Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm toán

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 68-74 This paper is available online at DẠY HỌC HÌNH HỌC SƠ CẤP GẮN VỚI HÌNH HỌC CAO CẤP CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN Trần Việt Cường Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên Tóm tắt. Bài viết này trình bày việc nghiên cứu việc dạy học hình học sơ cấp (HHSC) ở các trường sư phạm gắn với nội dung hình học cao cấp (HHCC) cho sinh viên sư phạm, để sinh viên thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức HHCC với nội dung kiến thức HHSC ở trường phổ thông. Từ đó giúp sinh viên bước đầu biết vận dụng các kiến thức của toán học cao cấp vào việc soi sáng các kiến thức của HHSC ở trường phổ thông và biết vận dụng vào dạy học HHSC ở trường phổ thông. Từ khóa:Mối liên hệ Toán học, Hình học sơ cấp, Hình học cao cấp. 1. Mở đầu Nội dung hình học được xây dựng theo theo hai hướng sau: - Hướng thứ nhất, là dùng phương pháp tiên đề, xuất phát từ một số khái niệm cơ bản (là các khái niệm không định nghĩa) và một số tiên đề (là các mệnh đề thừa nhận không chứng minh), người ta định nghĩa các khái niệm khác và suy diễn ra các tính chất khác liên quan đến các khái niệm đã có. Các tính chất và các khẳng định được chứng minh dựa vào các khái niệm cơ bản và các tiên đề được gọi là định lí, mệnh đề, bổ đề, hệ quả tuỳ thuộc vào nội dung và vị trí của nó. Các khẳng định này được suy diễn nhờ các quy tắc suy luận lôgíc. - Hướng thứ hai, là theo quan điểm hình học của nhóm biến đổi. Một phép biến đổi trên không gian V là một song ánh đi từ không gian V vào chính nó. Tâp hợp các phép biến đổi trên V lập thành một nhóm với phép lấy tích các ánh xạ. Mỗi nhóm con gọi là một nhóm biến đổi trên không gian V . Trong không gian Euclid, có một số nhóm biến đổi như: nhóm dời hình, nhóm Afin, nhóm xạ ảnh. . . Hình học của nhóm dời hình, Afin, xạ ảnh lần lượt được gọi là Hình học Euclid, Hình học Afin, Hình học xạ ảnh [9]. Nội dung chương trình môn học HHSC của các trường sư phạm tập trung vào các nội dung cơ bản như: Cơ sở hình học và Phương pháp tiên đề, Các phép biến hình, Các hình hình học và quan hệ hình học, Quỹ tích và Dựng hình [2,4,6]. Dạy học toán sơ cấp nói chung và HHSC nói riêng cho sinh viên sư phạm là việc làm cần thiết, không chỉ giúp sinh viên hiểu một cách sâu sắc các kiến thức toán trong chương trình phổ thông mà còn giúp sinh viên ôn tập và thông hiểu một cách có phê phán những tài liệu toán học ở trường phổ thông; bổ sung những kiến thức cần thiết Liên hệ: Trần Việt Cường, e-mail: tranvietcuong2006@gmail.com. 68 Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Toán của toán sơ cấp mà chưa được trình bày trong sách giáo khoa; phát triển thói quen giải các bài tập toán sơ cấp mà sinh viên đã có được từ nhà trường phổ thông; phát triển tư duy, khả năng suy luôn lôgíc, năng lực tự học và có thái độ phê phán đối với những điều học được từ tài liệu hoặc nghe được từ bài dạy của giáo viên; giúp sinh viên khai thác mối liên hệ giữa toán cao cấp và toán sơ cấp,... Thực tế hiện nay, có nhiều học sinh phổ thông ngại học hình học nên chưa dành thời gian thích hợp cho việc học nội dung hình học. Do đó, học sinh không nắm vững được các kiến thức cần thiết, dẫn đến kết quả học tập hình học không được cao. Với tâm lí như vậy, nên khi bước vào các trường sư phạm, nhiều sinh viên gặp khó khăn khi học tập các môn học về HHCC. Dẫn đến, kết quả học tập các môn học về HHCC của nhiều sinh viên chỉ ở mức trung bình. Mặt khác, nhiều sinh viên khi học tập các môn HHCC chưa thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức của HHCC với nội dung kiến thức HHSC ở trường phổ thông nên chưa biết vận dụng các kiến thức của HHCC vào việc soi sáng các kiến thức của HHSC và chưa biết vận dụng vào dạy học HHSC ở trường phổ thông. Bài viết này, chúng tôi đề cập tới khía cạnh dạy học HHSC gắn với HHCC cho sinh viên sư phạm toán. