Chuyên đề: Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

Chuyên đề 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐTHS Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số I. Tóm tắt lý thuyết Giả sử K là một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng, tức là một trong các miền sau 1. Định nghĩa. Cho hàm số xác định trên K. · Hàm số được gọi là đồng biến trên K nếu . · Hàm số được gọi là nghịch biến trên K nếu . 2. Các định lý 2.1. Định lý 1. Cho hàm số có đạo hàm trên K. a) Nếu hàm số đồng biến trên K thì với mọi . b) Nếu hàm số nghịch biến trên K thì với mọi . 2.2. Định lý 2. Cho hàm số có đạo hàm trên K. a) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên K. b) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên K. c) Nếu với mọi thì hàm số không đổi trên K. 2.3. Định lý 3 (Định lý mở rộng). Cho hàm số có đạo hàm trên K. a) Nếu với mọi và chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số đồng biến trên K. b) Nếu với mọi và chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K. II. Phương pháp giải toán Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số . B1. TXĐ B2. Tính y’ và giải pt y’ = 0 B3. Lập bảng biến thiên và kết luận. Ví dụ. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau a) ; b) ; c) ; d) . Dạng 2. Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp K cho trước B1. TXĐ B2. Tính y’ B3. Lập luận: đồng biến trên K nghịch biến trên K * NHẮC LẠI Định lý. Cho tam thức bậc hai , khi đó Ví dụ. 1) Cho hàm số . Tìm để hàm số luôn đồng biến trên . 2) Cho hàm số . Tìm để hàm số luôn đồng biến trên . 3) Cho hàm số . Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng . 4) Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng . 5) Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. 6) Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng . III. Bài tập Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau a) ; b) ; c) ; d) . Bài 2. Cho hàm số . Tìm để hàm số luôn nghịch biến trên . Đáp số: . Bài 3. Cho hàm số . Tìm để hàm số luôn đồng biến trên . Đáp số: hoặc . Bài 4. Cho hàm số . Tìm để hàm số luôn đồng biến trên . Đáp số: . Bài 5. Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Đáp số: hoặc . Bài 6. Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng . Đáp số: . Bài 7. Cho hàm số . Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng . Đáp số: . Bài 2. Cực trị của hàm số I. Phương pháp giải toán Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số B1. TXĐ B2. Tính y’ và giải pt y’ = 0 B3. Lập bảng biến thiên B4. Kết luận Ví dụ 1. Tìm cực trị của các hàm số sau a) ; b) ; c) ; d) . Dạng 2. Định giá trị tham số để hàm số có cực trị B1. TXĐ B2. Tính B3. Lập luận * Lưu ý: a) Hàm số có hai điểm cực trị có hai nghiệm phân biệt. b) Hàm số có ba điểm cực trị có ba nghiệm phân biệt. Ví dụ 2. a) Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị. b) Cho hàm số . Tìm để hàm số có ba điểm cực trị. Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x0 cho trước. B1. Tập xác định: B2. Tính B3. Lập luận: Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x0 Giá trị của tham số m. Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào thử lại. Khi thử lại có thể dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2. * Ghi chú: Quy tắc 1: Dựa vào bảng biến thiên; Quy tắc 2: Dựa vào dấu của y’’. Ví dụ 3. Cho HS . Tìm để HS đạt cực tiểu tại . Dạng 4: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước. B1. Tập xác định: B2. Tính B3. Lập luận Ví dụ 4. Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. Ví dụ 5. Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị và sao cho . Ví dụ 6. Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị và sao cho . Ví dụ 7. Cho hàm số (1), với m là tham số thực và điểm . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị và sao cho tam giác cân tại . Ví dụ 8. Cho HS (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị HS (1) có ba điểm cực trị đồng thời các điểm tạo thành tam giác vuông tại với hoành độ điểm bằng . II. Bài tập Bài 1. Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu. Đáp số: và . Bài 2. Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. Đáp số: . Bài 3. Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại Đáp số: . Bài 4. Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị và sao cho . Đáp số: Bài 5. Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị và sao cho . Đáp số: Bài 6. Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị và sao cho . Đáp số: . Bài 7. Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ . Đáp số: . Bài 8. Cho hàm số . Tìm để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông . Đáp số: . Bài 9. Cho hàm số . Tìm để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp xúc với đường tròn Đáp số: Bài 10. Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực đại tại xCĐ, đạt cực tiểu tại xCT thỏa mãn x2CĐ = xCT. Đáp số: . Bài 11. Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho ( là gốc tọa độ) Đáp số: . Bài 12. Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu bằng 4. Đáp số: . Bài 13. Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại ba điểm phân biệt thỏa mãn . Đáp số: . Bài 3. Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số I. Định nghĩa Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D. Số M được gọi là GTLN của hàm số trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn Ký hiệu: . Số m được gọi là GTNN của hàm số trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn Ký hiệu: . Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói "trên tập D" thì ta hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TXĐ của nó. II. Các phương pháp thường dùng để tìm GTLN và GTNN của hàm số PP1 : Sử dụng bất đẳng thức (PP dùng định nghĩa) 1) Phân tích tam thức bậc hai 2) Bất đẳng thức Cô-si Với hai số a, b không âm ta luôn có: Dấu " = " xảy ra khi . Với ba số a, b, c không âm ta luôn có: . Dấu " = " xảy ra khi . 3) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng ; ; Ví dụ 1. Tìm GTLN của hàm số . Ví dụ 2. Tìm GTNN của hàm số . Ví dụ 3. Tìm GTNN của các hàm số với . PP2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình (PP miền giá trị) * Cơ sở lý thuyết: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng Tập xác định của hàm số được định nghĩa là : {f(x) có nghĩa} Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là : T = {Phương trình f(x) = y có nghiệm } Do đó, nếu ta tìm được tập giá trị T của HS thì ta có thể tìm đựơc GTLN và GTNN của HS đó. * Một số kiến thức thường dùng: a) Phương trình có nghiệm b) Phương trình có nghiệm Ví dụ. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) ; b) . PP3 : Sử dụng đạo hàm (PP giải tích) * Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D, ta lập bảng biến thiên của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy ra kết quả. * Phương pháp riêng: Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó. Giả sử hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng , có thể trừ một số hữu hạn điểm . Nếu chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm trên đoạn như sau: Quy tắc B1. Tìm các điểm thuộc mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng hoặc không có đạo hàm. B2: Tính . B3: So sánh các giá trị tìm được và kết luận. Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a) trên đoạn ; b) trên đoạn ; c); d). III. Bài tập Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 1) trên đoạn 2) trên đoạn 3) trên đoạn 4) trên đoạn 5) trên đoạn 6) trên đoạn Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: trên đoạn 2) trên đoạn 3) trên đoạn 4) trên đoạn Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 1) trên đoạn 2) trên đoạn 3) trên đoạn 4) trên đoạn Bài 4. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bài 5. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 1) trên đoạn 2) 3) trên đoạn 4) . Bài 4. Sự tương giao của hai đồ thị I. Phương pháp giải toán Dạng 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị . B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: (1) B2. Giải phương trình (1) tìm y B3. Kết luận. Ví dụ. Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): và đường thẳng (d):. Dạng 2. Tìm tham số để hai đồ thị cắt nhau tại n điểm phân biệt. B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: (1) B2. Lập luận * Lưu ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị. Ví dụ 1. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng (d): cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Dạng 3. Tìm tham số để hai đồ thị cắt nhau tại n điểm phân biệt thỏa đk cho trước B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: (1) B2. Lập luận * Lưu ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị. Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2). Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0). Ví dụ 1. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m để đường thẳng (d): cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho . Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng tại ba điểm sao cho . Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. II. Bài tập Bài 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C): và (C'): Bài 2. Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): và đường thẳng Bài 3. Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): và đường thẳng Bài 4. Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): và đường thẳng Bài 5. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Đáp số: . Bài 6. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Đáp số: . Bài 7. Cho hàm số Xác định m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đáp số: . Bài 8. Cho hàm số Xác định m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đáp số: . Bài 9. Cho hàm số Xác định m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Đáp số: . Bài 10. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm để đồ thị cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt. Đáp số: . Bài 11*. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt sao cho . Đáp số: . Bài 12*. Cho hàm số có đồ thị là (C). Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt . Xác định sao cho độ dài đoạn là nhỏ nhất. Đáp số: . Bài 13*. Cho hàm số có đồ thị là (C). Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt . Xác định sao cho độ dài đoạn là nhỏ nhất. Đáp số: . Bài 14*. Cho hàm số có đồ thị là (H). Tìm m để đường thẳng cắt (H) tại hai điểm M, N sao cho tam giác vuông tại điểm Bài 15*. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác vuông tại ( với là gốc toạ độ ) Đáp số: . Bài 16*. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác có diện tích bằng ( với là gốc toạ độ ) Bài 17*. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác có diện tích bằng ( với là gốc toạ độ ) Bài 18*. Cho hàm số có đồ thị . Tìm các giá trị để đường thẳng cắt đồ thị tại và sao cho trọng tâm của tam giác thuộc đường thẳng ( là gốc toạ độ ) Bài 19*. Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn . Bài 20*. Cho hàm số (1) . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Bài 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số I. Tóm tắt lý thuyết 1) Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm , pt tiếp tuyến của (C) tại M có dạng: , trong đó là hệ số góc của tt tại M. 2) Cho hai đường thẳng , ta có * . * . II. Bài tập Bài 1. Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị có hoành độ . Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị có hoành độ . Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị có tung độ . Bài 4. Cho hàm số (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số (1) tại điểm trên (C) có hoành , biết rằng Bài 5. Cho hàm số (C). Viết pt tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm là . Bài 6. Cho hàm số (C). Gọi là điểm thuộc có hoành độ là , viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm . Tiếp tuyến này cắt tại điểm ( khác ), tìm tọa độ điểm . Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc . Bài 8. Cho hàm số , có đồ thị là . Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho tiếp tuyến của tại có hệ số góc bằng . Bài 9. Cho đường cong (C):. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): . Bài 10. Cho đường cong (C):. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): . Bài 11. Cho đường cong (C): . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Bài 12. Cho hàm số y = x3 – 3x – 2. Tìm tọa độ điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại có hệ số góc bằng 9. Bài 13. Cho hàm số . Tìm tọa độ điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại song song với đường thẳng . Bài 14. Cho đường cong (C): . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt đi qua điểm . Bài 15. Cho đường cong (C): . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt đi qua điểm . Bài 16. Cho hàm số . Tìm tọa độ điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại đi qua điểm . Bài 17. Cho hàm số có đồ thị là (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M, biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng bằng Bài 18*. Cho hàm số có đồ thị là (C) . Tìm tọa độ điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại cắt các đường tiệm cận tại hai điểm A và B thỏa mãn . Bài 19*. Cho hàm số có đồ thị . Tìm các giá trị để đường thẳng cắt đồ thị tại và sao cho tiếp tuyến của tại và song song với nhau. Bài 20. Cho hàm số . Tìm để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm có hoành độ và vuông góc với nhau. Bài 6. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị I. Ví dụ Ví dụ 1. Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm để phương trình có ba nghiệm phân biệt. Ví dụ 2. Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm để phương trình có đúng ba nghiệm thực phân biệt. II. Bài tập Bài 1. Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo số nghiệm thực của phương trình Bài 2. Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi Tìm để phương trình có ba nghiệm phân biệt. Bài 3. Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. Bài 4. Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm để phương trình có ba nghiệm phân biệt lớn hơn . Bài 5. Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. Bài 7. Tìm điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước I. Tóm tắt lý thuyết Phương pháp chung ♦ Đặt với là điểm cần tìm; ♦ Từ điều kiện cho trước ta tìm một phương trình chứa ; ♦ Giải phương trình tìm , suy ra . Ví dụ 1. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ đến tiệm cận ngang. Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị là . Tìm điểm sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng bằng II. Bài tập Bài 1. Cho đường cong (C): . Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai trục tọa độ Bài 2. Cho đường cong (C): . Tìm những điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ đó đến trục tung. Bài 3. Cho đường cong (C): . Tìm những điểm trên (C) cách đều hai đường tiệm cận của (C). Bài 4. Cho đường cong (C): . Tìm điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ đến tiệm cận đứng bằng 5 lần khoảng cách từ đến tiệm cận ngang. Bài 5. Cho đường cong (C): . Tìm điểm trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cận bằng 6. Bài 6. Cho đường cong (C): . Tìm điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng bằng . Bài 7. Cho đường cong (C): . Tìm điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ đến điểm bằng . Bài 8. Cho hàm số có đồ thị là (C) . Tìm tọa độ điểm thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng . Bài 9. Cho hàm số có đồ thị là (C) . Tìm tọa độ điểm thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đến hai đường tiệm cận của (C) bằng . Bài 10. Cho hàm số có đồ thị là (C) . Gọi là điểm thuộc (C) có hoành độ là , là đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) tại . Tìm để đường thẳng cắt trục tại điểm thỏa mãn Bài 11. Cho đường cong (C): . Tìm điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ đến điểm bằng . Bài 12. Cho đường cong (C): . Giả sử là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị và có hoành độ lần lượt là ( và ). Tìm biết rằng điểm là trung điểm của đoạn thẳng .