Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác 142 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác 143 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 144 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Phương trình lượng giác cơ bản: cos os 2 2 sin sin ,2 tan tan cot cot x c x k x k x kx k x x k x x k                                          Bài 1. Giải phương trình  2 22cos os 1 os sin 2 2 c x c x        Lời giải: Phương trình tương đương với      2 2 22cos os 1 os sin 2 1 os os 1 os sin 2 2 c x c x c c x c x                 2 2os os os sin 2 os sin 2 2c c x c x c x x k          2os sin 2 2 os2 2sin 2 4 1 (*)c x x k c x x k        Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi  2 2 2 1 5 1 54 1 1 2 0 . 4 4 k k k          Khi đó phương trình (*) trở thành  2os2 2sin 2 1 2 cos 4sin cos 0 cos cos 2sin 0c x x x x x x x x         . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 145 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam cos 0 1, , tan21 2tan 2 x x k k x x k                      . Vậy phương trình có nghiệm là 1, , , tan 2 2 x k k k               . Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình  2os 3 9 160 800 18c x x x         Lời giải: Phương trình tương đương với     2 2 22 3 9 160 800 2 , 9 160 800 3 16 8 3 16 03 16 0 259 24 409 160 800 3 2 3 5 x x x k k x x x k x kx k x kx x x k k                            Vậy với 2 10 , 25 3 5 7 31 k k x k k x x                   Vậy có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là  7, 31x x    . Bài 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình  2 21os 2 sin 2 c x x x           Lời giải: Phương trình tương đương với PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 146 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1os 2 sin os 2 sin 2 2 2 2 sin 2 sin , 2 2 c x x x c x x x x x x k x x x k x x x k                                                  min 0 3 10 0 01 4 3 2 2 x k k x k xk kx                 Vậy nghiệm của phương trình là 3 1 2 x  . Bài 4. Tìm nghiệm x thuộc đoạn  0;14 thỏa mãn phương trình os3 4cos 2 3cos 4 0c x x x    Lời giải: Phương trình tương đương với     3 3 2 4cos 3cos 4 os2 1 3cos 0 4cos 8cos 0 cos 0 , 2 0 14 0 14 0,1, 2,3 2 x x c x x x x x x k k x k k                            Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3 5 7; ; ; 2 2 2 2 x         BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn  1,10 của phương trình 3sin os cos sin 5 5 2 xc x   Bài 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 147 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam     22os os 1c x c x   Bài 3. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình  2os 3 9 80 40 110c x x x         Bài 4. Giải phương trình   8 4 23 2 sin 16 2 0x x x x     Bài 5. Tìm các nghiệm thuộc đoạn  0;2 của phương trình os3 +sin3x5 sin os2 3 1 2sin 2 c xx c x x       Bài 6. Tìm nghiệm ; 2 x       thỏa mãn phương trình  2sin 2 3cos 2 2 3sin cos 7x x x x    ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX Cần nhớ đến các biến đổi sau, khi xuất hiện các biểu thức này khi giải toán sẽ áp dụng cách biến đổi tương tự. 1 1sin cos 2 sin os 2 sin 2 os 4 42 2 x x x c x x c x                      1 3sin 3 cos 2 sin cos 2sin 2 os 2 2 3 6 x x x x x c x                         3 13 sin cos 2 sin cos 2sin 2cos 2 2 6 3 x x x x x x                         BÀI TẬP MẪU PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 148 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Bài 1. Giải phương trình: sin 3 3 cos3 2sin 2x x x  Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với 1 3sin 3 3 cos3 2sin 2 2 sin 3 os3 2sin 2 2 2 x x x x c x x            3 2 2 2 3 32sin 3 2sin 2 , 4 23 3 2 2 3 15 5 x x k x k x x k x x k x k                                       Bài 2. Giải phương trình  3sin cos sin 2 3 os3 2 os4 sinx x x c x c x x    Lời giải: Phương trình tương đương với 1 1 3 1sin sin 3 sin 3 os3 2 os4 sin sin 3 2 2 2 2 sin 3 