Đề cương bài giảng Đại số & hình học giải tích

1 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 1 Tiết 1-4 GV giảng 4, HV tự học: 4 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn Chương 1 TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ Các mục 1.1 Mệnh đề toán học và các phép toán logic 1.2 Tập hợp 1.3 Ánh xạ Mục đích - yêu cầu - Giới thiệu mục đích, ý nghĩa của môn học - Nắm được nội dung cơ bản của lý thuyết tập và khái niệm ánh xạ. NỘI DUNG I. LÝ THUYẾT Chương I. TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC VÀ CÁC PHÉP TÍNH LOGIC 1.1.1 Mệnh đề toán học: Là những khẳng định mang một ý nghĩa đúng hoặc sai. Không có mệnh đề nửa đúng nửa sai. Thí dụ 1.1 “ 5 > 3” : Mệnh đề đúng “Áo bộ đội màu nâu” : Mệnh đề sai. 1.1.2 Các phép toán logic trên các mệnh đề. Giả sử ta có các mệnh đề A, B, C a) Phép phủ định A : Mệnh đề A nhận giá trị đúng khi A sai, nhận giá trị sai khi A đúng. b) Phép Hội  : Mệnh đề A B chỉ nhận giá trị đúng khi và chỉ khi A và B cùng đúng. c) Phép Tuyển  : Mệnh đề A B chỉ nhận giá trị sai khi và chỉ khi A và B cùng sai. d) Phép kéo theo  : Mệnh đề A  B chỉ nhận giá trị sai khi và chỉ khi A đúng và B sai. e) Phép Tuyển loại trừ  : Mệnh đề A  B nhận giá trị đúng khi A đúng và B sai hoặc A sai B đúng. Bảng chân trị A B A A B A B A B A B A B 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1.1.3 Điều kiện cần, điều kiện đủ Nếu A B thì A được gọi là điều kiện đủ của B, B được gọi là điều kiện cần có của A. Nếu A B thì A được gọi là điều kiện cần và đủ của B và ngược lại. 1.1.4 Vị từ Như đã biết, mệnh đề là một câu khẳng định có ý nghĩa đúng hoặc sai rõ ràng. Tuy nhiên, trong thực tế có những câu khẳng định mà giá trị chân lý của nó đúng hay sai tùy thuộc vào một hay nhiều yếu tố chưa cụ thể (biến) nào đó. Thí dụ 1.2 Khằng định “ x>5” có giá trị là đúng nếu x=7 và có giá trị là sai nếu x=2. a) Hàm mệnh đề. Hàm  1 2, , , nP x x x xác định trên tập A được gọi là hàm mệnh đề n-ngôi trên nếu A thay 1 1 2 2, , , n nx a x a x a    với ia A , 1,i n thì  1 2, , , nP a a a là một mệnh đề. Thí dụ 1.3 P(x) = “x>5” : Là hàm mệnh đề 1 ngôi trên R; P(x,y,z) = “x>y, y>z” : Là hàm mệnh đề 3 ngôi trên R . 2 Trong các vị từ người ta thường sự dụng các lượng từ: Lượng từ riêng  , đọc là “ tồn tại”, “có” hay “ có ít nhất một”hay Lượng từ chung  , đọc là “ với mọi”, “ tất cả”, Sự kết hợp giữa một hay nhiều lượng từ và một hàm mệnh đề tạo ra mệnh đề. Những mệnh đề như vậy gọi là vị từ. Thí dụ 1.4  x P(x): Là khẳng định tồn tại ít nhất x để P(x) đúng;  x P(x) : Là khẳng định với mọi giá trị x P(x) đều đúng.  x y P(x,y): Là khẳng định tồn tại ít nhất 1 giá trị x để P(x,y) đúng với mọi giá trị y. b) Phép toán phủ định của vị từ i) P(x) = x ( )x P X  ii) P(x) = x ( )x P X  Thí dụ 1.5 Để định nghĩa dãy {an} có giới hạn là a, người ta viết: 0, , nk N n k a a          Vì vậy, để khẳng định {an} phân kỳ hoặc không phải có giới hạn là a, ta cần chỉ ra: 0 , , sao cho nk N n k a a         Hệ quả : i) P(x) Q(x) P(x) Q( )x x x     ii) P(x) Q(x) P(x) Q( )x x x    1.2 TẬP HỢP 1.2.