Chương 5 Phân tích chuỗi thời gian thuỷ văn

135 Chương 5 phân tích chuỗi thời gian thuỷ văn Trong các chương trước, các đại lượng thuỷ văn được coi là các đại lượng ngẫu nhiên. Các phương pháp tính toán được áp dụng đã không chú ý đến thứ tự xuất hiện của chúng theo thời gian. Tuy nhiên, trong thực tế các giá trị của đại lượng thuỷ văn xuất hiện có trật tự theo thời gian và không gian và giữa chúng có một mối liên hệ nào đó. Ví dụ sự xuất hiện dòng chảy trong một con lũ, có nhánh lên, nhánh xuống, sự xuất hiện dòng chảy theo mùa, theo tháng hay lần lượt theo các năm không phải hoàn toàn là ngẫu nhiên. Số liệu đo đạc mà chúng ta thu thập tạo thành một chuỗi thời gian thuỷ văn, đó là sự rời rạc hoá một quá trình thuỷ văn diễn ra liên tục. Chúng ta cần phát hiện ra quy luật dao động và mối liên hệ giữa các số hạng của chúng. Để giải quyết vấn đề này, cần áp dụng các công cụ của lý thuyết hàm ngẫu nhiên, một khái niệm toán học tổng quát hơn. 5.1 Khái niệm cơ bản về hàm ngẫu nhiên Hàm ngẫu nhiên là hàm mà giá trị của nó ứng với mỗi trị số của đối số là một đại lượng ngẫu nhiên. Hàm ngẫu nhiên theo thời gian gọi là quá trình ngẫu nhiên, còn hàm ngẫu nhiên theo không gian gọi là trường ngẫu nhiên. Trong chương này chúng ta chỉ xem xét quá trình ngẫu nhiên, còn với trường ngẫu nhiên thay cho biến số thời gian t, chúng ta dùng biến không gian. Mỗi chuỗi thời gian với độ dài hữu hạn gọi là một thể hiện của quá trình ngẫu nhiên. Như đã trình bày ở các chương trước, đại lượng ngẫu nhiên được mô tả đầy đủ bởi quy luật phân bố xác suất P(x). Tương tự như vậy, quá trình ngẫu nhiên với các thể hiện x1(t), x2(t),.., xn(t), có thể mô tả đầy đủ bằng các quy luật phân bố tại mỗi thời điểm t. Khi đó quy luật phân bố chung của quá trình ngẫu nhiên có thể biểu thị qua P(x,t). Nhưng biểu thị như thế là chưa đầy đủ vì nó chỉ phản ảnh hàm một chiều tại mỗi thời điểm t mà không tính đến hàm phân bố 2 chiều giữa các đại lượng ngẫu nhiên, ở cách nhau một thời khoảng  (giữa các thời điểm t1 và t2). Sự mô tả hàm phân bố dạng P(x1,x2,t1,t2) là đầy đủ hơn dạng một chiều P(x1,x2). Và đầy đủ nhất là tập hợp các hàm phân bố theo thứ tự tăng dần: P(x1,x2,t1,t2), P(x1,x2,x3,t1,t2,t3) v.v. Khi đó ta có hàm phân bố xác suất nhiều chiều. Mô tả đầy đủ phân bố xác suất của quá trình ngẫu nhiên là rất phức tạp và chỉ thực hiện được cho một số dạng. Vì vậy trong thực tế thường sử dụng một số các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên, đó là kỳ vọng, phương sai, hệ số bất đối xứng, hệ số tương quan v.v. Nhờ đó nhiều bài toán thuỷ văn được giải quyết đơn giản hơn. Nếu đối với đại lượng ngẫu nhiên, các đặc trưng thống kê nêu trên là các giá trị bằng số, thì ở quá trình ngẫu nhiên chúng là những hàm số. 5.1.1. Các đặc trưng thống kê của quá trình ngẫu nhiên - Kỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên 136 Khi cố định quá trình ngẫu nhiên tại một thời điểm t1 (lát cắt t1) nào đó thì kỳ vọng toán học của nó sẽ là mx(t1). Tương tự như thế, kỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên là hàm mx(t) mà tại mỗi thời điểm t bằng kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên x(t): )]([)( txMtmx  (5.1) Trên hình (5.1) các đường nét mảnh là các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên (ở đây là quá trình dòng chảy), còn đường nét đậm là kỳ vọng toán của quá trình này. Hình 5.1. Qu átrình ngẫu nhiên và kỳ vọng toán học của nó - Phương sai của quá trình ngẫu nhiên Phương sai của quá trình ngẫu nhiên là hàm Dx(t), mà tại mỗi thời điểm t là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên x(t): })]()({[)( 2tmtxMtD xx  (5.2) Tương tự như vậy có thể định nghĩa các đặc trưng thống kê khác của quá trình ngẫu nhiên như hàm bất đối xứng, hàm độ nhọn v.v. Chúng ta có thể thấy rằng trên hình (5.2), 2 quá trình ngẫu nhiên tuy có kỳ vọng và phương sai bằng nhau nhưng cấu trúc của chúng thực sự khác nhau. Hình 5.2: Quá trình ngẫu nhiên có kỳ vọng và phương sai như nhau nhưng hàm tự tương quan khác nhau. Đó là do mối liên hệ giữa các giá trị của quá trình ngẫu nhiên tại các thời điểm t khác nhau. Đặc tính này được thể hiện bằng hàm tự tương quan R(t1,t2). Hàm tự tương quan là mômen hỗn hợp bậc 2 của phương sai tại các lát cắt t1 và t2: )]}(()][()({[),( 221121 tmtxtmtxMttR xx  (5.3) Để có thể so sánh giữa các chuỗi thuỷ văn người ta sử dụng hàm tự tương quan chuẩn hoá: 137 ),(),( ),( )()( ),( ),( 2211 21 21 21 21 ttRttR ttR tDtD ttR ttr xx  (5.4) 5.1.2. Các loại quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên được phân chia thành nhiều loại có những đặc điểm khác nhau - Quá trình ngẫu nhiên dừng Quá trình ngẫu nhiên dừng là quá trình ngẫu nhiên có các tính chất thống kê không thay đổi theo thời gian t, đó là quá trình đơn giản nhất cho việc nghiên cứu và mô tả thống kê. Các đặc trưng thống kê của nó không phụ thuộc vào thời gian, còn hàm tự tương quan chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa 2 lát cắt 12 tt  , mà không phụ thuộc vào điểm gốc chọn để tính toán. Các thể hiện của nó dao động xung quanh một giá trị nào đó theo thời gian (hình 5.3). Ví dụ về quá trình dừng là mạch động tốc độ. Tính dừng của dòng chảy sông ngòi có nguyên nhân là các điều kiện hình thành dòng chảy không thay đổi theo thời gian. Hình 5.3: Quá trình ngẫu nhiên dừng Ngược lại ở quá trình ngẫu nhiên không dừng thì các đặc trưng thống kê thay đổi theo thời gian. Đó là quá trình chung hơn của các hiện tượng thuỷ văn, trong đó quá trình dừng là một trường hợp riêng. Ví dụ dòng chảy năm được coi là quá trình ngẫu nhiên dừng, còn dòng chảy trong năm coi là không dừng. - Quá trình ngẫu nhiên êgôđích: Đó là quá trình mà các đặc trưng thống kê xác định theo một thể hiện với độ dài T đủ lớn có thể đặc trưng cho toàn bộ quá trình và bằng tập hợp nhiều thể hiện với độ dài t ngắn hơn. Nói cách khác là mỗi thể hiện của chúng có cùng một số tính chất thống kê. Dĩ nhiên quá trình êgôđích cũng là một quá trình ngẫu nhiên dừng, vì nếu không thì các thể hiện của chúng sẽ cho các đặc trưng thống kê khác nhau. Quá trình êgôđich có hàm tự tương quan tắt dần khi  tiến tới vô cùng. Trong điều kiện hình thành dòng chảy đồng nhất thì có thể lấy trung bình không gian thay cho thời gian. Đó chính là phương pháp trạm năm. - Quá trình ngẫu nhiên thuần tuý Đó là quá trình mà các giá trị của nó xuất hiện hoàn toàn ngẫu nhiên, hàm tự tương quan bằng không với mọi . Nguời ta cũng gọi đó là tiếng ồn trắng. 