Chương 9. Dòng không ổn định: sóng ngắn trên mặt

212 Chương 9. Dòng không ổn định: sóng Ngắn trên mặt 9.1. Mở đầu Sóng ngắn trên mặt tự do là sóng dao động được đặc trưng bởi độ cao, độ dài, chu kỳ, vận tốc lan truyền và hướng của chúng. Chu kỳ sóng là khoảng thời gian giữa những lần đi qua hai đỉnh sóng liên tiếp tại một vị trí đã cho. Hướng sóng (và cũng là hướng gió) được định nghĩa là hướng mà từ đó sóng đang đến so với hướng Bắc. Như vậy, hướng sóng 900 có nghĩa sóng đến từ phía Đông. Hướng sóng ngược với hướng dòng chảy, là hướng mà dòng chảy đi về phía đó. Sóng ngắn khác với sóng dài ở chỗ áp suất chất lỏng theo hướng thẳng đứng là phi thuỷ tĩnh. Sóng ngắn trên mặt tự do thường phát sinh bởi lực gió. Sóng ngắn lan truyền trong một vùng dưới ảnh hưởng của lực gió được gọi sóng gió hoặc sóng biển. Những đặc trưng sóng gió được xác định bởi đà gió, là khoảng cách mà qua đó gió thổi, bởi vận tốc gió và bởi thời gian gió thổi. Cùng một lúc, gió phát sinh ra các sóng có nhiều độ cao, độ dài và chu kỳ (sóng ngẫu nhiên). Sóng đã lan truyền ra khỏi trường lực của gió được gọi sóng lừng. Sóng này thay đổi trong thời gian lan truyền của chúng từ sóng gió tương đối dốc và ngắn (L/H = 20, T = 5 –10 s) thành sóng tương đối phẳng và dài (L/H = 100, T = 10 – 30 s) và thể hiện giống như sóng đơn điệu (đều) hơn. Sóng gió (biển) và sóng lừng là sóng trọng lực bởi vì trọng lực có xu hướng trả bề mặt chất lỏng về vị trí cân bằng nằm ngang của nó. Sóng ngắn với chu kỳ giữa 30 và 300 s đôi khi được gọi là sóng dưới trọng lực mà chuyển thành sóng dài. Sóng ngắn có thể lan truyền qua đại dương và biển cho đến khi chúng tiếp cận bờ, nơi năng lượng còn lại của chúng một phần được phản xạ hoặc tiêu tán bởi sóng đổ và ma sát đáy. Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết sóng ngắn, có thể phân chia như sau: Sóng biên độ nhỏ Sóng tuyến tính Airy (Sinusoid) Sóng Stokes bậc cao Sóng biên độ hữu hạn Sóng Trocoid Sóng Cnoid Sóng đơn độc Những chủ đề sau được trình bày: • những phương trình cơ bản của sóng tuyến tính và phi tuyến • những thuộc tính sóng tuyến tính • lớp biên sóng • năng lượng sóng và sự truyền năng lượng sóng 213 • phản xạ sóng, nước nông, khúc xạ, nhiễu xạ và sóng đổ • biến đổi mực nước do sóng (nước rút và nước dâng) • dòng chảy dọc bờ do sóng • sóng ngẫu nhiên Thông tin bổ sung có thể thấy trong Vật lý biển Công trình (Wiegel,1962) và theo Hướng dẫn Bảo vệ Bờ (1984). 9.2. Lý thuyết sóng tuyến tính và phi tuyến 9.2.1. Phương trình Bernoulli cho dòng không ổn định Giả thiết cơ bản của lý thuyết sóng tuyến tính và phi tuyến là dòng không quay, nói rằng không có ứng suất trượt nội. Về cơ bản, sự quay phát sinh tại các biên và thâm nhập từ đó vào trong chất lỏng. Sự quay không thể tự nó phát sinh trong chất lỏng khi không có biên. Trong trường hợp sóng mặt tự do chu kỳ ngắn trong nước sâu, chuyển động sóng không trải rộng đến đáy và do đó không thể phát sinh sự quay. Trong nước nông chuyển động sóng đạt đến đáy và phát sinh lớp biên sóng với dòng quay. Tuy nhiên, lớp