Đại số và Hình học giải tích 1+2 - Tạ Lê Lợi

ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1-2 Giáo trình Đại học Đại cương Ngành Toán-Tin học Tạ Lê Lợi - Đại Học Đàlạt - - 2005 - Đại số và Hình học giải tích 1-2 Tạ Lê Lợi Mục lục Phần I: Chương 0. Kiến thức chuần bị 1. Các cấu trúc đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Trường số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương I. Không gian vector hình học 1. Vector hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Cơ sở Descartes - Tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. Công thức đại số của các phép toán trên vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4. Đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương II. Ma trận - Phương pháp khử Gauss 1. Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. Phương pháp khử Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương III. Không gian vector 1. Không gian vector - Không gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Cơ sở - Số chiều - Tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3. Tổng - Tích - Thương không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Chương IV. Ánh xạ tuyến tính 1. Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2. Ánh xạ tuyến tính và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3. Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Chương V. Định thức 1. Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2. Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3. Tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4. Một số ứng dụng của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Phần II: Chương VI. Chéo hóa 1. Chuyển cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2. Vector riêng - Gía trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3. Dạng đường chéo - Chéo hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Chương VII. Không gian vector Euclid 1. Không gian vector Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3. Toán tử trực giao - Ma trận trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4. Toán tử đối xứng - Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . 109 Chương VIII. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 1. Dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2. Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3. Dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Chương IX. Áp dụng vào hình học 1. Cấu trúc affin chính tắc của một không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2. Một số ánh xạ affin thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3. Đường, mặt bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Chương này nêu định nghĩa về các cấu trúc đại số cơ bản là nhóm, vành và trường. Phần tiếp theo là một số kiến thức tối thiểu về số phức và đa thức. 1. Các cấu trúc đại số cơ bản 1.1 Định nghĩa. Cho A là môt tập hợp. Một trên A là một ánh xạ:
: A×A → A Khi đó ảnh của cặp (x, y) ∈ A×A bởi ánh xạ
sẽ được ký hiệu là x
y • Phép toán
gọi là có nếuu (x
y)
z = x
(y
z), ∀x, y, z ∈ A • Phép toán
gọi là có nếuu x
y = y
x, ∀x, y ∈ A • Phần tử e ∈ A, gọi là , nếuu x
e = e
x = x, ∀x ∈ A Khi
viết theo lối cộng + thì phần tử đơn vị gọi là và ký hiệu là 0. Khi