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Dạy học hình học sơ cấp ở các trường sư phạm Trong chương trình đào tạo giáo viên sư phạm toán, ngoài các khối kiến thức về Tâm lí học, Giáo dục học, các kiến thức về lí luận chính trị Mác Lênin, sinh viên được trang bị các khối kiến thức chuyên ngành như: Giải tích, Đại số, Hình học, Toán ứng dụng và Nghiệp vụ sư phạm. Qua tìm hiểu một số trường sư phạm trên toàn quốc chúng tôi nhận thấy, việc dạy học môn toán sơ cấp nói chung và HHSC nói riêng ở các trường thường theo một trong hai hình thức sau: - Thứ nhất, các môn Đại số sơ cấp và HHSC do Bộ môn Phương pháp dạy học đảm nhiệm (Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, Trường Đại học Vinh). Hướng này có ưu điểm là thống nhất được việc dạy học nội dung toán sơ cấp thành một khối thống nhất cả về nội dung lẫn phương pháp dạy học các nội dung đó ở trường phổ thông. Hình thức này đòi hỏi các giảng viên ngoài việc nắm vững lí luận và phương pháp dạy học còn phải vận dụng các kiến thức toán sơ cấp vào giảng dạy toán ở trường phổ thông. - Thứ hai, Bộ môn Hình học đảm nhiệm việc dạy học HHSC, Bộ môn Đại số đảm nhiệm việc dạy học môn Đại số sơ cấp và Bộ môn Lí luận và Phương pháp dạy học đảm nhiệm việc dạy học các học phần về phương pháp dạy học (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh). Hướng này có ưu điểm là giảng viên có điều kiện nắm vững được mối liên hệ giữa nội dung toán sơ cấp ở trường phổ thông với nội dung toán cao cấp ở trường sư phạm. Tứ đó, giảng viên có thể phân tích cho học sinh thấy được ý nghĩa của các nội dung toán cao cấp đối với nội dung toán sơ cấp tương ứng ở trường phổ thông. Hình thức này đồi hỏi giảng viên ở các bộ môn toán cơ bản còn phải nắm vững các vấn đề về lí luận và phương pháp dạy học. Nội dung chương trình môn học HHSC của các trường sư phạm tập trung vào các nội dung cơ bản như: Cơ sở hình học và Phương pháp tiên đề, Các phép biến hình, Các hình hình học và 69 Trần Việt Cường quan hệ hình học, Quỹ tích và Dựng hình [2,4,6]. Dạy học toán sơ cấp nói chung và HHSC nói riêng cho sinh viên sư phạm là việc làm cần thiết, không chỉ giúp sinh viên hiểu một cách sâu sắc các kiến thức toán trong chương trình phổ thông mà còn giúp sinh viên ôn tập và thông hiểu một cách có phê phán những tài liệu toán học ở trường phổ thông; bổ sung những kiến thức cần thiết của toán sơ cấp mà chưa được trình bày trong sách giáo khoa; phát triển thói quen giải các bài tập toán sơ cấp mà sinh viên đã có được từ nhà trường phổ thông; phát triển tư duy, khả năng suy luôn lôgíc, năng lực tự học và có thái độ phê phán đối với những điều học được từ tài liệu hoặc nghe được từ bài dạy của giáo viên; giúp sinh viên khai thác mối liên hệ giữa toán cao cấp và toán sơ cấp. . . 