Chương 4 Những lý thuyết sóng phi tuyến cho vùng có độ sâu không đổi

Không có một lời giải chính xác nào cho các phương trình đầy đủ về sóng được trình bày trong chương 3. Điều này là do các số hạng phi tuyến trong các điều kiện biên trên bề mặt tự do. Trong các xấp xỉ tuyến tính, các số hạng này bị bỏ qua hoàn toàn. Tuy nhiên, trong các lý thuyết phi tuyến thì chúng được tính đến bằng cách xấp xỉ. Rất nhiều lý thuyết về sóng phi tuyến với phương pháp giải quyết và mức độ chính xác của việc xấp xỉ khác nhau đã được đưa ra. Trong chương này, ta sẽ trình bày một cách định tính tổng quan về những lý thuyết này.

pdf11 trang | Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 1539 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chương 4 Những lý thuyết sóng phi tuyến cho vùng có độ sâu không đổi, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Ch−ơng 4 những lý thuyết sóng phi tuyến cho vùng có độ sâu không đổi 4.1 Giới thiệu chung Không có một lời giải chính xác nào cho các ph−ơng trình đầy đủ về sóng đ−ợc trình bày trong ch−ơng 3. Điều này là do các số hạng phi tuyến trong các điều kiện biên trên bề mặt tự do. Trong các xấp xỉ tuyến tính, các số hạng này bị bỏ qua hoàn toàn. Tuy nhiên, trong các lý thuyết phi tuyến thì chúng đ−ợc tính đến bằng cách xấp xỉ. Rất nhiều lý thuyết về sóng phi tuyến với ph−ơng pháp giải quyết và mức độ chính xác của việc xấp xỉ khác nhau đã đ−ợc đ−a ra. Trong ch−ơng này, ta sẽ trình bày một cách định tính tổng quan về những lý thuyết này. Lý thuyết sóng phi tuyến đầu tiên do Stokes (1847) đ−a ra. Lý thuyết của ông về mặt nguyên tắc là có thể áp dụng cho tất cả các độ sâu. Tuy nhiên, trong thực tế, đối với n−ớc nông thì kết quả lý thuyết này chỉ chấp nhận đ−ợc khi mà độ cao sóng rất nhỏ. Một loại lý thuyết thứ hai là chỉ áp dụng cho các điều kiện sóng n−ớc nông. Những lý thuyết này sẽ đ−ợc trình bày trong mục 4.3. Các lý thuyết vừa nói cho ta các biểu thức giải tích về nhiều hệ số cần thiết cho việc tính toán sóng. Các lý thuyết số trị cho ta thuật toán để xác định giá trị của các hệ số cho một tập hợp cho tr−ớc các điều kiện đầu vào. Một số lý thuyết số trị sẽ đ−ợc trình bày trong mục 4.4. Vấn đề về tính đúng đắn của các lý thuyết sẽ đ−ợc xử lý trong mục 4.5. 4.2 Lý thuyết Stokes Stokes (1847) dùng ph−ơng pháp xấp xỉ liên tiếp, có thể đ−ợc mô tả sơ qua nh− sau. Kết quả của lý thuyết tuyến tính đ−ợc dùng để tìm một xấp xỉ thứ nhất cho các số hạng phi tuyến bị bỏ qua. Việc hiệu chỉnh các kết quả của phép xấp xỉ thứ nhất (tuyến tính) của nghiệm đ−ợc tiến hành bằng cách tính đến điều trên. Bằng cách dùng nghiệm đã đ−ợc hiệu chỉnh lần thứ nhất, một xấp xỉ lần thứ hai cho các số hạng phi tuyến đ−ợc tiến hành. Sau đó là xấp xỉ lần thứ ba. Nếu nh− quá trình này hội tụ thì nó có thể cứ đ−ợc tiếp tục cho đến khi đại l−ợng hiệu chỉnh trở nên đủ bé. Thật ra thì một giới hạn thực tế sẽ đạt đ−ợc sớm mà không