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản, không định nghĩa. Tuy nhiên có thể giải thích: Một tập hợp bao gồm các đối tượng xác định hợp thành. Mỗi đối tượng gọi là một phần tử của tập hợp. Kí hiệu các tập hợp: A, B, C... Nếu x là một phấn tử của tập A ta viết xA, còn nếu y không phải là phần tử của tập A ta viết xA. 1.2.2 Mô tả một tập hợp: Có 2 phương pháp a) Liệt kê các phần tử của tập hợp. Thí dụ 1.6 S ={1,2,3,a,c}. Khi đó : 3,aS và 5,6,bS. b) Nêu các tính chất đặc trưng của phần tử. Thí dụ 1.7 B = {số nguyên, dương chẵn}. Khi đó 2,4,8B và 1,13,-8B c) Một số tập hợp đặc biệt - Tập rỗng  ={} - Tập số tự nhiên N ={0,1,2,3,...} - Tập số nguyên Z = {0,  1, 2, 3...} - Tập số hữu tỷ Q = {p/q p,qZ , q0} - Tập số thực R = { Các số hữu tỷ và vô tỷ} d) Hai tập A và B được gọi là hai tập bằng nhau: Nếu chúng có cùng các phần tử A = B  (xA xB) (yB  yA) e) Bao hàm và tập con. Tập hợp A được gọi là tập con của tập B , nếu mọi phần tử của A đều là của B. A  B  (xA  xB) Cách viết khác nhau về tập con: A  B - Đọc là : A là tập con của tập B, A nằm trong B; B  A - Đọc là : B chứa A , B bao hàm A. Như vậy, nếu A = B thì A là tập con của tập B và B cũng là tập con của tập A. Thí dụ 1.8 Cho C ={ 1, 2, 5} và D={ 1,2,3,4,5} ta thấy C  D. Tập tất cả các tập con của tập A gọi là tập 2A. Thí dụ 1.9 Nếu A={ 1,2,3} thì 2A ={, {1},{2},{3}, {1,2},{1,3},{2.3},{1,2,3} } Dễ dàng chứng minh được: Nếu A có n phần tử thì 2A có 2n phần tử (!). 3 Để mô tả mối quan hệ của 2 tập hợp người ta thường dùng sơ đồ Ven. Chẳng hạn, mô tả quan hệ A  B bằng sơ đồ: A B 1.2.3 Các phép toán trên tập hợp a) Phép giao  : AB = { x | xA và xB} b) Phép hợp  : AB = { x | xA hoặc xB} c) Phép trừ - : A-B = A\B = { x | xA và xB} d) Tập phần bù : Giả sử A là tập con U. Phần bù của tập A trong U là tập Ac hay A = {xU | xA} =U-A Nếu A là một tập "vũ trụ", nghĩa là mọi tập cần xét đều được xem là tập con của U, thì có thể nói gọn lại Ac là phần bù của tập A. Thí dụ 1.10 Cho A ={1,2,3,4,9} B = { 3,4,5,8} U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Khi đó AB = {1,2,3,4,5,8,9} AB = {3,4 } A-B = {2,9} Ac = {0,5,6,7,8} 1.2.4 Tính chất của các phép toán tập hợp a) Kết hợp : (AB)C = A(BC) (AB)C = AB(C) b) Giao hoán : AB = BA B = BA c) Phân phối : (AB) C = ( AC)(BC) (AB) C = (AC)  (BC) d) Hai lần bù : (Ac)c =A e) Luật DeMorgan: (AB)c = Ac  Bc ) (AB)c = Ac  Bc 1.2.5 Tích Des Cartes Giả sử A, B , C là các tập hợp và {Ai}i=1,2,,n là một họ n tập hợp. Khi đó ký hiệu: AB = {(x,y)| xA và yB} ABC = {(x,y,z)| xA, yB và zC } 1 2 1 n i n i A A A A     = {(x1,x2 ,,xn)| xiAi ; i=1,2,,n } xi gọi là tọa độ thứ i của phần tử (x1,x2 ,,xn) Trường hợp riêng, nếu 1 2 nA A A A   thì : An = {(x1,x2 ,,xn)| xiA ; i=1,2,,n } Dễ dàng chứng minh được : N(A1A2An) = 1 ( ) n i i N A   1.2.6 Phủ và phân hoạch Cho S là là một họ các tập con của tập A : S = (Ai), i=1,2,...,n. Khi đó S được gọi là một phân phủ của tập A nếu 1 n i i A A = = Nếu S là một phủ của A và tập Ai rời nhau từng đôi một thì S gọi là một phân hoạch của A. Thí dụ 1.11 Ba tập      | 0 , | 0 , 0A x R x B x R x C       là một phân hoạch của tập R. 1.3 ÁNH XẠ 1.3.1 