biên này rất mỏng (0,01 m) do chu kỳ của sóng nhỏ. Dòng chảy sẽ đảo ngược trước khi một bề dày lớp biên đáng kể phát triển và những xoáy nước phát sinh trước khi dòng đảo ngược nhanh chóng mất đi. Như vậy, những chuyển động quay sẽ bị hạn chế trong một lớp biên khá mỏng gần đáy và có thể bỏ qua trong phương trình chuyển động mô tả dao động tự do trên mặt. Những phương trình cơ bản mô tả dòng chảy không ổn định không quay trong mặt phẳng thẳng đứng x - z là phương trình liên tục (phương trình 5.2.2) và phương trình chuyển động Euler: 0      z W x U (9.2.1) 0 1             x P z U W x U U t U  (9.2.2) 0 1             g z P z W W x W U t W  (9.2.3) trong đó: U, W = vận tốc tức thời theo các hướng x, z. Dòng không quay có thể mô tả dưới dạng thế vận tốc  (xem mục 7.2.2), được định nghĩa là: x U     và z W     . (9.2.4) Thay phương trình (9.2.4) vào phương trình liên tục cho ta phương trình Laplace, như sau: 214 0 2 2 2 2       zx  . (9.2.5) Thay phương trình (9.2.4) vào những phương trình Euler (9.2.2), (9.2.3) và sắp xếp lại, áp dụng phương trình liên tục (9.2.1) cuối cùng cho ta: 0])( 2 1 )( 2 1 [ 22             gz P zxtx   (9.2.6) 0])( 2 1 )( 2 1 [ 22             gz P zxtz   . (9.2.7) Như vậy, tổng những số hạng trong dấu móc không đổi theo không gian, nhưng có thể thay đổi theo thời gian, cho ta: )()( 2 1 )( 2 1 22 tFgz P zxt             . (9.2.8) Giá trị hàm phụ thuộc thời gian F(t) không mang ý nghĩa vật lý ở đây (sóng ổn định) và được lấy là F(t) = 0, cho ta: 0)( 2 1 )( 2 1 22           gz P zxt   . (9.2.9) Phương trình (9.2.9) là phương trình Bernoulli cho dòng không ổn định, hợp lệ tại mỗi điểm trong miền dòng chảy. 9.2.2. Lý thuyết sóng tuyến tính biên độ nhỏ Giả thiết rằng dao động mực nước  nhỏ, những số hạng phi tuyến 2)( x  và 2)( z  biểu thị gia tốc đối lưu phi tuyến có thể bỏ qua, ta có phương trình Bernoulli tuyến tính sau: 0    gz P t   (9.2.10) trong đó z = tọa độ thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên tính từ mặt nước (xem hình 9.1). Lý thuyết sóng tuyến tính hợp lệ đối với sóng tiến biên độ nhỏ trong chất lỏng đồng nhất có độ sâu không đổi. Để giải phương trình (9.2.5) và (9.2.10), những điều kiện biên cần thiết là: + điều kiện động học tại z = - h là: W = 0 hoặc 0   z  (9.2.11) 215 + điều kiện động học tại z = x,t là: tdt dx xdt dz        cho ta t U x W        hoặc txxz             (9.2.12) + điều kiện động lực tại z = x,t là: 0    gz P t   với P = 0 cho ta 0      g t . (9.2.13) Hình 9.1. Sóng tiến biên độ nhỏ trên mặt tự do Những phương trình (9.2.12) và (9.2.13) chỉ rõ những điều kiện biên tại mặt tự do z = x,t là một trong những biến chưa biết sẽ được giải. Vấn đề này có thể giải quyết bằng việc xấp xỉ phương trình (9.2.12) và (9.2.13) tại z =  bằng khai triển chuỗi Taylor tại mặt nước trung bình z = 0, là một vị trí được biết. áp dụng cho phương trình Bernoulli (9.2.13): 0... 