Chuyên đề: Quy hoạch động - Nguyễn duy dũng

1 QUY HOẠCH ĐỘNG Chuyên đề: 2 Giảng viên: NGUYỄN DUY DŨNG Đơn vị: Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh Số ĐT: 0913141823 Email: Dungduyit83@gmail.com FaceBook: Dungduyit83 QUY HOẠCH ĐỘNG LÀ GÌ? Bài toán Quy hoạch động (dynamic programming) Chia để trị (divide & conquer) 3 Thiết kế thuật toánMô hình hóa Xây dựng cấu trúc dữ liệu Lập trình Kiểm thử Vét cạn (exhaustive search) Tham lam (greedy) Cách khác  Ba tính chất của bài toán tối ưu có thể giải bằng quy hoạch động:  Bài toán lớn có thể phân rã thành những bài toán con đồng dạng, những bài toán con đó có thể phân rã thành những bài toán nhỏ hơn nữa …(recursive form).  Lời giải tối ưu của các bài toán con có thể sử dụng để tìm ra lời giải tối ưu của bài toán lớn (optimal substructure)  Hai bài toán con trong quá trình phân rã có thể có chung một số bài toán con khác (overlapping subproblems).  Có thể hiểu  Hai tính chất đầu tiên Có thể giải bằng chia để trị và đệ quy  Tính chất thứ ba  Đặc trưng cho tính hiệu quả của quy hoạch động BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG 4  Bài toán giải theo phương pháp quy hoạch động gọi là bài toán quy hoạch động.  Công thức phối hợp nghiệm của các bài toán con để có nghiệm của bài toán lớn gọi là công thức truy hồi của quy hoạch động.  Tập các bài toán nhỏ nhất có ngay lời giải để từ đó giải quyết các bài toán lớn hơn gọi là cơ sở quy hoạch động.  Không gian luu trữ lời giải các bài toán con để tìm cách phối hợp chúng gọi là bảng phương án của quy hoạch động. CÁC KHÁI NIỆM 5  Giải tất cả các bài toán cơ sở (thông thường rất dễ), luu các lời giải vào bảng phương án.  Dùng công thức truy hồi phối hợp những lời giải của những bài toán nhỏ đã lưu trong bảngphương án để tìm lời giải của những bài toán lớn hơn và lưu chúng vào bảng phuong án, chotới khi bài toán ban đầu tìm được lời giải.  Dựa vào bảng phương án, truy vết tìm ra nghiệm tối ưu. CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG 6  Nhập vào dãy số nguyênA=(a1,a2 …an). n≤106, |ai |≤ 109Tìm một đoạn con gồm các phần tử liên tiếp trong dãy A có tổng lớn nhất.  Dữ liệu vào file: DAYSO.INP- Dòng 1: chứa số nguyên dương N- Dòng 2: chứa N số nguyên của dãy A  Dữ liệu ra file: DAYSO.OUT- Ghi 1 giá trị duy nhất là tổng lớn nhất tìm được Ghi chú: Tên chương trình: DAYSO.PAS BÀI TOÁN 1 7  Thuật toán đầu tiên: O(n3)  Thuật toán O(n2): - Gọi S[i] là tổng các phần tử từ a1 tới ai Bài toán cơ sở: dãy không có phần tử nào S[0]=0 Công thức tính S: S[i] = S[i-1]+a[i] Kết quả bài toán: Res = Max{S[j]-S[i-1]; i: 1..n, j: i..n } BÀI TOÁN 1 8  Thuật toán O(n): - Gọi S[i] là tổng các phần tử từ a1 tới ai Bài toán cơ sở: dãy rỗng S[0] = 0 Công thức tính S: S[i] = S[i-1]+a[i] Gọi min là giá trị S nhỏ nhất từ 1 tới i-1 Kết quả bài toán Xét i: 1 . .n Res = max{S[i] - min} BÀI TOÁN 1 9  Nhập vào dãy số nguyênA=(a1,a2 …an). n≤106, |ai |≤ 109Nối a1 vào sau an ta được 1 vòng tròn số Tìm một đoạn con gồm các phần tử liên tiếp trong vòng tròn số có tổng lớn nhất.  