Dao động tắt dần

Dao động tắt dần. Lý Thuyết . Định nghĩa : Là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian. Nguyên nhân : Do vật chịu tác dụng của lực cản môi trường. Đặc điểm : Cơ năng chuyển hóa thành nhiệt năng. Tùy theo lực cản của môi trường lớn hay nhỏ mà dao động tắt dần xảy ra nhanh hay chậm. Tác dụng : Có lợi : chế tạo các bộ phận giảm sóc trên ô tô , xe máy … Có hại : Dao động đồng hồ quả lắc bị tiêu hao năng lượng … Phân tích dao động . Xét con lắc lò xo có độ cứng K và vật nặng có khối lượng m. Khi không có ma sát : Phương trình vi phân : x’’ + ω2x = 0 với ω2 = k/m. Có nghiệm là phương trình dao động điều hòa : x = Acos ( ωt +φ) Khi có ma sát : Lực ma sát tác dụng lên vật ngược chiều với chuyển động. TH1: Lực cản tỉ lệ thuận với vận tốc của vật : Fc = -μv = -μx’ (μ là hệ số lực cản nhớt : Phương trình vi phân : mx’’ = -μx’ –Kx Đặt β = μ/2m Ta được : x’’ + 2 βx’ + ω2x = 0 Nếu β < ω thì x = A.e-βt.cos ( ω’t +φ) Biên độ dao động giảm theo hàm mũ âm A.e-βt Nếu β = ω Khi vật được kéo ra vị trí biên rồi thả nhẹ thì vật sẽ trở về vị trí cân bằng sau thời gian rất lớn mà không vượt qua khỏi vị trí ấy được. Nếu β > ω vật không dao động vì ma sát quá lớn . TH2: Lực cản có độ lớn không thay đổi : Ví dụ : Fc = μmg. Phương trình vi phân: mx’’ = - Kx ± Fc ( cộng khi x giảm, trừ khi x tăng) (Vật cũng dao động tắt dần nhưng với quy luật khác .) Để khảo sát dao động tắt dần trong trường hợp này ta quan sát thí nghiệm sau : Chiều chuyển động p lo Chiều chuyển động Nhận xét : P và Fc đều ngược chiều chuyển động và có độ lớn không đổi. P không làm ảnh hưởng đến chu kì dao động của con lắc vậy Fc cũng không làm ảnh hưởng đến chu kì dao động của con lắc. P làm cho VTCB của con lắc kéo xuống một đoạn Δl = mg/K ( vị trí mà Fdh = P) . Suy ra Fc cũng làm cho con lắc thay đổi VTCB một đoạn : Δl = μmg/K ( vị trí Fdh = Fc ). Đối với con lắc chịu tác dụng của Fc có hai vị trí mà Fdh = Fc vì Fc luôn ngược chiều chuyển động. Vậy nửa chu kì đầu con lắc dao động quanh VTCB O1 thì nửa chu kì còn lại con lắc dao động quanh VTCB O2. Ta có thể hình dung như sau : O1 I ' O O2 Từ hình vẽ ta thấy : Khi chuyển động từ A về B con lắc dao động với VTCB là O1 và khi từ B trở lại nó dao động VTCB O2 Thời gian mỗi nửa chu kì là bằng nhau và bằng ½ chu kì dao động riêng của con lắc. Hai VTCB của mỗi nửa chu kì đối xứng nhau qua O và O1O2 = 2 μmg/K. Vật dừng lại khi nằm trong đoạn O1O2 ( Fdhmax ≤ Fc). Sau nửa chu kì biên độ giao động của con lắc giảm đi ΔA = OA – OB = O1O2 = 2 μmg/K. ( Sau mỗi chu kì vị trí biên lại nhích lại gần O một đoạn là 2 ΔA = 4.μmg/K) Chú ý : Ta có thể xác định độ giảm biên độ sau nửa chu kì bằng định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng. Năng lượng ban đầu của vật : Năng lượng còn lại sau nửa chu kì : Năng lượng tiêu hao bằng độ lớn công của lực cản : - = μmg( A0 + A1) → ΔA = Ao – A1= 2 μmg/K Giả thiết tại thời điểm t = 0 vật ở vị trí biên +) Xác định thời gian vật dao động và độ giảm biên độ ở chu kì cuối : Ta đã nhận xét được rằng lực cản không làm ảnh hưởng đến chu kì dao động của con lắc vì vậy ta có thể khẳng định rằng thời gian vật dao động tỉ lệ với số nguyên lần nửa chu kì dao động của vật : t = N .T/2. M O1 O O2 M’ Nửa chu kì cuối Nửa chu kì thứ m Sau mỗi nửa chu kì biên độ dao động giảm ΔA, vậy sau m nửa chu kì giảm ΔA ta có biên độ dao động còn lại : A - m. ΔA = d (d = MO < ΔA hình vẽ. m = 1,2,3…) KN1 : ΔA > d > ΔA/2 tức M nằm ngoài O1O2 . Vật thực hiện nửa chu kì dao động cuối cùng qua VTCB O2 về điểm M’ thuộc O1O2 . Khi vị trí biên M’ nằm trong khoảng O1O2 thì vật không dao động được nữa vì Fđh max < Fc . Vậy số nửa chu kì vật thực hiện được là : N = m +1 Thời gian vật chuyển động