Khái niệm về ánh xạ: Ánh xạ từ tập E đến tập F là 1 qui luật f, liên hệ giữa E và F, sao cho khi nó tác động vào 1 phần tử x thuộc tập E sẽ sinh ra 1 và chỉ 1 phần tử thuộc tập F. Ký hiệu :f E F hay fE F Gọi E là Tập nguồn và F là tập đích. Nếu f tác động vào x E sinh ra y F thì ta viết ( )y f x hay 4 Thí dụ 1.12 Một số ánh xạ : 3 1y x  với E F R  ; [ ]y x với ,E R F Z  ; sin 2y x  với E F R  . Cho tập sinh viên lớp E và tập chỗ ngồi trong phòng học F, ( )f x là chỗ ngồi của sinh viên x. 1.3.2 Tập ảnh: Giả sử :f E F , khi đó - Tập ảnh của ánh xạ f là: ( ) { | : ( )}f E y F x E y f x     - Tập ảnh của tập A E qua ánh xạ f là: ( ) { | : ( )}f A y F x A y f x     1.3.3 Đơn ánh: Ánh xạ :f E F được gọi là một đơn ánh nếu từ 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x   hay từ 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   . 1.3.4 Toàn ánh: Ánh xạ :f E F được gọi là một là một toàn ánh (ánh xạ tràn) nếu ( ) .f E F 1.3.5 Song ánh: Ánh xạ :f E F được gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Thí dụ 1.13 Xét các ánh xạ: 3 1y x  với E F R  : Là đơn ánh, toàn ánh nên là một song ánh. [ ]y x với ,E R F Z  : Là toàn ánh , không đơn ánh. sin 2y x  với E F R  : Không đơn ánh, không toàn ánh. 1.3.6 Ánh xạ ngược của song ánh: Cho song ánh :f E F khi đó tồn tại một ánh xạ :g F E được xác định như sau ( )x g y nếu ( )y f x . Ánh xạ ngược của ánh xạ f thường ký hiệu là 1f  . Thí dụ 1.14 Ánh xạ 3 1y x  với E F R  là một song ánh. Do đó: 1 3( ) 1x f y y   . Dễ dàng thấy rằng nếu f là song ánh thì 1f  cũng là một song ánh và   11f f  Song ánh :f E F tạo ra một quan hệ 1-1 giữa 2 tập E và F 1.3.7 Hợp (tích) của hai ánh xạ Cho :f E F và :g F G . Tích của hai ánh xạ f và g, ký hiệu 0 :g f E G , được xác định như sau: ( ) ( )f gx E y f x z g y     . Nói các khác 0 ( ) [ ( )]z g f x g f x  . Thí dụ 1.15 Giả sử : sin( )f y x và : log( )g z y thì 0 : log(sin )g f z x .  Các tính chất (tự CM). - Hợp của hai đơn ánh là đơn ánh; - Hợp của hai toàn ánh là toàn ánh. - Hợp của hai song ánh là song ánh. Giả sử :f E F là song ánh thì 1f  cũng là một song ánh. Khi đó  1 10 ( ) ( ) [ ( )] ;Ex E I x f f x f f x x      : IE là ánh xạ đồng nhất trên E. Tương tự,  10 ( ) ( )Fy F I y f f y y   : IF là ánh xạ đồng nhất trên F. 5 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 2 Tiết 5-8 GV giảng 4, HV tự học: 4 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn Chương 1 TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ Các mục 1.4 Luật hợp thành trong 1.5 Sơ lược về cầu trúc đại số 1.6 Số phức Mục đích - yêu cầu - Giới thiệu sơ lược về các cấu trúc đại số: Nhóm, vành, trường. - Nắm được khái niệm trường số phức C một số ứng dụng của nó. NỘI DUNG I. LÝ THUYẾT 1.4 LUẬT HỢP THÀNH TRONG 1.4.1 Định nghĩa: Luật hợp thành trong trên tập E, hay phép toán trên E là một quy luật tác động lên hai phần tử của E sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử của nó. :f E E E  , ( , )fx y E z f x y E    . Thường ký hiệu: *z x y . Thí dụ 1.16 - Luật cộng trong N : + - Luật nhân trong R : × - Luật chia trong R-{0}: / 1.4.2 