Dạy học nội dung tâm tỉ cự cho sinh viên Sư phạm toán theo định hướng gắn với hình học sơ cấp

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 43-48 This paper is available online at DẠY HỌC NỘI DUNG TÂM TỈ CỰ CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG GẮN VỚI HÌNH HỌC SƠ CẤP Trần Trung1, Trần Việt Cường2 1Uỷ ban Dân tộc Chính phủ; 2Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên Tóm tắt. Bài báo này, chúng tôi đề cập tới việc dạy học nội dung Tâm tỉ cự cho sinh viên (SV) sư phạm toán theo định hướng gắn với nội dung Hình học sơ cấp, qua đó giúp cho SV thấy được mối quan hệ của nội dung Hình học cao cấp được học ở trường sư phạm với nội dung hình học trong chương trình phổ thông. Từ khóa: Tâm tỉ cự, hình học cao cấp, hình học sơ cấp. 1. Mở đầu Quan điểm xây dựng chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông ở nước ta là tiếp cận được xu thế hiện đại hoá giáo dục toán học của thế giới theo phương thức phù hợp với thực tế giáo dục của đất nước, các kiến thức cơ bản của toán học được trình bày trên cơ sở những quan điểm, tư tưởng của toán học cao cấp, toán học hiện đại. Do đó, cần thiết phải chuẩn bị cho SV sư phạm toán những cơ sở toán học hiện đại trong trường phổ thông, Theo A. M. Pưshkalo thì dạy học một cách đúng đắn về toán học phụ thuộc nhiều vào sự chuẩn bị kiến thức toán học cao cấp cho người giáo viên tương lai. Giáo viên cần phải nắm được rõ ràng các khái niệm cơ bản của toán học hiện đại, biết áp dụng chúng một cách linh hoạt. Tất cả những điều đó không chỉ để đảm bảo chuyên môn cao cho người giáo viên mà còn đặt nền móng vững chắc để họ tiếp tục học tập và nghiên cứu sâu sắc hơn các hiểu biết về toán học. Còn N. Ia.Vilenkin cho rằng: “... Nó tạo ra khả năng cho người giáo viên dạy toán tương lai biết phân tích, nhìn nhận môn học mình dạy ở phổ thông bằng quan điểm cao nhất, cho phép hợp nhất các sự kiện khác nhau, đưa chúng vào một hệ thống trên cơ sở tư tưởng lôgic và tư tưởng tổng quát của toán học,...” [4;3]. Do đó, người giáo viên phải có kiến thức cơ bản vững vàng thiết thực về toán cao cấp và biết sử dụng toán cao cấp trong mối liên hệ với toán sơ cấp và nội dung môn Toán ở trường phổ thông. Thực tế hiện nay cho thấy, nhiều SV khi học tập các môn Hình học cao cấp (HHCC) ở trường Sư phạm chưa thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức của HHCC với nội dung kiến thức hình học sơ cấp (HHSC). Do vậy, SV nên chưa biết khai thác, vận dụng các kiến thức của HHCC vào việc soi sáng các kiến thức của HHSC và chưa biết vận dụng vào dạy học HHSC. Một phần nguyên nhân đó là do các giảng viên (GV) khi dạy học HHCC ở trường sư phạm mới chỉ tập Liên hệ: Trần Trung, e-mail: trungt1978@gmail.com. 43 Trần Trung, Trần Việt Cường trung vào việc cung cấp nội dung kiến thức cho SV mà chưa chú trọng việc phân tích cho SV thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức của HHCC với nội dung kiến thức HHSC. Để khắc phục những hạn chế trên, trong quá trình dạy học HHCC, các GV dạy bộ môn Hình học cần giúp cho SV thấy được mối liên hệ giữa HHCC với HHSC trong quá trình dạy học HHCC để SV có thể nắm vững được các kiến thức về HHCC, hiểu rõ được bản chất, cội nguồn của các kiến thức của HHSC. Để làm sáng tỏ điều trên, chúng tôi thể hiện thông qua việc dạy học nội dung Tâm tỉ cự cho SV sư phạm toán. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Dạy học HHCC cho SV sư phạm toán theo định hướng gắn với HHSC Dạy học HHCC cho SV sư phạm toán theo định hướng gắn với HHSC, chúng ta có thể khai thác theo các khía cạnh sau đây: - Các khái niệm của HHCC là công cụ để nhìn nhận các khái niệm HHSC theo quan niệm thống nhất, đầy đủ hơn và sâu sắc hơn. Các kiến thức HHSC là những trường hợp riêng của kiến thức tương ứng trong HHCC. - Sử dụng các kiến thức của HHCC để giải thích một số kiến thức khó trong HHSC, đồng thời nhằm chính xác hoá một số kiến thức của HHSC, vì nhiều lí do sư phạm nên các kiến thức này không được trình bày một cách chặt chẽ và lô gíc. - Vận dụng các kiến thức HHCC định hướng tìm tòi lời giải cho một số dạng toán trong HHSC. Trong quá trình giảng dạy ở các trường sư phạm, việc người GV luôn chú ý khai thác các khía cạnh trên trong quá trình dạy học HHCC, sẽ giúp cho SV không những thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức HHCC với nội dung kiên thức HHSC trong quá trình dạy học HHCC mà còn giúp SV có thể nắm vững được các kiến thức về HHCC, hiểu rõ được bản chất, cội nguồn của các kiến thức của HHSC, tứ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường phổ thông. 2.2. Dạy học nội dung tâm tỉ cự cho SV sư phạm toán theo định hướng gắn với HHSC Trong giáo trình Hình học Afin và Hình học Euclid được giảng dạy ở các trường Đại học Sư phạm cho SV toán [1], nội dung bài Tâm tỉ cự được giới thiệu cho SV thông qua 3 định lí và 1 định nghĩa. GV có thể tiến hành dạy học nội dung bài Tâm tỉ cự theo định hướng gắn với HHSC ở trường phổ thông cho SV như sau: i) Mở đầu nội dung bài Tâm tỉ cự, SV được làm quen với nội dung định lí (2.1) Định lí 2.1. Cho k điểm P1, P2, . . . , Pk của không gian Afin A và k số thuộc trường K : λ1, λ2, ..., λk sao cho k∑ i=1 λi 6= 0. Khi đó có duy nhất điểm G sao cho k∑ i=1 λi −−→ GPi = ~0. Sau khi nghiên cứu xong nội dung định lí (2.1), GV đưa ra kết luận: Điểm G nói trong định lí (2.1) được gọi là Tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệ số λi. Trong trường hợp các λi bằng nhau, điểm G gọi là trọng tâm của hệ điểm Pi và đó cũng chính là định nghĩa về khái niệm Tâm tỉ 44 Dạy học nội dung tâm tỉ cự cho sinh viên Sư phạm Toán... cự của một hệ điểm Pi gắn với họ hệ số λi trong không gian Afin A. Để giúp SV nắm vững được khái niệm Tâm tỉ cự của một họ điểm Pi của không gian Afin A gắn với họ các hệ số λi, GV yêu cầu SV tiến hành đặc biệt hoá khái niệm trên, khi đó SV sẽ thấy được: - Với k = 2 và λ1 = λ2 = 1 thì ta có: −−→ GP1 + −−→ GP2 = ~0 Khi đó, Tâm tỉ cự G của họ hai điểm P1 và P2 chính là trung điểm của đoạn thẳng P1P2 mà SV đã biết trong chương trình phổ thông. - Với k = 3 và λ1 = λ2 = λ3 = 1 thì ta có: −−→ GP1 + −−→ GP2 + −−→ GP3 = ~0 Khi đó, Tâm