Chương 5. Động lực học chất lỏng

39 Chương 5. Động lực học chất lỏng 5.1. Mở đầu Để mô tả những chuyển động chất lỏng trong một miền nhất định, cần có sẵn một tập hợp các phương trình vi phân có thể giải bằng giải tích hoặc bằng số nhờ áp dụng những điều kiện ban đầu và những điều kiện biên. Những phương trình cơ bản cần thiết là phương trình liên tục (bảo toàn khối lượng) và phương trình chuyển động (bảo toàn năng lượng) theo Định luật thứ hai của Newton (1642 -1727). Những phương trình chuyển động đối với một chất lỏng không nhớt được biết là phương trình EULER. Việc tích phân phương trình Euler đối với dòng chảy không quay không nén dẫn đến phương trình BERNOULLI mà liên hệ những thay đổi vận tốc, áp suất và mực nước trong chất lỏng không nhớt và cũng thích hợp khi những hiệu ứng của nhớt không đáng kể. Những phương trình chuyển động đối với một dòng chảy nhớt được biết là phương trình NAVIER-STOKES. Những phương trình đối với một dòng chảy rối được gọi là những phương trình REYNOLDS. 5.2. Phương trình liên tục (cân bằng khối lượng) 5.2.1 Thể tích điều khiển Trong hình 5.1, khối lượng đi vào trong khu vực một khối chữ nhật với những mặt song song có các cạnh x, y và z theo hướng +x là U y z, và đi ra khỏi nó theo hướng +x là khối lượng trong đó cộng với suất biến thiên của khối lượng theo hướng +x nhân với x. Đây là những số hạng bậc nhất: xzyU x zyU     )( . Khối lượng ròng đến theo hướng +x trên thời gian đơn vị là sự khác nhau giữa chúng: 40 xzyU x     )( . Tương tự, khối lượng ròng đi vào trong khu vực theo hướng +y và +z là: yxzV y     )( và zxyW z     )( . Mức tăng của khối lượng trong khu vực (nếu khác không) là: )( xzy t     và như vậy: xzyU x     )( yxzV y     )( zxyW z     )( = )( xzy t     . Hình 5.1. Khối lượng vào và ra một thể tích phần tử Vì y và z không đổi theo x; z và x không đổi theo y; x và y không đổi theo z và x, y và z không đổi theo t, chúng ta có thể chia cho đại lượng x y z là thể tích của khu vực được xét. Sau đó ta nhận được: tz W y V x U             )()()( . (5.2.1) Đối với chất lỏng có mật độ không đổi,  là hằng số nên /t = 0, và phương trình (5.2.1) trở thành: 0         z W y V x U (5.2.2) đối với cả dòng chảy ổn định lẫn không ổn định (vận tốc có thể thay đổi theo thời gian cũng như vị trí trong chất lỏng). Điều này cũng có thể biểu thị như sau (xem Phụ lục B): 0.  VVdiv . 41 5.2.1 Dòng nguyên tố Bởi vì không có dòng chảy nào xuyên qua các biên (theo định nghĩa), dòng khối lượng qua mỗi mặt cắt ngang là không đổi. Giả thiết iV pháp tuyến với mặt phẳng Ai thì: dòng khối lượng =   iA ii constdAV (5.2.3) dòng thể tích =   iA ii constdAV . (5.2.4) Dòng thể tích được gọi là lưu lượng Q (= ii AV ). 