Chương 5 Các định lý giới hạn

Chương 5 Cá định lý giới hạn Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 164 / 293 1. Bất đẳng thứ Trêbưsp Nếu X là biến ngẫu nhiên ó kì vọng toán và phương sai hữu hạn thì với mọi số dương ε tùy ý ta đều ó P(|X− E(X) 1− V(X) ε2 Dạng tương đương ủa bất đẳng thứ Trêbưsp: P(|X− E(X)| > ε) 6 V(X) ε2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 165 / 293 1. Bất đẳng thứ Trêbưsp Thí d: Xá suất hậm tàu ủa mỗi hành khá h là 0,007. Dùng bất đẳng thứ Trêbưsep hãy đánh giá xá suất để trong 20000 hành khá h ó từ 100 - 180 người hậm tàu. Giải Gọi X là số khá h hậm tàu trong số 20000 khá h. Dễ thấy X ∼ B(n = 20000; p = 0, 007). Khi đó tìm đượ E(X) = 140;V(X) = 139, 02 P(100 < X < 180) = P(|X− E(X)| < 40) Theo bất đẳng thứ Trêbưsep ta ó P(100 1−V(X) ε2 = 1−139, 02 40 2 = 0, 9131 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 166 / 293 2. Định lý Trêbưsp Cá biến ngẫu nhiên X 1 ,X 2 , ...,X n , ... độ lập từng đôi, ó kì vọng toán hữu hạn và á phương sai đều bị hặn trên bởi hằng số C (nghĩa là V(X i ) 6 C; i = 1, n) thì với mọi ε dương tùy ý ta luôn ó: lim n→∞ P (∣∣∣∣X1 + ...+ Xn n −E(X1) + ...+ E(Xn) n ∣∣∣∣ < ε) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 167 / 293 2. Định lý Trêbưsp Luật số lớn ủa Trêbưsp (trường hợp riêng ủa định lý Trêbưsp): Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n , ... là á biến ngẫu nhiên độ lập từng đôi, ó ùng kì vọng toán (E(X i ) = m; i = 1, n) và á phương sai đều bị hặn trên bởi hằng số C (nghĩa là V(X i ) 6 C; i = 1, n) thì với mọi ε dương b tùy ý ta luôn ó: lim n→∞ P (∣∣∣∣X1 + X2 + ...+ Xn n −m ∣∣∣∣ < ε) = 1 Định lý Trêbưsp là ơ sở ủa php đo lường trong thự tế. Nó ũng là ơ sở ủa phương pháp mẫu trong thống kê. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 168 / 293 2. Định lý Trêbưsp Luật số lớn ủa Trêbưsp (trường hợp riêng ủa định lý Trêbưsp): Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n , ... là á biến ngẫu nhiên độ lập từng đôi, ó ùng kì vọng toán (E(X i ) = m; i = 1, n) và á phương sai đều bị hặn trên bởi hằng số C (nghĩa là V(X i ) 6 C; i = 1, n) thì với mọi ε dương b tùy ý ta luôn ó: lim n→∞ P (∣∣∣∣X1 + X2 + ...+ Xn n −m ∣∣∣∣ < ε) = 1 Định lý Trêbưsp là ơ sở ủa php đo lường trong thự tế. Nó ũng là ơ sở ủa phương pháp mẫu trong thống kê. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 168 / 293 3. Định lý Bernoulli f là tần suất xuất hiện biến ố A trong n php thử độ lập và p là xá suất xuất hiện biến ố đó trong mỗi php thử thì với mọi ε dương b tùy ý ta luôn ó lim n→∞ P(|f− p| < ε) = 1 Định lý trên òn gọi là luật số lớn ủa Bernoulli. ý nghĩa: Định lý Bernoulli là ơ sở lý thuyết ủa định nghĩa thống kê về xá suất, do đó nó ũng là ơ sở ho mọi áp dng ủa định nghĩa thống kê về xá suất trong thự tế. Định lý Bernoulli ó thể viết ngắn gọn như sau: f Hội t theo xá suất−−−−−−−−−−−→ p khi n→∞ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 169 / 293 3. Định lý Bernoulli f là tần suất xuất hiện biến ố A trong n php thử độ lập và p là xá suất xuất hiện biến ố đó trong mỗi php thử thì với mọi ε dương b tùy ý ta luôn ó lim n→∞ P(|f− p| < ε) = 1 Định lý trên òn gọi là luật số lớn ủa Bernoulli. ý nghĩa: Định lý Bernoulli là ơ sở lý thuyết ủa định nghĩa thống kê về xá suất, do đó nó ũng là ơ sở ho mọi áp dng ủa định nghĩa thống kê về xá suất trong thự tế. Định lý Bernoulli ó thể viết ngắn gọn như sau: f Hội t theo xá suất−−−−−−−−−−−→ p khi n→∞ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 169 / 293 4. Định lý giới hạn trung tâm Nếu X 1 , ...,X n , ... là dãy á BNN độ lập ùng tuân theo một QLPPXS nào đó với kì vọng toán và phương sai hữu hạn: E(X k ) = a;V(X k ) = σ2; ∀k Thì QLPPXS ủa BNN U n = U n − E(U n )√ V(U n ) với U n = n∑ k=1 X k sẽ hội t khi n→∞ tới quy luật huẩn hóa N(0, 1). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 170 / 293