Đề tài Về các dãy hồi quy tuyến tính

Lý thuyết các dãy hồi quy tuyến tính là một trong những hướng nghiên cứu truyền thống của số học. Nhiều dãy số quan trọng được định nghĩa qua các dãy hồi quy. Nổi tiếng nhất trong số các dãy số như vậy là các số Fibonacci, các số Lucas. Mặc dù có lịch sử phát triển lâu đời, các số Fibonacci và Lucas vẫn chứa đựng nhiều tính chất thú vị chưa được biết đến, và luôn luôn là một trong những đề tài trọng tâm của lý thuyết số hiện đại. Bản luận văn này nhằm giới thiệu về lý thuyết các dãy hồi quy tuyến tính nói chung, một số tính chất cổ điển của dãy số Fibonacci, cũng như một số tính chất được phát hiện rất gần đây (2007) của các số Lucas. Bố cục của luận văn như sau: Chương 1 "Lý thuyết đồng dư" dành để giới thiệu các khái niệm, các tính chất cơ bản về lý thuyết đồng dư, đồng dư tuyến tính, định lý Fécma bé, số giả nguyên tố, nhằm phục vụ cho các chứng minh sau. Chương 2 "Các quan hệ hồi quy" đã đưa ra các khái niệm về các quan hệ hồi quy, phương trình đặc trưng của các quan hệ hồi quy tuyến tính hệ số hằng rồi từ đó đưa ra nghiệm tổng quát cho các trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm bội và không có nghiệm bội. Ngoài ra trong chương này cũng trình bày khái niệm dãy số Fibonacci và một số tính chất cổ điển của dãy số này. Chương 3 "Một số tính chất số học của số Lucas" nhằm trình bày một số kết quả gần đây của dãy Lucas. Cụ thể là Định lý về sự tồn tại các số chính phương trong dãy Lucas và sự đặc trưng của các số Lucas giả nguyên tố không chính phương.