0 2 2 2 00                                             zzzz g tz g tz g t g t          . (9.2.14) Trong lý thuyết sóng tuyến tính chỉ xét đến số hạng đầu tiên bên vế phải của phương trình (9.2.14). Cũng ứng dụng quy trình đó cho phương trình (9.2.12) và sau đó giả thiết rằng /x = 0 trong phương trình (9.2.12). Hệ phương trình đầy đủ cho lý thuyết sóng tuyến tính bây giờ là: + liên tục: 0 2 2 2 2       zx  (9.2.15) + chuyển động: 0    gz P t   (9.2.16) 216 + điều kiện biên động học z = 0: tz        (9.2.17) + điều kiện biên động lực z = 0: 0      g t . (9.2.18) Những phương trình (9.2.17) và (9.2.18) có thể sắp xếp lại thành: 0 2 2       z g t  . (9.2.19) Lời giải hệ phương trình tuyến tính (9.2.15) và (9.2.19), kết hợp với phương trình (9.2.11) là: )sin( sinh )(cosh ˆ kxt kz zhk c     (9.2.20) trong đó: ˆ = biên độ mặt nước (= H / 2) z = tọa độ thẳng đứng (chiều dương hướng lên từ mặt nước trung bình, xem hình (9.1)  = tần số góc (= 2 /T) k = số sóng (= 2 /L) H = độ cao sóng L = bước sóng T = chu kỳ sóng c = /k =(gtanh(kh)/k)0,5 = vận tốc lan truyền sóng. Vận tốc lan truyền sóng c cũng được gọi vận tốc pha bởi vì tất cả điểm của prôfil sóng (có cùng pha) lan truyền với cùng vận tốc c đó. áp dụng c = L/T = /k, có thể nhận được biểu thức sau: 2 = gk tanh(kh) (9.2.21) và gọi là quan hệ phân tán, biểu thị quan hệ giữa chu kỳ sóng T và bước sóng L. Sóng được gọi phân tán khi sóng có tần số (chu kỳ) khác nhau lan truyền với vận tốc pha khác nhau. Biên độ mặt nước được mô tả bằng (xem hình 9.2):  = ˆ cos(t - kx). (9.2.22) Hình 9.2. Lan truyền sóng 217 Những vận tốc U và W có thể nhận được từ những đạo hàm của hàm thế  (mục 9.3.3). Vận tốc U và W lệch pha 90o đối với chuyển động quỹ đạo của vectơ vận tốc. Mỗi hạt chất lỏng mô tả một chuyển động quỹ đạo hình êlíp với trục dài song song với đáy. Những quan trắc chỉ ra rằng quỹ đạo hạt chất lỏng trong sóng tiến là không kín. Có sự dịch chuyển nhỏ thực sự theo hướng ngang trong thời gian mỗi chu kỳ sóng (xem mục 9.2.4). Đây là hiệu ứng phi tuyến, có nghĩa là không thể dự đoán những quỹ đạo không kín chỉ bằng lý thuyết sóng tuyến tính. Mô tả chi tiết những thuộc tính sóng tuyến tính cho trong mục 9.3. 9.2.3. Lý thuyết sóng biên độ nhỏ phi tuyến ở phạm vi nào đó có thể xét những số hạng gia tốc đối lưu phi tuyến (/x)2 và (/z)2 bằng cách thể hiện thế  theo một chuỗi số mũ như sau: ....)(3sin)(2sin)sin( 3, 3 2, 2 1,,,  kxtHkxtHkxtH xxxtzx  (9.2.23) trong đó H = độ cao sóng và z,1, z, 2... là những hàm của z giảm về bậc độ lớn. Số hạng đầu tiên bên vế phải phương trình (9.2.23) được thể hiện trong lý thuyết sóng tuyến tính. Những số hạng khác là số hạng hiệu chỉnh, thể hiện các hiệu ứng phi tuyến. Lý thuyết sóng bậc hai thể hiện hai số hạng đầu tiên, như Stokes (1819 -1903) đưa ra: )(2sin sinh )(2cosh 48 3 )sin( sinh )(cosh 2 4 2 kxt kz zhkH kxt kz zhkH k           . (9.2.24) Tỷ số biên độ số hạng bậc hai và số hạng bậc nhất là: 33 2 0050 4 1 16 3 )(,)( h L L H h L L H R   . (9.2.25) Tỷ số này biểu thị rằng tính phi tuyến của chuyển động sóng nhỏ, nếu tham số UR = (h/L)(L/h)3 nhỏ (< 1). Số hạng này được gọi là số Ursell. Trong trường hợp UR < 1, lý thuyết sóng tuyến tính