138 - Quá trình ngẫu nhiên Mackov Quá trình ngẫu nhiên Mackov là quá trình mà sự xuất hiện của mỗi đại lượng (trạng thái) bị chi phối bởi các trạng thái trước đó với xác suất nào đó gọi là xác suất chuyển trạng thái, hàm tự tương quan của nó khác không. Phân tích chuỗi thời gian là làm sáng tỏ các tính chất và quy luật dao động theo thời gian của nó. Chúng ta chỉ giới hạn ở việc phân tích một số quy luật chủ yếu nhất, đó là phân tích tự tương quan, phổ, điều hoà và hàm cấu trúc. 5.1.3. Các biểu hiện của chuỗi thời gian Chuỗi thời gian có thể biểu hiện trong các dạng sau: - Xu thế: Có xu thế tăng hay giảm (hình 5.4). Hình 5.4: Chuỗi thời gian biểu hiện xu thế - Chu kỳ: Có thể lặp lại theo từng khoảng thời gian như dòng chảy mùa, năm v.v (hình 5.5). Hình 5.5: Chuỗi thời gian biểu hiện chu kỳ - Không đổi: Giá trị dao động quanh một giá trị nào đấy theo thời gian (hình 5.6). Hình 5.6: Chuỗi thời gian biểu hiện không đổi - Nhảy bậc: Có bước nhẩy đột ngột (hình 5.7) do một nguyên nhân bất thường nào đó gây ra như vỡ đập, lũ quét v.v. 139 Hình 5.7: Chuỗi thời gian biểu hiện nhảy bậc - Kết hợp các dạng trên (hình 5.8). Hình 5.8: Chuỗi thời gian biểu hiện kết hợp Các phép phân tích và mô phỏng trình bày ở các mục tiếp theo đều thực hiện trên một thể hiện của quá trình ngẫu nhiên dừng. Muốn có quá trình dừng cần tiến hành lọc và làm trơn. 5.2. Lọc và làm trơn chuỗi thời gian thuỷ văn Chuỗi thời gian thu thập được mang nhiều tính chất ngẫu nhiên, ngoài giá trị thực còn có những dao động (nhiễu loạn) do sai số đo đạc hoặc do những nguyên nhân bất thường và tức thời tạo nên. Để phát hiện ra quy luật chủ yếu của chuỗi thời gian cần loại bỏ các nhiễu loạn này, đó chính là làm phép trơn. ở chương này chúng ta xem xét một số phương pháp lọc và làm trơn. 5.2.1. Các phương pháp lọc Để loại bỏ tính xu thế và chuyển quá trình không dừng thành quá trình dừng nguời ta thường sử dụng phép lọc sai phân. a. Sai phân bậc 1 Sai phân bậc 1 được tiến hành theo công thức: 1 tttt xxxz , (5.5) trong đó: xt là sai phân bậc 1 của xt. b. Sai phân bậc cao Khi sai phân bậc 1 chưa lọc hết xu thế, người ta sử dụng sai phân bậc 2 [24]: )()()( 2111 2   tttttttt xxxxxxxz (5.6) Nếu quá trình sau đó vẫn còn xu thế thì ta tiếp tục sai phân bậc 3 và các bậc cao hơn, cho đến khi quá trình thực sự là dừng, không còn xu thế. Thường đối với chuỗi thuỷ văn chỉ cần sai phân bậc 2 là được. 140 5.2.2. Làm trơn bằng trung bình trượt Đây là phương pháp thông dụng nhất và lâu đời nhất, cho phép phát hiện ra quy luật dao động theo chu kỳ của chuỗi. Trong trung bình trượt lại chia ra các loại sau: a. Trung bình trượt đơn: Được xác định theo công thức: )...( 1 121   Nttttt xxxx N M , (5.7a) trong đó: Mt là trung bình trượt của M thời kỳ; xt, xt-1, ..., xt-N+1 là giá trị của chuỗi tại N thời kỳ về phía trước. Tại mỗi thời kỳ, quan trắc cũ nhất bị loại ra và thêm vào một quan trắc gần nhất. Ta có thể dùng phương pháp luân phiên để tính trung bình trượt đơn cho thuận tiện hơn. Phương trình (5.7a) có thể viết N xxxxxx M NtNtNttttt   )...