vận chuyển nhiệt từ nguồn lạnh sang nguồn nóng. Tác nhân trong máy lạnh biến đổi theo chu trình ngược kim đồng hồ. Tác nhân (khí) được nén và nhận công A, khi đó nhiệt độ của tác nhân tăng lên, nó được đưa qua bộ phận trao đổi nhiệt nhả lượng nhiệt Q2 và được làm lạnh đến nhiệt độ T1 và do áp suất cao nó bị hóa lỏng, sau đó nó đi qua một van và bốc hơi nên nhiệt độ của nó giảm nhanh đến nhiệt độ T2, hơi có nhiệt độ T2 này đi qua hệ thống làm lạnh và nhận nhiệt lượng Q1 rồi đi về bộ phận nén tiếp tục thực hiện chu trình tiếp theo. Hệ số làm lạnh K của máy lạnh: 1'QK A  2. Phát biểu nguyên lý II – Nhiệt động lực học. Nguyên lý II được rút ra từ thực nghiệm nghiên cứu các quá trình xảy ra trong tự nhiên. Có nhiều cách phát biểu nguyên lý II ở đây ta nêu hai cách phát biểu điển hình : a. Phát biểu của Clausius: Nhiệt không thể tự động truyền từ vật lạnh sang vật nóng hơn. Quá trình truyền nhiệt từ vật lạnh sang vật nóng hơn đòi hỏi phải có tác dụng bên ngoài, tức là môi trường xung quanh bị biến đổi. Ta có cách phát biểu khác của Clausius : Không thể thực hiện được một quá trình mà kết quả duy nhất là truyền năng lượng dưới dạng nhiệt từ vật lạnh hơn sang vật nóng hơn mà không để lại dấu vết gì ở môi trường xung quanh. b. Phát biểu của Thomson : Không thể chế tạo được một máy hoạt động tuần hoàn biến đổi liên tục nhiệt thành công mà không để lại dấu vết gì ở môi trường xung quanh. Những máy này gọi là động cơ vĩnh cửu loại 2. Như vậy phát biểu của Thomson có thể nêu cách khác : Không thể chế tạo được động cơ vĩnh cửu loại 2. IV. Chu trình Carnot và định lý Carnot 1. Chu trình Carnot Chu trình thuận nghịch đơn giản nhất có khả năng sinh công gồm hai quá trình đẳng nhiệt thuận nghịch và hai quá trình đoạn nhiệt thuận nghịch do Carnot tìm ra gọi là chu trình Carnot Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796 – 1832) Hiệu suất của chu trình Carnot thuận nghịch với tác nhân là khí lý tưởng. 2 2 1 1 '1 1Q TQ T     Hiệu suất của chu trình Carnot thuận nghịch đối với khí lý tưởng chỉ phụ thuộc nhiệt độ của nguồn nóng và nguồn lạnh Xét chu trình Carnot chạy theo chiều nghịch. Hệ số làm lạnh của chu trình Carnot nghịch 2 2 2 1 2 1 2' ' Q Q TK A Q Q T T    Hệ số làm lạnh của chu trình Carnot ngược cũng chỉ phụ thuộc nhiệt độ của nguồn lạnh và nguồn nóng. 2. Định lý Carnot Phát biểu: Hiệu suất của tất cả các động cơ thuận nghịch chạy theo chu trình Carnot với cùng nguồn nóng và nguồn lạnh đều bằng nhau và không phụ thuộc vào tác nhân cũng như cách chế tạo máy. Hiệu suất của động cơ không thuận nghịch nhỏ hơn hiệu suất của động cơ thuận nghịch. Từ định lý Carnot, ta rút ra một số nhận xét quan trọng sau : + Nhiệt không thể biến đổi hoàn toàn thành công: ta biết hiệu suất của động cơ Carnot thuận nghịch η không thể bằng 1 hay η < 1 A < Q tức là công mà hệ sinh ra luôn nhỏ hơn nhiệt lượng mà nó nhận vào. + Hiệu suất động cơ nhiệt càng cao nếu nhiệt độ nguồn nóng T1 càng cao nhiệt độ nguồn lạnh T2 càng thấp. Trong thực tế, thường thì T2 là nhiệt độ môi trường tự do. Vì vậy để tăng η ta phải tăng T1. η càng lớn nếu T1 càng lớn  nhiệt lượng lấy từ vật có nhiệt độ cao có “chất lượng” cao hơn nhiệt lượng lấy từ vật có nhiệt độ thấp hơn. + Muốn tăng hiệu suất động cơ nhiệt phải chế tạo sao cho nó càng gần thuận nghịch càng tốt. Muốn vậy phải giảm mất mát do truyền nhiệt và ma sát trong hệ. V. Entropi 