Tính chất. Giả sử * là một luật hợp thành trong trên tập E. Khi đó: a) Giao hoán: Luật * gọi là có tính chất giao hoán nếu , * *x y E x y y x    b) Kết hợp: Luật * gọi là có tính chất kết hợp nếu , , ( * )* *( * )x y z E x y z x y z    c) Có phần tử trung hòa: Luật * gọi là có phần tử trung hòa e nếu * *e E x E x e e x x       d) Phần tử đối xứng: Giả sử Luật * gọi là có phần tử trung hòa e . Phần tử x E gọi là có phần tử đối xứng là 'x nếu ' : x * ' '*x E x x x e    Thí dụ 1.17 - Luật + trên N có tính chất giao hoán, kết hợp, có phần tử trung hòa là 0 và chỉ có phần tử 0 mới có phần tử đối xứng. - Luật × trên Q hay R có tính chất giao hoán, kết hợp, có phần tử trung hòa là 1 và mọi phần tử khác 0 đều có phần tử đối xứng. 1.5 SƠ LƯỢC VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Trên một tập hợp ta có thể trang bị một hay nhiều phép toán với một số tính chất xác định tạo ra một đố tượng toán học gọi là cấu trúc đại số. 1.5.1 Cấu trúc nhóm. Giả sử tập G   có trang bị một phép toán *. Khi đó (G,*) gọi là có cấu trúc nhóm, gọi tắt là nhóm G, nếu thỏa các tính chất: a) Luật * có tính kết hợp; b) Luật * có phần tử trung hòa, ký hiệu e; c) Mọi phần tử của G đều có phần tử đối; d) Nếu luật * có tính chất giao hoán thì G gọi là một nhóm Abel. Thí dụ 1.18 (Z,+) và (R-{0},×) là các nhóm Abel, (R,×) không phải là nhóm.  Một số tính chất của nhóm. Giả sử (G,*) là một nhóm, khi đó: i) Phần tử trung hòa là duy nhất; ii) Mỗi một phần tử của a G có một phần tử đối duy nhất a’; iii) Trên nhóm G có quy tắc giản ước: * *a x a y x y   ; iv) Trên nhóm G phương trình *a x b có nghiệm duy nhất '*x a b 6 1.5.2 Cấu trúc vành. Giả sử tập A   có trang bị hai phép toán + và ×. Khi đó (A,+,×) gọi là có cấu trúc vành, gọi tắt là vành A, nếu thỏa các tính chất: i) (A,+) là một nhóm giao hoán, phần tử trung hòa ký hiệu là 0; ii) Luật × có tính kết hợp; iii) Luật × có tính phân phối hai phía đối với luật +, nghĩa là: , , ( )a b c A a b c a b a c         và , , ( )a b c A a b c a c b c         ; iv) Luật × có tính chất giao hoán; Ngoài ra: v) Nếu luật × có tính chất giao hoán thì A gọi là một vành giao hoán; vi) Nếu luật × có phần tử trung hòa, ký hiệu là 1, thì A gọi là một vành có đơn vị; vii) Nếu vành A có tính chất: 0 0a b a    hoặc 0b  thì gọi lag vành nguyên. Thí dụ 1.19 (Z,+,×), (Q,+,×) và (R,+, ×) đều là các vành giao hoán, có đơn vị và nguyên. 1.5.3 Cấu trúc trường. Giả sử tập K   có trang bị hai phép toán + và ×. Khi đó (K,+,×) gọi là có cấu trúc trường, gọi tắt là trường K, nếu thỏa các tính chất: a) K là một vành giao hoán, có đơn vị; b) Với , 0a K a   (phần tử trung hòa của luật +) đều tồn tại phần tử nghịch đảo (phần tử đối xứng của luật ×), ký hiệu là a-1 . Thí dụ 1.20 (Q,+,×) và (R,+, ×) đều là các trường.  Một số tính chất của trường (tự CM). Giả sử (K,+,×) là một trường, khi đó: i) K là một vành nguyên; ii) (K-{0},×} là một nhóm; iii) Trong trường K, phương trình ax=b với a=0 có nghiệm duy nhất 1x a b  . 