5.2.3 Dòng chảy không ổn định một chiều trong lòng dẫn hở Hình 5.2 cho thấy một tình huống dòng không ổn định một chiều. Độ sâu nước h và vận tốc trung bình độ sâu U là những hàm của vị trí x và thời gian t. Bề rộng b của dòng chảy là một hàm của x. Lưu lượng là:   A UbhUdzQ . Thay đổi khối lượng chất lỏng sau thời gian t do sự thay đổi cao độ bề mặt chất lỏng là: xt t h bxbhxt t h hb         )( . (5.2.5) Hình 5.2. Dòng không ổn định một chiều Thay đổi khối lượng chất lỏng sau thời gian t do giá trị ròng của dòng chảy đến và đi là: tx x Q tx x Q QtQ         )( . (5.2.6) Cân bằng những biểu thức (5.2.5) và (5.2.6) dẫn đến: 42 0      x Q t h b (5.2.7) hoặc 0 )(       x Ubh t h b (5.2.8) Nếu b không đổi theo hướng x (db/dx = 0), thì: 0 )(       x Uh t h (5.2.9) đối với dòng ổn định (h/t = 0) cho thấy: 0 )(    x Uh hoặc constqUh  (5.2.10)  h Udzq là lưu lượng đặc trưng trên bề rộng đơn vị. Đối với dòng chảy không ổn định hai chiều ngang trong lòng dẫn hở có thể dẫn ra phương trình sau: 0 )()(          y Vh x Uh t h (5.2.11) trong đó: U = vận tốc dòng chảy trung bình độ sâu theo hướng x, V = vận tốc dòng chảy trung bình độ sâu theo hướng y. Phương trình (5.2.11) cũng có thể dẫn ra từ phương trình (5.2.2) bằng cách tích phân theo độ sâu. Giả thiết vận tốc theo hướng ngang là V = 0 và do đó là V / y = 0, cho thấy: 0)(        s b z z dz z W x U (5.2.12) trong đó: zs = cao độ bề mặt chất lỏng ở trên mặt phẳng tham chiếu, zb = cao độ đáy ở trên mặt phẳng tham chiếu, h = zs - zb = độ sâu. Vì zs và zb là những hàm số của x, phải ứng dụng quy tắc Leibnitz như sau: dx da axf dx db bxfdz x f dzyxf x xa xb b a ),(),(),( )( )(         . áp dụng quy tắc Leibnitz với phương trình (5.2.12) dẫn đến: 0),(),(),(),(     bs b b s s z z zxWzxW dx dz zxU dx dz zxUUdz x s b . (5.2.13) Coi  s b z z UdzhUq , Ub = U(x,zb) và Us = U (x,zs), Ws = W(x,zs) và Ws = W(x,zs) dẫn đến: 43 0   bs b b s ú WW dx dz U dx dz U x q . (5.2.14) Phương trình (5.2.12) có thể được chi tiết hơn nữa bằng việc áp dụng điều kiện biên động học, chỉ rõ rằng vận tốc kết quả ở biên luôn luôn song song với biên, dẫn đến: t z x z UW ssús       (5.2.15) t z x z UW bbbb       . (5.2.16) Thay phương trình (5.2.15) và (5.2.16) vào phương trình (5.2.14) dẫn đến: 0         t z t z x q bs (5.2.17) hoặc 0 )(       x Uh t h . (5.2.18) 5.3. Cân bằng động lượng 5.3.1. Định luật thứ hai của Newton Định luật thứ hai của Newton phát biểu rằng lực tổng hợp tác động lên một khối lượng đã cho tỷ lệ với độ biến thiên động lượng tuyến tính của khối lượng đó theo thời gian. Trong cách viết vectơ: )( VmddtF  (5.3.1) hoặc )( Vm dt d F  . (5.3.2) Phương trình (5.3.2) cũng được gọi là cân bằng động lượng. Đối với một khối lượng không đổi nó cho thấy: amF  . (5.3.3) Trong cách viết vô hướng: xx ma dt dU mF  yy ma dt dV mF  (5.3.4) zz ma dt dW mF  . 