phải tiến hành nhiều phép xấp xỉ vì các biểu thức toán học trở nên rất dài và rất khó tìm ra các xấp xỉ bậc cao. 41 Nh− đã trình bày ở trên, các biểu thức toán học trong những xấp xỉ bậc cao rất dài. Bởi vậy, để dễ dàng hơn trong việc áp dụng những lý thuyết này, ng−ời ta đã chuẩn bị những đồ thị và bảng nh− là những đồ thị và bảng của Skjelbreia (1959) cho xấp xỉ bậc 3, trong đó tất cả những số hạng có bậc 3 hay nhỏ hơn đ−ợc giữ nguyên và những số hạng khác bị bỏ qua. Trong phần tiếp theo, một số kết quả sẽ đ−ợc trình bày chủ yếu d−ới dạng định tính. Một số ph−ơng trình của lý thuyết bậc hai sẽ đ−ợc trình bày với mục đích diễn giải. 4.2.1 Mặt cắt bề mặt n−ớc Biểu thức bậc 2 đối với mặt n−ớc có thể đ−ợc viết nh− sau: ( ) SSS sinˆcosˆ ζζζ += 21 1 (4.1) trong đó: a=ζˆ (4.2) ( ) kh khkhka 2 2 2 sinh 2cosh2cosh 2 1ˆ +=ζ (4.3) Điểm S=0 đ−ợc chọn tại một đỉnh sóng. Hình 4.1 trình bày một phác thảo của (4.1). Một số hạng tuyến tính điển hình là tỷ lệ với hay , trong đó a là biên độ của dao động mực n−ớc trong phép xấp xỉ tuyến tính, và Sa cos Sa sin ( )kxtS −= ω là pha. Bởi vì các thành phần phi tuyến bao gồm các tích nh− là , xấp xỉ đầu tiên cho các số hạng này bao gồm các số hạng tỷ lệ với 2u ( ) ( )SaSa 2cos12/1cos 222 += , và các số hạng t−ơng tự với . Điều này cũng áp dụng đ−ợc cho hiệu chỉnh thứ nhất của xấp xỉ tuyến tính của nghiệm chính xác. Tiếp tục theo cách này, ta có thể tìm đ−ợc những xấp xỉ liên tiếp của nghiệm chính xác d−ới dạng những số hạng liên tục của một chuỗi số mũ của a (các số hạng tỷ lệ với a, , , v.v...). Nếu a là đủ nhỏ (đối với L và h), mỗi số hạng bậc cao sẽ nhỏ hơn nhiều những số hạng bậc thấp hơn và nếu nh− khi đó chuỗi đ−ợc kết thúc bằng một một vài số hạng thì ta có thể tìm đ−ợc một xấp xỉ tiện lợi. S2sin 2a 3a Mặt cắt sóng d−ờng nh− có các đỉnh hẹp hơn và nhọn hơn mặt cắt biểu thị bằng hàm cosine, và bụng rộng hơn và phẳng hơn. Hệ quả là mực n−ớc tại đỉnh sóng trên mực biển trung bình (MWL) cao hơn một nửa chiều cao sóng, với giá trị v−ợt quá là (tới bậc 2). Điều này quan trọng cho việc tính toán lực sóng tác động lên các công trình ở n−ớc nông hay là cho việc xác định độ cao cần thiết của khoảng không giữa mặt d−ới của cầu tàu hay bến mà mực MWL (còn đ−ợc gọi là “khoảng không”). 2ζˆ 42 2ζ MWL 1ζ 21 ζζ + Hình 4.1 Mặt cắt bề mặt n−ớc khi có sóng xấp xỉ bằng lý thuyết bậc 2 của Stokes Tính bất đối xứng nh− ở trên th−ờng đ−ợc quan sát thấy rõ ràng trong các sóng thực. Mặt cắt thực đo d−ờng nh− đ−ợc dự báo rất tốt bằng lý thuyết Stokes bậc 2 và bậc 3 cho sóng n−ớc sâu, nh−ng sự phù hợp là kém hơn cho các điều kiện n−ớc nông. Từ lý thuyết có thể rút ra một chỉ thị cho quá trình này, thí dụ nh− tỷ số của biên độ bậc hai và biên độ bậc nhất cần phải nhỏ để ph−ơng pháp tiếp cận Stokes là có giá trị. Tại n−ớc sâu, tỷ số này là (xem các ph−ơng trình 4.2 và 4.3): L Hka 22 1 ˆ ˆ 1 2 π ζ ζ ≅≅ ( )1>>kh (4.4) Tỷ số này