1. Biểu thức định lượng của nguyên lý II Với chu trình Carnot thuận nghịch ta có: 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 ' 'Q Q T T Q T Q T Q T      12 2 2 1 1 1 2 0 QQ T Q Q T T T     Qui ước nhiệt lượng nhận từ nguồn nóng Q1 > 0, nhiệt lượng tỏa ra cho nguồn lạnh Q’2 < 0, nhiệt nhận từ nguồn lạnh Q2 = - Q’2 . Với chu trình bất kỳ làm việc với 2 nguồn nhiệt độ T1 và T2: 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 ' ' 0Q Q T T Q Q T Q QQ T Q Q T T T           Tổng quát: hệ biến đổi theo một chu trình thuận nghịch với nhiều nhiệt độ khác nhau (gồm các quá trình đẳng nhiệt và đoạn nhiệt liên tiếp nhau) 0i i i Q T  Nếu chu trình hệ biến thiên liên tục (số chu trình Carnot nhỏ n → ∞) 0Q T   Đây là biểu thức định lượng của nguyên lý hai NĐLH được gọi là Bất đẳng thức Clausius. Q T  Tích phân Clausius “Tích phân Clausius đối với một chu trình không thể lớn hơn không” 2. Hàm Entropi. Xét hệ biến đổi từ trạng thái 1 đến trạng thái 2 theo 2 quá trình thuận nghịch 1a2 và 1b2. Khi đó: O p V a b 1 2 1 2 1 (1 2) (1 2) 0 a b a b Q Q Q T T T        Tích phân Claudius theo các quá trình thuận nghịch không phụ thuộc quá trình mà chỉ phụ thuộc trạng thái đầu và trạng thái cuối. Nó đặc trưng cho tính chất nội tại của hệ gọi là Entropi S của hệ. (2) (2) 2 1 (1) (1) Q QdS S dS S S T T          S1, S2 là các giá trị tích phân Clausius tại các trạng thái 1, 2. S gọi là hàm Entropi của hệ. Đặt QS T   - Tính chất của hàm S (có tính chất tương tự nội năng U): + S là hàm trạng thái, tức nó chỉ phụ thuộc trạng thái của hệ mà không phụ thuộc quá trình biến đổi của hệ. + S là đại lượng có tính cộng tức S của hệ cân bằng bằng tổng các Si của từng phần riêng biệt của hệ. + S được xác định sai kém một hằng số: 0 QS S T    S0 là giá trị Entropi tại gốc tính toán, qui ước S0 = 0 ở T = 0K khi đó S sẽ đơn trị. Trong hệ SI : [S] = J/K. Xét một chu trình tự nhiên gồm một quá trình thuận nghịch 2b1 và một quá trình bất thuận nghịch 1b’2.Theo định lý Carnot thì: 2 1 '2 (2 1) (1 '2) 0 0 b b b b Q Q Q T T T         O p V a b 1 2 b’ Tích phân Clausius theo một quá trình bất kỳ từ trạng thái 1→ 2 không lớn hơn độ biến thiên entrôpi của hệ trong quá trình đó. Do quá trình (2b1) là thuận nghịch nên: (2 1) (1 2)b b Q Q S T T       (1 '2) (1 2)b b Q Q S T T      Quá trình bất kì: (1 '2)b Q S T    QdS Thay (dạng vi phân) Dấu = ứng với quá trình TN, dấu > ứng với quá trình KTN Đây là biểu thức định lượng nguyên lý II - NĐLH viết dưới dạng hàm entropi. 3. Nguyên lý tăng Entropi. Biểu thức (1 '2)b Q S T    đúng cho mọi hệ. - Hệ không cô lập thì tùy theo dấu và giá trị của nhiệt nhận vào trong một quá trình thuận nghịch mà S có thể dương, âm hoặc bằng 0, tức S của hệ có thể tăng, giảm hoặc không đổi. - Hệ cô lập do không trao đổi nhiệt với bên ngoài nên Q = 0 S ≥ 0. Suy ra: nếu quá trình thuận nghịch thì S của hệ không đổi (S = 0), nếu quá trình biến đổi không thuận nghịch thì S tăng (S > 0). - Trong tự nhiên các quá trình xảy ra đều là không thuận nghịch nên ta có nguyên lý tăng Entropi: Các quá trình tự nhiên xảy ra trong một hệ cô lập theo chiều tăng của Entropi. Nguyên lý này còn gọi là “nguyên lý tiến hoá”. - Khi hệ đặt trong TTCB thì quá trình không thuận nghịch cũng kết thúc; khi đó S đạt cực đại (S = 0). Ta kết luận: một hệ ở trạng thái cân bằng khi Entropi của nó đạt cưc đại. 4. Thuyết chết nhiệt vũ trụ : Clausius