viết theo lối nhân · thì phần tử ø ký hiệu là 1. • Giả sử phép toán
có phần tử đơn vị e. Khi đó x ∈ A gọi là khả nghịch nếuu tồn tại x′ ∈ A sao cho: x
x′ = x′
x = e. Khi đó x′ phần tử của x. Khi
viết theo lối cộng, thì phần tử nghịch đảo của x gọi là và ký hiệu là −x. Khi
viết theo lối nhân, thì phần tử nghịch đảo của x ký hiệu là x−1 hay 1 x . Nhận xét. Phần tử đơn vị nếu có là duy nhất: Nếu e1, e2 là hai phần tử đơn vị, thì e1 = e1
e2 = e2. Nhận xét. Nếu
có tính kết hợp, thì phần tử nghịch đảo của x nếu có là duy nhất: Nếu x′, x′′ là hai phần tử nghịch đảo của x, thì x′ = x′
e = x′
(x
x′′) = (x′
x)
x′′ = e
x′′ = x′′. Bài tập: Hãy xét các phép toán cộng và nhân trên A := , , , có tính chất gì? Có phần tử đơn vị? Có phần tử nghịch đảo? 1.2. Nhóm. Một là một cặp (G,
), trong đó G là một tập hợp không rỗng, còn
là một phép toán hai ngôi trên G, thoả các điều kiện sau: (G1)
có tính kết hợp. (G2)
có phần tử đơn vị. (G3) Mọi phần tử của G đều có phần tử nghịch đảo. Nhóm G được gọi là hay nếu: (G4)
có tính giao hoán. Người ta thường nói nhóm G thay vì (G,
) khi đã ngầm hiểu phép toán nào. Qui ước này cũng dùng cho khái niệm vành, trường tiếp sau. với phép cộng không là nhóm vì không chứa phần tử đối. Tập , , là nhóm giao hoán với phép cộng, nhưng không là nhóm với phép nhân vì 0 không có phần tử nghịch đảo. b) Tập các song ánh từ một tập X lên chính X là một nhóm với phép hợp ánh xạ. Nói chung nhóm này không giao hoán. 1.3 Vành. Một là một bộ ba (R,+, ·), trong đó R là một tập không rỗng, còn + và · là các phép toán trên R, thoả các điều kiện sau: (R1) (R,+) là một nhóm giao hoán. (R2) Phép nhân · có tính kết hợp. (R3) Phép nhân có tính về hai phía đối với phép cộng: x(y + z) = xy + xz và (y + z)x = yx+ zx ∀x, y, z ∈ R Nếu phép nhân có tính giao hoán thì R gọi là . Ví dụ. a) , , với phép cộng và nhân là các vành giao hoán. b) các lớp các số nguyên đồng dư theo một số p là vành giao hoán với phép cộng và nhân được định nghĩa: [m] + [n] = [m+ n], [m][n] = [mn] 1.3 Trường. Một là một vành giao hoán có đơn vị 1 = 0 và mọi phần tử khác không của K đều có phần tử nghịch đảo. Một cách đầy đủ, một trường là bộ ba (K,+, ·), trong đó K là tập không rỗng, + và · là các phép toán trên K thoả 9 điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ K: (F1) (x+ y) + z = x+ (y + z) (F2) ∃0 ∈ K, x+ 0 = 0 + x = x (F3) ∃ − x ∈ K, x+ (−x) = −x+ x = 0 (F4) x+ y = y + x (F5) (xy)z = x(yz) (F6) ∃1 ∈ K, 1 = 0, x1 = 1x = x (F7) Khi x = 0, ∃x−1 ∈ K, xx−1 = x−1x = 1 (F8) xy = yx (F9) x(y + z) = xy + xz Ví dụ. a) Vành ( ,+, ·) không là trường. ( ,+, ·), ( ,+·) là các trường. b) Nếu p là số nguyên tố, thì là một trường. Hơn nữa, là tập hữu hạn và với mọi [n] ∈ , [n] + · · ·+ [n] = [0]. Đặc số của một trường K, ký hiệu char(K), là số tự nhiên dương bé nhất sao 3cho 1 + · · ·+ 1 = 0. Nếu không có số tự nhiên như vậy, thì K gọi là có đặc số 0. Ví dụ. , có đặc số 0, còn có đặc số p. Ta có 1 + 1 = 0 trong 2 ! 2. Trường số phức Trên trường số thực, khi xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 trường hợp b2 − 4ac < 0 phương trình vô nghiệm vì ta không thể lấy căn bậc hai số âm. Để các phương trình như vậy có nghiệm, ta cần thêm vào tập các số thực các căn bậc hai của số âm. Phần này ta sẽ xây dựng tập các số phức là mở rộng tập số thực , trên đó định nghĩa các phép toán cộng và nhân để là một trường. Hơn nữa, mọi phương trình bậc hai, chẳng hạn x2 + 1 = 0, đều có nghiệm trong . 