2.2. Khai thác mối quan hệ giữa hình học sơ cấp và hình học cao cấp trong dạy học Nội dung hình học được xây dựng theo theo hai hướng sau: - Hướng thứ nhất, là dùng phương pháp tiên đề, xuất phát từ một số khái niệm cơ bản (là các khái niệm không định nghĩa) và một số tiên đề (là các mệnh đề thừa nhận không chứng minh), người ta định nghĩa các khái niệm khác và suy diễn ra các tính chất khác liên quan đến các khái niệm đã có. Các tính chất và các khẳng định được chứng minh dựa vào các khái niệm cơ bản và các tiên đề được gọi là định lí, mệnh đề, bổ đề, hệ quả tuỳ thuộc vào nội dung và vị trí của nó. Các khẳng định này được suy diễn nhờ các quy tắc suy luận lôgíc. - Hướng thứ hai, là theo quan điểm hình học của nhóm biến đổi. Một phép biến đổi trên không gian V là một song ánh đi từ không gian V vào chính nó. Tâp hợp các phép biến đổi trên V lập thành một nhóm với phép lấy tích các ánh xạ. Mỗi nhóm con gọi là một nhóm biến đổi trên không gian V . Trong không gian Euclid, có một số nhóm biến đổi như: nhóm dời hình, nhóm Afin, nhóm xạ ảnh. . . Hình học của nhóm dời hình, Afin, xạ ảnh lần lượt được gọi là Hình học Euclid, Hình học Afin, Hình học xạ ảnh [8]. Việc khai thác mối liên hệ giữa nội dung kiến thức toán sơ cấp ở trường phổ thông với nội dung kiến thức toán cao cấp nhằm giúp cho sinh viên biết phê phán khi nghiên cứu nội dung, chương trình sách giáo khoa toán phổ thông hiện hành. Chúng ta có thể rèn luyện cho sinh viên thiết lập mối quan hệ này theo các hướng sau đây: - Các khái niệm của toán cao cấp là công cụ để nhìn nhận toán học phổ thông theo quan niệm thống nhất, đầy đủ hơn và sâu sắc hơn: Các kiến thức HHSC là những trường hợp riêng của kiến thức tương ứng trong HHCC, do đó nếu sử dụng kiến thức của HHCC thì người giáo viên có thể nhìn nhận các mạch kiến thức của HHSC một cách thống nhất, đầy đủ và sâu sắc. Ví dụ 1. Trong Đại số tuyến tính [7], chúng ta có định lí. Định lí 2.1. Tập S = ~xi là một cơ sở của không gian vectơ E khi và chỉ khi mọi vectơ ~x của E đều có thể viết dưới dạng: ~x = ∑ i ai~xi với các hệ số ai được xác định một cách duy nhất theo ~x. Đặc biệt hoá định lí này trong mặt phẳng, chúng ta thấy: Trong mặt phẳng cho hai vectơ ~a và~bkhác ~0 và không cùng phương, khi đó {~a,~b} là một cơ sở của mặt phẳng. Do đó, với mọi véc 70 Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Toán tơ ~x trong mặt phẳng đều có thể viết dưới dạng ~x = m~a + n~b với các hệ số là m và n được xác định một cách duy nhất theo ~x. Đó chính là định lí chúng ta đã biết trong chương trình sách giáo khoa [3]. Định lí 2.2. Cho hai véc tơ không không cùng phương ~a và~b. Khi đó, mọi vectơ ~x đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai véctơ ~a và ~b, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho ~x = m~a+ n~b. Ví dụ 2. Trong Hình học Afin [1], chúng ta có định lí. Định lí 2.3. Cho k điểm P1, P2, . . . , Pk của không gian Afin A và k số thuộc trường K : λ1, λ2. . . , λk sao cho k∑ i=1 λi 6= 0. Khi đó có duy nhất điểm G sao cho: k∑ i=1 λi −−→ GPi = ~0 Lúc này điểm G được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệ số λi. Trong trường hợp các λi bằng nhau, điểm G gọi là trọng tâm của hệ điểm Pi. Đặc biệt hoá định lí trên trong mặt phẳng, ta có: - Với k = 2 và λ1 = λ2 = 1 thì ta có: −−→ GP1 + −−→ GP2 = ~0 hay G chính là trung điểm của đoạn thẳng P1P2 mà ta đã biết trong hình học phẳng; - Với k = 3 và λ1 = λ2 = λ3 = 1 thì ta có: −−→ GP1 + −−→ GP2 + −−→ GP3 = ~0 hay G chính là trọng tâm của tam giác P1P2P3 mà chúng ta đã biết trong hình học phẳng. - Sử dụng các kiến thức của HHCC để giải thích một số kiến thức khó trong chương trình toán học phổ thông, đồng thời chính xác hoá một số kiến thức của toán học phổ thông (vì nhiều lí do sư phạm nên các kiến thức này không được trình bày một cách chặt chẽ và lô gíc trong sách giáo khoa hiện hành). Ví dụ 3. Hai tam giác bằng nhau thì tồn tại duy nhất một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Theo HHCC, trong không gian E2, hai tam giác ABC và A′B′C ′ sẽ tạo ra hai hệ điểm độc lập tuyến tính {A,B,C} và {A′, B′, C ′}. Do đó, tồn tại duy nhất một phép Afin: f : E2 → E2 sao cho f(A) = A′, f(B) = B′ và f(C) = C ′. Xét phép biến đổi tuyến tính liên kết ~f của f với hai cơ sở {−−→AB,−→AC} và {−−→A′B′,−−→A′C ′} của E2. Ta có: ~f( −−→ AB) = −−→ A′B′, ~f( −→ AC) = −−→ A′C ′ Do∆ABC = ∆A′B′C ′ nên ta có: AB.AC. cosA = A′B′.A′C ′. cosA′ ⇔ −−→AB.