1.6 SỐ PHỨC 1.6.1 Khái niệm ban đầu về số phức Bộ ba  R, ,  tạo ra trường số thực R. Mặc dù R rất rộng, R Q Z N   nên nó có ứng dụng rất lớn trong tính toán, nhưng trong R phương trình đơn giản 2 1 0x   vẫn vô nghiệm. Vì thế cần phải mở rộng trường R để giải quyết các bài toán phức tạp nảy sinh trong KHKT và kinh tế. Ban đầu, người ta đặt 1i   gọi nó là số ảo. Rõ ràng là i là nghiệm của phương trình 2 1 0x   . Số ảo từ đó được ứng dụng khâ hiệu quả. Nhưng cách tiếp cận số phức như vậy không tự nhiên.  Định nghĩa số phức: Số phức là một cặp số thực: ( , )z a b với ,a b R . Đặt Re( )z a gọi là phần thực sổ sô phức z, Im( )z b gọi là phần ảo của số phức z và tập tất cả các số phức là C. 1.6.2 Trường số phức Trên tập C ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân. Giả sử ( , )z a b và ' ( ', ')z a b C  , khi đó: ' ( , ) ( ', ') : ( ', ')z z a b a b a a b b      . ' ( , ) ( ', ') : ( ' ', ' ' )z z a b a b aa bb ab a b     Dễ dàng kiểm tra lại  , ,C   là một trường, gọi là trường số phức C. Thí dụ 1.21 (2,3) (4,5) (6,8)  (2,3) (4,5) (2.4 3.5, 2.5 4.3) ( 7, 22)      1.6.3 Mặt phẳng phức Có thể ký hiệu các số phức là x, y, z Mỗi số phức ( , )z a b tương ứng 1-1 với một cặp số thực nên hoàn toàn có thể biểu diễn bởi một điểm M(a,b) trên mặt phẳng Oxy. Vì thế mặt phẳng Oxy cũng được gọi là mặt phẳng phức. Trong đó: Ta có thể đồng nhất số phức có phần ảo bằng 0: ( ,0)z a a  . Vì vậy số thực được coi như trường hợp riêng của số phức và trục Ox gọi là trục thực. Kiểm tra lại: ( ,0) ( ,0) ( ,0)a b a b a b     ( ,0)( ,0) ( 0, .0 .0) ( ,0)ab a b ab a b ab     ( ,0) ( ,0) ( ,0) (0,0) 0a a a a a a        7 1 1 1( ,0)( ,0) ( ,0) (1,0) 1aa a a aa      1.6.4 Tích số phức với số thực Cho ( , ) ,z a b C R   . Ta có . ( ,0).( , ) ( , )z a b a b     hay ( , ) ( , )a b a b   . 1.6.5 Các dạng số phức Trục Oy gọi là trục ảo. Mỗi số phức trên Oy có dạng (0, )z b , gọi là số thuần ảo. Đặt (0,1)i  , gọi là đơn vị ảo. Ta có: 2 2(0, )(0, ) ( ,0)b b b b R     , (0, ) (0,1) .b b b i  y Do 2 1i   nên i là nghiệm của phương trình 2 1 0x   b ( , )M a b Cần chú ý: 4 4 1 4 2 4 31, , 1,k k k ki i i i i i        - Dạng chuẩn của số phức: ( , )z a b a bi   Xét mặt phẳng phức. Điểm 1 1( , )M a b z a bi   .  Đặt ( , ) arg( )Ox OM z    và 2 2 ( ) | |a b Modul z z     . O a x Khi đó: ( , ) (cos sin )z a b i     : Dạng lượng giác của số phức. Từ công thức Euler: cos sinie i    suy ra iz e  : Dạng Euler của số phức. 1.6.6 Các phép toán trên số phức Giả sử ( , ) (cos sin ) iz a b i e        và '' ( ', ') '(cos ' sin ') ' iz a b i e        a) Hai số phức bằng nhau:    ' ' ' ' ' 2z z a a b b k              b) Tích hai số phức: ( '). ' . ' iz z e     hay | . ' | . ' | | . | ' |z z z z   và arg( . ') ' arg( ) arg( ')z z z z     c) Thương hai số phức: Với ' 0z  ta có ( ') ' ' iz e z     hay | | ' ' | ' | z z z z    và arg ' arg( ) arg( ')' z z z z          , đặc biệt 1arg ' arg( ') ' z z         . d) Lũy thừa và khai căn + n n inz e  hay  | | , arg .arg( )n n nz z n n z    . Công thức Moivre: (cos sin )n nz n i n    . + 2 2 2os .sin kiin n nn n k kz e e c i n n                   Như vậy n z có n giá trị khác nhau, tương ứng với 0,1,2,..., 1k n  , trên mặt phẳng phức chúng tạo thành n đỉnh của một đa giác đều n cạnh. Thí dụ 1.22 3 1 có 3 giá trị khác nhau 2 2os .sin , 0,2 3 3k k kz c i k       Với 0 1 30, cos .sin3 3 2 2k z i i       , 11, cos .sin 1k z i      và 2 5 5 1 32, cos .sin 3 3 2 2 k z i i      e) Tổng và hiệu hai số phức: ' ( , ')z z a a b b    y z+z’ Từ mặt phẳng phức dễ thấy: ' | | | ' |z z z z   z z’ O x 1.6.7 Số phức liên hợp: Đặt z a bi  gọi là số phức liên hợp của số phức z . 