Dữ liệu vào file: DAYSO.INP- Dòng 1: chứa số nguyên dương N- Dòng 2: chứa N số nguyên của dãy A  Dữ liệu ra file: DAYSO.OUT- Ghi 1 giá trị duy nhất là tổng lớn nhất tìm được Ghi chú: Tên chương trình: DAYSO.PAS BÀI TOÁN 2 10  Nhập vào dãy số nguyênA=(a1,a2 …an). n≤103, |ai |≤ 109Tìm dãy chỉ số I = (i1, i2, ... , ik) dài nhất 1  i1 < i2 < ... < ik  n a[i1] < a[i2] < ... < a[ik]Ví dụ A = (1, 2, 3, 8, 9, 4, 5, 6, 2, 3, 9, 10) BÀI TOÁN 3: DÃY CON TĂNG DÀI NHẤT 11  Thêm 2 phần tử a0 = -; an+1 = + Dãy con đơn điệu tăng dài nhất chắc chắn bắt đầu ở a0 và kết thúc ở an+1  Tổng quát hóa: Làm thế nào xác định dãy con đơn điệu tăng dài nhất kết thúc tại ai?  Kiểm tra 3 tính chất của bài toán QHĐ  Dãy con tăng kết thúc tại ai được thành lập bằng cách lấy ai ghép vào sau một dãy con tăng kết thúc tại aj nào đó đứng trước ai  Nếu xác định được tất cả các dãy con tăng dài nhất đứng trước ai thì có thể xác định được dãy con tăng dài nhất kết thúc tại ai BÀI TOÁN 3: DÃY CON TĂNG DÀI NHẤT 12aiaj ai’ Bài toán cơ sở: L[0]=1 Công thức truy hồi: L[i] = max{L[j]: (j<i)&(aj<ai)}+1 Truy vết : Trace[i] lưu phần tử đứng liền trước i trong dãy con tăng dài nhất BÀI TOÁN 3: DÃY CON TĂNG DÀI NHẤT 13 1 2 3 4 4 5 6 6 7 8 0 1 2 2 4 5 5 7 8 - 11 22 66 33 44 99 55 77 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A L Trace (n2) Giải pháp cải tiến? Để vui Tết Trung thu cho các cháu ban tổ chức thành phố X quyết định phát quà cho mỗi cháu bằng cách tổ chức một trò chơi trên lưới ô vuông như sau: Vẽmột hình chữ nhật kích thước M x N ô vuông, Các dòng được đánh số từ 1 đến M, các cột được đánh số từ 1 đến N (các số được đánh từ trên xuống dưới và từ trái sang phải). Mỗi ô nằm trên giao của dòng i và cột j được gọi là ô (i,j) ghi một số nguyên dương A[i,j], (1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N) chính là số món quà trên ô đó. Có thể di chuyển từ một ô sang ô thuộc cột bên phải cùng dòng hoặc chênh lệch một dòng. Yêu cầu: Tìm cách giúp các cháu di chuyển từmột ô nào đó của cột bên trái (cột xuất phát) đến một ô nào đó thuộc cột N (cột đích) sao cho tổng các số của ô đi qua là lớn nhất vì đó chính là tổng số món quà mà các cháu được nhận. Dữ liệu: Vào từ file văn bản TIMQUA.INP dòng đầu tiên là 2 số nguyên dương M, N (M, N ≤ 100). M dòng tiếp theo mỗi dòng N số nguyên A[i,j] (0 ≤ A[i,j] ≤ 50) của hình chữ nhật. Kết quả: Ghi ra file văn bản TIMQUA.OUT gồm 2 dòng: Dòng thứ nhất ghi tổng các số của các ô đi qua. Dòng thứ hai ghi N số là chỉ số dòng các ô đi qua từ cột 1 đến cột N. Ví dụ: BÀI TOÁN 4: QUÀ TẾT TRUNG THU 14 TIMQUA.INP TIMQUA.OUT 3 5 7 3 8 1 5 8 8 3 12 1 6 15 10 5 2 50 2 3 3 2 1 Kỹ thuật rào Xây dựng bảng 2 chiều KQ KQ[i,j]=Max{KQ[i-1,j-1], KQ[i,j-1], KQ[i+1,j-1]}+a[i,j] Với 1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N Truy vết: lần ngược theo kết quả BÀI TOÁN 4: QUÀ TẾT TRUNG THU 15 0 0 0 00 7 3 8 10 0 5 8 8 3 120 1 6 15 10 50 2 0 0 0 00 0 Mảng A Bảng phương án KQ 16 0 0 0 00 0 0 0 0 0 7 11 24 27 50 8 16 26 45 46 6 23 33 38 47 0 0 0 0 0