tỉ cự G của họ ba điểm P1, P2 và P3 chính là trọng tâm của tam giác P1P2P3 mà SV đã biết trong chương trình phổ thông. - Với k = 4 và λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 1 thì ta có: −−→ GP1 + −−→ GP2 + −−→ GP3 + −−→ GP4 = ~0 Khi đó, Tâm tỉ cự G của họ bốn điểm P1, P2, P3 và P4 chính là trọng tâm của tứ giác P1P2P3P4 nếu các điểm P1, P2, P3 và P4 đồng phẳng; là trọng tâm của tứ diện P1P2P3P4 nếu các điểm P1, P2, P3 và P4 không đồng phẳng mà SV đã biết trong chương trình phổ thông. Qua hoạt động trên, GV sẽ giúp cho SV thấy được mối quan hệ giữa khái niệm Tâm tỉ cự của một họ điểm Pi được học trong chương trình môn Hình học Afin và hình học Euclid ở trường Sư phạm với các khái niệm trung điểm của một đoạn thẳng, trọng tâm của một tam giác, trọng tâm của một tứ giác, trọng tâm của một tứ diện... đó là các khái niệm mà SV đã được biết trong chương trình phổ thông. ii) Tiếp theo, dưới sự hướng dẫn của GV, SV nghiên cứu nội dung hai định lí: Định lí 2.2. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ điểm P0, P1, . . . , Pk (với các họ hệ số khác nhau) là cái phẳng bé nhất chứa các điểm ấy Định lí 2.3. Chom phẳng α đi quam+1 điểm độc lập P0, P1, . . . , Pm và một điểm O tuỳ ý. Điều kiện cần và đủ để điểmM thuộc α là −−→ OM = m∑ i=0 λi −−→ OPi, trong đó m∑ i=0 λi = 1. Để giúp SV hiểu được và thấy được ý nghĩa của nội dung định lí (2.2) và định lí (2.3), với cách làm tương tự như khi nghiên cứu về khái niệm Tâm tỉ cự của một họ điểm, GV phân tích và đặc biệt hoá các định lí trên, khi đó SV sẽ thấy được nội dung định lí (2.3) trên là trường hợp tổng quát của một số bài toán mà SV đã từng giải trong chương trình phổ thông: Bài toán 2.1. Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC và một điểm O bất kì.G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi 3 −−→ OG = −→ OA+ −−→ OB + −−→ OC . 45 Trần Trung, Trần Việt Cường Bài toán 2.2. Trong mặt phẳng, cho tứ giác ABCD và một điểm O bất kì. G là trọng tâm của tứ giác ABCD khi và chỉ khi 4 −−→ OG = −→ OA+ −−→ OB + −−→ OC + −−→ OD . Bài toán 2.3. Trong không gian, cho tứ diện ABCD và một điểm O bất kì. G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi 4 −−→ OG = −→ OA+ −−→ OB + −−→ OC + −−→ OD . iii) Sau đó, để giúp SV nắm vững được nội dung của bài Tâm tỉ cự của một họ điểm trong không gian Afin, GV tiến hành phân tích cho SV thấy được ý nghĩa, vai trò của khái niệm này với nội dung kiến thức hình học trong chương trình phổ thông, chẳng hạn như: Trong không gian Afin n chiều An, xét hệ n+1 điểm độc lập A0, A1, A2, . . . , An. Khi đó, ta có: {A0;A1, A2, ..., An} là mục tiêu Afin ứng với cơ sở Afin:{−−−→ A0A1, −−−→ A0A2, ..., −−−→ A0An } Với mọi điểmM, ta có: −−−→ A0M = n∑ i=1 ti −−−→ A0Ai = n∑ i=1 ti (−−−→ A0M + −−−→ MAi ) = ( n∑ i=1 ti ) −−−→ A0M + n∑ i=1 ti −−−→ MAi Từ đó, ta có: n∑ i=0 ti −−−→ MAi = −→ 0 với t0 = 1 − n∑ i=1 ti hay n∑ i=0 ti = 1 nên M là Tâm tỉ cự của hệ điểm A0, A1, A2, . . . , An gắn với họ hệ số t0, t1, t2, . . . , tn, trong đó n∑ i=0 ti = 1. Khi đó, ta có t0, t1, t2, . . . , tn là toạ độ của trọng tâm M đối với hệ điểm A0, A1, A2, . . . , An. Như vậy, nếu t0, t1, t2, . . . , tn là toạ độ trọng tâm của M đối với hệ A0, A1, A2, . . . , An thì t1, t2, . . . , tn là toạ độ trọng tâm của M đối với mục tiêu Afin {A0;A1, A2, ..., An}, với n∑ i=0 ti = 1. Từ nhận xét này, GV yêu cầu SV sử dụng kiến thức đề tâm tỉ cự để có thể định hướng lời giải và giải bài toán sau [3]: 46 Dạy học nội dung tâm tỉ cự cho sinh viên Sư phạm Toán... Bài toán 2.4. Cho tứ diện ABCD vàO là điểm bất kì trong tứ diện. Gọi V1, V2, V3, V4 lần lượt là thể tích của các tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC. Chứng minh rằng: V1. −→ OA+ V2. −−→ OB + V3. −−→ OC + V4. −−→ OD = −→ 0 (2.1) Ý tưởng vận dụng HHCC. Gọi V là thể tích của tứ diện ABCD.Đẳng thức cần chứng minh tương đương với hệ thức sau đây: V1 V . −→ OA+ V2 V . −−→ OB + V3 V . −−→ OC + V4 V . −−→ OD = −→ 0 . Điều này chứng tỏ O là tâm tỉ cự của hệ bốn điểm độc lập {A,B,C,D} trong A3 ứng với họ hệ số: { V1 V , V2 V , V3 V , V4 V } , suy ra toạ độ của O trong mục tiêu Afin {A;B,C,D} là:( V2 V , V3 V , V4 V ) Tức là ta có biểu diễn sau: −→ AO = V2 V −−→ AB + V3 V −→ AC + V4 V −−→ AD Do đó, ta cần chứng tỏ ( V2 V , V3 V , V4 V ) là hệ số của −→ AO trong khai triển đối với cơ sở{−−→ AB, −→ AC, −−→ AD } . Từ đó, ta có lời giải bài toán trên như sau: Giả sử −→ AO = x −−→ AB + y −→ AC + z −−→ AD. Ta cần chứng minh: x = V2 V , y = V3 V , z = V4 V . 47 Trần Trung, Trần Việt Cường Thật vậy, dựng hình hộpMNOQAPRS nhận AO làm đường chéo chính, ba cạnh kề nằm trên ba cạnh của tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A. Đặt x = AM AB . Gọi O′ là giao điểm của BO với mặt phẳng (ACD). Gọi H và K lần lươt là hình chiếu của B và O lên mặt phẳng (ACD). Gọi L là giao điểm của BN với AD. Khi đó, ta có: V2 V = OK BH = OO′ BO′ = NL BL = AM AB = x Chứng minh tương tự được y = V3 V , z = V4 V . Nên ta có: −→ AO = V2 V −−→ AB + V3 V −→ AC + V4 V −−→ AD Vậy: V1. −→ OA+ V2. −−→ OB + V3. −−→ OC + V4. −−→ OD = −→ 0 . 3. Kết luận Khi dạy học, nếu các GV bộ môn Hình học dành một lượng thời gian thích hợp để phân tích cho SV thấy được mối quan hệ giữa nội dung HHCC với nội dung HHSC thì sẽ giúp cho SV không những hiểu rõ hơn các nội dung của HHCC mà còn thấy được mối quan hệ khăng khít giữa các kiến thức của HHCC được học trong các trường Sư phạm với nội dung HHSC được trình bày trong chương trình phổ thông, tứ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường phổ thông. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Tạ Mân, 1998. Hình học Afin và hình học Euclid. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam, 2013. Giáo trình hình học sơ cấp. Nxb Giáo dục Việt Nam. [3] Đào Tam, 2004. Giáo trình hình học sơ cấp. Nxb Đại học Sư phạm. ABSTRACT Teaching the barycentric to mathematics students with an Orientation towards elementary geometry In this paper, we show how teaching the barycentric to mathematics high school students with an orientation associated with elementary geometry helps students see the relationship to high geometry 48