th−ờng là nhỏ (lớn nhất là vào khoảng 0.2) vì rằng sóng vỡ giới hạn độ dốc có thể có của sóng. Mặt khác tại n−ớc sâu hơn tỷ số trên trở thành (xem các ph−ơng trình 4.2 và 4.3): ( ) 3 2 2 3 2 2 3 2 1 10 32 3 4 3 ˆ ˆ h HL h HLkakh ì≅≅≅ −− πζ ζ ( )1<<kh (4.5) Nếu ta yêu cầu thì bất đẳng thức sau sẽ phải đ−ợc thỏa mãn: 12 ˆ2.0ˆ ζζ ≤ 203 2 ≤ h HL Đây là một yêu cầu rất chặt chẽ về H/L vì rằng L>>h tại n−ớc nông. Tỷ số 3 2 h HL th−ờng đ−ợc gọi là số Ursell, ký hiệu bởi U : r 3 2 h HLUr = (4.6) 43 Nếu là quá lớn thì chuỗi Stokes phân kỳ. Một chỉ thị cho điều này là sự xuất hiện của một cực đại thứ hai tại bụng sóng khi mà nh− đ−ợc phác thảo trên hình Fig. 4.2. Khi mà cực đại thứ hai tại bụng sóng không đ−ợc quan trắc ở sóng thực tại n−ớc nông thì sự xuất hiện của nó trong các kết quả tính toán chỉ ra rằng lý thuyết đ−ợc sử dụng trong các điều kiện v−ợt quá giới hạn áp dụng của nó. rU 4/ˆˆ ζζ > 12 Hình 4.2 Cực đại thứ hai tại bụng sóng do lý thuyết Stokes bậc 2 dự báo tại n−ớc rất nông. Các đo đạc mực n−ớc khi có sóng lớn tại n−ớc nông cho thấy các profile mặt n−ớc với bụng dài và phẳng cùng với đỉnh hẹp và nhọn, nh− chỉ ra trên hình 4.3. Nếu profile này đ−ợc xấp xỉ bằng một tổng các thành phần điều hòa dạng cosin (cos S, cos 2S v.v.) thì cần có một số l−ợng lớn các thành phần. Điều này có nghĩa là chuỗi cần phải đ−ợc tính tại một bậc rất cao. Đây là một nhiệm vụ rất khó khăn và mất thời gian, và do vậy trong thực tế, không nên áp dụng chuỗi Stokes trong các điều kiện đó, thậm chí cả khi mà nó không phân kỳ. Hình 4.3 Profile mặt n−ớc khi có sóng đo đ−ợc tại n−ớc nông. 4.2.2 Vận tốc và quỹ đạo hạt n−ớc 44 Trong xấp xỉ phi tuyến, vận tốc hạt n−ớc không còn là đối xứng qua giá trị trung bình (bằng 0 nếu chỉ có sóng). Vận tốc nằm ngang của hạt n−ớc có dạng bất đối xứng gần giống với mặt n−ớc. Vì vậy, vận tốc có giá trị tuyệt đối lớn hơn bên d−ới đỉnh so với bên d−ới bụng. Điều này ảnh h−ởng mạnh tới việc tính toán áp lực sóng lên công trình, đặc biệt là trong các điều kiện n−ớc nông. Các số hạng bậc cao trong các chuỗi vận tốc hạt n−ớc giảm nhanh hơn theo khoảng cách d−ới bề mặt so với các số hạng bậc thấp. Vận tốc ở gần đáy đ−ợc dự báo khá tốt bằng lý thuyết tuyến tính. Trong lý thuyết tuyến tính, quỹ đạo hạt n−ớc là đối xứng cả theo ph−ơng đứng và ph−ơng ngang. Trong các lý thuyết phi tuyến, không thể bỏ qua sự bất đối xứng của vận tốc hạt n−ớc. Vì vậy quỹ đạo hạt n−ớc không còn là đối xứng. Sau một chu kỳ sóng thì hạt n−ớc tiến về phía tr−ớc một chút, nh− vẽ trên hình 4.4. Hình 4.4 Quỹ đạo hạt n−ớc xấp xỉ bằng các lý thuyết sóng phi tuyến Vậy, sóng gây ra vận chuyển khối l−ợng đối với hệ quy chiếu của ta. Một cách khác là ta có thể chọn một hệ quy chiếu sao cho vận tốc vận chuyển khối l−ợng tổng cộng d− tích phân theo ph−ơng thẳng đứng bằng 0. Trong tr−ờng hợp này các hạt n−ớc trong phần thấp của profile thẳng đứng sẽ có vận tốc d− ng−ợc lại