5.3.2. Động lượng và năng lượng đi qua một mặt cắt 44 Động lượng trên đơn vị thời gian và trên đơn vị bề rộng đi qua một mặt cắt nhỏ có chiều cao dz là: U2dz. (5.3.5) Lấy tích phân theo độ sâu, động lượng tổng cộng trên đơn vị bề rộng và thời gian đi qua một mặt cắt có chiều cao h của một lòng dẫn hình chữ nhật rộng là:   h UqUhdzU 0 22  (5.3.6) với dzU Uh h  0 2 2 1  (5.3.7) U = vận tốc trung bình độ sâu U = vận tốc phân bố theo hướng thẳng đứng  = hệ số hiệu chỉnh q = lưu lượng đặc trưng. Động lượng trên đơn vị thời gian đi qua một mặt cắt có diện tích A tuỳ ý: UQ (5.3.8) dAU UA A  0 2 2 1  . (5.3.9) Hệ số  nằm trong phạm vi từ 1 đến 1,5, phụ thuộc vào phân bố vận tốc thực tế. Trong trường hợp phân bố vận tốc lôgarit, hệ số là  = 1,03. Tương tự, động năng trên đơn vị thời gian đi qua một mặt cắt là: 2/ 2 UQ (5.3.10) với dAU UA A  0 3 3 1  . (5.3.11) Hệ số  cũng được áp dụng trong phương trình Bernoulli (xem mục 6.1), mà về cơ bản là phương trình năng lượng. Hệ số  = 1,08 đối với phân bố vận tốc lôgarit. 5.3.3. ứng dụng Có thể ứng dụng phương trình cân bằng động lượng để xác định các lực tại công trình, như sẽ thấy trong ví dụ sau. Hình 5.3 cho thấy dòng chảy dưới một cửa cống. Lực F3 trên đơn vị bề rộng tại cửa cống có thể xác định bằng việc áp dụng phương trình (5.3.1) trên miền ABCD. Những vận tốc chảy vào và chảy ra trung bình độ sâu là 1U và 2U . Động lượng trên đơn vị bề rộng đi vào mặt cắt 1 trong thời gian t là: 1q 1U t. 45 Động lượng trên đơn vị bề rộng ra khỏi mặt cắt 2 trong thời gian t là: 2q 2U t. Hình 5.3. Lực tại cửa cống Bỏ qua lực ma sát đáy (FW = 0), cân bằng động lượng là: ( (1/2)gh1 2 - (1/2)gh2 2 - F3 )t = (2q 2U - 1q 1U )t F3= (1/2) (gh1 2 - gh2 2 ) -  (2q 2U - 1q 1U ). (5.3.12) Có thể tính toán F3 khi biết lưu lượng đặc trưng q, hệ số  và độ sâu h1 và h2. 5.4. Phương trình chuyển động 5.4.1. Các lực tác động lên những phần tử chất lỏng Những lực tác động lên một phần tử chất lỏng nói chung có hai loại: 1. những lực khối và 2. những lực mặt. Những lực khối là những lực tác động lên thể tích hoặc khối lượng của một phần tử chất lỏng (ví dụ trọng lực). Những lực mặt là những lực tác động lên bề mặt của một phần tử chất lỏng. Những lực mặt gồm có những lực thẳng góc với bề mặt (áp suất) và những lực tiếp tuyến với bề mặt (lực trượt). Hình 5.4 cho thấy những ứng suất bề mặt trên một phần tử chất lỏng đối với một chất lỏng không nhớt. Trong trường hợp này không có những ứng suất nhớt. Những ứng suất bề mặt chỉ là những ứng suất pháp tuyến do áp suất . Trong mục 3.2 đã chỉ ra rằng áp suất là đẳng hướng (đại lượng vô hướng bằng nhau trong tất cả các hướng). Như vậy, x = y = z = - p. (5.4.1) 46 Hình 5. 4. ứng suất pháp tuyến của chất lỏng trong một chất lỏng không nhớt Hình 5.5 cho thấy những ứng suất bề mặt trên một phần tử chất lỏng nhớt đang chuyển động. Có những ứng suất pháp tuyến () và những ứng suất tiếp tuyến (). Những ứng suất tiếp tuyến là những ứng suất trượt. Chỉ số đầu tiên của ứng suất chỉ ra hướng của ứng suất; chỉ số thứ hai chỉ ra mặt phẳng vuông góc với hướng trong đó ứng suất tác động. Như vậy yx tác động theo hướng y và trong mặt phẳng vuông góc với trục x. Định luật Pascal không hợp lệ: x  y  z. Hình 5.5. Những ứng suất tiếp tuyến (trượt) và pháp tuyến trong một chất lỏng nhớt Đối với chất lỏng Newton những ứng