Chương 4: SPIN và moment toàn phần Bài 15: SPIN

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm BÀI 15: SPIN Từ đầu tới giờ, ta đã mô trạng thái của hạt lượng tử bởi hàm trạng thái chỉ phụ thuộc biến số không gian và biến số thời gian. Các sự kiện thực nghiệm chứng tỏ rằng có những loại hạt mà trạng thái của nó không mô tả được một cách đầy đủ bằng loại hàm trạng thaí như vậy. ý nghĩa và nội dung của việc mở rộng như vậy sẽ được xem xét và cụ thể hoá dần. Do đó, cần xét cả loại hàm trạng thái phụ thuộc một vài “biến số lạ”, phi không gian và phi thời gian. Trường hợp một biến số lạ với hai giá trị Trường hợp quan trọng nhất của việc mở rộng như đã nhắc đến là trường hợp hàm trạng thái phụ thuộc một biến số lạ s, và biến số lạ này chỉ nhận hai giá trị khác nhau. Có thể hình dung hai giá trị này như hai điểm của một chiều không gian vô hình. Như vậy, hàm trạng thái có dạng: (nếu bỏ qua sự phụ thuộc vào thời gian). Gải sử s nhận hai giá trị là s1 và s2. Ta nêu ra yêu cầu sau: Xác suất để hạt nằm trong ở trong vùng không gian A và trong trạng thái với s=si là: Từ đó, ta có các hệ quả sau. Mật độ xác suất tim thấy hạt ở điểm (x, y, z) là: (15.2) b. Xác suất tim thấy hạt ở trạng thái với s=si (i=1, 2) là: trong đó tích phân lấy theo toàn bộ không gian. Chú ý rằng mỗi hàm f(s) với s chỉ nhận hai giá trị (s1 và s2) có thể đồng nhất với cặp số (f1 , f2), trong đó fi= f(si), nên thay cho một hàm , ta có thể xét một cặp hàm: (15.3) trong đó Dặt . Khi đó, vi (15.2) chính là: nên: (15.2’) 2. Toán tử spin là toán tử tác dụng lên hàm (s=1 hoặc 2). Vi hàm số như vậy có thể coi như một cặp hàm nên nếu chỉ tác dụng lên biến số s thi có thể biểu diễn dưới dạng ma trận vuông cấp 2. Giả sử Toán tử vector gồm ba thành phần được gọi là toán tử spin, nếu các thành phần này thoa mãn các hệ thức giao hoán sau; (15.4) Dễ dàng thấy (15.4) giống hệt các hệ thức giao hoán đối với các thành phần của moment quỹ đạo đã xét trong bài 11 Chú ý rằng các chỉ số x, y, z ở ba toán tử này không nói lên rằng chúng tác dụng lên các biến số x, y, z. ý nghĩa của các chỉ số sẽ được nêu sau. Do sự “đồng dạng” của các toán tử so với các toán tử moment quỹ đạo TA CHẤP NHẬN MỘT TÍNH CHẤT CỦA là: nếu toán tử nhận các giá trị thi mỗi thành phần của nó có thể nhận một trong giá trị sau: (15.7) Do các toán tử là các ma trận vuông cáp hai nên mỗi toán tử chỉ nhận cùng lắm hai giá trị khác nhau Nhưng nếu l là số nguyên thi hoặc dãy (15.7) chỉ có một số (khi l = 0), hoặc có ít nhất ba số (l ≤ 0) Dễ chứng tỏ rằng trường hợp l = 0 thực chất quy về trường hợp hàm trạng thái không chứa biến số lạ (biến số lạ này từ đây ta gọi gọi là biến số spin) nên ta sẽ không xét trường hợp này. Dể dãy (15.7) chỉ có đúng hai số, tức là và mà bắt buộc phai có Do đó, mỗi toán tử chỉ nhận đúng hai giá trị kha dĩ là 3. Biểu diễn toán tử spin qua các ma trận Pauli Đặt: (15.8) Khi đó: (15.9) đồng thời mỗi toán tử nhận hai giá trị là . Có nhiều cách chọn các ma trận như vậy, và chúng mô tả cùng một sự kiện vật lý. Theo đề xuất của W. Pauli, ta chọn: (15.10) Khi đó có thể chứng minh rằng và phai là hai ma trận sau: (15.11) (15.12) Bạn đọc hãy tự kiểm tra rằng, với cách chọn như trên thi thoa mãn các hệ thức (15.9), đồng thời bằng tính toán trực tiếp kiểm tra lại rằng mỗi ma trận qua là có hai trị riêng là Các ma trận gọi là các ma trận Pauli. Chú ý rằng, nếu mỗi hinh chiếu của toán tử spin có thể nhận các giá trị từ dãy (15.7) thi ta nói hạt có spin bằng l. Trong trường hợp ta đang xét thi hạt có spin bằng 4. Electron với tư cách là hạt có spin 1/2. Những điều ta vừa trình bày ở trên sẽ không có nội dungvật lý nếu không có loại hạt nào được mô tả bởi hàm trạng thái với toán tử spin như trên. Rất may là có tồn tại những hạt như vậy; đó là các hạt electron, proton và neutron Do các proton và neutron còn tham gia vào một loại tương tác đặc biệt, dó là tương tác mạnh (tương tác giữ cho hạt nhân bền vững) nên việc mô tả chúng rất phức