Đề kiểm tra học kì 1 môn: Toán; lớp 12

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I - NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN; LỚP 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (3 điểm) Cho hàm số 3 3 2y x x   (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng 5 2y x   . Câu 2. ( 3 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 1 2 2 4 log 16 log 108 log 12.P    b) Giải phương trình: 4 3.2 4 0x x   . Câu 3. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 x y x   . Câu 4. (3 điểm) Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng 060 . a) Tính thể tích của khối hộp theo a. b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDA’). c) Gọi N là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường thẳng A’D, điểm Q nằm trên đường thẳng AB’ sao cho PQ song song với BN. Tính theo a độ dài đoạn PQ. ---------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 12 -----hoc247.vn----- Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN, LỚP 12 Câu 1.a) ( 2 điểm) Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số 3 3 2y x x   (1). Nội dung Điểm *) Tập xác định: .D  0,25 *) Sự biến thiên - Giới hạn: lim ; lim x x y y       0,25 -Chiều biến thiên: Ta có 2 2 1 ' 3 3. ' 0 1 0 1 x y x y x x            0,25 Ta có ' 0 ( ; 1) (1; )y x       và ' 0 ( 1;1)y x    nên hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1);(1; )   và nghịch biến trên khoảng ( 1;1) . Hàm số đạt cực đại tại 1, 4CDx y   ; hàm số đạt cực tiểu tại 1, 0.CTx y  0,25 - Bảng biến thiên: 0,50 *) Đồ thị 0,50 +∞ +∞ x y’ y -∞ -∞ -1 0 0+ + 4 0 1 - 4 2 -2 y x f x  = x3-3x +2 O 1-2 3-1 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Câu 1.b) ( 1 điểm) Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng 5 2y x   . Nội dung Điểm Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng 5 2y x   là 3 3 2 5 2x x x     0,25 3 2 0x x   0,25 2 2 0 ( 2) 0 0 2 0 x x x x x          0,25 Với 0 2x y   . Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng đã cho là (0;2). 0,25 Câu 2.a ( 1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: 1 2 2 4 log 16 log 108 log 12.P    Nội dung Điểm Ta có 1 1 2 2 2 3 2 24 2 log 4 log (2 .3 ) log (2 .3)P    0,50 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2 24 2 2 log 4 log 2 log 3 log 2 log 3     0,50 2 22 2 3log 3 4 2log 3      0,25 2log 3.  0,25 Câu 2.b ( 1,5 điểm) Giải phương trình: 4 3.2 4 0 x x   . Nội dung Điểm Đặt 2 xt  , 0t  phương trình đã cho trở thành: 2 3 4 0.t t   0,50 Suy ra 1t  hoặc 4t   (loại). 0,50 Với 1t  suy ra 2 1 0.x x   Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 0.x  0,50 Câu 3. (1 điểm) Tìm GTLN, NN của hàm số 2 1 x y x   . Nội dung Điểm *) Tập xác định: .D  *) Sự biến thiên Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai - Giới hạn: 2 2 1 1 lim lim 0, lim lim 0. 1 1 1 1 x x x x x xy y x x           0,25 -Chiều biến thiên: Ta có 2 2 2 2 2 2 2 11.( 1) .2 1 ' . ' 0 1 0 1( 1) ( 1) xx x x x y y x xx x                0,25 - Bảng biến thiên: 0,25 Từ bảng biến thiên ta suy ra - Hàm số đạt GTLN bằng 1 2 tại 1x  , GTNN bằng 1 2  , tại 1.x   0,25 Câu 4.a (1 điểm) Tính thể tích hình hộp. Nội dung Điểm Ta có 2 ABCDS a , tứ giác ABCD là hình vuông nên 2AC a . 0,25 Góc giữa A’C và mặt đáy là 0' 60A CA  . Xét tam giác vuông A’CA, ta có 0,25 +∞ 0 x y’ y -∞ 0 -1 0 0- - -1/2 1/2 1 + P Q O M N C' B' D' A B C D A' H Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai 0 'tan ' tan60 3 ' 6 A A A CA A A a AC      . Từ đó . ' ' ' ' ' .ABCD A B C D ABCDV A AS 0,25 2 3 . ' ' ' ' 6 . 6 .ABCD A B C DV a a a   0,25 Câu 4.b (1 điểm) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDA’). Nội dung Điểm Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hạ ' ( ' ) (1)AH A O H A O  0,25 ( ' ) (2) ' BD AC BD A AO BD AH BD A A       0,25 Từ (1) và (2) suy ra ( ' ) ( ,( ' ))AH A BD d A A BD AH   . 0,25 Xét tam giác vuông A’AO, ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 13 78 ' 6 6 13 a AH AH AA AO a a a        . Vậy 78 ( ,( ' )) . 13 a d A A BD  0,25 Câu 4.c (1 điểm) Gọi N là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường thẳng A’D, điểm Q nằm trên đường thẳng AB’ sao cho PQ song song với BN. Tính theo a độ dài đoan PQ. Nội dung Điểm Ta có A’D và AB’ là hai đường thẳng chéo nhau. Giả sử có ,P Q thoả mãn điều kiện bài toán. Do ' ( ' ) ( ' ) ( ' ) ' ( ' ) P A D P A DQ A DQ AB P PQ Q AB Q AB P          . 0,25 Giả sử A’Q cắt AB tại M. Vì BN//PQ suy ra BN//(A’DQ) hay BN//(A’DM). Mặt phẳng (ABCD) chứa BN và cắt mặt phẳng (A’DM) theo giao tuyến DM nên BN//DM. 0,25 Suy ra M là trung điểm AB. Từ đó ta tìm các điểm P, Q như sau: - Gọi M là trung điểm AB, nối A’M cắt AB’ tại Q. - Trong mặt phẳng (A’DM), qua Q kẻ đường thẳng song song với DM cắt A’D tại P. Đoạn thẳng PQ thỏa mãn các điều kiện của bài toán. 0,25 Theo cách dựng, ta có 2 2 2 2 5 . 3 3 3 a PQ DM AM AD    0,25 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai ---------- Hết ----------