−→AC = −−→A′B′.−−→A′C ′ 71 Trần Việt Cường nghĩa là ~f bảo tồn tích vô hướng trong −→ E2. Suy ra, ~f là phép biến đổi trực giao nên f là phép đẳng cự trong E2, tức f là phép dời hình trong mặt phẳng. Vậy nếu hai tam giác ABC và A′B′C ′ bằng nhau thì tồn tại duy nhất một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. - Vận dụng các kiến thức toán cao cấp định hướng tìm tòi lời giải cho một số dạng toán trong chương trình toán học phổ thông. +) Sử dụng hệ toạ độ Afin: Các bất biến Afin nếu thể hiện được qua biểu thức toạ độ của hệ toạ độ Afin. Do đó, nếu bài toán chứa hoàn toàn các bất biến Afin thì có thể sử dụng hệ toạ độ Afin để giải. Các bài toán về quan hệ song song đều giải được nhờ kiến thức này của HHCC. Ví dụ 4. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1. Gọi M là ảnh đối xứng của D1 qua A;N là ảnh đối xứng của D qua C1; I là trung điểm của cạnh BB1. Chứng minh rằng ba điểm M, I, và N thẳng hàng. Ta có hình hộp là 3 - hộp trong không gian Afin 3 chiều và hộp là khái niệm Afin. Đối xứng, trung điểm quy về tỉ số đơn bằng -1 và tỉ số đơn là khái niệm Afin. Thẳng hàng cũng là tính chất Afin. Như vậy, bài toán chứa đựng hoàn toàn các bất biến Afin. Do đó, chúng ta có thể sử dụng hệ toạ độ Afin trong không gian Afin ba chiều để giải bài toán trên. Chẳng hạn, chọn hệ toạ độ { A; −−→ AB, −−→ AD, −−→ AA1 } , sau đó biểu thị các véctơ −−→ MN, −−→ IM qua hệ toạ độ Afin rồi tìm k trong hệ thức −−→ MN = k −−→ IM . Từ đó, suy ra ba điểm M, I, và N thẳng hàng. +) Sử dụng tương đương Afin: Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh hình H có tính chất α, trong đó α là một tính chất Afin. Khi ấy, ta thực hiện theo các bước sau đây [4]: Bước 1. Chọn trong tập hợp các hình tương đương Afin với hìnhH một hìnhH ′ mà trên đó tính chất Afin dễ chứng minh hơn. Có thể xem H ′ là ảnh của H qua một phép Afin f nào đó. Ta có f(H) = H ′. Bước 2. Ta chứng minh tính chất α trên hình H ′. Trong quá trình chứng minh có thể sử dụng thêm các kiến thức của hình học Euclid và do đó việc chứng minh sẽ được thực hiện một cách dễ dàng và nhanh gọn. Bước 3. Sau khi chứng minh được tính chất α trên hìnhH ′ ta thực hiện phép Afin f−1 biến hình H ′ thành hình H , tức là f−1(H ′) = H . Như vậy, ta đã chứng minh được tính chất Afin α trên hình H . Trong HHSC, hai hình tương đương Afin bao gồm: + Hai tam giác bất kì. Do đó, ta thường chọn hìnhH ′ là tam giác đều hoặc tam giác vuông. + Hai tứ diện bất kì. Do đó, ta thường chọn hình H ′ là tứ diện đều hoặc tứ diện vuông. + Hai hình Elíp bất kì. Do đó, ta thường chọn hình H ′ là đường tròn. + Hai hình bình hành bất kì. Do đó, ta thường chọn hình H ′ là hình vuông. + Hai hình hộp bất kì. Do đó, ta thường chọn hình H ′ là hình lập phương. Ngoài các hướng trên, chúng ta có thể sử dụng các kiến thức của toán cao cấp để sáng tạo ra các bài toán phổ thông bằng cách khai thác các kiến thức của hình học Afin, hình học Euclid và hình học Xạ ảnh. 72 Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Toán Trong quá trình giảng dạy ở các trường sư phạm, để thẩm thấu cho sinh viên thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức toán cao cấp vừa được học với nội dung toán sơ cấp được trình bày trong chương trình phổ thông, từ đó giúp cho sinh viên có khả năng vận dụng kiến