Đề tài Tính chất của môđun Artin

Cho (R; m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M , theo Bổ đề Nakayama ta luôn có tính chất AnnR M=pM = p; với mọi iđêan nguyên tố p chứa AnnR M . Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu rằng có một tính chất tương tự như vậy cho mọi môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ hay không. N. T. Cường và L. T. Nhàn [5] đã chỉ ra rằng nhìn chung câu trả lời cho câu hỏi trên là phủ định, và ở đó, họ đã giới thiệu một lớp môđun Artin thoả mãn câu trả lời khẳng định của câu hỏi trên như sau: A được gọi là thoả mãn tính chất () (hay còn gọi là tính chất linh hoá tử) nếu AnnR (0 : A p) = p; 8p 2 V (Ann R A): () ý nghĩa đầu tiên của tính chất () là "làm mạnh" thêm công cụ nghiên cứu môđun Artin bằng lý thuyết chiều. Ta đã biết rằng một trong những công cụ để nghiên cứu môđun Artin là khái niệm chiều Noether được đưa ra bởi R. N. Robert [14] và D. Kirby [7]. Bên cạnh đó, một cách tự nhiên, người ta cũng dùng khái niệm chiều Krull dim R A = dim R= AnnR A để nghiên cứu môđun Artin. Nếu R là vành địa phương đầy đủ thì đối ngẫu Matlis cho ta một tương đương giữa phạm trù các môđun Noether và môđun Artin. Vì thế, trên vành địa phương đầy đủ, tính chất () luôn thoả mãn và luôn có đẳng thức N-dim b R A = dim b R A, với mọi R-môđun Artin A. Tuy nhiên, trên vành giao hoán tuỳ ý ta chỉ có N-dimR A 6 dim R A, thậm chí tồn tại những môđun Artin sao cho N-dimR A < dim R A (xem [5, Ví dụ 4.1]). Một vấn đề đặt ra là tìm điều kiện khi nào xảy ra dấu đẳng thức. Kết quả chính của [5, Mệnh đề 4.5] chỉ ra rằng nếu A thoả mãn tính chất () thì ta có N-dimR A = dimR A. Kết quả tiếp theo về tính chất () trong N. T. Cường, N. T. Dung và S? húa b?i Trung tõm H?c li?u – é?i h?c Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3 L. T. Nhàn [3] cho phép ta nghiên cứu tính catenary của tập giá không trộn lẫn của một môđun hữu hạn sinh M . Giả sử rằng dim R M = d. Kí hiệu UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Ta gọi tập Usupp M = Supp(M=UM (0)) là giá không trộn lẫn của môđun M . Xuất phát từ bài toán nghiên cứu tính chất () cho một lớp môđun Artin đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất H d m (M ), họ đã thu được kết quả khá bất ngờ, đó là giá không trộn lẫn Usupp(M ) là catenary khi và chỉ khi H d m (M ) thoả mãn tính chất ().