tạp. Còn đối với electron thì việc mô tả chúng bằng các hàm trạng thái với biến số spin cho những kết quả rất chính xác. Điều này cũng có nghĩa là loại hàm trạng thái mà ta đã xét ở các bài trước (không chứa biến số spin) không thể mô tả đầy đủ electron, nhất là trong tương tác với từ trường. Việc khẳng định bằng thực nghiệm sự tồn tại spin của electron ngày nay không còn là vấn đề gây tranh cãi nữa Tuy vậy, cũng cần nói về một trong những thí nghiệm đơn giản và nổi tiếng dẫn đến khái niệm spin: thí nghiệm Stern-Gerlach Hai ông này đã cho một chùm mguyên tử hydrogen, tất cả đều có cùng mức năng lượng và đề ở trạng thái s, tức là có moment quỹ đạo bằng 0, đi qua một từ trường dạng đặc biệt. Kết quả dự đoán là chúng phải đi theo những quỹ đạo như nhau Tuy nhiên, trên thực tế thì chúng bị tách thành hai chùm, giống như là chúng có hai giá trị moment từ khác nhau, tức là có hai giá trị moment xung lượng khác nhau. Diều này cùng rất nhiều sự kiện thực nghiệm khác đã dẫn G. Uhlenbeck và S. Goudsmit tới gia thuyết là electron có moment riêng, không liên quan gi tới chuyển động không gian, và hinh chiếu của nó trên một trục bất kỳ trong không gian đều nhận đúng hai giá trị Moment riêng đó chính là đại lượng mà ta vừa xét ở trên, và như vậy, chính là hinh chiếu của nó trên ba trục không gian. Việc một toán tử tác dụng lên biến số phi không gian lại có hình chiếu trên các trục không gian không có gì là lạ. Nếu nó không thể hiện tác dụng trong không gian ba chiều thì không có gì để nhận biết được nó, và sự tồn tại của biến số phi không gian cũng trở nên vô nghĩa. 5. Moment từ riêng Kèm theo moment cơ học riêng (spin), hạt cũng có moment từ riêng. Thực nghiệm cho thấy hai loại moment riêng này liên hệ với nhau bởi công thức: (15.13) Như vậy, giá trị tuyệt đối của hệ số tỷ lệ giữa moment cơ học riêng và moment từ riêng là bằng hai lần hệ số tương ứng trong trường hợp moment quỹ đạo Điều này một lần nữa cho thấy không thể giải thích sự tồn tại của spin như hệ quả của chuyển động không gian, cho dù đó là chuyển động quỹ đạo hay sự quay chung quanh một trục riêng Chính sự tồn tại của một trục quay riêng như vậy cũng vô nghĩa, vì electron không có vị trí và hình dạng xác định. Như vậy, cần thừa nhận rằng spin là đặc trưng riêng của một loại hạt, giống như khối lượng hoặc điện tích, chứ không phải do tương tác gây ra. Tuy nhiên, nó thể hiện qua tương tác và năng lượng tương tác phụ thuộc vào cả các yếu tố bên ngoài Trong từ trường nang lượng tương tác của hạt với trường thể hiện bởi toán tử: (15.14) 5. Phương trình Pauli Trong điện động lực học cổ điển, hạt với khối lượng là và điện tích là q chuyển động trong điện từ trường cho bởi thế vô hướng V và thế vector có nang lượng là: (15.15) Chuyển sang cơ học lượng tử, theo nguyên lý Bohr, hệ thức (15.15) phải thay bằng hệ thức toán tử sau: (15.16) cho hạt không có spin, và (15.17) cho hạt có spin (trong đó ). Đối với electron, (15.17) trở thành (15.18) Vì vậy, thay vì phương trình Schrodinger, hàm trạng thái phải thoả mãn phương trình sau: (15.19) trong đó PHƯƠNG TRÌNH (15.19) GỌI LÀ PHƯƠNG TRÌNH PAULI. Chú thích lịch sử: Thí nghiệm Stern-Gerlach về sự tách chùm nguyên tử hydrrogen được thực hiện vaòi năn 1922. Giả thuyết J. Uhlenbeck và S. Goudsmit về spin được nêu ra năm 1925 Cả hai sự kiện này đều xảy ra trước khi cơ học lượng tử chính thức được xây dựng. Năm 1927, Wolfgang Pauli, nhà vật lý lỗi lạc người Thuỵ sĩ (1900-1958) đã phát biểu lại giả thuyết spin theo ngôn ngữ cơ học lượng tử và biểu diễn toán tử spin qua các ma trận mang tên ông. Wolfgang Pauli cũng là người đề xuất nguyên lý cấm (hay nguyên lý Pauli), theo đó hai hạt có spin bán nguyên không thể tồn tại trong cùng một trạng thái. Nguyên lý này cũng được nêu ra trước khi có cơ học lượng tử (cuối năm 1924) và nó đã đem lại cho Wolfgang Pauli giải thưởng Nobel vào năm 1945. Wolfgnag Pauli còn là tác giả của một loạt công trình quan trọng khác trong Vật lý lượng tử. 4