3 os3 2 os4 os 3 os4 6 x x x c x c x x x x c x c x c x c x                 3 4 2 2 6 6 23 4 2 6 42 7 x x k x k x x k x k                              Bài 3. Giải phương trình  3 sin 2 sin os2 cos 2x x c x x    PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 149 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Lời giải: Phương trình tương đương với  3 sin 2 sin os2 cos 2x x c x x    3 1 3 1sin 2 os2 sin cos 1 2 2 2 2 x c x x x                    2os 2 sin 1 2sin sin 0 3 6 6 6 c x x x x                                   sin 0 66 2 , 1sin 26 2 3 x kx x k k x x k                                 Bài 4. Giải phương trình 3sin 4sin 5sin 5 0. 3 6 6 x x x                        Lời giải: Phương trình tương đương với 3sin 4cos 5sin 5 3 2 6 6 73sin 4cos 5sin 5 3 3 6 x x x x x x                                                        Đặt 4 3sin ; os 5 5 c   , khi đó phương trình tương đương với 7 95sin 5sin 5 3 6 24 4 2 36 6 3 k kx x x x                             PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 150 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Bài 5. Giải phương trình:      1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     Lời giải: Điều kiện: sin 1 (*)1sin 2 x x      Khi đó phương trình tương đương với:    2cos sin 2 3 1 2sin sin 2sin cos sin 2 3 os2 sinx x x x x x x c x x         1 3 3 1cos 3 sin 3 os2 sin 2 cos sin os2 sin 2 2 2 2 2 x x c x x x x c x x        2 2 2 6 3 2os cos 2 , 23 6 2 2 18 36 3 x x k x k c x s x k kxx x k                                                 So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: 2 , 18 3 kx k     . Bài 6. Giải phương trình: os2 3 sin 2 3 sin cos 4 0c x x x x     . Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với: 1 3 1 3os2 sin 2 cos sin 2 0 2 2 2 2 c x x x x                    os 2 os 2 0 os 2 os 2 0 3 3 3 3 c x c x c x c x                                          2os2 os 2 0 2cos 1 os 2 0 3 3 3 3 c x c x x c x                                       os 1 2 os 3 0 os 1 0 3 3 3 c x c x c x                                   2 2 , 3 3 x k x k k         . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 151 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Vậy phương trình có nghiệm là: 2 , 3 x k k         . Bài 7. Giải phương trình:  sin 3 cos sin 3 2x x x  Lời giải: Phương trình tương đương với: 1 3sin cos sin 3 1 sin sin 3 1 2 2 3 x x x x x                Do 1 sin 1 3 1 sin 3 1 x x              nên phương trình tương đương với sin 1 3 sin 3 1 6 sin 1 3 sin 3 1 x x x k x x                              Bài 8. Giải phương trình:    4 44 sin os 3 sin 4 3 1 tan 2 tan sin 4x c x x x x x     Lời giải: Điều kiện: cos cos 2 0x x  (*). Phương trình đã cho tương đương với: 21 sin sin 2 cos cos 24 1 sin 2 3 sin 4 3 sin 4 2 cos cos 2 x x x xx x x x x               PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 152 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 1 3os4 3 sin 4 2sin 2 os4 sin 4 sin 2 sin 4 sin 2 2 2 6 c x x x c x x x x x             4 2 2 6 12 , 54 2 2 36 36 x x k x k k x kx x k                               thỏa mãn (*). Bài 9. Giải phương trình  3 sin 2 cos sin cos 2 2x x x x    Lời giải: Phương trình tương đương với 3 1 1 33 sin 2 cos 2 sin 3 cos 2 sin 2 cos 2 sin cos 1 2 2 2 2 x x x x x x x x         2cos 2 cos 1 2cos cos 0 3 6 6 6 x x x x                                    3cos 0 6 2 , 21cos 56 2 2 6 x k x x k k x x k                                       Vậy phương trình có nghiệm là 5; 2 ; 2 , 3 2 6 x k k k k               Bài 10. Giải phương trình 2sin sin 2 2sin cos sin cos 6 os2 os 4 x x x x x x c x c x           Lời giải: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 153 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Điều kiện: os 0 4 c x       Khi đó phương trình tương đương với   2 22sin cos 2cos sin sin cos 6 os21 sin cos 2 x x x x x x c x x x      3 1 11 2sin cos 3 os2 os2 sin 2 2 2 2 x x c x c x x      2 2 6 3 12os 2 os 6 3 2 2 6 3 4 x k x k c x c x k x k                                       Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm 12 x k   thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm , 12 x k k         BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình 2 2os 3 sin 2 1 sin .c x x x   Bài 2. Giải phương trình  4 44 sin os 3 sin 4 2.x c x x   Bài 3. Giải phương trình  2 2 sin cos cos 3 os2 .x x x c x   Bài 4. Giải phương trình 2 32 sin 6 os 2sin 2sin . 