có thể ứng dụng an toàn trong nước sâu. Lý thuyết Stokes chỉ có thể áp dụng trong nước không sâu lắm nếu độ dốc sóng H/L nhỏ. Biên độ mặt nước  theo lý thuyết sóng bậc hai là: )(2cos sinh )2cosh2)(2(cosh 44 )cos( 2 3 2 kxt kz khkhHk kxt H     . (9.2.26) Phương trình (9.2.26) cho trong hình 9.3. Với việc tính đến những số hạng bậc cao hơn, mặt cắt sóng trở nên biến dạng hơn. Những đỉnh sóng trở nên hẹp và cao, những chân sóng trở nên rộng và thấp. Hiệu ứng này tăng lên khi độ sâu giảm (nước nông). Trong nước sâu độ biến dạng rất nhỏ. Mặt cắt sóng luôn đối xứng qua một mặt phẳng đi qua đỉnh sóng hoặc chân sóng. Những lý thuyết sóng tuyến tính và phi tuyến không chính xác trong nước nông, trừ khi H/h và H/L nhỏ. Để vượt qua điều này, những lý thuyết sóng đặc biệt cho nước 218 nông đã được phát triển. Một ví dụ là lý thuyết sóng Cnoidal. Về cơ bản, những lý thuyết này là những lý thuyết sóng dài có sự hiệu chỉnh những hiệu ứng đối lưu động lượng thẳng đứng. Điều này đặc biệt quan trọng dưới đỉnh sóng. 9.2.4. Các hiệu ứng phi tuyến: vận chuyển khối lượng trong sóng không đổ Nói một cách chặt chẽ, vận chuyển khối lượng là một hiệu ứng phi tuyến bởi vì những phương trình chứa số hạng H2. Tuy nhiên có thể nhận được những phương trình này bằng cách áp dụng những đặc điểm của lý thuyết sóng tuyến tính. Dòng dao động không nhớt Stokes là người đầu tiên chỉ ra rằng những hạt chất lỏng không mô tả chính xác những quỹ đạo kín trong trường hợp sóng mặt biên độ nhỏ (sinusoidal) lan truyền trong một dòng dao động không nhớt (không quay) hoàn chỉnh, xem hình 9.4. Những hạt có vận tốc Lagrange trung bình bậc hai (gọi là dòng trôi Stokes) theo hướng lan truyền sóng. Điều này là do vận tốc quỹ đạo ngang tăng theo độ cao (z) ở trên đáy. Vậy, một hạt tại đỉnh quỹ đạo ở đỉnh sóng chuyển động nhanh hơn về phía trước so với khi tại đáy quỹ đạo ở chân sóng theo hướng ngược lại. Theo định nghĩa, không thể phát hiện dòng trôi Stokes theo phương pháp Lagrange bằng việc đo đạc tại một điểm cố định. Dòng trôi Stokes tức thời hướng ngang (Us) của một hạt nước so với vị trí trung bình x1 và z1 là Us (x1 + z1 + ), trong đó  và  là những tọa độ của vị trí hạt trên quỹ đạo. Một xấp xỉ của Us là: z U x U zxUzxU s        ),()( 1111 (9.2.27) áp dụng lý thuyết sóng bậc nhất (tuyến tính) và lấy trung bình chu kỳ sóng, ta có: kh hzk kHzU s 2 2 sinh )(2cosh 8 1 )(    (9.2.28) trong đó: sU = vận tốc trôi Stokes (tỷ số của độ dịch chuyển hướng ngang thực tế với chu kỳ sóng)  = 2 /T = tần số sóng k = 2 /L = số sóng z = tọa độ thẳng đứng (chiều dương hướng lên trên từ mực nước trung bình) Tại đáy (z = - h): kh kHU s 2 2 sinh 1 8 1  . (9.2.29) Tại mặt (z = 0): kh kh kHU s 2 2 sinh 2cosh 8 1  . (9.2.30) 219 Hình 9.3. Mặt cắt sóng bậc hai Đối với sóng lan truyền trong một miền không có biên ngang, dòng khối lượng tích phân theo độ sâu (m2/s) là: c gH kh H kh kh kHdzzUM h ss 8 coth 8sinh 2sinh 16 1 )( 22 2 2 0     (9.2.31) trong đó: c = vận tốc sóng. Hình 9.4. Những quỹ đạo hạt kín và không kín Phương trình (9.2.31) đơn giản thành Ms = H 2/8 đối với nước sâu (kh >> 1). Đối với sóng lan truyền trong miền có biên nằm ngang, thích hợp nhất là gán điều kiện dòng khối lượng bằng không (M = 0) cho mỗi vị trí (x), cho ta (hình 9.5A): kh kh kh hzk kHzU s 2 2 sinh 2 2sinh )(2cosh 8 1 )(    . (9.2.32) Phương trình (9.2.32) có thể xem như tổng của dòng trôi Stokes về phía trước và một dòng đều quay ngược lại. Việc phát sinh một dòng khối lượng dương gần mặt theo hướng sóng và một dòng âm gần đáy ngược với hướng sóng đòi hỏi sự có mặt một gradient áp suất ngang (ứng suất trượt vắng mặt trong dòng không nhớt), gradient này được tạo ra bởi "sự dâng" mặt tự do về phía bờ (tương tự nước dâng do gió). Dòng khối lượng (m2/s) tại một vị trí cố định (x) trong một miền không có biên cũng có thể xác định theo phương pháp Euler như sau:     T t h e dzztU T M 0 )( ),( 1  . (9.2.33) trong đó: 220 U = vận tốc ngang tức thời tại độ cao z  = độ dịch chuyển mặt nước so với mặt trung bình. Trong vùng giữa đỉnh và chân của sóng hình sin, sự bất đối xứng của vận tốc ngang chỉ ra rằng chất lỏng truyền theo hướng sóng dưới đỉnh lớn hơn trong vùng chân sóng. Dưới chân của sóng hình sin, giá trị trung bình thời gian của vận tốc ngang tại một điểm cố định bằng không. Bằng việc áp dụng lý thuyết sóng bậc nhất (tuyến tính) cho sóng hình sin biên độ nhỏ, phương trình (9.2.33) cho ta: c gH M e 8 2  . (9.2.34) Phương pháp Euler và phương pháp Lagrange cho ta cùng khối lượng vận chuyển tích phân theo độ sâu. Tuy nhiên, phân bố thẳng đứng của vận tốc vận chuyển khối lượng lại khác nhau đối với cả hai phương pháp. Dòng dao động rối và nhớt Longuet - Higgins (1953) đã chỉ ra rằng đối với những chất lỏng thực với độ nhớt , có sự truyền động lượng thực tế xuống dưới trung bình theo thời gian vào trong lớp biên do khuyếch tán nhớt ( zU  / ), tạo ra dòng Euler trung bình ( sU ) bổ sung cho dòng trôi Stokes kiểu Lagrange ( eU ). Dòng Euler trung bình có thể xem như vận tốc trung bình của các tâm quỹ đạo. Giả thiết dòng không nhớt, vận tốc Euler trung bình bằng không (lý thuyết Stokes). Vận tốc vận chuyển khối lượng tổng cộng ( mU ) xác định như sau:        Udt z U Udt x U UUUU esem . (9.2.35) Với dòng chảy phân tầng trong lớp biên, Longuet - Higgins dẫn ra: )3cos85( sinh16 )( 2 2 2    zz m e z e kh kH zU  (9.2.36) trong đó:  /2 = độ dày lớp biên phân tầng. (9.2.37) Phương trình (9.2.37) có giá trị lớn nhất gần đáy: c U kh kH U m 2 2 2 3761 4 3761   ˆ , sinh ,max,  . (9.2.38) Khi z/ -, phương trình (9.2.37) cho ta vận tốc tại mép lớp biên: c U kh kH U m 2 2 2 ˆ 4 5 sinh16 5   (9.2.39) trong đó: 221 Hình 9.5. Những vận tốc vận chuyển khối lượng trong sóng không đổ 222 bUˆ = giá trị vận tốc quỹ đạo lớn nhất ngay ngoài lớp biên theo lý thuyết sóng tuyến tính, phương trình (9.3.25) c = vận tốc sóng (/k). Bằng việc giả thiết dòng khối lượng bằng không trên toàn bộ độ sâu nước (M = 0), Longuet - Higgins (1953) dẫn xuất: )/( sinh8 )()()( 2 2 hzF kh kH zUzUzU esm   (9.2.40) )1)( 2 3 2 2sinh ( 2 3 )143)(2sinh( 22 3 )(2cosh)/( 2 2 2 