Đề tài Các mức độ nhận thức theo bloom trong chủ đề giới hạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN BÀI TẬP NHÓM MÔN ĐÁNH GIÁ DẠY HỌC TOÁN ĐỀ TÀI CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC THEO BLOOM TRONG CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN NGUYỄN NGỌC THẮNG HOÀNG CƯỜNG NGUYỄN THỊ TUYẾT NHUNG LÊ VĂN MINH TUẤN NHÓM 7, TOÁN 4B, KHÓA 2007-2011 HUẾ - 11/2010 CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC THEO BLOOM TRONG CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN Nhóm 7, Lớp Toán 4B 1 Nhận biết 1.1 Kiến thức và thông tin về giới hạn • Trong phạm trù này, học sinh được đòi hỏi gợi ra định nghĩa, ký hiệu khái niệm của một sự kiện và chưa cần phải hiểu. Những câu hỏi đưa ra trong mục này kiến thức học sinh đã được học. • Những phạm trù chính của kiến thức: – Kiến thức về thuật ngữ: Học sinh được yêu cầu phải nhận diện và làm quen với ngôn ngữ toán học. Ví dụ: Cho dãy số (un): un = sin n n + 5 . Chứng minh rằng: un → 0 khi n → +∞. Học sinh cần phải nhận ra đây là một bài toán tìm giới hạn của dãy số. – Kiến thức về những sự kiện cụ thể: Mục tiêu này đòi hỏi học sinh gợi ra được công thức và những mối quan hệ. Ví dụ: Khả năng nhớ lại các quy tắc tìm giới hạn ở vô cực khi gặp những bài toán như: Tìm các giới hạn sau a) lim n→+∞ n(1− n2); b) lim n→+∞ (3n2 − 101n− 51); c) lim n→+∞ −5 3n2 − 101n− 51; d) limn→+∞ 3n3 + 2n− 1 2n2 − n . Như vậy học sinh giải quyết được 3 bài toán trên thì trước hết học sinh cần ghi nhớ lại 3 quy tắc tìm giới hạn ở vô cực: – Kiến thức về cách thức và phương tiện sử dụng trong trường hợp cụ thể. Ví dụ: Trong giới hạn thì sử dụng nhiều kí hiệu. Ví dụ: lim n→+∞ un; un → 0 khi n→ +∞; lim x→x0− f(x) = L; lim x→x0+ f(x) = L. – Kiến thức về các quy tắc và tổng quát hóa: Điều này đòi hỏi học sinh gợi ra được các trừu tượng của toán học để mô tả. Kiến thức này chủ yếu nằm ở phần định lý và những quy tắc toán học. • Học xong phần giới hạn học sinh có thể: – Phát biểu định nghĩa, định lý, quy tắc tìm giới hạn. 1 – Cách chứng minh một hàm số liên tục trên trên miền xác định khi cho hàm số xác định bởi nhiều công thức. Ví dụ: Chứng minh hàm số sau liên tục trên R f(x) = { x2 − 3x + 2 với x < 2√ x− 2 với x ≥ 2. Tìm lim x→2− f(x), lim x→2+ f(x), lim x→2 f(x). 1.2 Những kỹ thuật và kỹ năng • Sử dụng các thuật toán như các kỹ năng thao tác và khả năng thực hiện trực tiếp các phép tính. • Câu hỏi có thể không đòi hỏi phải đưa ra quyết định làm thế nào để tiếp cận bài toán, chỉ cần dùng các kỹ thuật đã được học, hoặc có thể là một quy tắc phải được nhắc lại mà áp dụng thẳng kỹ thuật đã được học. • Sau khi học giới hạn học sinh nắm các kỹ thuật: – Biết cách khử các dạng vô định. – Tính được các giới hạn của dãy có giới hạn hữu hạn, vô cực. – Tính được các giới hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên. – Biết cách chứng minh hàm số liên tục trên một miền xác định nếu hàm số cho bởi nhiều công thức trên từng khoảng, đoạn. • Một số ví dụ: Câu 1: Tìm giới hạn a) lim x→9 3−√x 9− x ; b) limn→+∞ √ 2n4 − n 1− 3n2 ; c) limx→−1 x2 − x− 2 x3 + x2 ; d) lim x→1− √ 1− x + x− 1√ x2 − x3 Câu 2: Chứng minh hàm số sau liên tục trên R f(x) = { √ x− 2 với x ≥ 2 x− 2 với x < 2. 