Đề tài Phương trình vi phân đại số

Luận văn Phương trình vi phân đại số Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỤC LỤC Trang Mở đầu ................................................................................................ 2 Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ... 5 1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ......................................... 5 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........ 7 1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số ................................. 10 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số....... 13 Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng .................................................... 15 2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ...... 15 2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ............................................ 24 Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động ............................................................. 34 3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định ....................................... 37 3.3 Công thức bán kính ổn định ....................................................... 44 3.4 Các trường hợp đặc biệt ............................................................. 55 Kết luận .............................................................................................. 59 Tài liệu tham khảo ............................................................................. 60 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 MỞ ĐẦU Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của A.Poincaré, V.Rumyantsev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, ... Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov). Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến phương trình vi phân dạng:    '( ) + ( ) 0t tA x t B x t  ở đó,         , , , : , , ,n nA B C I L x I I a     R R a là hằng số,  det 0 A t t I   . Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng. Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006. Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này. Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm có ba chương: Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau. Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng '( ) - ( ) 0Ax t Bx t  trong đó A, B là các ma trận thực, det 0.A  Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4        ' , 0A t x t B t x t t  trong đó    . 0, ;loc n nA L   K ,    . 0, ;loc n nB L   K , ở đây công thức bán kính ổn định được đưa ra. Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập, nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008 Học viên cao học Lƣu Thị Thu Hoài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 CHƢƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận   9 Định nghĩa 1.1.1. Cho  . P L P  được gọi là một phép chiếu nếu 2P P . Nhận xét 1.1.2. i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có: Im nKerP P   . ii) Mỗi phân tích n U V  tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V. Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U. Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận) Cho  nA L  . Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà 1k kKerA KerA  .  1min : k kindA k KerA KerA    Định lý 1.1.4. Với mọi  nA L  ta luôn có: k k nimA KerA   với mọi k thoả mãn 0<k<indA. k k k k nimA KerA imA KerA     với k indA . Định nghĩa 1.1.5. Cho  , nA B L  . Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính quy nếu c  sao cho  det 0cA B  . Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà  det 0cA B  . Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu là  ,ind A B , là chỉ số của ma trận   1 cA B A   .     1,ind A B ind cA B A  (Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Định lý 1.1.7. Nếu  nQ L  không suy biến thì:      , , ,ind QA QB ind AQ BQ ind A B  . Nếu A, B là giao hoán được thì    ,ind A B ind A . Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy, cR sao cho cA + B khả nghịch, đặt   1 Q cA B    . Khi đó, QA và QB là giao hoán được. Định lý 1.1.9. Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và   1 k rank cA B A r        thì tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao cho:  , ,rA Pdiag I U Q  , n rB Pdiag W U Q ở đó           11 ij,..., , max ,s r rl l l ls i rU diag U U l k U u L     với ij 1 khi 1 ; 0 khi 1 j i u j i       0kU  còn 0 lU l k   . Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương: 1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số 1. 2) x KerA và Bx ImA suy ra x = 0 3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B). 4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi  nW L  . 5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên KerA . 6) Với  : :nS x Bx ImA   thì nS KerA  . 7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp  nE L  thoả mãn: 1 , 0 A EA        1 2 , B EB B        1rankA rankA , ta nhận được ma trận không suy biến  1 2 n A L B        . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng       2 , 3 , 9 Xét hệ phương trình vi phân dạng:     , , ' 0F t x t x t  (1.2.1) trong đó: : nx I   ,  ,I a    : n nF I D       , , , ,t x y F t x y D là tập mở trong ,n  ,n nF C I D     ,   ' ', ,n nx yF F C I D L    . Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn     ' ' , , ' 0xKerF t x t x t  với mọi  , , ' nt x x I D   . Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính:          'A t x t B t x t q t  (1.2.2) trong đó:   , , nA B C I L  , q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi ,t I là hệ phương trình vi phân đại số. Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này. Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân đại số ([3], [9]). Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng:     , , ' 0F t x t x t  (1.2.3) trong đó: : nx I   ,  ;I a    , : n nF I D       , , , ,t x y F t x y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 D là tập mở trong ,n  ,n nF C I D     ,   ' ', ,n nx yF F C I D L     ' ' , , ' 0xKerF t x x   , , ' nt x x I D    . Giả thiết  ' ' , , 'xKerF t x x không phụ thuộc vào x và x’ tức là:    ' ' , , 'xKerF t x x N t  , , ' nt x x I D    . Định nghĩa 1.2.3. Không gian hạch  N t được gọi là trơn trên I nếu có ma trận hàm khả vi liên tục   1 , nQ C I L  sao cho      2 Q t Q t , ImQ(t) = N(t) t I  . Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t). Đặt       1 , nnP t I Q t P C I L     . Ta có:             1 ' ' 0 , , , , , , 1xF t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds    và từ            ' '' ', , ' , , 0x xQ t y ImQ t N t KerF t x x F t x y Q t y     . Từ đó ta suy ra:             1 ' ' 0 , , , , , , 1 0xF t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds     hay     , , , ,F t x y F t x P t y              , , ' , , ' , , ' 'F t x x F t x P t x F t x Px t P t x t    Điều này cho thấy, để hàm : nx I   là nghiệm của (1.2.3) thì cần phải có  1 , ,nPx C I   , nQx C I  . Bây giờ ta quan tâm tới không gian hàm sau:       1 1 1, , : ,n n nNC I x C I Px C I     . Đặt       ' ', , : , , , ,n x yS t x y z F t x y z ImF t x y          ' '1 , , : , , , ,y xG t x y F t x y F t x y Q t           '1 1, , : , , , , 'yA t x y G t x y F t x y P t Q t  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9    1 1, , : , ,N t x y KerA t x y         '1 1, , : , , , ,n xS t x y z F t x y P t z ImA t x y   Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ số 1 trên tập mở nG I D    nếu    , , nN t S t x y    , ,t x y G  . Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ số 2 trên tập mở nG I D    nếu:  1dim , , 0N t x y const  và    1 1, , , , nN t x y S t x y    , ,t x y G  Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng:        ' 0A t x t B t x t  (1.2.4) trong đó : nx I   ,   , , nA B C I L  ,  det 0A t  với mọi t I .    N t KerA t trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t), khả vi liên tục. Đặt    :P t I Q t  .       : :nS t z B t z ImA t               1 : 'A t A t B t A t P t Q t      1 1:N t KerA t         1 1: :nS t z B t P t z ImA t   Gọi  1Q t là phép chiếu khả vi liên tục lên  1N t dọc theo  1S t ,    1 1:P t I Q t  .          1 1 1: 'B t B t A t PP P t  Đặt        2 1 1 1:A t A t B t Q t  Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 1 trên I khi và chỉ khi     nN t S t   t I  tức là  1det 0A t  t I  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi và chỉ khi       1 1 1 dim 0 n N t const N t S t t I        R tứ là     1 2 det 0 det 0 A t t I A t t I        Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng:    ' 0Ax t Bx t  (1.2.5) trong đó: : nx I   ,  , nA B L  , det 0A . Khi đó: :N KerA  : :nS z Bz ImA   Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA). 1 :A A BQ  , 1 1:N KerA ,  1 1: :nS z B z ImA   Gọi 1Q là phép chiếu lên 1N dọc 1S , đặt 1 1:P I Q  . 