2.1 Định nghĩa. Ta dùng ký hiệu i, gọi là , để chỉ nghiệm phương trình x2 + 1 = 0, i.e. i2 = −1. Tập số phức là tập dạng: = {z : z = a+ ib, với a, b ∈ } z = a+ ib gọi là số phức, a = Rez gọi là phần thực, b = Imz gọi là phần ảo. z1 = z2 nếuu Rez1 = Rez2, Imz1 = Imz2. Ta xem là tập con của khi đồng nhất = {z ∈ : Imz = 0} Từ “số ảo” sinh ra từ việc người ta không hiểu chúng khi mới phát hiện ra số phức. Thực ra số phức rất “thực” như số thực vậy. Ví dụ. a) Số phức z = −6 + i√2 có phần thực Rez = −6, phần ảo Imz = √2. b) Để giải phương trình z2 + 2z + 4 = 0, ta biến đổi z2 + 2z + 4 = (z + 1)2 + 3. Vậy phương trình tương đương (z + 1)2 = −3. Suy ra nghiệm z = −1± i√3. Sau đây là định nghĩa các phép toán vừa thực hiện. 2.2 Các phép toán. Trên có hai phép toán được định nghĩa như sau: Phép cộng. (a+ ib) + (c+ id) = (a+ c) + i(b+ d) Phép nhân. (a+ ib)(c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ bc) Nhận xét. Phép nhân được tính như nhân các số thông thường với chú ý là i2 = −1. Mệnh đề. Mệnh đề trên dễ suy từ định nghĩa với chú ý là: Phép cộng có phần tử không là 0 = 0+i0, phần tử đối của z = a+ib là −z = −a−ib. Phép nhân có phần tử đơn vị là 1 = 1 + i0, nghịch đảo của z = a + ib = 0 là z−1 = 1 z = a a2 + b2 − i b a2 + b2 Sự tồn tại và việc tìm nghịch đảo được thực hiện bởi a+ ib c+ id (c + id = 0) a+ ib = (c+ id)(x+ iy). Đồng nhất phần thực, phần ảo ta có cx− dy = a dx+ cy = b Vậy a+ ib c+ id = ac+ bd c2 + d2 + i bc− ad c2 + d2 Phép liên hợp. z = a− ib gọi là của z = a+ ib. Tính chất. z = z, z1 + z2 = z¯1 + z¯2, z1z2 = z¯1z¯2. Nhận xét. Nếu z = a + ib, thì zz¯ = a2 + b2. Từ đó có thể chia 2 số phức bằng cách nhân số liên hiệp của mẫu, chẳng hạn 2− 5i 3 + 4i = (2− 5i)(3− 4i) (3 + 4i)(3− 4i) = 6− 23i+ 20i2 32 − 42i2 = −14− 23i 25 2.3 Biểu diễn số phức. Sau đây là một số biểu diễn khác nhau của số phức Dạng đại số. z = a+ ib, a, b ∈ , i2 = −1. Dạng hình học. z = (a, b), a, b ∈ . Trong mặt phẳng đưa vào hệ tọa trục Descartes với 1 = (1, 0), i = (0, 1) là 2 vector cơ sở. Khi đó mỗi số phức z = a + ib được biểu diễn bởi vector (a, b), còn được đồng nhất với 2 . Trong phép biểu diễn này phép cộng số phức được biểu thị bởi phép cộng vector hình học. Dạng lượng giác. z = r(cosϕ+ i sinϕ) Biểu diễn số phức z = (a, b) trong tọa độ cực (r, ϕ), trong đó r là độ dài của z, ϕ là góc định hướng tạo bởi 1 = (1, 0) và z trong mặt phẳng phức. Ta có: a = r cosϕ b = r sinϕ và r = |z| = √a2 + b2, gọi là của z ϕ = Arg z, gọi là của z Vậy nếu z = 0, thì cosϕ = a√ a2 + b2 , sinϕ = b√ a2 + b2 . Ta thấy ϕ có vô số giá trị sai khác nhau k2π, k ∈ , trong đó có một giá trị ϕ ∈ (−π, π] 5gọi là và ký hiệu là argz. Vậy có thể viết Argz = argz + k2π, k ∈ . Ví dụ. z = √ 3 − i có modul |z| = (√3)2 + (−1)2 = 2, và argument argz = − 3 (suy từ tanϕ = −1√ 3 và Rez > 0). Vậy √ 3− i = 2(cos(− 3 ) + i sin(− 3 )). Mỗi cách biểu diễn số phức có thuận tiện riêng. Sau đây là một số ứng dụng. 2.4 Mệnh đề. |z1z2| = |z1||z2| và Arg(z1z2) = Argz1 + Argz2 (r(cosϕ+ i sinϕ)) = r (cosnϕ+ i sinnϕ), n ∈ Nếu z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1), z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2), thì