2 Thông hiểu Là khả năng học sinh nắm bắt được ý nghĩa của các vấn đề về giới hạn trong đó bao gồm các quá trình: Chuyển đổi, giải thích và ngoại suy. Ví dụ như chuyển đổi các kiến thức từ dạng này sang dạng khác, từ mức độ trừu tượng này sang mức độ trừu tượng khác. Giải thích, suy ra ý nghĩa của các vấn đề về giới hạn của dãy số, của hàm số. Mở rộng các lập luận và giải các bài toán về giới hạn. Phạm trù 2 này gồm những câu hỏi để học sinh có thể áp dụng các kiến thức được học về giới hạn mà không cần liên hệ với các kiến thức khác, hay nhận ra được các vấn đề ứng dụng của giới hạn, chưa đòi hỏi học sinh phải áp dụng hay phân tích nó. Phạm trù thông hiểu có thể chia thành 3 loại theo thứ tự: Chuyển đổi, giải thích, ngoại suy. 2.1 Chuyển đổi Trong vấn đề giới hạn, quá trình chuyển đổi được thể hiện bằng sự chuyển đổi ý tưởng thành các dạng song song. Học sinh được yêu cầu thay đổi từ dạng ngôn ngữ này sang dạng ngôn ngữ khác. Các ví dụ thuộc phạm trù chuyển đổi. Cuối học kỳ này, học sinh có khả năng: • Viết dưới dạng ký hiệu một định nghĩa, mệnh đề,... và ngược lại. • Biểu thị bằng hình học giới hạn của một dãy số đơn giản. Ví dụ 2.1. Định nghĩa về giới hạn của hàm số tại vô cực. Giả sử hàm số f xác định trên (a; +∞). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số (xn) trong khoảng (a; +∞) (tức là xn > a với mọi n) mà lim xn = +∞ ta đều có lim f(xn) = L. Phân tích. Học sinh đọc định nghĩa trên, có thể dựa vào từng ký hiệu để diễn đạt lại như sau: lim x→+∞ f(x) = L ⇔ ∀(xn)n ⊂ (a, +∞), lim n→+∞ xn = +∞⇒ lim n→+∞ f(xn) = L. Ví dụ 2.2. Biểu diễn hình học giới hạn limn→∞ 1 2n = 0. Phân tích. Trước hết học sinh sẽ liệt kê một số phần tử của dãy un = 1 2n . 1 2 , 1 22 , 1 23 , 1 24 , ... Tìm cách thể hiện mối quan hệ của các phần tử trên bằng hình vẽ. Có nhiều cách thể hiện, học sinh có thể chọn cách sau: 1/2 y x b b b E b F b G b H b I b J 3 2.2 Giải thích Học sinh phải xác định và hiểu các ý tưởng được trình bày và các mối quan hệ của các dữ kiện trong vấn đề giới hạn. Từ việc phán xét các dữ kiện quan trọng, học sinh sẽ tổ chức lại các kiến thức thành một tổng thể để nhận ra được nội dung của vấn đề. Ví dụ trong phạm vi giải thích, cuối kỳ học này học sinh có khả năng: • Đánh giá tính đúng sai của các bài toán tìm giới hạn. • Từ biểu diễn hình học, đồ thị có thể suy ra được giới hạn của một hàm số. • Từ một số sơ đồ, hình vẽ, chỉ ra được giới hạn của dãy số nào. Ví dụ 2.3. Tìm giới hạn lim x→0 1 x . a) +∞; b) −∞; c) 0; d) Không có giới hạn. Phân tích. Gặp bài toán này, học sinh lúc đầu sẽ cho rằng lim x→0 1 x = ∞. Nhưng sẽ không biết giới hạn đó bằng +∞ hay −∞ (theo các đánh giá đưa ra). Từ đó học sinh sẽ suy nghĩ và tìm lim x→0+ 1 x = +∞, lim x→0− 