( 121 (5.7b) mà: N xxxx M NtNtttt     1211 ... Do đó: N xx MM Ntttt     1 (5.8) Nghĩa là có thể tính trung bình trượt Mt từ giá trị trước đó Mt-1. Ví dụ 5.1: Với số liệu dòng chảy năm trạm Nậm Mức, sông Nậm Mức (Điện Biên) ta có thể tính được trung bình trượt đơn giản 3 và 6 năm như sau (bảng 5.1). - Trung bình truợt 3 năm Số hạng thứ nhất của trung bình trượt 3 năm tính theo (5.5):    3 2,793,565,74 )( 3 1 12331,3 QQQMM 70,1. Số hạng thứ 2 của trung bình trượt 3 năm:    3 3,572,793,56 )( 3 1 23442,3 QQQMM 64,3. Tiếp tục ta được số hạng thứ 14:    3 5,135116110 )( 3 1 1213141414,3 QQQMM 120,5. - Trung bình trượt 6 năm: Số hạng thứ nhất tính theo (5.5): )( 6 1 12345661,6 QQQQQQMM  =   6 8,696,1083,572,793,564,74 74,3. Từ số hạng thứ 2 sẽ tính theo (5.6): 6 7,743,68 3,74171,672,6     N QQ MMM =73,2. Tiếp tục tính cho các số hạng sau, được số hạng cuối (thứ 12) : 6 1125,135 106111711,61712,6     N QQ MMM =110. Bảng 5.1: Trung bình trượt 3 và 6 năm dòng chảy năm trạm Nậm Mức, s. Nậm Mức 141 TT Năm Q (m3/s) Mt 3 năm Mt 6 năm 1 1986 74,7 2 1987 56,3 3 1988 79,2 70,1 4 1989 57,3 64,3 5 1990 108,6 81,7 6 1991 69,8 78,6 74,4 ....... ............... ..................... .................... .................... 13 1998 86,6 103,2 106,2 14 1999 100 99,2 111 15 2000 110 98,7 107 16 2001 116 108,7 106 17 2002 135,5 120,5 110 Các kết quả đưa ra trong bảng (5.1) và hình (5.9). 1.Thực đo; 2.Trượt 3 năm; 3.Trượt 6 năm Hình 5.9: Trung bình trượt đơn 3 và 6 năm Q năm trạm Nậm Mức b. Trung bình trượt kép Trung bình trượt kép là trung bình trượt của trung bình trượt đơn, nghĩa từ chuỗi trung bình trượt đơn vừa tính lấy trung bình trượt một lần nữa. Khi đó ta có: N MMM M Ntttt 112   ...][ , (5.9) trong đó: ][2 tM là trung bình trượt kép, chỉ số [2] ở trên là bậc của trung bình trượt, chứ không phải là số m; Mt, Mt-1, là các trung bình trượt đơn. Tương tự như trên ta cũng có công thức luân phiên cho trung bình trượt kép N MM MM Ntttt     ][][ 21 2 (5.10) Ví dụ 5.2: Tiếp tục theo ví dụ (5.1) tính trung bình trượt kép 3 năm cho dòng chảy trạm Nậm Mức (bảng 5.2). 40 60 80 100 120 140 160 0 5 10 15 20 t(năm) Q(m3/s) 1 2 3 142 Bảng 5.2: Trung bình trượt kép thời kỳ 3 năm dòng chảy trạm Nậm Mức TT Năm Q (m3/s) Mt 3 năm ][2 tM 3 năm 1 1986 74,7 2 1987 56,3 3 1988 79,2 70,1 4 1989 57,3 64,3 5 1990 108,6 81,7 72,0 6 1991 69,8 78,6 74,9 ........ .............. .................... .................... .................... 13 1998 86,6 103,2 113,6 14 1999 100 99,2 105,8 15 2000 110 98,7 100,4 16 2001 116 108,7 102,2 17 2002 135,5 120,5 109,3 Kết quả chỉ ra trong bảng (5.2) và hình (5.10) 1. Thực đo; 2. Trượt đơn; 3. Trượt kép Hình 5.10: Trung bình trượt đơn và kép 3 năm Q năm trạm Nậm Mức c. Trung bình trượt trung tâm Khác với trung bình trượt đơn và kép ở trên, trung bình trượt trung tâm của thời kỳ hiện tại t được lấy với cả số thời kỳ trước và sau, đối xứng qua t [24,32]. Ví dụ trung bình trượt 5 thời kỳ thì lấy trung bình của 2 thời kỳ trước, thời kỳ hiện tại và 2 thời kỳ sau. Quá trình tính toán tiến hành như sau: - Chọn thời kỳ để tính trung bình L. L được chọn tuỳ thuộc mục đích nghiên cứu. L càng lớn thì càng trơn, nhưng bị mất đi những chu kỳ dao động nhỏ hơn đáng lẽ phải có. L càng nhỏ thì biểu hiện dao động càng rõ, nhưng lại mang quá nhiều nhiễu loạn, khó phát hiện các chu kỳ. Việc tính trung bình phụ thuộc vào liệu L là chẵn hay lẻ. - Nếu L là lẻ thì trung bình trựot trung tâm được tính : 40 60 80 100 120 140 160 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 t(năm) Q(m3/s) 1 2 3 143 L xxx M LttLt ct 2/)1(2/)1( ......    , (5.11) trong đó: xt là điểm giữa của khoảng L các quan trắc. Lưu ý rằng khi đó sẽ mất đi số hạng đầu và số hạng cuối. - Nếu L là chẵn thì tính theo 2 bước: * Tính 2 trung bình trượt bao quanh khoảng L: L xxx M LttLt t )2/(1)2/(]1[ 1 ......    , (5.12) L xxx M LttLt t 1)2/(2)2/(]1[ 2 ......    , (5.13) trong đó: ][11tM , ][1 2tM là các trung bình trượt đơn bao quanh khoảng L. * Sau đó tính trung bình trượt đơn của 2 giá trị vừa tính ][11tM và ][1 2tM và viết tương ứng với ][12tM để cho “trung tâm’ của trung bình trượt tương ứng với chuỗi gốc: 2 1 2 1 1 ][][ tt ct MM M   (5.14a) Khi tính như thế thì sẽ mất đi L số hạng, gồm L/2 số hạng đầu và L/2 số hạng cuối. Ví dụ 5.3: Với số liệu của ví dụ (5.1). Tính trung bình trượt trung tâm 3 và 4 năm. Lập bảng tính (bảng 5.3). Thực hiện các bước tính toán sau: - Trung bình trượt 3 năm. Dễ thấy rằng với khoảng trung bình trượt L=3 năm thì công thức (5.14) trở thành: 3 11   tttct xxx M (5.14b) nghĩa là có thể lấy kết quả trung bình trượt đơn của ví dụ (5.1) dịch chuyển lên một hàng. Khi đó mất đi số hạng đầu và số hạng cuối. Kết quả có trong cột thứ 4 của bảng (5.3) - Trung bình trượt 4 năm. Vì L=4 là chẵn nên phải tính theo 2 bước: *. Bước thứ nhất. Tính ][11tM và ][1 2tM theo các công thức (5.12) và (5.13): 4 ...... 211)2/(1)2/(]1[ 1     tttt LttLt t xxxx L xxx M , 4 ...... 3211)2/(2)2/(]1[ 2     tttt LttLt t xxxx L xxx M . Bảng 5.3: Tính trung bình trượt trung tâm 3 và 4 năm dòng chảy trạm Nậm Mức. ctM 4 năm(chẵn) TT Năm Q (m 3/s) Mct 3 năm(lẻ) ][1 tiM Mct 1 1986 74,7 2 1987 56,3 70,1 66,88 3 1988 79,2 64,3 75,35 71,12 144 4 1989 57,3 81,7 78,72 77,04 5 1990 108,6 78,6 76,0 77,36 6 1991 69,8 82,2 79,55 77,78 .... .......... ........... .............. ............. ........... 13 1998 86,6 99,2 101,9 102,15 14 1999 100 98,7 103,15 102,52 15 2000 110 108,7 115,38 109,26 16 2001 116 120,5 17 2002 135,5 ở số hạng đầu t=1, ta có: 4 3,572,793,567,74]1[ 1  tM =66,88. 4 6,1083,572,793,56]1[ 2  tM =75,35. 2 giá trị ][11tM và ][1 2tM chỉ là trượt đi một số hạng nên có thể viết chung trên một cột (cột 5 của bảng 5.4). Tiếp tục tính cho các số hạng tiếp theo. *. Bước thứ hai: Tính cho số hạng thứ nhất t=1, theo công thức (5.14a):      2 35,7588,66 2 ]1[ 2 ]1[ 1 tt ct MM M 71,12. Mct vừa tính được viết ứng với ][1 2tM (cột 6, cột cuối của bảng 5.4). Tiếp tục tính cho các số hạng tiếp theo. Trong trường hợp này, số số hạng bị mất là 4, gồm 2 số hạng đầu và 2 số hạng cuối. Đường trung bình trượt trung tâm 3 và 4 năm chỉ ra trên hình (5.11) 145 1.Thực đo; 2.Trượt trung tâm 3 năm; 3. trượt trung tâm 4 năm Hình 5.11. Trung bình trượt trung tâm 3 và 4 năm Q trạm Nậm Mức Từ các hình (5.9), (5.10), (5.11) thấy rằng, thời kỳ trượt càng lớn thì đường