8 Trên mặt phẳng phức thì z đối xứng với z qua trục hoành.  Tính chất: z z , 2z z a R   và 2 2 2. | |z z a b z R    .  Khử số phức ở mẫu số: Do 21 | |. z z z zz z   Thí dụ 1.23 2 21 3 4 3 43 4 3 4 25 25 i i i     1.6.8 Giải phương trình bậc 2 trên trường số phức Xét phương trình 2 0Ax Bx C   với , ,A B C R trên trường số thực, 0A  . Ta có thuật toán: + Tính 2 4B AC   . + Nếu 0  thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 1,2 2 Bx A    ; + Nếu 0  thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 2 Bx x A   ; + Nếu 0  thì phương trình vô nghiệm. Tuy nghiên, phương trình 2 0Ax Bx C   trên trường số phức, với 0A  luôn luôn có hai nghiệm phức: 1,2 2 Bx A    . Nếu , ,A B C R và 0  thì phương trình có hai nghiệm phức liên hợp: 1,2 2 B ix A    . 9 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 3 Tiết 9-12 GV giảng 4, HV tự học: 4 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn Chương 1 TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ Các mục 1.7 Đa thức Chữa bài tập chương 1. Mục đích - yêu cầu - Giới thiệu đa thức , các tính chất và phép toán. - Học viên cần nắm được khái niệm số phức và thành thạo các phép tính số phức. NỘI DUNG I. LÝ THUYẾT 1.7 ĐA THỨC 1.7.1 Khái niệm về đa thức Cho số tự nhiên n trên trường K là một hàm có dạng:   20 1 2 a ... nnp x a x a x a x     với 0 1 , ,..., na a a K (ThườngK là R hoặc C). + Nếu 0na  ta nói đa thức  p x có bậc n; + Nếu 1 2 ... 0na a a    và 0 0a  ta nói đa thức  p x có bậc 0 (  p x  hằng số 0 ); + Nếu 0 1 2 ... 0na a a a     ta nói đa thức  p x có bậc  (   0p x  ) Đa thức là một hàm đơn giản, dễ tính giá trị, đạo hàm và nguyên hàm 1.7.2 Chia đa thức cho đa thức bậc nhỏ hơn Thí dụ 1.24 Giả sử ta cần chia   3 5 -6+ 7p x x x x   cho   2 3-1-q x x x x   5 3 3 2 5 4 3 2 2 4 3 2 4 3 2 3 3 2 7 6 1 5 6 + 6 + 5 6 5 5 + 5 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                        2 5 5 11x x  Ta viết có thể viết: 5 3 3 2 2 27 6 ( 1)( 5) (5 5 11)x x x x x x x x x x            . Tổng quát, giả sử  p x là một đa thức bậc n và  q x là một đa thức bậc m (m<n). Sau khi chia  p x cho  q x ta được:   1( ). ( ) ( )p x q x p x r x  , trong đó:  1p x là đa thức bậc n-m và  r x là đa thức bậc nhỏ hơn m gọi là đa thức phần dư của phép chia. 1.7.3 Nghiệm của đa thức Số K  gọi là nghiệm của đa thức  p x nếu   0p   . Định lý 1.1 Giả sử  p x là đa thức bậc 0n  . Điều kiện cần và đủ để  p x có nghiệm  là  p x chia hết cho x  ; nghĩa là   1( ). ( )p x x p x  , trong đó:  1p x là đa thức bậc n-1. Chứng minh Định lý 1.2 (D’Alembert) Mọi đa thức  p x bậc 1n  đều có ít nhất một nghiệm, thực hoặc phức. Định lý 1.3 Mọi đa thức  p x bậc 1n  đều có đúng n nghiệm, thực