1 x = −∞. Hàm số trên có giới hạn phải và giới hạn trái khác nhau nên giới hạn trên không tồn tại. Ví dụ 2.4. Cho đồ thị hàm số sau, nhận xét nào dưới đây là đúng? bb O b b b 4 a) lim x→0 1 x = +∞; b) lim x→0 1 x = −∞;c) lim x→0 1 |x| = +∞; d) limx→∞ 1 |x| = 0;e) limx→0+ 1 |x| = +∞. Phân tích. Nhìn vào đồ thị, học sinh nhận thấy đồ thị đối xứng qua Oy nên hàm số trên là hàm chẵn, học sinh sẽ loại phương án a), b). Xét khi x → 0+ và x → 0− thì y →∞. Do vậy phương án đúng là c). 2.3 Ngoại suy Là khả năng học sinh ngoại suy hay suy rộng hướng vượt ra các dữ liệu. Trong phạm trù này, học sinh cần nhận thức được giới hạn của vấn đề cần mở rộng. Đối với các mở rộng, học sinh cần đưa ra những ứng dụng và tác động cụ thể của nó. Ví dụ về phép ngoại suy: • Điều kiện tồn tại giới hạn của hàm số. • Từ biểu diễn hình học có thể suy ra được giới hạn của dãy số nào. Ví dụ 2.5. lim x→−∞ xk bằng a) −∞; b) +∞; c) −∞ nếu k lẻ, +∞ nếu k chẵn; d) Không tồn tại giới hạn. Phân tích. Học sinh sẽ chú ý tới khi x → −∞ thì xk dần tới giá trị nào. Có thể là −∞, +∞ tùy theo giá trị của k. Nếu k chẵn thì xk → +∞ khi x → −∞, k lẻ thì xk → −∞ khi x → −∞. Do đó chọn phương án c). Ví dụ 2.6. lim x→−1 x + 1√ x2 − 5x + 6 bằng a) +∞; b) −∞; c) Không tồn tại giới hạn; d) 0. Phân tích. Giới hạn trên có dạng 0 0 . Học sinh sẽ tìm cách khử dạng vô định và tìm giới hạn của hàm số. Nhưng cần để ý rằng TXĐ D = (−∞,−1)∪ (6, +∞). Do đó lim x→−1− x + 1√ x2 − 5x + 6 = 0 nhưng limx→−1+ x + 1√ x2 − 5x + 6 không tồn tại, nên ta chọn c). 3 Vận dụng Phạm trù này chỉ việc sử dụng các ý tưởng, quy tắc hay phương pháp chung để giải quyết những tình huống mới. Các câu hỏi đưa ra yêu cầu học sinh phải áp dụng các khái niệm, quy tắc về giới hạn vào các tình huống không quen thuộc, có nghĩa là phải áp dụng kiến thức và hiểu các kỹ năng vào các tình huống mới hoặc những tình huống được trình bày theo một dạng mới. Cuối thao tác này, học sinh có thể: 5 • Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Cho cấp số nhân lùi vô hạn u1, u1q, u1q2, . . . , u1qn, . . . có công bội q với |q| < 1. Khi đó S = u1 + u1q + u1q 2 + . . . = u1 1− q . Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là một kết quả quan trọng của lý thuyết giới hạn. Ví dụ 3.1. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,535353 . . . dưới dạng phân số. Hướng dẫn. Ta có 0, 535353 . . . = 53 100 + 53 100 . 1 100 + 53 100 .( 1 100 )2 + . . . = 53 100 . 1 1− 1 100 = 53 99 . (Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 53 100 , công bội q = 1 100 .) • Áp dụng các định nghĩa của hàm số liên tục, nhận xét 1), 2), định lý 1 (SGK) để chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một nửa khoảng. Ví dụ 3.2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f(x) =   mx + m + 1 với x ≥ 2 x2 − 3x + 2 x2 − 2x với x < 2 liên tục trên R. Hướng dẫn. Ta có lim x→2+ f(x) = 2m + m + 1 = 3m + 1, lim x→2− f(x) = lim x→2− x2 − 3x + 2 x2 − 2x = limx→2− (x− 1)(x− 2 x(x− 2) = limx→2− x− 1 x = 1 2 , f(2) = 2m + m + 1 = 3m + 1. Hàm số f liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim x→2− f(x) = lim x→2+ f(x) = f(2) ⇔ 3m + 1 = 1 2 ⇔ m = −1 6 . Vậy m = −1 6 . • Tìm ý nghĩa của giới hạn trong tình huống thực tế. 6 Ví dụ 3.3. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f . Gọi d và d′ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A′B ′ của nó tới quang tâm O của thấu kính. Cho công thức của thấu kính là 1 d + 1 d′ = 1 f . a) Tìm biểu thức xác định hàm số d′ = ϕ(d). b) Tìm lim d→f+ ϕ(d), lim d→f− ϕ(d) và lim d→+∞ ϕ(d). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được. Hướng dẫn. a) Từ hệ thức 1 d + 1 d′ = 1 f suy ra d′ = ϕ(d) = fd d− f . b) lim d→f+ ϕ(d) = lim d→f+ fd d− f = +∞. Kết quả này nghĩa là: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực. b F b F ′ b A b B bb O lim d→f− ϕ(d) = lim d→f− fd d− f = −∞. Kết quả này nghĩa là: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô cực. b F b F ′ b A b B bb O b lim d→+∞ ϕ(d) = lim d→+∞ fd d− f = limd→+∞ f 1− f d = f. Kết quả này nghĩa là: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F ′ và vuông góc với trục chính). 7 bF b F ′ b O b 4 Những khả năng bậc cao Đây là phạm trù rộng lớn bao gồm: Phân tích, tổng hợp và đánh giá. • Phân tích: Là bước khởi đầu của quy tắc giải quyết vấn đề hay đưa ra những phán xét dựa trên lời giải, việc phân tích thường rất quan trọng, thường có dạng: – Chia nhỏ thông tin sau đó tổ chức lại theo các mối quan hệ trong một bài toán. – Phân biệt các sự kiện từ giả thiết và tìm các giả thiết cần thiết để minh chứng những quy tắc nào đó. – Kiểm tra tính nhất quán của các giả thiết đối với những giả định và thông tin đã cho. • Sau khi phân tích bài toán, học sinh có thể sắp xếp các yếu tố hoặc các phần lại với nhau để có công thức hoặc quy luật mà trước đó chưa thấy rõ ràng. Sau khi thực hiện hoạt động này, nếu nó đưa đến sự sáng tạo và tính độc đáo của một bộ phận học sinh một cách rõ ràng nhất thì được gọi là sự sáng tạo. • Sau khi phân tích một vấn đề, khả năng xác định những tiêu chuẩn và giá trị cho một ý tưởng hay một sản phẩm rồi đưa ra phán xét xác đáng được gọi là đánh giá. Ví dụ 4.1. Khi tính giới hạn lim x→2 x− 2√ x2 + x− 6 , một học sinh đã viết ra các bướcsau: I. lim x→2 x− 2√ x2 + x− 6 = limx→2 x− 2√ (x− 2)(x + 3) II. lim x→2 x− 2√ (x− 2)(x + 3) = limx→2 √ x− 2√ x + 3 III. lim x→2 √ x− 2√ x + 3 = 0. Sai lầm của học sinh đó ở bước nào? a) I; b) II; c) III; d) Không phải những bước trên. 8 Phân tích. Học sinh lần lượt tìm các lỗi sai trong các phương án. Rõ ràng, các phép biến đổi trong các phương án hoàn toàn chính xác. Vì vậy ta chọn phương án d), yêu cầu học sinh chú ý đến tập xác định của hàm số trong phép lấy giới hạn. Tài liệu [1] Nguyễn Đăng Minh Phúc, Đánh giá trong giáo dục Toán (2010). [2] Đoàn Quỳnh, Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. [3] Đoàn Quỳnh, Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Sách giáo viên. 9