là : t = (m +1) .T/2 Độ giảm biên độ chu kì cuối là: 2(d – ΔA/2 ) Vị trí của vật sau khi dừng lại là: d – 2(d – ΔA/2 ) = ΔA – d. KN2 : d ≤ ΔA/2 ( M trùng với O1 ,O2 hoặc nằm trong O1O2) Vật ngừng dao động vì Fdh max ≤ Fc. Vậy số nửa chu kì vật thực hiện được là : N = m Thời gian vật chuyển động là : t = m.T/2 Độ giảm biên độ chu kì cuối là: ΔA Vị trí của vật sau khi dừng lại các O một đoạn là: d. Tóm lại : Muốn xác định số nửa chu kì dao động của vật ta xác định : A = m. ΔA + d sau đó xét d theo KN1 và KN2 Hoặc để tính nhanh tìm số nửa chu kì ta làm như sau : Lấy = m,p.. Nếu p > 5 số nửa chu kì là : N = m + 1. Nếu p ≤ 5 số nửa chu kì là : N = m. +) Xác định quãng đường vật dao động: Giả sử ở thời điểm ban đầu vật bắt đầu đi từ A Nửa chu kì đầu tiên vật đi từ A đến B, đi được quãng đường là S1 = 2O1B Nửa chu kì tiếp theo vật đi từ B đến C, đi được quãng đường là S2 = 2O2B Ta có S1 – S2 = 2ΔA . Tương tự như vậy : Sn – Sn-1 = 2 ΔA Vậy độ dài các quãng đường trong nửa chu kì S1, S2 , ….Sn lập thành một cấp số cộng với công bội là - 2ΔA. Tổng quãng đường mà vật đi được : Với Sn = S1 – (N – 1) 2ΔA S = NS1 – N(N – 1).ΔA = 2AN – N2. ΔA ( S1 = 2A – ΔA) Chú ý : Trường hợp = m ( m = 1, 2, 3…) Thì khi dừng lại vật sẽ ở VTCB O. Khi đó năng lượng dao động của vật bị triệt tiêu hoàn toàn bởi công của lực ma sát . ( tức công thức chỉ đúng khi vật dừng ở VTCB). +) Xác định vận tốc cực đại. Sau khi thực hiện được ( N-1) nửa chu kì thì con lắc dao động với biên độ dao động : và đạt giá trị cực đại tại VTCB O1 hoặc O2 cách O một đoạn . Vậy vận tốc cực đại tại nửa chu kì thứ N : Vmax = Bài tập. Bài 1 (ĐH 2010). Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén l0 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = l0 m/s2. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là bao nhiêu ? Giải : Vận tốc vật đạt giá trị cực đại tại nửa chu kì đầu tiên : Vmax = ( N =1) Suy ra : Vmax = ω. ( A – ΔA/2) Trong đó : , A = 10 cm, ΔA = 2 μmg/K = 4 cm Suy ra : Vmax = Bài 2: Một con lắc lò xo gồm một vật có khối lượng l00g gắn vào lò xo có độ cứng 0,01N/cm dao động tắt dần chậm từ thời điểm t = 0 với biên độ ban đầu là l0cm. Trong quá trình dao động, lực cản tác dụng vào vật có độ lớn không đổi 10-3 N. Tính tốc độ lớn nhất của vật sau thời điểm t = 21,4s. Lấy π2 = l0. Giải : Ta tính được : , T = 2 ( s) mỗi nửa chu kì là 1s, A = 100 mm Độ giảm biên độ sau nửa chu kì : ΔA = 2 Fc/K = 2mm. Sau 21 s vật thực hiện được 21 nửa chu kì .Sau 0,5s ( một phần tư chu kì) tiếp theo vật có vận tốc cực đại tại nửa chu kì thứ N = 22 Áp dụng công thức : Vmax = = π. ( 100 – 21.2 -1) = 57 π ( mm/s) Chú ý : Kết quả sẽ khác nếu tính vận tốc cực đại sau thời gian t = 21,6s Bài 3: Con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m = 200g và lò xo có độ cứng K = 80 N/m. Con lắc nằm ngang, ban đầu kéo m ra khỏi VTCB một đoạn 10 cm rồi thả nhẹ cho nó dao động. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là µ = 0,1 và g = 10m/s2. Xác định Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì. Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại. Tìm thời gian vật dao động. Giải : Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : Số nửa chu kì mà con lắc thực hiện được. ( vật dừng ở VTCB O) Vậy quãng đường vật đi được : Trong trường hợp này ta cũng có thể áp dụng công thức: Thời gian vật dao động : Câu 4 : Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m = 100g và lò xo có độ cứng k = 10N/m. Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt sàn là 0,1. Ban đầu đưa lò xo đến vị trí lò xo bị nén một đoạn 7 cm. Tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại. Lấy g = 10m/s2. Giải: Áp dụng công thức : Sẽ là sai khi áp dụng công thức :