z1z2 = r1r2(cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2) + i(sinϕ1 cosϕ2 + cosϕ1 sinϕ2) = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)) Suy ra |z1z2| = r1r2 = |z1||z2|, và Arg(z1z2) = ϕ1 + ϕ2 + 2kπ = Argz1 + Argz2. Nhận xét. Về mặt hình học phép nhân số phức r(cosϕ + i sinϕ) với số phức z là phép co dãn vector z tỉ số r và quay góc ϕ. (xem hình vẽ) 2.5 Căn bậc của số phức. Cho z ∈ và n ∈ . Một n của z là một số phức w thoả phương trình w = z. Để giải phương trình trên, biểu diễn z = r(cosϕ+ i sinϕ) và w = ρ(cos θ + i sin θ). Từ công thức de Moivre ρ (cos(nθ) + i sin(nθ)) = r(cosϕ+ i sinϕ). Suy ra ρ = √ r (căn bậc theo nghĩa thực) nθ = ϕ+ 2kπ, k ∈ Vậy khi z = 0, phương trình có đúng n nghiệm phân biệt: w = √ r(cos( ϕ n + k 2π n ) + i sin( ϕ n + k 2π n )), k = 0, · · · , n− 1. Khi z = 0, ký hiệu √z là tập n căn bậc n của z. √0 = 0. Về mặt hình học chúng là các đỉnh của một đa giác đều n cạnh, nội tiếp đường tròn tâm 0 bán kính √ r. Nhân r(cosϕ+ i sinϕ) với z w = 1, với n = 8 Ví dụ. a) Căn bậc n của 1 là n số phức: 1, ω , · · · , ω −1, với ω = cos 2 + i sin 2 b) Để tìm các gía trị của √ 1 + i, ta biểu diễn 1 + i = √ 2(cos 4 + i sin 4 ). Suy ra √ 1 + i = 2 (cos(12 + 2 3 ) + i sin(12 + 2 3 )), k ∈ . Vậy có 3 giá trị phân biệt là: k = 0, w0 = 2 (cos(12) + i sin(12)) k = 1, w1 = 2 (cos(34 ) + i sin( 3 4 )) = ω3w0 k = 2, w2 = 2 (cos(1712 ) + i sin( 17 12 )) = ω3w0 3. Đa thức 3.1 Định nghĩa. Cho K là một trường. Một trên K là biểu thức dạng P (X) = a0 + a1X + · · ·+ a X , trong đó n ∈ , và a ∈ K, k = 0, · · · , n, gọi là hệ số bậc k của P (X). Hai đa thức gọi là bằng nhau nếuu mọi hệ số cùng bậc của chúng bằng nhau. Nếu a = 0, thì n gọi là của P (X) và ký hiệu n = degP (X), a = lcP (X). Nếu a = 0 với mọi k, thì P (X) gọi là đa thức không và qui ước deg(0) = −∞. Ta thường viết dưới dạng tổng: P (X) = =0 a X hay P = a X là tổng vô hạn nhưng chỉ có hữu hạn a = 0. Ký hiệu K[X] là tập mọi đa thức trên K. 3.2 Các phép toán trên đa thức. Trên K[X] có hai phép toán cộng và nhân định nghĩa như sau: Phép cộng: a X + b X = (a + b )X Phép nhân: ( a X )( b X ) = c X với c = a0b + · · ·+ a b0 = + = a b . Mệnh đề. K[X] Bài tập: Chứng minh mệnh đề trên. Chương 0. Kiến thức chuẩn bị 7 Nhận xét. degP (X)Q(X) = degP (X) + degQ(X), với mọi P (X), Q(X) ∈ K[X]. 3.3 Phép chia Euclid. Cho hai đa thức P0(X), P1(X) ∈ K[X], P1(X) = 0. Khi đó tồn tại duy nhất các đa thức Q(X), R(X) ∈ K[X], sao cho P0(X) = Q(X)P1(X) +R(X), degR(X) < degP1(X) Ta gọi Q(X) là thương , R(X) là phần dư của phép chia P0(X) cho P1(X), và được xây dựng cụ thể theo thuật toán sau: Thuật toán chia Euclid. Input: P0, P1 ∈ K[X], P1 = 0 Output: Q,R ∈ K[X], thoả P0 = QP1 +R, degR < degP1. Trước hết cho R0 = P0, Q0 = 0. Giả sử ở vòng lặp thứ k ta có Qk, Rk ∈ K[X], thoả P0 = QkP1 +Rk Nếu nk = degRk − degP1 < 0, thì đã chia xong Q = Qk, R = Rk Nếu nk = degRk − degP1 > 0, thì khử hệ số bậc cao nhất của Rk bằng cách: Rk+1 = Rk − lc(Rk) lc(P1) XnkP1 Qk+1 = Qk + lc(Rk) lc(P1) Xnk Ta có P0 = Qk+1P1 +Rk+1 Do degRk+1 < degRk, nên đến vòng lặp thứ m ≤ degP0, ta có degRm < degP1. Khi đó Q = Qm, R = Rm. Ví dụ. Thuật toán chia Euclid X4 − 2X3 − 6X2 +12X +15 cho X3 +X2 − 4X − 4 có thể thực hiện theo sơ đồ R0 = X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 | X3 +X2 − 4X − 4 R1 = − 3X3 − 2X2 + 16X + 15 X − 3 R2 = X2 + 4X + 3 Vậy X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 = (X3 +X2 − 4X − 4)(X − 3) +X2 + 4X + 3 Bài tập: Thực hiện phép chia P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn cho X − c. 3.4 Ước chung lớn nhất. Đa thức P (X) ∈ K[X] gọi là chia hết cho đa thức D(X) ∈ K[X] nếuu tồn tại đa thức A(X) ∈ K[X], sao cho P (X) = A(X)D(X). Khi đó D(X) gọi là một ước của P (X) và ký hiệu D(X)|P (X). Ước chung lớn nhất của các đa thức P0(X), P1(X) ∈ K[X], là một đa thức D(X) ∈ K[X], thoả điều kiện: D(X)|P0(X), D(X)|P1(X) và nếu C(X)|P0(X), C(X)|P1(X) thì C(X)|D(X) Khi đó ký hiệu D(X) = GCD(P0(X), P1(X)) Nhận xét. Ước chung lớn nhất được xác định sai khác một hằng số tỉ lệ. Nhận xét. Nếu P0 = QP1 + R, thì GCD(P0, P1) = GCD(P1, R), vì ước chung của 8P0, P1 là ước chung của P1, R. Ngoài ra GCD(R, 0) = R, nên ước chung lớn nhất được xây dựng từ dãy phần dư của thuật chia Euclid, như sau: Thuật toán tìm GCD. Input : P0, P1 ∈ K[X], P0, P1 = 0 Output : GCD(P0, P1) và U, V ∈ K[X], thoả UP0 + V P1 = GCD(P0, P1) Xây dựng dãy đa thức khác không (P0, P1, P2, · · · , Pm), với Pk là phần dư của phép chia Pk−2 cho Pk−1: Pk−2 = Qk−1Pk−1 + Pk (k = 2, · · · ,m− 1) Pm−2 = Qm−1Pm−1 + Pm Pm−1 = QmPm Theo nhận xét trên ta có GCD(P0, P1) = GCD(Pm, 0) = Pm Thuật toán còn cho các dãy đa thức (U0, · · · , Um) và (V0, · · · , Vm), thoả Pk = UkP0 + VkP1, (k = 0, · · · ,m) (∗) Trước hết, khi k = 0, 1, ta phải có U0 = 1, V0 = 0 và U1 = 0, V1 = 1. Sau đó đệ qui Uk = Uk−2 −Qk−1Uk−1 và Vk = Vk−2 −Qk−1Vk−1 (k = 2, · · ·m) Ta kiểm tra dãy thoả (∗) bằng qui nạp. Giả sử (∗) đúng đến k − 1. Khi đó Pk = Pk−2 −Qk−1Pk−1 = (Uk−2P0 + Vk−2P1)−Qk−1(Uk−1P0 + Vk−1P1) = (Uk−2 −Qk−1)P0 + (Vk−2 −Qk−1Vk−1)P1 = UkP0 + VkP1 Khi U = Um, V = Vm ta có UP0 + V P1 = Pm = GCD(P0, P1). Vậy ta có: Đẳng thức Bézout. Cho P0(X), P1(X) ∈ K[X]. Khi đó tồn tại U(X), V (X) ∈ K[X] sao cho GCD(P0(X), P1(X)) = U(X)P0(X) + V (X)P2(X) Ví dụ. Với P0(X) = X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 và P1(X) = X3 +X2 − 4X − 4, các bước của thuật toán trên được thể hiện qua bảng sau k Pk−2 Pk−1 Qk−1 Pk 2 X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 X3 +X2 − 4X − 4 X − 3 X2 + 4X + 3 3 X3 +X2 − 4X − 4 X2 + 4X + 3 X − 3 5X + 5 4 X2 + 4X + 3 5X + 5 15X + 3 5 0 5 5X + 5 0 U0 = 1, U1 = 0, U2 = 1, U3 = −X + 3, U4 = 15X2 − 45 , U5 = −X + 3 V0 = 0, V1 = 1, V2 = −X+3, V3 = X2−6X+10, V4 = −15X 3+ 3 5 X2+ 3 5 X−3, V5 = X2−6X+10 9Vậy GCD(P0, P1) = 5X + 5 và (−X + 3)P + 0 + (X2 − 6X + 10)P1 = 5X + 5. 3.5 Nghiệm - Bội. Cho đa thức P (X) = a0 + a1X + · · ·+ a X ∈ K[X]. của P (X) tại c ∈ K định nghĩa là P (c) = a0 + a1c+ · · ·+ a c . Nhận xét. Để dùng ít phép toán khi tính P (c), ta có sau P (c) = (· · · ((a c+ a −1)c+ a −1)c+ · · ·+ a1)c+ a0 Nếu P (c) = 0, thì c gọi là một của P (X). Định lý Bézout. c ∈ K P (X) Q(X) ∈ K[X] P (X) = (X − c)Q(X) Theo phép chia Euclid P (X) = (X − c)Q(X) + r, với r ∈ K. Suy ra P (c) = r. Vậy P (c) = 0 khi và chỉ khi r = 0 hay P (X) = (X − c)Q(X). Nhận xét. Theo định lý trên, số nghiệm của một đa thức bậc n là không quá n. Phần tử c ∈ K gọi là m của P (X) nếuu P (X) = (X − c) P1(X), với P1(X) ∈ K[X] và P1(c) = 0, i.e. P (X) chia hết cho (X − c) , nhưng không chia he