Đề tài Phương pháp chia miền đối với phương trình song điều hòa

Trên thực tế, nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua mô hình hóa toán học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng. Trong đó rất ít bài toán là các trường hợp đơn giản (miền hình học là miền đơn giản, hệ số của phương trình là hệ số hằng, .) có thể tìm được nghiệm tường minh bằng phương pháp giải tích. Còn đại đa số các trường hợp khác thì nghiệm tường minh không có hoặc rất phức tạp. Hơn nữa, một số bài toán trong thực tế chỉ yêu cầu tìm nghiệm của bài toán tại một số điểm rời rạc nào đó. Khi đó, chúng ta buộc phải sử dụng các phương pháp giải gần đúng, chủ yếu là phương pháp số như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn. Các phương pháp này rời rạc hóa bài toán và hầu hết đều đưa về việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn, dẫn đến nhu cầu phát triển các phương pháp hữu hiệu để giải các hệ phương trình lưới. Tuy nhiên, khi miền hình học là miền phức tạp, dữ liệu hoặc các hệ số của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụng một phương pháp nào đó cho cả miền sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Vì vậy trong nhiều năm qua, người ta đã và đang phát triển các phương pháp với mục đích chính là đưa các bài toán biên trong miền hình học phức tạp về một dãy các bài toán biên trong miền hình học đơn giản để có thể sử dụng các thuật toán hữu hiệu đã được phát triển cho các miền đơn giản này. Các phương pháp trên có tên gọi là các phương pháp chia miền (Domain Decomposition Methods). Tư tưởng chính của các phương pháp chia miền là tìm cách xác định các giá trị biên trên các đường biên phân chia thông qua một phương pháp lặp để chuyển việc giải bài toán trong miền phức tạp về việc giải các bài toán trong các miền đơn giản từ đó thu được nghiệm của bài toán gốc.