và chỉ có các hạt n−ớc ở trên là có vận tốc d− theo h−ớng sóng. Với độ chính xác bậc hai, vận tốc trung bình thời gian của một hạt n−ớc tại một độ cao trung bình trong các điều kiện sóng n−ớc sâu đ−ợc cho bởi: 0z ( ) 020 kzaekazu ω= (4.7) 1>>kh Với n−ớc trung bình và n−ớc nông, lý thuyết Stokes cho dự đoán không chính xác về vận tốc vận chuyển vật chất. Điều này là do ảnh h−ởng của độ nhớt (chỉ giới hạn trong lớp biên mỏng gần đáy). Longuet-Higgins (1953) đã phân tích kỹ càng về tốc độ vận chuyển vật chất do sóng gây ra tính theo các lý thuyết sóng khác nhau và có tính đến ảnh h−ởng của độ nhớt. 4.2.3 Mối liên hệ phân tán và vận tốc pha Trong xấp xỉ Stokes bậc 2, mối liên hệ phân tán giống nh− trong lý thuyết tuyến tính. 45 Trong lý thuyết bậc 3, xuất hiện một thành phần hiệu chỉnh phi tuyến tỷ lệ với bình ph−ơng độ dốc sóng. Hiệu ứng của nó là làm tăng vận tốc pha. Do vậy, vận tốc pha tại mọi độ sâu không chỉ phụ thuộc vào tần số mà còn phụ thuộc vào biên độ. Tuy rằng hiệu chỉnh là t−ơng đối nhỏ nh−ng nó thể trở nên đáng kể khi mà khác biệt trong vận tốc pha là đáng kể, nh− trong tr−ờng hợp nhóm sóng. 4.2.4 Hàm l−ợng năng l−ợng và vận chuyển năng l−ợng Trong xấp xỉ bậc thấp nhất, hàm l−ợng năng l−ợng (E) và tốc độ vận chuyển năng l−ợng là tỷ lệ với . Hiệu chỉnh phi tuyến cho đại l−ợng này bao gồm các thành phần tỷ lệ với v.v... Năng l−ợng tổng cộng của sóng có độ cao nào đó trở nên nhỏ hơn giá trị tính theo lý thuyết sóng tuyến tính. Có thể thấy đ−ợc điều này mà không cần các tính toán chi tiết về thế năng trung bình, bằng với 2a 4a ( ) 22/1 ζρg . Với các sóng hình sin, ( ) ( ) 222 8/12/1 Ha ==ζ . Tỷ số 22 / Hζ giảm khi mà profile trở nên nhọn hơn. Tại n−ớc sâu, các hiệu chỉnh phi tuyến cho E và là đáng kể cho các sóng gần vỡ. Chúng là quan trọng trong n−ớc nông, nh−ng trong tr−ờng hợp đó chuỗi Stokes là không phù hợp ngoại trừ các giá trị nhỏ của độ cao sóng t−ơng đối, nh− đã thảo luận ở trên. fE 4.3 Lý thuyết Cnoidal Một cách tiếp cận khác cho sóng phi tuyến tại n−ớc nông đã đ−ợc Boussinesq đ−a ra. Các ph−ơng trình Boussinesq mô tả sóng tại n−ớc nông có tính đến một chút ảnh h−ởng của áp suất phi thuỷ tĩnh xảy ra d−ới đỉnh sóng khi mà độ cong là khá lớn thậm chí nếu b−ớc sóng là lớn hơn nhiều so với độ sâu. Vì vậy, lời giải của các ph−ơng trình Boussinesq có một số tính chất của sóng dài và một số tính chất của sóng ngắn. Lời giải của các ph−ơng trình Boussinesq biểu thị các sóng chu kỳ có dạng không đổi đ−ợc diễn tả bằng một hàm có sử dụng ký hiệu "cn". Vì vậy lời giải đã đ−ợc gọi là sóng cnoidal và lý thuyết t−ơng ứng với nó là lý thuyết cnoidal. Thực ra là hiện nay một tiếp cận khác và một mức độ xấp xỉ khác đã đ−ợc sử dụng nh−ng do lý do nguyên nhân lịch sử, lý thuyết trên vẫn đ−ợc gọi là lý thuyết cnoidal. Trong phần sau ta sẽ mô tả các kết quả của phép xấp xỉ do Skovgaard và cộng sự (1974) sử dụng. Rất nhiều thông số sóng do các tác giả xác định theo lý thuyết Cnoidal đ−ợc trình bày trong bảng 4.1. 