suất trượt là: 47 )( x V y U xy       (5.4.2) )( y W z V yz       )( z U x W zx       . Những ứng suất pháp tuyến đối với chất lỏng Newton được xác định bởi Stokes (1845), như sau: )( 3 2 2 z W y V x U x U px              )( 3 2 2 z W y V x U x V py              (5.4.3) )( 3 2 2 z W y V x U x W pz              . Đối với chất lỏng không nhớt,  = 0 và như vậy hiển nhiên là x = y = z = - p. Đối với chất lỏng nhớt đang chuyển động, trung bình cộng của ba ứng suất pháp tuyến gọi là áp suất: -p = 1/3 (x + y +z ). (5.4.4) áp suất p là đẳng hướng, bởi vì có thể thấy rằng phương trình (5.4.4) hợp lệ đối với bất kỳ định hướng nào của hệ tọa độ. 5.4.2. Phương trình Euler Đối với một dòng chảy chất lỏng không nhớt không nén được ( = 0), Euler (1707- 1783) áp dụng phương trình cân bằng động lượng cho một phần tử chất lỏng. Đối với một phần tử chất lỏng trong một trọng trường (xem hình 5.4) điều này dẫn đến: zyx x p Fx     zyx y p Fy     (5.4.5) zyxgzyx z p Fz      . Khối lượng của phần tử chất lỏng là: zyx  . (5.4.6) Những gia tốc ax, ay, az cho trong phương trình 4.4.7. áp dụng phương trình cân bằng động lượng dẫn đến: x P z U W y U V x U U t U                1 48 y P z V W y V V x V U t V                1 (5.4.7) g z P z W W y W V x W U t W                 1 . Trong cách viết vectơ: gP dt Vd   1 . (5.4.8) Có vẻ lạ lùng khi xét chuyển động của những chất lỏng không nhớt, một khi tất cả các chất lỏng thực đều nhớt. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp những số hạng nhớt không đáng kể so với những số hạng áp suất và số hạng gia tốc. Một ví dụ quan trọng của dòng chảy (lý tưởng) không quay không nhớt là dòng thế, sẽ được mô tả trong Chư- ơng 7. 5.4.3. Phương trình Bernoulli Tích phân những phương trình Euler đối với dòng chảy ổn định không quay không nén dẫn đến phương trình Bernoulli mà liên hệ những thay đổi vận tốc, áp suất và mực nước trong chất lỏng không nhớt. Phương trình Euler đối với dòng ổn định theo hướng x: x P z U W y U V x U U             1 . (5.4.9) Bằng việc cho )( 2 1 y U x V xy       và )( 2 1 x W z U zx       phương trình (5.4.9) có thể biểu thị như sau: x P WV x W W x V V x U U zxxy              1 22 . (5.4.10) Coi thế trọng lực là gz (độc lập với x), dẫn đến: )(22) 2 1 2 1 2 1 ( 222 gz P x WVWVU x zxxy         . (5.4.11) Đối với dòng chảy không quay: xy = yz = 0, dẫn đến: 0)( 2    gz P V x  . (5.4.12) Những biểu thức tương tự có thể dẫn xuất theo những hướng y và z. Như vậy, những gradient của số hạng )( 2 gz P V   bằng không. Điều này có nghĩa là số hạng vô hướng: constgz P V  )( 2  (5.4.13) 49 trong mỗi điểm của trường dòng chảy đối với dòng chảy ổn định không quay không nhớt, được biết là định luật Bernoulli (1700- 1782). Phương trình (5.4.13) cũng có thể biểu thị như sau: constHgz P V e  )( 2  (5.4.14) trong đó He là cột nước tổng cộng so với một mặt phẳng tham chiếu nằm ngang. Hình 5.6. Phương trình Bernoulli đối với dòng chảy không quay trong lòng dẫn