biểu diễn càng trơn. Trung bình trượt kép có mức độ trơn nhiều hơn. Tuy nhiên trung bình trượt loại này làm cho các cực trị bị lệch pha. Trong khi đó trung bình trượt trung tâm cho độ lệch pha ít hơn. Nhưng trung bình trượt trung tâm lại làm mất đi các số hạng cuối gần với thời điểm hiện tại nên ít được dùng trong dự báo. Để khắc phục sự lệch pha, người ta sử dụng phương pháp trung bình cặp đôi liên tục các số hạng, khi đó các trọng số giảm dần đối xứng từ số hạng trung tâm và đó là các hệ số nhị thức[32]: )( 11 2 1  ii QQQ -Bậc 1 )( 212 2 4 1   iii QQQQ -Bậc 2 )( 3213 33 8 1   iiii QQQQQ -Bậc 3 ........................................................................................................ ....] ! ))(( ! )( [       321 3 21 2 1 2 1 iiiiki Q kkk Q kk kQQQ -Bậc k Viết tổng quát ta có:      2 1 2 1 N N k kiki QCQ , (5.15) với: )!( ! kN N C Nk   2 (5.16) Phương pháp này cho thấy chuỗi sau khi làm trơn không bị lêch pha so với chuỗi gốc (hình 5.12). 40 60 80 100 120 140 160 0 5 10 15 20 t(năm) Q(m3/s) 1 2 3 146 1 -4: Là m trơn tươ ng ứng với 11,2 1,31 ,41 số hạng Hình 5.12: Dao động Q năm của trạm Kamenki sông Đơniev và làm trơn 5.2.3. Làm trơn hàm mũ Làm trơn hàm mũ là kỹ thuật, trong đó liên tục tính toán lại hoặc giải thích lại những sự biến đổi hoặc dao động gần thời điểm xem xét. Những dao động này có thể do sai số ngẫu nhiên, hoặc vốn có bên ngoài không dự tính được. Phương pháp làm trơn này cho phép hiệu chỉnh để có kết quả dự báo chính xác hơn. Cần lưu ý rằng làm trơn hàm mũ chỉ thực hiện cho chuỗi dừng. Bài toán này được A.N. Kolmogorov đề xuất đầu tiên, sau đó được N. Viner phát triển. Trong làm trơn hàm mũ một giá trị làm trơn hay ước lượng mới là tổ hợp của giá trị làm trơn hay ước lượng của thời kỳ trước cộng với tỷ lệ của sai số ngẫu nhiên được tạo thành trong thời kỳ trước: )('' ttt exx 1 , (5.17) Phương trình này thường được viết dưới dạng: )( 11   tttt sxss  , (5.18) trong đó: st là giá trị làm trơn hay ước lượng mới cho thời kỳ tiếp theo; st-1 là giá trị làm trơn hay ước lượng cho thời kỳ trước; xt là số liệu thực của chuỗi trước; xt-st-1 là ước lượng cho thời kỳ tiếp theo;  là trọng số hoặc hằng số làm trơn. Sau khi loại bỏ số hạng đồng dạng phương trình (5.18) được viết thành: 11 1   tttt sxsx )( '  (5.19) Trọng số hay hằng số làm trơn không là chung cho mọi số hạng[24]. Những quan trắc gần nhất có trọng số lớn nhất (), quan trắc gần tiếp theo có trọng số (1-). Tiếp tục ta có trọng số (1-)2, (1-)3v.v. Như vậy số hạng làm trơn tại thời điểm t có thể viết như sau: 0 1 2 2 11 1111 sxxxxsx t t t ttttt )()(...)()( '    (5.20) a. Làm trơn hàm mũ đơn Thực hiện theo công thức (5.19) ở dạng truy hồi. Như thế phải xuất phát từ giá trị ban đầu s0 , đồng thòi cần xác định hằmg số làm trơn . 147 - Hằng số làm trơn Về lý thuyết,  có thể thay đổi từ 0,01 đến 1,00. Để xác định  thường dùng phương pháp thử sai, sao cho tổng bình phương sai số [(xt-x’t) 2] hay [(xt-st-1) 2] là nhỏ nhất. Giá trị ban đầu có thể phán đoán bằng sự so sánh giữa phương pháp làm trơn và trung bình trượt, khi đó ta có: 1 2   L  , (5.21) trong đó: L là độ dài thời kỳ làm trơn. -ước lượng ban đầu s0 ước lượng