và Thomson khẳng định vũ trụ sẽ tiến tới trạng thái cân bằng nhiệt, khi đó trong vũ trụ không còn quá trình biến đổi năng lượng nào nữa và vũ trụ ở trong trạng thái bất động. Mọi sinh vật sẽ bị tiêu diệt vì không còn những quá trình trao đổi năng lượng để duy trì sự sống. Đó là nội dung của thuyết chết nhiệt vũ trụ. Sai lầm của Clausius: • áp dụng hệ cô lập trên Trái đất cho toàn vũ trụ vô hạn • Mâu thuẫn với ĐL bảo toàn biến hoá năng lượng • Vũ trụ biến đổi không ngừng: Sao chết, sao mới, vùng nhiệt độ cao biến đổi entrôpi giảm. • Những thăng giáng lớn trong vũ trụ (Boltzmann) • Không tính đến trường hấp dẫn vũ trụ. Thuyết vụ nổ Big Bang: entrôpi tăng đúng theo nguyên lý 2. Ăngghen và các nhà khoa học khác đã vạch ra sai lầm của thuyết này : - Thuyết này mâu thuẫn với thuyết bảo toàn và biến đổi năng lượng – quy luật tuyệt đối của tự nhiên. Theo định luật này thì vận động của vật chất là vĩnh cửu, theo thời gian nó có thể biến đổi từ dạng này sang dạng khác. - Sai lầm khác của thuyết chết nhiệt vũ trụ là đã mở rộng vô nguyên tắc phạm vi ứng dụng của nguyên lý II cho toàn trụ. Vũ trụ là “vô hạn” nên không thể ở trạng thái cân bằng nhiệt động. Vũ trụ là một hệ trong trường hấp dẫn biến thiên, nó không phải là một hệ kín. Vì thế trong vũ trụ có những thăng giáng lớn với xác suất khá lớn. -Thực tế vũ trụ luôn biến đổi, luôn có quá trình sinh – hủy các sao. Trong vũ trụ ngoài quá trình biến đổi tới trạng thái cân bằng nhiệt, còn có các vùng nhiệt độ cao với các quá trình biến đổi ứng với sự giảm Entropi. 5. Entropi của khí lý tưởng Xét một khối khí lý tưởng biến đổi cân bằng từ trạng thái 1 (p1, V1, T1) sang trạng thái 2 (p2, V2, T2) : + Quá trình đoạn nhiệt (δQ = 0) : (2) (1) 0 onstQS S c T      Quá trình này còn gọi là quá trình đẳng Entropi. + Quá trình đẳng nhiệt (T = cont): (2) (1) Q QS T T    Từ biểu thức nội năng và phương trình trạng thái khí lý tưởng, suy ra: V m m dVQ C dT RT V     (2) 2 2 1 1(1) QS= ln ln T V p P Vm mC C P V      2 2 1 1 (2) 2 2 1 1(1) QS= ln ln T T V V V T V T Vm dT m dV m mC R C R T V T V            dU Q A Q pdV Q dU pdV         + Quá trình bất kỳ : 6. Entropi trong một số quá trình bất thuận nghịch a. Truyền nhiệt từ nóng sang lạnh: Đây là quá trình tự xảy ra trong tự nhiên; không có tác động bên ngoài. Xét hệ cô lập gồm 2 phần nhiệt độ T1 > T2 tiếp xúc với nhau có nhiệt lượng δQ truyền từ phần có nhiệt độ T1 sang phần có nhiệt độ T2 một cách bất thuận nghịch. b. Dãn khí lý tưởng tự do: Xét hệ cô lập gồm 2 bình nối nhau : một bình chứa khí áp suất p, một bình là chân không. Mở khoá để thông 2 bình, khí dãn nở đoạn nhiệt không sinh công. Theo NL I, suy ra: 0U Q A Q A pdV           Biến thiên Entropi của cả hệ : 1 2 1 2 1 2 1 2 TTQ QdS dS dS Q T T T T          Như thế sự truyền nhiệt từ nóng sang lạnh làm Entropi tăng. Biến thiên Entropi của cả hệ : dQdS= T pdV m dVRT T V  (2) 2 1(1) QS= ln T Vm R V   Hay: Do V2 > V1 nên S2 > S1 nên Entropi tăng OT S Q SB A SA B 7. Tầm quan trọng của Entropi trong thực tế Khái niệm Entropi giúp ta chia các thông số trạng thái làm hai loại : + Thông số cân bằng p, T đóng vai trò lực. + Thông số lượng V, S đóng vai trò tọa độ. Như vậy có 4 thông số trạng thái, nhưng chỉ có hai thông số là độc lập. Có hai phương trình liên hệ : + Phương trình trạng thái f(p, V, T) = 0 + Phương trình trạng thái U(p, V, T, S) = 0 + Dùng khái niệm