hở Hình 5.6 cho thấy một ứng dụng của phương trình (5.4.14) đối với dòng chảy lòng dẫn hở. He không đổi tại mỗi điểm. Như vậy: g P z g V z g V  2 2 2 2 1 2 1 22  . Phương trình Bernoulli đối với một đường dòng Những phương trình Euler có thể đơn giản bằng việc đưa ra một hệ tọa độ tự nhiên, như trong hình 5.7. Trục s trùng với vectơ vận tốc. Trục n trùng với bán kính cong. Trục b hướng thẳng góc với mặt phẳng s - n. Điều này dẫn đến những thành phần vận tốc Vs = Vn = Vb = 0 theo những hướng s, n và b. Thành phần trọng lực theo hướng s là: gz/s. Tương tự, những thành phần trọng lực theo hướng n và b là: gz/n và gz/b (xem hình 5.8). Những phương trình Euler có thể biểu thị như sau: 50 s z g s P s V V t V s s s             1 (5.4.15) n z g n P s V V t V n s n             1 (5.4.16) b z g b P b V V t V b s b             1 . (5.4.17) Hình 5.7. Hệ tọa độ tự nhiên (đường dòng trong mặt phẳng s - n) Hình 5.8. Thành phần trọng lực theo hướng s Hướng s (dọc theo đường dòng) Phương trình (5.4.15) là phương trình Euler dọc theo một đường dòng trong chất 51 lỏng không nhớt. Đối với dòng ổn định (Vs / t = 0) nó cho thấy: 0) 2 ( 2    gz PV s s  (5.4.18) hoặc constgz PVs  2 2 (5.4.19) dọc theo một đường dòng, mà phát biểu rằng năng lượng trên đơn vị khối lượng trong một dòng chảy không quay không nhớt sẽ không đổi dọc theo một đường dòng. Phương trình (5.4.19) cũng có thể biểu thị như sau: constHz g P g V e s  2 2 (5.4.20) dọc theo một đường dòng trong đó: He = cột nước tổng cộng (m) Vs 2 / 2g = cột nước lưu tốc (m) P / g = cột nước áp suất z = vị trí hoặc cột nước vị thế pn = P / g + z = cột nước đo áp. Những phương trình (5.4.19) và (5.4.20) phát biểu rằng áp suất nhỏ khi vận tốc lớn và ngược lại, như trong hình 5.9. Một građien áp suất tồn tại để tăng tốc chất lỏng từ điểm 1 đến điểm 2. Một máy bay có thể bay vì hình dạng của cánh làm cho vận tốc không khí ở trên cánh cao hơn (áp suất thấp hơn) so với dưới nó, dẫn đến một áp lực thực tế hướng lên trên. Hình 5.9. Đường dòng trong dòng chảy lòng dẫn hở Trong mục 5.4.3 thấy rằng phương trình (5.4.11) và (5.4.12) hợp lệ đối với toàn bộ 52 trường dòng chảy trong trường hợp dòng không nhớt không quay. Trong trường hợp dòng nhớt (những ứng suất trượt nội   0) năng lượng trên đơn vị khối lượng giảm dọc theo một đường dòng. Thông thường, những hiệu ứng nhớt có thể bỏ qua khi xét một khoảng cách nhỏ dọc một đường dòng và phương trình (5.4.19) và (5.4.20) có thể ứng dụng như một sự gần đúng. Hướng n (thẳng góc với đường dòng) Phương trình (5.4.16) là phương trình Euler theo phương pháp tuyến. Hướng n d- ương theo hướng cong. Đối với dòng ổn định: n z g n P s V V ns          1 . (5.4.21) Số hạng VsVn / s thể hiện gia tốc hướng tâm. Từ hình 5.10 cho thấy VsVn / s = Vs / r, dẫn đến: 0 12        n z g n P r Vs  (5.4.22) hoặc 0)( 2     z g P nr Vs  (5.4.23) hoặc 0)( 2     pn nr Vs . (5.4.24) Hình 5.10. Thành phần dòng chảy thẳng góc với đường dòng Những phương trình (5. 