46 Bảng 4.1 Các thông số sóng xác định từ lý thuyết Cnoidal H−ớng dẫn tính sóng Cnoidal 1 Tham số địa ph−ơng 2 N−ớc nông 1.1 h, H và T Xác định: L, c Cho: Ha và T (hoặc La) tại độ sâu H Cho: Tính 2 0 2 TgL π= Xác định: Hb và Lb tại độ sâu hb T2 trong hệ SI), Kiểm tra* Tính L0 và La sử dụng 1.1 H/h và (= 1.561 Tính hgT / hoặc T và L0 sử dụng 1 L/h từ bảng 2 và sau đó tính L, Tính Ua và tìm Ba tà bảng 1 ịnh c=L/T Tính Tìm (Xác đ ) 2/100 /4 LLBHH aaa= 1.2 h, H và L Xác định: T, c Tính hb/L0 và H0/L0 Kiểm tra* A từ bảng 1 Xác định Hb/H0 từ bảng 3 và sau đó tính Hb ịnh ( )( ) 2/1/1 hAHghc += và T=L/c Xác định Lb sử dụng 1.1 * Nếu h/L0 > 0.10 (h/L > 0.13) Lý thuyết Cnoidal không áp dụng đ−ợc, sử dụng sóng dạng sin cho vùng n−ớc sâu này Công thức cơ bản Cho: Kiểm tra* Tìm Xác đ Đại l−ợng (hệ SI) Bản tóm tắt các ph−ơng trình lý thuyết Cnoidal (Skovgaard và cộng sự, 1974) Tr−ớc khi đi vào chi tiết, ta hãy đ−a ra hai nhận xét chung. Thứ nhất là lý thuyết cnoidal về bản chất chỉ giới hạn cho điều kiện n−ớc nông với tiêu chuẩn 1/ 0 ≤Lh 47 (hay ( ) 821 ≥ghT ) là thoả mãn. Thứ hai, một thông số quan trọng trong lý thuyết là số Ursell ( , ph−ơng trình 4.6). Các hàm toán học dạng cnoidal mô tả nghiệm cho một giá trị nào đó của đ−ợc giảm xuống cho hai tr−ờng hợp giới hạn: và 32 / hHLUr = rU 0→rU ∞→rU . Tr−ờng hợp đầu tiên t−ơng ứng với (vì rằng L/h>> 1 trong lý thuyết cnoidal). Các kết quả trong tr−ờng hợp này trở thành các kết quả của lý thuyết sóng tuyến tính cho vùng n−ớc nông. Tr−ờng hợp giới hạn thứ hai t−ơng ứng với 0/ →hH ∞→hL / (vì H/h là giới hạn; thực tế là đã giả thiết rằng H/h<< 1). Điều này dẫn tới tên gọi là sóng cô lập. 4.3.1 Profile mặt n−ớc Profile mặt n−ớc p dự báo theo lý thuyết cnoidal chỉ phụ thuộc vào (xem hình 4.5). Với , profile mặt n−ớc có dạng hình sin. Khi giá trị tăng lên, đỉnh sóng trở nên nhọn hơn và bụng sóng trở nên dài hơn và phẳng hơn. Nói chung các profile dự báo phù hợp tốt với các profile đo đạc đ−ợc. rU 0→rU rU H troughζζ − L xx crest− Hình 4.5 Các profile mặt n−ớc dự báo theo lý thuyết sóng Cnoidal (Skovgaard và cộng sự, 1974). 4.3.2 Vận tốc và quỹ đạo hạt lỏng Trong lý thuyết sóng cnoidal bậc nhất, vận tốc nằm ngang của hạt lỏng là gần nh− tỷ lệ với mực mặt n−ớc và thay đổi theo khoảng cách từ đáy theo một đ−ờng parabol. Có thể tham khảo Skovgaard và cộng sự (1974) về các công thức với và (Bảng 4.1). maxu minu 48 4.3.3 Vận tốc pha Vận tốc pha trong lý thuyết sóng cnoidal có bậc biên độ là ( )21gh , hơi giảm hơn một chút vì giá trị giới hạn của tỷ số giữa b−ớc sóng và độ sâu (hiệu ứng phụ thuộc vào tần số nh− trong lý thuyết cho sóng ngắn) và tăng lên một chút do ảnh h−ởng của tính hữu hạn của biên độ (hiệu ứng phi tuyến). 