5 12 5 12 5 3 5 6 x x x xc                                Bài 5. Giải phương trình PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 154 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  cos sin 2 sin 2 1 3 1 2cos . 6 6 x x x x                  Bài 6. Giải phương trình: 416cos 4 3 cos 2 5 0 4 x x        . Bài 7. Giải phương trình: 2 23 cos tan sin 4 tan sin tan 3 cosx x x x x x x    . Bài 8. Giải phương trình:   22 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 xx x          . Bài 9. Giải phương trình:      3sin 1 2 3 cos 1 1 2sin 2 3 cos 1 x x x x     . Bài 10. Giải phương trình: 1 cos 12 cos sin 2 x x x        Bài 11. Giải phương trình:  3 sin 2 cos sin cos 2 2x x x x    PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX Phương trình có dạng  sin cos sin cos 0a x x b x x c     sin cos sin cos 0a x x b x x c    Đặt 2 2 1sin cos 2; 2 sin cos . 2 1sin cos 2; 2 sin cos . 2 tt x x x x tt x x x x                      Đưa về giải phương trình với ẩn là .t BÀI TẬP MẪU Bài 1. Giải phương trình PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 155 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 3 3 31 sin os sin 2 . 2 x c x x   Lời giải: Phương trình tương đương với    31 sin cos 3sin cos sin cos 3sin cos .x x x x x x x x     Đặt 2 1sin cos 2; 2 sin cos . 2 tt x x x x         Khi đó phương trình trở thành     2 2 3 3 2 21 11 3 3 3 3 5 0 1 2 5 0 2 2 1 2; 2 sin cos 0 sin 2 0 , . 2 t tt t t t t t t t kt x x x x k                                         Vậy phương trình có nghiệm là: , 2 x k k       . Bài 2. Giải phương trình:  2 2 sin cos sin 2 1x x x   . Lời giải: đặt 2sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 1 4 t x x x x t                . Khi đó phương trình trở thành:    2 22 2 1 1 2 2 0 2 2 0 0 os 04t t t t t t t c x                   3 , 4 2 4 x k x k k           . Bài 3. Giải phương trình:   sin cos 11 2 sin cos 1 2 2 0 sin cos 2 x xx x x x           . Lời giải: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 156 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Điều kiện: sin cos 2 0x x   (*). Đặt 2 1sin cos 2 os 2, 2 sin cos 4 2 tt x x c x x x                . Khi đó phương trình trở thành:     2 22 11 1 1 2 2 2 2 22 2 2 tt t t                  3 22 2 2 2 2 2 2 2 0t t t                 22 2 2 2 2 2 2 0 2 1 2 2 2 0t t t t t t              2 os 2 42 1 2 os 1 4 c x t t c x                     2 2 4 4 2 , 2 24 4 2 x k x k x k k x k x k                               ( thỏa mãn (*) ). Vậy phương trình có nghiệm là: 2 , 2 , 2 , 4 2 x k k k k            . BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình sin cos 7sin 2 1.x x x   Bài 2. Giải phương trình   1 2 sin cos 2sin cos 1 2.x x x x     Bài 3. Giải phương trình PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 157 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam sin 2 2 sin 1. 4 x x        Bài 4. Giải phương trình  sin 3 os3 2 sin cos 1.x c x x x    Bài 5. Giải phương trình   1 12 2 sin 2 tan cot 0. sin cos x x x x x           Bài 6. Giải phương trình: 3 3 2sin os sin cos 2 2 x c x x x     . Bài 7. Giải phương trình: 3 3 31 sin os sin 2 2 x c x x   . Bài 8. Giải phương trình:  2 2sin os cos sin 2 sin cos sin 2 2 0 sin cos sin cos xc x x x x x x x x x x         . Bài 9. Giải phương trình:   1 2 sin cos 2sin cos 1 2x x x x     . Bài 10.Giải phương trình: sin 2 2 sin 1 4 x x x        . Bài 11.Giải phương trình: sin cos 4sin 2 1x x x   . Bài 12. Giải phương trình:    5 1 sin 2 16 sin cos 3 0x x x     . Bài 13. Giải phương trình:     3 3sin cos 1 2 sin os 1 2sin 2x x x c x x     . Bài 14. Giải phương trình:    3 32 sin os sin cos sin 2 0x c x x x x     . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 158 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Bài 15. Giải phương trình:    3 32 sin os sin 2 sin cos 2 2x c x x x x    . Bài 16. Giải phương trình:      sin cos 1 2sin 2 1 sin cos 2sin 2 1x x x x x x      . PHƯƠNG TRÌNH KẾT HỢP TANX, COTX, SINX, COSX Bài 1. Giải phương trình:    2 tan sin 3 cot cos 5 0x x x x     . Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với sin cos2 1 sin 3 1 cos 0 cos sin x xx x x x                   2 3sin cos sin cos 0 cos sin x x x x x x          3tan 2 sin cos sin cos 0 x x x x x        Bài 2. Giải phương trình:    3 cot cos 5 tan sin 2x x x x    . Lời giải: Phương trình tương đương với: cos sin3 1 cos 5 1 sin 0 sin cos x xx x x x                    3 cos sin sin cos 5 cos sin sin cos 0 sin os x x x x x x x x x c x         3 5 cos sin sin cos 0 sin os x x x x x c x          . Bài 3. Giải phương trình:  2 sin cos tan cotx x x x   . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 159 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Lời giải: Điều kiện: sin cos 0x x  (*). Khi đó phương trình tương đương với:     2 2sin cos2 sin cos 2 sin cos sin cos sin os 1 cos sin x xx x x x x x x c x x x         Đặt 2 1sin cos 2 os 2, 2 sin cos 4 2 tt x x c x x x                . Khi đó phương trình trở thành:     2 3 22 1 1 2 2 2 0 2 2 2 2 0 22 t t t t t t t t             2 os 2 2 , 4 4 c x x k k              . thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm là: 2 , 4 x k k         . Bài 4. Giải phương trình: cot tan sin cosx x x x   Lời giải: Điều kiện: sin cos 0x x  Khi đó phương trình tương đương với:   cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos 0 sin cos x x x x x x x x x x x x          Xét sin cos 0 tan 1 4 x x x x k          .  Xét sin cos sin cos 0x x x x   (*), đặt 21sin cos 2 cos 2, 2 sin cos 4 2 tt x x x x x x                 . Khi đó phương trình (*) trở thành: 21 0 1 2 1 2 2 os 1 2 2 4 tt t t c x                   2 1os os 2 4 42 c x c x k                . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 160 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Vậy phương trình có nghiệm là: 2 1, 2 , , os 4 4 2 x k k k c                     . Bài 5. Giải phương trình:    3 tan cot 2 2 sin 2x x x   . Lời giải: Điều kiện: sin cos 0x x  . Khi đó phương trình tương đương với:       2 23 sin cossin cos3 2 2 sin 2 2 2 sin 2 cos sin sin cos x xx x x x x x x x               26 2 2 sin 2 sin 2 2sin 2 3 0 sin 2 1 sin 2 3 0 sin 2 x x x x x x            . thỏa mãn điều kiện. Bài 6. Giải phương trình: 22 tan cot 3 sin 2 x x x    . Lời giải: Điều kiện: sin 2 0x  . Khi đó phương trình tương đương với:   2 sin cos 2tan cot tan 3 tan 3 sin 2 cos sin sin 2 x xx x x x x x x x              2 2sin os 2tan 3 tan 3 , sin cos sin 2 3 x c x x x x k k x x x              . Bài 7. Giải phương trình:  2 2 1 13 12 2 3 tan cot sin os x x x c x         . Lời giải: Điều kiện: sin cos 0x x  . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 161 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Khi đó phương trình tương đương với:    2 23 1 tan 1 cot 12 2 3 tan cotx x x x         2 23 tan cot 2 2 3 tan cot 0x x x x              23 tan cot 2 3 tan cot 0 tan cot 3 tan cot 2 3 0x x x x x x x x           Xét tan cot 0 4 2 x x x k      .  Xét 22 3 2 3tan cot tan tan 1 0 3 3 x x x x      tan 3 3 1tan 3 6 x x k x x k                  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình: 2 24sin 3tan 1x x  . Bài 2. Giải phương trình: 1 tan 2 2 sinx x  . Bài 3. Giải phương trình: 1 3sin 2 2 tanx x  . Bài 4. Giải phương trình:  2 3 3tan 1 sin os 1 0x x c x    . Bài 5. Giải phương trình: 2sin cot 2sin 2 1x x x   . Bài 6. Giải phương trình:  2sin 2 2cos 4 sin cos tan 1 0x x x x x      .