1 :B BP ,  2 1 1 1 1 1:A A BQ A BPQ    Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi nN S   1det 0A  . Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và chỉ khi 1 1 1 dim 0 n N const N S      R tức là 1 2 det 0 det 0 A A    1.3. Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi phân thƣờng và hệ phƣơng trình đại số     1 , 3 Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số. Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11      'Ax t Bx t q t  (1.3.1) trong đó: : nx I   ,  , nA B L  , det 0A ,    . , nq C I R . 1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1. Gọi Q là phép chiếu lên KerA , : nP I Q  . Khi đó, AQ = 0. QP = 0. A = AIn = A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A1P. B = BIn = B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP = (A+BQ)Q + BP = A1Q + BP Do vậy, hệ (1.3.1)        1 1'APx t AQx t BPx t q t    . Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với 1 1PA  và 1 1QA  ta được hệ tương đương:             1 1 1 1 1 1 1 1 'Px t PA BPx t PA q t Qx t QA BPx t QA q t           Đặt    u t Px t ,    v t Qx t ta đưa hệ (1.3.1) về hệ sau:             -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 'u t PA Bu t PA q t v t QA Bu t QA q t       ( ) ( )   trong đó ( ) là hệ phương trình vi phân thường, còn ( ) là hệ phương trình đại số. Đặc biệt, khi   0q t  ta được hệ:         -1 1 -1 1 ' 0 ( ') ( ')0 u t PA Bu t v t QA Bu t         1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2 Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2. Khi đó 1det 0, A  2det 0.A  Xét vế trái của (1.3.1) ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12              ' ' 'Ax t Bx t APx t Bx t A Px t Bx t     =        1' 'A BQ P Px Qx BPx A P Px Qx BPx      =       1 1 1 1 1 1'A BPQ PP Px t PQx Q x BPx BPQ x     =     2 1 1 1 1'A PP Px t PQx Q x BPPx   Do vậy, hệ (1.3.1)       2 1 1 1 1'A PP Px t PQx Q x BPPx q t     Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với 1 1 2 ,PPA  1 1 2 ,QPA  1 1 2Q A  ta được hệ phương trình tương đương:     -1 -1 1 1 1 2 1 1 2 -1 -1 1 1 1 2 1 1 2 -1 -1 1 1 2 1 1 2 ' ' PPP Px PPQx PP A BPPx PP A q QPP Px QPQx QP A BPPx QP A q Q x Q A BPPx Q A q            Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [1]) sao cho PQ1, PP1 cũng là các phép chiếu đồng thời 1 1, ,Q PQ PP đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta có: -1 1 1 2 ,Q Q A BP 1 0,Q Q  1 1,PPP PP 1 0,PPQ  1 1,QPP QQ  1QPQ Q 1 1 ,Q Q P 1 1QQ P QQ và hệ trên trở thành:     -1 -1 1 1 2 1 1 2 -1 -1 1 1 2 1 1 2 -1 1 1 2 ' ' PPx PP A BPPx PP A q QQ x Qx QP A BPPx QP A q Q x Q A q           Đặt 1 ,u PPx 1 ,v Q x w Qx  x u Pv w   ta nhận được hệ sau: -1 -1 1 2 1 2 -1 -1 1 2 1 2 -1 1 2 ' ' u PP A Bu PP A q Qv w QP A Bu QP A q v Q A q           Đặc biệt, khi   0q t  ta nhận được hệ: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 -1 1 2 -1 1 2 ' 0 0 0 u PP A Bu w QP A Bu v          1.4. Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phƣơng trình vi phân đại số      3 14 , 15 Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:        ' 0A t x t B t x t  (1.4.1) trong đó: : nx I   ,  , nA B L  , det 0A ,    . , nq C I R Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường   0x t  . 1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và  KerA t trơn. Gọi  Q t là phép chiếu khả vi liên tục lên  KerA t , đặt    : nP t I Q t  . Ký hiệu  0 0; ,x t t x là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu      0 0 0 0 0 0, , nP t x t P t x t I x   Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường   0x t  của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số 0  cho trước và với mọi 0t I đều tồn tại  0, 0t    sao cho nếu 0 nx  thoả mãn  0 0P t x  thì  0 0; ,x t t x  với mọi 0t t . Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường   0x t  của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số  0 0 0t  sao cho nếu    0 0 0 0P t x t thì  0 0; , 0x t t x  khi t  . Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm tầm thường   0x t  của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương  và với mọi số 0  cho trước Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 đều tồn tại số  0, 0t    sao cho nếu 0 nx  thoả mãn  0 0P t x  thì    00 0; , t t x t t x e    với mọi 0t t . 1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2 Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và  KerA t trơn. Các phép chiếu  ,P t  1P t như ở mục 1.3.2. Ký hiệu  0 0; ,x t t