4.3.4 Hàm l−ợng năng l−ợng và tốc độ vận chuyển năng l−ợng Năng l−ợng thế trung bình trên một đơn vị diện tích (PE, ph−ơng trình 3.103) là tỷ lệ thuận với 2ζ . Với một mặt sóng dạng hình sin, 8/22 H=ζ . Với mặt sóng cnoidal với dạng mặt n−ớc phụ thuộc vào , tỷ số rU 22 / HB ζ= là một hàm giảm của . rU Với phép xấp xỉ bậc thấp nhất, tốc độ vận chuyển năng l−ợng trong sóng cnoidal đ−ợc tính từ (3.111), với cho bởi xấp xỉ tĩnh học +p ζρgp =+ , và u bởi biểu thức tuyến tính cho sóng dài hcu /ζ= . Điều đó cho ∫ ∫ − − + === 0 2/ 2/ 221 h T T f cgHBgcudzdtpT E ρζρ (4.8) Thực ra, không phải là thuỷ tĩnh và giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn +p ζρg tại các điểm thấp hơn MWL. Vì vậy, (4.8) tính quá tốc độ vận chuyển năng l−ợng. 4.4. Các lý thuyết số Các lý thuyết ở trên cung cấp các biểu thức giải tích cho các hệ số xuất hiện trong các chuỗi số mũ giả thiết với bậc chính xác cho tr−ớc. Sự phức tạp của các biểu thức tăng nhanh với sự gia tăng của bậc chính xác. Vì lý do đó mà các xấp xỉ giải tích bậc cao là không khả thi. Tuy nhiên có thể đ−a ra các thuật toán để tính các hệ số này bằng ph−ơng pháp số trị. Theo cách này, có thể dùng các xấp xỉ có độ chính xác rất cao (khoảng 100) để mở rộng phạm vi áp dụng của lý thuyết và tăng c−ờng độ chính xác. Các lý thuyết thuộc dạng này đ−ợc gọi là các lý thuyết số trị. Cần nhận thấy rằng tên này không có nghĩa là lời giải số trị cho các ph−ơng trình vi phân cơ bản, thí dụ nh− bằng ph−ơng pháp sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn. Một lý thuyết đ−ợc biết đến rất rộng rãi là lý thuyết hàm dòng do Dean (1965) xây 49 dựng. Việc sử dụng nó khá dễ dàng nhờ việc xuất bản các bảng (Dean, 1974). Các bảng này đã đ−ợc xây dựng để áp dụng cho kỹ thuật. Ngoài các thông số khác, nó chứa số liệu về vận tốc pha, vận tốc hạt lỏng, gia tốc và áp lực cũng nh− moment sóng trên các hình trụ đứng. Các đại l−ợng này đ−ợc lập bảng cho 10 độ sâu t−ơng đối 10 ( trong khoảng từ 0.02 tới 2) và 4 độ cao sóng t−ơng đối ( 0/ Lh 4/3,2/1,4/1/ max =HH và 1, trong đó là độ cao cực đại của sóng có b−ớc sóng hay chu kỳ cho tr−ớc tại một độ sâu cho tr−ớc). maxH Chaplin (1980) đã xây dựng một phiên bản nữa của lý thuyết hàm dòng có độ chính xác cao hơn cho các sóng rất dốc. Ông đã so sánh kết quả của mình và các kết quả của Dean (1974) với kết quả của lý thuyết chính xác của Cokelet (xem d−ới đây). Các giá trị tính theo các bảng của Dean là chính xác với ba giá trị nhỏ của , nh−ng với max/ HH 1/ max =HH có một sự sai khác lớn (cụ thể là sai số 30% trong vận tốc hạt n−ớc cực đại ). Rienecker và Fenton (1981) đã đ−a ra những cải tiến về lý thuyết hàm dòng và một thuật toán để tính tập hợp các hệ số bằng một sơ đồ lặp hiệu quả với tốc độ hội tụ nhanh. Một lý thuyết số trị khác do Cokelet (1977) đề xuất đã sử dụng mối liên hệ giữa các hệ số của các bậc khác nhau để mở rộng lời giải tới các bậc rất cao. Thêm vào đó, Cokelet dùng một kỹ thuật toán đặc biệt để cải tiến cách lấy tổng của các chuỗi đ−ợc tạo thành. Bằng cách