2  h z kh kh h z h z kh kh hzkhzF . (9.2.41) Phương trình (9.2.40) có thể xem như tổng của dòng trôi Stokes về phía trước (phương trình (9.2.28)) và phân bố vận tốc parabôn Euler, cho ta một dòng chảy về phía trước tại đáy và một dòng chảy ngược lại tại giữa độ sâu (hình 9.5 C). Giải thích này không chắc chắn lắm bởi vì nó liên quan đến một thành phần dựa vào dòng không nhớt và một thành phần khác dựa vào dòng nhớt. Những vận tốc tại mép lớp biên (z = - h): c U kh kH U s 2 2 2 ˆ 2 1 sinh8 1   (9.2.42) c U kh kH U e 2 2 2 ˆ 4 3 sinh16 3   (9.2.43) c U kh kH U m 2 2 2 ˆ 4 5 sinh16 5   . (9.2.44) Phương trình (9.2.40) hợp lệ đối với H < 2, cho ta một cấp độ cao sóng ít quan trọng đối với thực hành. Dựa trên so sánh với kết quả thí nghiệm, đã nhận được những dự đoán khá tốt đối với 0,7 < kh < 1,5. Longuet - Higgins cũng cho thấy có thể sử dụng phương trình (9.2.44) để mô tả vận tốc vận chuyển khối lượng ngay bên ngoài lớp biên trong trường hợp dòng dao động rối trơn. 9.2.5. Các hiệu ứng phi tuyến: vận chuyển khối lượng trong sóng đổ Vận chuyển khối lượng cũng phát sinh do sóng đổ. Trên mực chân sóng có vận chuyển khối lượng thực tế hướng vào bờ. Theo xấp xỉ bậc nhất, khối lượng vận chuyển trên mực chân sóng có thể đánh giá như sau (xem phương trình 9.2.34): c gH Me 8 2  . (9.2.45) áp dụng c = (gh)0,5 trong nước nông, ta có: 223 h gH M 8 2  . (9.2.46) Giả thiết không có dòng thực tế trong toàn bộ độ sâu, dòng trở lại, còn gọi là dòng sóng dội, dưới mực chân sóng có thể đánh giá bằng (xem hình 9.6): t offm h H h g U 2 8 1 , . (9.2.47) Lấy ht = 0,8 h, ta có: h H h g U offm 2 150,,  . (9.2.48) Ví dụ Giả thiết h = 2 m và H = 1,2 m, dòng chảy trở lại là offmU , = 0,25 m/s. Hình 9.6. Vận chuyển khối lượng trong sóng đổ 9.3. Các thuộc tính sóng tuyến tính 9.3.1. Mở đầu Những thuộc tính sau đây của sóng tuyến tính biên độ nhỏ được xem xét: • bước sóng • vận tốc lan truyền sóng • vận tốc hạt chất lỏng • độ dịch chuyển hạt chất lỏng • áp suất chất lỏng • năng lượng sóng và vận chuyển • vận tốc nhóm sóng và vận tốc front sóng. 224 Thông thường các phương trình mô tả những thuộc tính sóng có thể đơn giản hóa cho nước sâu và nước nông bằng việc áp dụng những giá trị tiệm cận cho những hàm hyperbolic. Những hàm hyperbolic có thể biểu thị như sau: 2 sinh khkh ee kh   2 cosh khkh ee kh   khkh khkh ee ee kh     tanh . Bỏ qua những sai số nhỏ hơn 5 %, nói chung có thể áp dụng các xấp xỉ nước sâu và nước nông (các hình 9.7 và 9.8): Những xấp xỉ Nước sâu kh < 0,1  (h < 0,05 L) Nước nông kh >  (h > 0,5 L) sinh(kh) kh 1/2ekh cosh(kh) 1 1/2ekh tanh(kh) kh 1 Những tham số sóng nước sâu nói chung được gán chỉ số dưới 0, là H0, L0, c0 vân vân. Hình 9.7. Chuyển động quỹ đạo trong nước sâu và nước nông 225 Hình 9.8. Các hàm hyperbolic 9.3.2. Quan hệ phân tán Quan hệ phân tán biểu thị mối tương quan hàm số giữa chu kỳ sóng, bước sóng và gia tốc trọng trường như sau: khgk tanh2  (9.3.1) hoặc ) 2 tanh( 2 )( 2 L hgL T L    . (9.3.2) Phương trình (9.3.1) cũng có thể biểu thị bằng: khgkhk tanh0  (9.3.3)