thức của toán cao cấp để soi sáng các kiến thức của toán sơ cấp và biết cách tổ chức cho học sinh con đường khám phá tìm kiếm các nội dung kiến thức, người giảng viên có thể tiến hành một số hoạt động như sau: - Nghiên cứu mối quan hệ giữa phần kiến thức Toán phổ thông với cơ sở lí thuyết trong toán cao cấp và toán sơ cấp được trang bị ở trường Sư phạm. - Sử dụng góc nhìn và ngôn ngữ của kiến thức của toán cao cấp để phân tích kiến thức Toán phổ thông, nhằm thấy rõ bản chất sâu sắc về khoa học toán học, phát triển lớp các bài toán mới cho toán phổ thông thông qua hoạt động biến đổi đối tượng. - Thông qua hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ để tiến hành chuyển hóa sư phạm tri thức khoa học - tri thức chương trình - tri thức phương pháp. Ví dụ với bài toán: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi I, J lần lượt là các trung điểm của các cạnh AB,C1D1. Các điểm M,N thay đổi, lần lượt thuộc các cạnh AD,BB1 sao cho AM = BN. Chứng minh, đường thẳng MN luôn cắt và vuông góc với IJ tại trung điểm H của đoạnMN (Hình 1). Giáo viên có thể phát triển bài toán trên nhờ sử dụng các bất biến Afin và sử dụng các tương đương Afin, sau đó chuyển sang ngôn ngữ phổ thông bài toán mới đối với học sinh như sau [5]: Hình lập phương tương đương Afin với một hình hộp bất kì; trung điểm là bất biến Afin; điều kiện AM = BN trong hình lập phương có thể chuyển thành: AM AD = BN BB1 = k (k > 0) Từ đó, ta có bài toán mới sau: Bài toán 2.1. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,C1D1. Các điểmM,N thay đổi, lần lượt thuộc AD,BB1 sao cho: AM AD = BN BB1 = k Chứng minh rằng đường thẳngMN luôn cắt IJ tại trung điểm H củaMN . Hình 1. 73 Trần Việt Cường 3. Kết luận Nếu chúng ta biết tận dụng được mối quan hệ giữa nội dung HHCC và HHSC ở trường phổ thông trong giảng dạy ở các trường sư phạm thì không những giúp sinh viên có thể nắm vững được các mạch kiến thức hình học ở trường phổ thông một cách có hệ thống mà còn giúp cho sinh viên hiểu rõ được bản chất, cội nguồn của các kiến thức, thấy được mối quan hệ giữa các nội dung HHCC được học tập ở các trường sư phạm với nội dung hình học ở trường phổ thông, tứ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường phổ thông. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Tạ Mân, 1998. Hình học Afin và hình học Euclid. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam, 2013. Giáo trình học hình học sơ cấp. Nxb Giáo dục Việt Nam. [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, 2006. Hình học 10 - nâng cao. Nxb Giáo dục. [4] Đào Tam, 2004. Giáo trình học hình học sơ cấp. Nxb Đại học Sư phạm. [5] Đào Tam, Trần Trung, 2010. Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm. [6] Đỗ Đức Thái, Nguyễn Anh Tuấn, 2011. Về việc dạy học toán sơ cấp ở Khoa Toán các trường Đại học Sư phạm. Tạp chí Giáo dục, số 263. [7] Ngô Việt Trung, 2002. Giáo trình Đại số tuyến tính. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [8] Nguyễn Thị Thanh Vân, 2011. Dạy học toán cao cấp ở Đại học Sư phạm theo hướng bồi dưỡng phương pháp sư phạm cho sinh viên. Tạp chí Giáo dục, số 264. ABSTRACT Teaching elementary geometry in preparation for advanced geometry This article looks at the teaching of elementary geometry at the university of education in preparation for learning advanced geometry. The goal is to show the connections between elementary and advanced geometry in high school, how to apply knowledge of advanced mathematics to help high school students obtain a clearer understanding of elementary geometry and how to use elementary geometry in high school teaching. 74