4. 23) và (5. 4. 24) phát biểu rằng tồn tại một građien áp suất thẳng góc với đường dòng cong. áp suất giảm theo hướng n dương (về phía tâm của đường cong) vì cần có một áp lực thực tế theo hướng đó để phát sinh đường đi cong của một hạt chất lỏng (xem hình 5.11). Như vậy, áp suất tương đối lớn ở mặt phía ngoài và tương đối thấp ở mặt bên trong của đường cong. Građien áp suất p/n là số âm, vì áp suất giảm theo hướng n dương. 53 Hình 5.11. Građien áp suất thẳng góc với đường dòng Tích phân riêng phương trình (5.4.24) theo hướng n dẫn đến (xem thêm hình 5.12):  2 1 2 12 dn gr V pnpn s . (5.4.25) Tích phân từ điểm 1 đến điểm 2 theo hướng n dương dẫn đến pn2 – pn1 < 0, hoặc pn2 < pn1. Như vậy, cột nước đo áp nhỏ nhất về phía tâm của đường cong như đã phát biểu trước đây. Kết quả này không phụ thuộc vào hướng tích phân, vì:  1 2 2 12 dn gr V pnpn s . Hình 5.12. Cột nước đo áp thẳng góc với đường dòng Phân bố áp suất theo hướng n cũng có thể giải thích như sau: trong dòng chảy lõm (hình 5.13) những lực ly tâm hướng xuống và gia tăng trọng lực, phát sinh một áp suất lớn hơn áp suất thủy tĩnh; trong dòng chảy lồi những lực ly tâm hướng lên và tác động chống lại trọng lực dẫn đến một áp suất nhỏ hơn áp suất thuỷ tĩnh (hình 5.13). Khi bán kính cong lớn vô tận (r = ), gradient áp suất thẳng góc với đường dòng bằng không và không có gia tốc thẳng đứng, có nghĩa là phân bố áp suất thủy tĩnh trong trường hợp dòng chảy song song. 54 Hướng b (thẳng góc với mặt phẳng s - n) Phương trình (5.4.17) là phương trình Euler theo hướng b, đơn giản dòng ổn định (không có gia tốc theo hướng b) thành: b z g b P        1 0 (5.4.26) hoặc 0)(    z g P b  (5.4.27) phát biểu rằng cột nước đo áp (pn = P / g + z) là không đổi. Dòng lồi Dòng lõm Hình 5.13. Phân bố áp suất trong dòng chảy lồi và lõm (Chow, 1959) Những ứng dụng 1. Dòng chảy song song trên đáy dốc Hình 5.14 cho thấy một dòng đều song song (U / s = 0) trên một đáy dốc. Hình 5.14. Dòng chảy song song trên đáy dốc 55 Từ phương trình Bernoulli (5.4.24) dẫn đến (r = ): 0)(    pn n hoặc pn = const theo hướng n. Như vậy, pn1 = pn2 hoặc 2 2 1 1 z g P z g P   . Vì P1 = 0,   cos12 2 hzz g P  . Cột nước áp suất tại điểm 2 bằng hcos, có nghĩa là cột nước trong một ống hở đặt tại điểm 2 sẽ có chiều cao là hcos (xem hình 5.14). 2. ống đo áp suất chất lỏng Pito Nếu một cái ống hở được đặt trong một dòng chảy trong lòng dẫn hở, như trong hình 5.15, chất lỏng sẽ dâng lên trong ống đến một chiều cao H. Hình 5.15. ống Pito Phương trình Bernoulli đối với đường dòng 1-2 là: g P g U g P g U  2 2 21 2 1 22  . Vì P1 = gh, P2 = g (h + h) và U2 = 0, cho thấy: U1 2 = 2 g (h + H - h) = 2 gH. Bằng việc đo chiều cao H, có thể biết được vận tốc U1 thượng lưu cái ống. Một ống như vậy được gọi là ống Pito. Đối với những phép đo chính xác U1 > 0,2 m/s. Ví dụ, U1 = 0,2 m/s thì H = 2 x 10-3 m. Thông thường, sử dụng ống đo áp suất chất lỏng kết hợp, mà trên thực tế gồm hai ống.