đó ông đã có thể tính toán rất nhiều đặc tính của sóng với độ chính xác tới hai chữ số sau dấu phẩy, thậm chí cho sóng cao nhất có thể có nh− đã đ−ợc kiểm chứng bằng cách so sánh với các lý thuyết đã đ−ợc xây dựng độc lập cho tr−ờng hợp đặc biệt này. Có vẻ nh− từ khía cạnh thực tế, công trình của Cokelet có thể đ−ợc xem là cho một lời giải chính xác về các vấn đề cổ điển nh− các sóng trọng lực bề mặt phi tuyến và không xoáy. Kết quả của ông có thể đ−ợc dùng nh− tiêu chuẩn để đánh giá các lý thuyết xấp xỉ khác nhau. Cokelet đã trình bày các bảng về các tính chất độc lập về pha và trung bình của sóng mà không phải là các giá trị tức thời nh− vận tốc và gia tốc hạt lỏng. Việc sử dụng lý thuyết của ông vào thực tế kỹ thuật yêu cầu phải viết một số ch−ơng trình máy tính khá phức tạp. Cuối cùng là cần phải kể đến công trình của Williams (1985) ng−ời đã phát triển một công thức thay thế có khả năng hội tụ nhanh ngay cả với những sóng cao nhất. Các kết quả của ông, kể cả áp suất thay đổi theo pha và vận tốc, gia tốc và dịch chuyển nằm ngang và thẳng đứng đã đ−ợc lập thành bảng. 4.5 Giới hạn áp dụng của các lý thuyết khác nhau Tr−ớc khi tìm ra lời giải có độ chính xác cao, một câu hỏi thông th−ờng nhất là các xấp xỉ bậc thấp (nh− Stokes bậc 1, 2 hay 3 hay cnoidal bậc 1 hay 2) là áp dụng đ−ợc cho một phối hợp cho tr−ớc của độ dốc sóng và độ sâu t−ơng đối. Vì vậy, ng−ời ta đã cố gắng xác lập 50 giới hạn áp dụng của các xấp xỉ bậc thấp. Từ quan điểm học thuật, việc xác lập miền áp dụng là một việc làm không phù hợp sau khi Cokelet và những ng−ời khác đã tìm đ−ợc lời giải bậc cao hầu nh− là chính xác. Không có một câu trả lời duy nhất cho câu hỏi là xấp xỉ bậc thấp nào của một tập hợp các xấp xỉ cho tr−ớc là áp dụng phù hợp nhất cho một phối hợp cho tr−ớc của H/L và h/L. Câu trả lời phụ thuộc vào các thông số dùng để so sánh (vận tốc pha, độ cao cực đại của đỉnh sóng v.v...). Từ quan điểm thực tế, việc quyết định dùng xấp xỉ này hay xấp xỉ kia phụ thuộc không chỉ vào độ chính xác có thể đạt đ−ợc mà còn phụ thuộc vào độ chính xác mà bài toán thực tế yêu cầu và công sức phải bỏ ra. Trong mối liên hệ này, cần nhận thấy rằng việc chỉ chú ý tới độ chính xác vài phần trăm chẳng có ý nghĩa đáng kể nếu các số liệu đầu vào có sai số khoảng 10% hay 20%. Vì rằng có rất nhiều lý thuyết nên khi xem xét khả năng cũng nh− công sức có thể bỏ ra của ng−ời làm nghiệp vụ, không thể đ−a ra một nhận xét chung nào về xấp xỉ nào là xấp xỉ tốt nhất. Tuy nhiên, các nhận xét sau có thể đ−ợc xem nh− là h−ớng dẫn chung: Một xấp xỉ bậc cao không nhất thiết là tốt hơn một xấp xỉ bậc thấp vì rằng chuỗi sử dụng có thể phân kỳ. Ví dụ nh− với các giá trị của số Ursell lớn, lý thuyết Stokes bậc 1 (lý thuyết tuyến tính) cho kết quả xấp xỉ của vận tốc hạt n−ớc lớn hơn so với xấp xỉ Stokes bậc 2 và bậc 3. Điều nói trên cũng đúng cho các lý thuyết cnoidal. Tính phi tuyến là t−ơng đối