Entropi có thể biểu diễn một quá trình, chu trình một cách đơn giản hơn trong giản đồ TS. Thí dụ : Nhiệt lượng trao đổi trong quá trình biến đổi: trong quá trình biến đổi nhỏ δQ = TdS là diện tích phần gạch chéo và nhiệt lượng nhận được trong quá trình biến đổi từ A đến B là diện tích hình ABSBSA . Thật vậy, trong cơ học ta đã có Fdx = δA. Ở đây ta có S = pdV; Q= TdS. So sánh các biểu thức này ta thấy : T, V F ; S, V x 8. Ý nghĩa thống kê của Entropi và nguyên lý II Nguyên lý II cho thấy nhiệt không thể tự động từ vật lạnh sang vật nóng hơn và Entropi của hệ cô lập không thể giảm. Vậy bản chất của Entropi là gì? Theo quan điểm động học thì Entropi là thước đo mức độ hỗn loạn của các phân tử trong hệ. Điều này do kết quả phù hợp với hai nguyên lý nhiệt động học. Khi làm lạnh đẳng tích một hệ thì hệ liên tục tỏa nhiệt (Q < O), Entropi của hệ giảm, tính chuyển động hỗn loạn của phân tử giảm hay tính trật tự tăng lên. Cũng theo quan điểm động học phân tử, trạng thái vĩ mô của hệ có các thông số trạng thái xác định là giá trị trung bình, nó bao gồm những sự thay thế nhau không ngừng của các trạng thái vi mô của hệ. Số trạng thái vi mô cho biết khả năng tồn tại của trạng thái vi mô đó trong tổng số các trạng thái vĩ mô có thể xảy ra đối với hệ. Số trạng thái vi mô càng nhiều thì khả năng xảy ra trạng thái vĩ mô tương ứng cành nhiều, kí hiệu là W gọi là xác suất nhiệt động của trạng thái vĩ mô đó. Công thức của Boltzmann về quan hệ giữa W và S: S = klnW Quá trình tự phát diễn biến theo chiều tăng của xác suất nhiệt động W. Khi ở trạng thái cân bằng thì W đạt cực đại. Từ các lý luận trên ta thấy : S ≥ 0, đây là nguyên lý tăng Entropi hay nguyên lý II nhiệt động học đối các hệ cô lập. Đối với hệ có ít phân tử thì có thể xảy ra những thăng giáng, tức hệ có thể tự phát biến đổi từ trạng thái có xác suất lớn sang trạng thái có xác suất nhỏ hơn, tức Entropi của hệ giảm. Ví dụ chuyển động Brown, sự bay hơi dưới nhiệt độ sôi,v.v… 9. Định lý Nernst (nguyên lý 3 nhiệt động học) Ở nhiệt độ không tuyệt đối, nội năng của hệ được phân bố cho các hạt tham gia tạo thành hệ đó theo một cách duy nhất: các electron trong các nguyên tử ở mức năng lượng thấp nhất, các nguyên tử nằm tại các nút mạng tinh thể của vật rắn. Trạng thái đó hoàn toàn trật tự và có xác suất nhiệt động bằng đơn vị 0 lim ln .ln1 0 T k W k   Nghĩa là ở nhiệt độ không tuyệt đối Entropi của vật bằng không. Định lý Nernst cũng có thể phát biểu: không thể đạt được nhiệt độ không tuyệt đối bằng cách lấy nhiệt của vật nhờ các quá trình thực hữu hạn. Nói khác, không thể chế tạo một máy có khả năng làm lạnh vật đến nhiệt độ không tuyệt đối. Không thể đạt được nhiệt độ không tuyệt đối. Nhờ định lý Nernst, có thể tính được S của hệ ở nhiệt độ T : T O QS T   Ở nhiệt độ không tuyệt đối, các nhiệt dung bằng 0 : 0 0lim lim 0p VT TC C   ÔN TẬP Nội dung là chương 3 (Nguyên lý II nhiệt động lực học): + Phần lý thuyết gồm các nội dung: Nêu một số hạn chế của nguyên lý 1, 2, cách phát biểu nguyên lý 2, thiết lập hiệu suất động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình Carnot thuận và hệ số làm lạnh của máy lạnh hoạt động theo chu trình Carnot nghịch. Định lý Carnot và hệ quả. Hàm entropy và các tính chất của nó. + Phần bài tập: Các bài tập tối thiểu cần yêu cầu ôn tập: Chương 3: 9.1, 9.3, 9.4, 9.6, 9.7, 9.10, 9.12, 9.14, 9.16, 9.18 – 9.23, 9.25, 9.27